摘要

基于变分方法，提出了一种求解多维扩散-对流方程的高精度数值公式。获得了精确的解，而不存在标准有限差分近似所存在的困难。此外，测试表明，一维问题的精确解可以在尖锋附近获得，而无需对整个感兴趣区域进行大量计算。

将这些变分方法的结果与几种标准的有限差分近似以及基于特征线方法的技术进行了比较。结果表明，变分方法可以在较少的计算机时间内获得较高的精度。

最后，指出了如何利用变分方法的这些吸引人的特性来求解二维混相驱替问题。

介绍

一段时间以来，人们一直对同时描述扩散和对流传热或传质的方程组寻找合适的数值近似值的问题感兴趣。这类方程称为扩散-对流方程，用于描述许多不同的物理过程。这里特别有趣的是描述在一维多孔介质中一种可混溶液体取代另一种液体的过程的方程。该系统的行为由以下抛物型偏微分方程描述：

(1)

其中，扩散系数被视为单位，c（x，t）表示归一化浓度，即满足0的c（x、t）小于小于1的c（x，t）。典型边界条件如下所示

....................(2)

我们之所以对这个看似简单的问题感兴趣，是因为用方程2的边界条件对这个方程进行精确的数值近似，在理论上很难获得，而描述二维混相驱替行为的一般方程的精确解也是如此。这是因为这个简化问题的数值解显示了与更一般问题相关的两个最重要的数值困难：振荡和过度的数值色散。因此，任何能够成功求解方程1和方程2边界条件的求解技术都将是计算二维混相驱替的极佳方法。

许多作者提出了求解方程1和2所描述的简单扩散-对流问题的数值方法。Peaceman和Rachford应用了为瞬态热流问题开发的标准有限差分方法。他们观察到近似浓度在单位附近振荡，并试图通过“超调传递”消除这些振荡。

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关键词：
近似, 维, 基函数, 计算机时间, 流体动力学, 取代, 网格, 主运行中心, 可接受的精确度, 微分方程
学科：
多孔介质中的流动, 储层流体动力学
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1968.石油工程师学会