Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632（印刷版）
ISSN 2542-1905（在线）

Для цитирования:

Гонченко А. С., Гонченко С. В., Казаков А. О., Козлов А. Д., Баханова Ю. В.Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор Часть 2. Спиральный хаос трехмерных потоков // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 5. С. 7-52. 内政部：10.18500/0869-6632-2019-27-5-7-52

Статья опубликована на условиях лицензии知识共享署名4.0国际（CC-BY 4.0）.
Полный
ИконкаPDF pnd_5_2019-9-54.pdf格式
(загрузок: 413)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Обзоры актуальных проблем нелинейной динамики
Тип статьи: 
Обзорная статья
УДК: 
517.925 + 517.93
内政部：
10.18500/0869-6632-2019-27-5-7-52

Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор Часть 2. Спиральный хаос трехмерных потоков

Авторы: 
Гонченко Александр Сергеевич, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
Гонченко Сергей Владимирович, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
Казаков Алексей Олегович, Высшая школа экономики
Козлов Александр Дмитриевич, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
Баханова Юлия Викторовна, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
Аннотация: 

Основной целью настоящей работы является изложение теории спирального хаоса трехмерных потоков, то есть теории странных аттракторов, связанных с существованием у таких систем гомоклинических петель состояний равновесия типа седло-фокус, на основе объединения двух ее фундаментальных положений, теории Шильникова и универсальных сценариев возникновения спирального хаоса, то есть тех элементов теории, которые остаются справедливыми для любых моделей, независимо от их происхождения. Математические основы теории спирального хаоса были заложены еще в 1960-х годах в знаменитых работах Л.П. Шильникова, и на эту тему к настоящему времени накоплено очень много важных и интересных результатов, которые однако, в своем большинстве, относились к приложениям. В силу этого, теории спирального хаоса не хватало внутреннего единства – она до недавнего времени выглядела весьма разрозненной. Как нам кажется, основные результаты нашего обзора позволяют восполнить этот пробел. Так, в работе мы приводим достаточно полное и наглядное доказательство знаменитой теоремы Шильникова (1965), даем описание основных элементов феноменологической теории универсальных сценариев возникновения спирального хаоса, а также, с единой точки зрения, рассматриваем ряд конкретных трехмерных моделей, (как классических, системы Рёсслера, Арнеодо–Калле–Трессе, так и некоторых известных систем из приложений), которые этот хаос демонстрируют. Обсуждаются преимущества такого нового подхода к исследованию проблем динамического хаоса, в том числе, спирального, а то, что он к тому же еще и весьма эффективный, показывают наши недавние работы по исследованию хаотической динамики четырехмерных потоков и трехмерных отображений. Этим результатам, в частности, будет посвящена следующая, третья, часть обзора.

Ключевые слова: 
Седло-фокус
спиральный хаос
аттрактор
гомоклиническая траектория
Список источников: 
  1. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Козлов А.Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, № 2. С. 4–36.
  2. Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // ДАН СССР. 1965. Т. 169，编号3.C.558–561。
  3. Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // Межвузовский симпозиум по КТДУ, 1964. 1 с.
  4. Шильников Л.П. Леонтович-Андронова Евгения Александровна // Сб. Личности в науке. Женщины-ученые Нижнего Новгорода. Изд. ННГУ, 1999. С. 83–102.
  5. Шильников Л.П. НекотораесаубаиронениериоибеСкихДтитеаареетасуаоеиатрнансттуеуиПебрр。1962. Т. 143, № 2. С. 289–292.
  6. Шильников Л.П. ОробенииПериоДиескихДвитееакаиреиатаанаометотраеоасттимртн。сб. 1963. № 4. С. 443–466.
  7. Шильников Л.П. О существовании счетного множества периодических движений в четырехмерном пространстве в расширенной окрестности седло-фокуса // ДАН СССР. 1967. Т. 172, № 2. С. 298–301.
  8. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Мат. сб. 1970. Т. 81(123), № 1. С. 92–103.
