使用生成函数的Mersenne-Horadam恒等式

摘要

本文的主要目的是揭示梅森数$M_n=2^n-1$和广义斐波那契（即Horadam）数$w_n$之间的联系，它们由二阶线性递归$w_n=pw_{n-1}+qw_{n-2}$，$n\geq2$定义，其中$w_0=a$和$w_1=b$，其中$a$、$b$、$p>0$和$q\ne0$是整数。这是通过将各个（普通和指数）生成函数相互关联来实现的。文中列举了几个涉及斐波那契数、卢卡斯数、佩尔数、雅各布斯塔尔数和平衡数的显式例子，以突出结果。