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全局广义梅森数：定义、分解和广义定理
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版本1：接收日期：2024年2月8日/批准日期：2024.2月9日/在线时间：2024.02月9日（10:50:56 CET）
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Pletser，V.全球广义梅森数：定义、分解和广义定理。对称 2024,16，第551页。
Pletser，V.全球广义梅森数：定义、分解和广义定理。对称2024，16，551。
摘要
提出了梅森数的一个新的广义定义，其形式为（A^n-（A-1）^n），称为全局广义梅森数，或简称广义梅森数和注记的GM_{A，n}，其中A是基，n是指数，两者都是正整数。研究了素数指数n的性质，推广并证明了关于梅森数同余性质的几个定理。特别地，我们发现，对于任何基a，广义梅森数通常是这样的：对于任何奇数素数指数n，（GM_{a，n}-1）是偶数且可被n，a和（a-1）整除，对于任何素数指数n>5，（a（a-1，+1）整除。剩下的因子是特定于每个素数指数n的三角数（a-1）的函数。推广了关于梅森数的四个定理，并证明了四个新定理，允许首先表明，（GM_{a，n}-1）可被6整除，更精确地说，GM_{a，n{与1（mod 12）或7（mod 12]）同余取决于基a的同余（mod 4）；其次，如果n==1（mod 4），则（GM_{a，n}-1）可被10整除；如果n==3（mod4），根据基a（mod 5）的同余，GM_{a，n{==1；第三，GM{a，n}的所有因子c{i}都是（2nf{i}+1）与f{i}-自然整数的形式，因此c{i{是素数本身或形式（2nj+1）的素数与j自然整数的乘积；第四，对于奇素数指数n，所有GM{a，n}根据基a（mod 8）的同余周期性地同余到+/-1（mod 9）或+/-3（mod 6）；第五，复合GM{a，n}的因子是形式（2nf{i}+1），其中f{i}==u（mod 4），u是0、1、2或3，这取决于指数n（mod 5）的同余和基a（mod 8）的同义。本文简要介绍了广义梅森素数在密码学中的潜在应用。
关键词
梅森数；广义梅森数；可除性和同余性
主题
计算机科学与数学、代数和数论
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