  9. 洛伦茨E.确定性非周期流//大气科学杂志。1963年，第20卷，第2期。第130-141页。
  10. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Украинский математический журнал. 1964. Т. 16, № 01. С. 61–71.
  11. Smale S.可微动力系统//布尔。AMS公司。1963年，第73卷。第747-817页。
  12. Chua L.O.、Komuro M.、Matsumoto T.双涡卷系列//电路和系统。1986年IEEE汇刊。第33卷，第11期。第1072–1118页。
  13. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М., 1990
  14. Arecchi F.T.、Meucci R.、Gadomski W.《具有竞争不稳定性的激光动力学》//《物理评论快报》。1987年，第58卷，第21期。第2205页。
  15. Arecchi F.T.、Lapucci A.、Meucci R.、Roversi J.A.、Coullet P.H.《通过返回时间统计对Shil'nikov混沌的实验表征》//EPL（欧洲物理快报）。1988年，第6卷，第8期。第677页。
  16. Pisarick A.N.，Meucci R.，Arecchi F.T.CO2激光器中Shilnikov混沌离散行为的理论和实验研究//欧洲物理杂志D-原子、分子、光学和等离子体物理。2001年，第13卷，第3期。第385-391页
  17. Zhou C.S.，Kurth J.，Allaria E.，Boccaletti S.，Meucci R.，Arecchi F.T.同宿混沌系统中噪声的构造效应//物理评论E.2003。第67卷，第6期。第066220页。
  18. Argoul F.，Arneodo A.，Richetti P.Belousov-Zhabotinskii反应中同宿混沌的实验证据//《物理学快报》A.1987。第120卷，第6期。第269-275页。
  19. Arneodo A.、Argoula F.、Elezgarayab J.、Richettia P.化学系统中的同宿混沌//物理D：非线性现象。1993年，第62卷，第1期。第134-169页。
  20. Feudel U.，Neiman A.，Pei X.，Wojtenek W.，Braun H.，Huber M.，Moss F.热敏神经元Hodgkin-Huxley模型中的同宿分支//混沌：非线性科学的跨学科杂志。2000年，第10卷，第1期。第231-239页。
  21. Parthimos D.、Edwards D.H.、Griffith T.M.Shilnikov同宿混沌与离体兔动脉中的III型间歇性发作密切相关：一氧化氮的作用//物理评论E.2003。第67卷，第5期。第051922页。
  22. Koper M.T.M.、Gaspard P.、Sluyters J.H.《铟/硫氰酸盐电化学振荡器的混合模式振荡和不完全同宿场景》//《化学物理杂志》。1992年，第97卷，第11期。第8250-8260页。
  23. Chedjou J.C.、Woafo P.、Domngang S.Shilnikov自持机电换能器的混沌和动力学//振动与声学杂志。2001年，第123卷，第2期。第170-174页。
  24. Bassett M.R.，Hudson J.L.Shilnikov铜电解溶解过程中的混沌//物理化学杂志。1988年，第92卷，第24期。第6963-6966页。
  25. 铂环电极上铋离子氧化甲酸的Noh T.Shilnikov混沌。2009年，第54卷，第13期。第3657–3661页。
  26. 磁对流低阶模型中的Rucklidge A.M.混沌//物理D：非线性现象。1993年，第62卷，第1期。第323页至第337页。
  27. Henderson M.E.、Levi M.、Odeh F.耦合摆动力学的几何和计算//国际分叉与混沌杂志。1991年，第1卷，第1期。第27-50页。
  28. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О. О некоторых новых аспектах хаотической динамики «кельтского камня» // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 3. С. 507–518.
