从已知误差的傅里叶系数中恢复两个变量的连续函数

摘要

在本文中，我们继续研究连续函数类的最优恢复的经典问题。被研究的类$W^{\psi}_{2，p}$，$1\leqp<\infty$由广义光滑度$\psi$的函数组成。也就是说，我们考虑二维情况，该情况补充了[Res.Math.2020，28（2） ，24-34]用于单变量函数类$W^{\psi}_p$。

关于现有的信息，我们给出了函数关于某个正交系$\{varphi{i，j}\}\{{i，j}=y_{i，j}+delta\xi{i，j}$，$\delta\in（0,1）$，$i，j=1,2，dots$的噪声傅里叶系数$y^{i，ji}\}{i，i=1}^{infty}$，其中噪声级在空间$l_p$的范数意义上很小，实数的双序列$\xi=（\xi_{i，j}）{i，j=1}^{infty}$的$1\leqp<\infty$。作为一种恢复方法，我们使用由某些二维三角形数值矩阵$\Lambda=\{\Lambda_{i，j}^n\}{i，j=1}^n$给出的所谓$\Lambeda$-求和方法，其中$n$是与序列$\psi$相关联的自然数，该序列定义了所研究函数的光滑性。恢复误差是在$[0,1]^2$函数的连续空间$C（[0,1]|2）$的范数中估计的。

我们证明，对于$1\leqp<\infty$，在光滑参数$\psi$和矩阵$\Lambda$元素的各自假设下，它在W^{psi}{2，p}，\Lambda，l_p中保持\[Delta（W^{psi}{2,p}）=\sup\limits_{y\ \limits_{j=1}^{n}\Lambda_{i，j}^n（y{i，j}+delta\xi{i，j}）\varphi{i，j}\Big\|{C（[0,1]^2）}\ll\frac{n^{beta+1/{p}}{psi（n）}