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米尔诺的–不变量的链接–球体消失在与边界链接一致的任何链接上。特别是，它们在。这里我们考虑结加厚表面，哪里已关闭和定向。我们利用Chen–Milnor理论构造了新的一致不变量中的链接数到虚拟结的组的扩展。Bar-Natan是一种关键成分地图，这允许对组扩展进行几何解释。小组扩展本身最初由Silver和Williams定义。我们的扩展–不变量在加厚的表面上阻碍与同调平凡节点的一致性。我们使用它们给出了具有平凡的非片虚拟节点的新示例拉斯穆森不变量、分级亏格、仿射指数（或write）多项式，以及广义亚历山大多项式。此外，我们完成了切片状态对所有虚拟节点进行分类，最多五个经典交叉点，并减少到（退出属于)具有未知切片的六个经典交叉点的虚拟节点数状态。 我们的主要应用是Turaev的调和群属于表面上的长结。Boden和Nagel证明了经典结在里面嵌入的中心.与经典的结调和群相比，我们表明不是阿贝良回答了图雷夫提出的问题。
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