  29. Gonchenko A.S.、Gonchenco S.V.、Kazakov A.O.凯尔特石头非完整模型中混沌动力学的丰富性//规则和混沌动力学。2013年，第18卷，第5期。第521-538页。
  30. Vano，J.A.，Wildenberg J.C.，Anderson M.B.，Noel J.K.，Sprott J.C.低维Lotka–Volterra竞争模型中的混沌//非线性。2006年，第19卷，第10期。第2391页。
  31. Овсянников И.М., Шильников Л.П. О системах с гомоклинической кривой многомерного седло-фокуса и спиральный хаос // Матем. сб. 1991年第7.C.1043–1073号。
  32. Afraimovich V.S.，Shilnikov L.P.奇异吸引子和准吸引子//非线性动力学和湍流/Eds G.I.Barenblatt，G.Iooss，D.D.Joseph（波士顿，皮特曼），1983年。
  33. Gonchenko S.V.，Shilnikov L.P.，Turaev D.V.拟吸引子和同宿切//计算机数学。适用。1997年，第34卷，第2-4期。第195-227页。
  34. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Матем. сб. 1972. Т. 88（130），№4.C.475–492。
  35. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Матем. сб. 1973. Т. 90（132），№1.C.139–156。
  36. Овсянников И.М., Шильников Л.П. О системах с гомоклинической кривой седло-фокуса // Математический сборник. 1986. Т. 130, № 4(8). С. 552–570. 
  37. Гонченко С.В. Об устойчивых периодических движениях в системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Мат. заметки. 1983. Т. 33, № 5. С. 745–755.
  38. Тураев Д.В., Шильников Л.П. Пример дикого странного аттрактора // Матем. сборник. 1998. Т. 189, № 2. С. 137–160.
  39. Gonchenko S.S.、Kazakov A.O.、Turaev D.四维Lorenz系统中的Wild伪双曲吸引子//arXiv预印本arXiv:1809.072502018。
  40. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Шильников Л.П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 1. С. 3–28.
  41. Gonchenko A.S.、Gonchenco S.V.、Kazakov A.O.和Turaev D.三维地图中混沌开始的简单场景//国际期刊Bif.和混沌。2014年，第24卷，第8期。第25页。
  42. Gonchenko A.S.，Gonchenco S.V.三维广义Henon映射中奇异伪双曲吸引子的种类//Physica D.2016。第337卷。第43-57页。
  43. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и турбулентность // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. сб. Горький: ГГУ, 1986. С. 150–163.
  44. Шильников А.Л., Шильников Л.П., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований; Часть 1, 2004. 416 с.
  45. Шильников А.Л., Шильников Л.П., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований; Часть 2, 2009. 546 с.
  46. Беляков Л.А. Об одном случае рождения периодического движения с гомоклиническими кривыми // Математические заметки. 1974. Т. 15, № 4. С. 571–580.
  47. Беляков Л.А. О бифуркационном множестве в системах с гомоклинической кривой седла // Математические заметки. 1980. Т. 28, № 6. С. 911–922.
  48. Беляков Л.А. Бифуркации систем с гомоклинической кривой седло-фокуса с нулевой седловой величиной // Математические заметки. 1984. Т. 36, №. 5. С. 681–689.
  49. Бирагов В.С., Шильников Л.П. О бифуркации петли седло-фокуса в трехмерной консервативной динамической системе // Сб. Методы качеств. теории и теории бифуркаций. Горький, 1989. C.第25-34页。
  50. Гонченко В.С., Шильников Л.П. О бифуркациях гомоклинической петли к седло-фокусу индекса 1/2 // Доклады Академии Наук. 2007.T.417，第6号。
  51. Gonchenko S.V.、Turaev D.V.、Shilnikov L.P.关于非粗糙Poincare同宿曲线模型//Physica D.1993。第62卷。第1-14页。
  52. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // ДАН СССР. 1991. Т. 320, № 2. С. 269–272.
  53. Gaspard P.、Gonchenko S.V.、Nicolis G.、Turaev D.V.同宿环到鞍形焦点的分支结构复杂性。非线性。1997年，第10卷。第409-423页。
  54. Ruelle D.，Takes F.关于数学物理中湍流的性质//通信。1971年，第20卷，第3期。第167–192页。
  55. Feigenbaum M.J.一类非线性变换的定量普遍性//统计物理杂志。1978年，第19卷，第1期。第25-52页。
  56. Pomeau Y.，Manneville P.耗散动力系统中湍流的间歇过渡//Comm.Math。物理。1980年，第74卷，第2期。第189-197页。
  57. Лукьянов В.И., Шильников Л.П. О некоторых бифуркациях динамических систем с гомоклиническими структурами // Докл. АН СССР. 1978. Т. 243, № 1, С. 26–29. 
