Bayesian analysis of periodic asymmetric power GARCH models

Abdelhakim Aknouche; Nacer Demmouche; Stefanos Dimitrakopoulos; Nassim Touche

doi:10.1515/snde-2018-0112

发布人：德古意特出版社 2019年10月19日

周期不对称功率的贝叶斯分析加奇模型

阿卜杜勒哈基姆·阿努什 , 纳赛尔·德穆切 , 斯特凡诺斯·迪米特拉科普洛斯和纳西姆·Touche

来自日志非线性动力学与计量经济学研究

https://doi.org/10.1515/snde-2018-0112

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摘要

在本文中，我们建立了一个广义周期不对称功率加奇(巴氏灭菌-加奇)其系数、功率和创新分布随时间呈周期性的模型。我们首先研究了它的一些性质，如周期遍历性、矩的有限性和边缘分布的尾部行为。然后，我们开发一个MCMC公司算法，基于Griddy-Gibbs采样器，在不同的创新项分布（高斯、学生t、混合高斯-学生t）下。为了评估我们的估算方法，我们进行了波动率和价值-风险预测。我们的模型通过偏差信息标准与其他竞争模型进行了比较(驾驶员信息中心). 所提出的方法应用于模拟数据和真实数据。

关键词：贝叶斯预测;偏差信息标准;网格-Gibbs;周期非对称功率GARCH模型;概率特性;风险价值

MSC 2010年：AMS 2000初级62M10;次要60F99

附录A

校样

定理1的证明

（i）充分性：方程式(三)可以在以下系统中铸造S公司递推方程

(20)Y（Y）n个S公司+v（v）=A类n个S公司+v（v）Y（Y）(n个−1)S公司+v（v）+B类n个S公司+v（v）,n个∈Z轴,v（v）∈{0,…,S公司−1},

哪里A类n个S公司+v（v）=π我=0S公司−1A类n个S公司+v（v）−我和B类n个S公司+v（v）=∑j个=0S公司−1π我=0j个−1A类n个S公司+v（v）−我B类n个S公司+v（v）−j个，所以{(A类n个S公司+v（v）,B类n个S公司+v（v）),n个∈Z轴}是iid公司为所有人v（v）∈{0,…,S公司−1}.最高Lyapunov指数γv（v）(S公司)与关联(20)为所有人提供v（v）∈{0,…,S公司−1}由(Bougerol和Picard，1992年)

(21)γv（v）(S公司)=inf公司{1n个E类日志⁡‖A类n个S公司+v（v）A类(n个−1)S公司+v（v）…A类S公司+v（v）‖,n个≥1}=inf公司{1n个E类日志⁡‖A类n个S公司+v（v）A类n个S公司+v（v）−1…A类v（v）+1‖, n个≥1},=林n个→∞1n个日志⁡‖A类n个S公司+v（v）A类n个S公司+v（v）−1…A类v（v）+1‖ 一.秒.

自E类日志⁡|ηv（v）|δv（v）<∞为所有人0≤v（v）≤S公司−1，因此E类日志+⁡‖A类v（v）‖<∞和E类日志+⁡‖B类v（v）‖<∞因此，根据的定理2.5Bougerol和Picard（1992），方程式(20)接受唯一的非预期严格平稳和遍历解{Y（Y）n个S公司+v（v）,n个∈Z轴}前提是γv（v）(S公司)<0.解决方案适用于所有人v（v）∈{0,…,S公司−1}通过

(22)Y（Y）n个S公司+v（v）=∑j个=0∞π我=0j个−1A类(n个−我)S公司+v（v）B类(n个−j个)S公司+v（v）,n个∈Z轴,v（v）∈{0,…,S公司−1},

其中级数相等(22)，这正是(6)，绝对收敛一.秒。这表明{Y（Y）t吨,t吨∈Z轴}是唯一的因果严格周期平稳和周期遍历解(三). 最后请注意，通过加砂切换参数，很容易看出这一点v（v）∈{0,…,S公司−1}

γv（v）(S公司)=林n个→∞1n个日志⁡‖A类n个S公司+v（v）A类n个S公司+v（v）−1…A类v（v）+1‖=林n个→∞1n个日志⁡‖A类n个S公司A类n个S公司−1…A类1‖:=γ(S公司).

必要性：假设该模型(三)接受非预期严格周期平稳解{Y（Y）t吨,t吨∈Z轴}.从系数的非负性A类_t吨英寸(三)因此k个> 1,

Y（Y）v（v）≥∑j个=0k个π我=0j个−1A类v（v）−我B类v（v）−j个,一.秒.,

意味着系列∑j个=0∞π我=0j个−1A类v（v）−我B类v（v）−j个收敛一.秒因此，

π我=0j个−1A类v（v）−我B类v（v）−j个→0,一.秒. 作为 j个→∞,

我们必须从中展示

(23)π我=0j个−1A类v（v）−我→0,一.秒. 作为 j个→∞.