  58. Афраймович В.С., Шильников Л.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1983. С. 3–26.
  59. Афраймович В.С., Шильников Л.П. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел // Докл. АН СССР. 1974. Т. 219, № 6. С. 1281–1285.
  60. Афраймович В.С., Шильников Л.П. Принцип кольца и задача о взаимодействии двух автоколебательных систем // ПММ. 1977. Т. 41. С. 618–627.
  61. Aronson D.G.，Chory M.A.，Hall G.R.，McGehee R.P.平面双参数映射族的不变圆分叉：计算机辅助研究//数学物理中的通信。1982. Т. 83，编号3。第303-354页。
  62. Newhouse S.E.，Palis J.，Takes F.微分同态族的分歧和稳定性//数学出版物IHES。1983年，第57卷。第5–71页。
  63. Тураев Д.В., Шильников Л.П. Бифуркации квазиаттракторов тор-хаос // Математические механизмы турбулентности. Киев, 1986. С. 113–121.
  64. Coullet P.，Tresser C.，Arneodo A.一类受迫振子向随机性的转变//物理字母A.1979。第72卷，第4-5期。第268-270页。
  65. Arneodo A.，Coullet P.，Tresser C.螺旋结构可能的新型奇怪吸引子。数学。物理。1981年，第79卷。第573-579页
  66. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца // В кн.: Дж. Мардсен, М. МакКракен. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. С. 317–335.
  67. Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца // Труды Московского математического общества. 1982. Т. 44, № 0. С. 150–212.
  68. Быков В.В. О бифуркациях динамических систем, близких к системам с еепаратрисным контуром, содержащим седло-фокус // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1980. С. 44–72.
  69. Bykov V.V.分界线轮廓和混沌的分岔//物理D：非线性现象。1993年，第62卷，第1-4期。第290-299页。
  70. Bykov V.V.关于含有两个鞍形轮廓的分界线系统//数学科学杂志。1999年，第95卷，第5期。第2513-2522页。
  71. Rossler O.E.连续混沌四个原型方程//纽约科学院年鉴1979。第316卷，第1期。第376-392页。
  72. Rossler O.E.连续混沌方程//物理快报A.1976。第57卷，第5期。第397-398页。
  73. Arneodo A.，Coullet P.，Tresser C.混沌振荡器：Shilnikov定理的说明//统计物理杂志。1982年，第27卷，第1期。第171-182页。
  74. Gaspard P.，Kapral R.，Nicolis G.同宿系统附近的分岔现象：双参数分析//统计物理杂志。1984年，第35卷，第5期。第697–727页。
  75. Vitolo R.，Glendinning P.，Gallas J.A.C.耗散流的Lyapunov相图中周期枢纽的整体结构//《物理评论》E.2011。第84卷，第1期。第016216页。
  76. Barrio R.，Blesa F.，Serrano S.，Shilnikov A.耗散系统双参数空间中螺旋结构的全球组织与Shilnikov-sadle-foci//物理评论E.2011。第84卷，第3期。第035201页
  77. Letellier C.，Dutertre P.，Maheu B.Rossler系统的不稳定周期轨道和模板：走向系统拓扑表征//混沌：非线性科学的跨学科杂志。1995年，第5卷，第1期。第271-282页。
  78. Arneodo A.，Coullet P.，Tresser C.三维Volterra方程中奇怪吸引子的出现//《物理学快报》A.1980。第79卷，第4期。第259-263页。
  79. Arneodo A.、Coullet P.、Spiegel E.、Tresser C.渐近混沌//物理D：非线性现象。1985年，第14卷，第3期。第327-347页。
  80. Shilnikov L.P.，Turaev D.V.具有离散对称性的哈密顿系统中的超单斜轨道和多脉冲同宿环//Regul。Khaoticheskaya Din.1997年。第2卷，第3-4期。第126-138页。
  81. Rosenzweig M.L.在三个营养水平上的开发//美国自然主义者。1973年，第107卷，第954号。第275-294页。
  82. 黑斯廷斯A.，鲍威尔T.三种食物链中的混沌//生态学。1991年，第72卷，第3期。第896-903页。
  83. Rai V.，Sreenivasan R.导致模型食物链//生态建模混乱的周期双重分岔。1993年，第69卷，第1-2期。第63-77页。
  84. Kuznetsov Y.A.，Rinaldi S.关于食物链动力学的评论//数学生物科学。1996年，第134卷，第1期。第1-33页。
  85. Deng B.Hines G.Shilnikov轨道引起的食物链混沌//混沌：非线性科学的跨学科期刊。2002年，第12卷，第3期。第533-538页。
  86. Kuznetsov Y.A.、De Feo O.、Rinaldi S.Belyakov三营养食物链模型中的同宿分支//SIAM应用数学杂志。2001年，第62卷，第2期。第462-487页。
  87. Bakhanova Y.V.、Kazakov A.O.、Korotkov A.G.、Levanova T.A.、Osipov G.V.螺旋吸引子是Rosenzweig–MacArthur模型//《欧洲物理杂志》中一种新型“爆发活动”的根源。专题。2018年，第227卷，第7-9期。第959-970页。
  88. Gaspard P.，Nicolis G.我们能从混沌动力学中的同宿轨道中学到什么统计物理杂志。1983年，第31卷，第3期。第499-518页。
  89. Gallas J.A.C.简单自主流相图中无限周期和混沌轮毂级联的结构//国际分叉与混沌杂志。2010年，第20卷，第02期。第197-211页。
  90. Afraimovich V.S.、Gonchenko S.V.、Lerman L.M.、Shilnikov A.L.、Turaev D.V.L.P.Shilnikov//Regul的科学遗产。混乱。动态。2014年，第19卷，第4期。第435-460页。
  91. Афраймович В.С., Беляков Л.А., Гонченко С.В., Лерман Л.М., Морозов А.Д., Тураев Д.В., Шильников А.Л. Л.П. ШИЛЬНИКОВ. Избранные Труды // Изд-во Нижегородского университета, 2017. С. 429
  92. Korotkov A.G.、Levanova T.A.、Kazakov A.O.FitzHugh–Nagumo元件系综中基于忆阻器的耦合效应//欧洲物理学。J.专题。2019年第228卷。第2325-2337页。
  93. Gonchenko A.S.、Gonchenco S.V.、Kazakov A.O.、Kozlov A.D.《当代动力混沌理论的要素：教程》。第一部分伪双曲吸引子//国际分叉与混沌杂志。2018年，第28卷，第11期。第1830036页。
  94. Borisov A.V.、Kazakov A.O.、Sataev I.R.Chaplygin top//正则和混沌动力学非完整模型中的螺旋混沌。2016年，第21卷，第7-8期。第939-954页
  95. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Самылина Е.А. Хаотическая динамика и мультистабильность в неголономной модели кельтского камня // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 2018. Т. 61，№10.P.867–882。
  96. Stankevich N.、Kuznetsov A.、Popova E.、Seleznev E.在放射物理发生器//非线性动力学模型中二次Neimark–Sacker分岔后的混沌和超混沌。2019年，第97卷，第4期。第2355-2370页。
  97. Garashchuk I.R.、Sinelshchikov D.I.、Kazakov A.O.、Kudryashov N.A.两种相互作用微泡造影剂模型中的超混沌和多稳态//混沌：非线性科学跨学科杂志。2019年，第29卷，第6期。第063131页。
Поступила в редакцию: 
28.07.2019
Принята к публикации: 
26.08.2019
Опубликована: 
31.10.2019
Краткое содержание:
ИконкаPDF a2019第5r007-052.pdf号
(загрузок: 169)
  • 2463 просмотра