这在任何时候都适用

（24）林j个→∞π我=0j个−1A类v（v）−我e（电子）米=0,一.秒. 为所有人 1≤米≤第页,

哪里第页=第页+2q个−2和(e（电子）米)1≤米≤第页是ℝ^第页.自A类_t吨与矩阵具有相同的“稀疏性”A类_t吨在里面潘、王和童(2008第373页），然后(24)使用类似的参数从结果中得出结论（另请参见Aknouche和Bibi（2009）对于特定的P（P）-加奇案例）。

（ii）自{A类t吨,t吨∈Z轴}则为非负

(25)γS公司(A类)≥γS公司(β):=日志⁡ρ(πv（v）=0S公司−1βS公司−v（v）).

如果(三)有一个严格的周期稳定解，那么γS公司(A类)<0.鉴于(25)，因此γS公司(β)<0建立(7). ■

定理证明2

（i）该证明类似于Berkes、Horváth和Kokoskza（2003）首先，我们必须证明如果γS公司(A类)<0那么就有了δ>0和n个₀这样的话

(26)E类(‖A类n个0S公司A类n个0S公司−1…A类1‖δ)<1

自γS公司(A类)=inf公司n个∈N个∗{1n个E类(日志⁡‖A类n个S公司A类n个S公司−1…A类1‖)}严格为负，有一个正整数n个₀这样的话

E类(日志⁡‖A类n个0S公司A类n个0S公司−1…A类1‖)<0

另一方面，使用乘法规范和综合产品开发_S公司序列的属性{A类t吨,t吨∈Z轴}我们有

E类(‖A类n个0S公司A类n个0S公司−1…A类1‖)=‖E类(A类n个0S公司A类n个0S公司−1…A类1)‖=‖E类(A类S公司A类S公司−1…A类1)n个0‖≤‖E类(A类S公司A类S公司−1…A类1)‖n个0<∞.

让（f）(x个)=E类(‖A类n个0S公司A类n个0S公司−1…A类1‖x个).自（f）′(0)=E类(日志⁡‖A类n个0S公司A类n个0S公司−1…A类1‖)<0,（f）(x个)在0附近和之后减少（f）(0)=1，因此存在0<δ<1，以便(26)持有。现在从(6)我们有一些v（v）∈{1,…,S公司}

‖Y（Y）v（v）‖≤∑k个=1∞‖πj个=0k个−1A类v（v）−j个‖‖B类v（v）−k个‖+‖B类v（v）‖.

自0起<κ<1，则

‖Y（Y）v（v）‖κ≤∑k个=1∞‖πj个=0k个−1A类v（v）−j个‖κ‖B类v（v）−k个‖κ+‖B类v（v）‖κ,

根据独立性A类_v−j和B类_v−k对于j个<k个，意味着

E类‖Y（Y）v（v）‖κ≤∑k个=1∞E类(‖πj个=0k个−1A类v（v）−j个‖κ)E类(‖B类v（v）−k个‖κ)+E类(‖B类v（v）‖κ)≤B类(κ)∑k个=1∞E类(‖πj个=0k个−1A类v（v）−j个‖κ)+E类(‖B类v（v）‖κ),

哪里B类(κ)=最大值0≤v（v）≤S公司−1E类(‖B类v（v）−k个‖κ).鉴于(26)存在一_v（v）>0和0<b条_v（v）<1，以便

E类(‖πj个=0k个−1A类v（v）−j个‖κ)≤一v（v）b条v（v）k个≤一b条k个,

哪里一b条k个=最大值0≤v（v）≤S公司−1{一v（v）b条v（v）k个}.这证明了E类‖Y（Y）v（v）‖κ<∞，显示(8).

（ii）定义{Y（Y）~t吨,t吨∈Z轴}通过

(27){Y（Y）~t吨=A类t吨Y（Y）~t吨−1+B类t吨t吨≥1Y（Y）~t吨=0t吨≤0,

然后让Y（Y）(v（v）)(0≤v（v）≤S公司−1)是与项具有相同分布的随机变量Y（Y）n个S公司+v（v）给出的唯一周期平稳解(22). 很明显Y（Y）~n个S公司+v（v）→L（左）Y（Y）(v（v）)作为n个→ ∞. 让米= 2. 从弱收敛理论(比林斯利1968)，以表明这一点E类(v（v）e（电子）c（c）(Y（Y）(v（v）)Y（Y）(v（v）)′))对所有人来说都是有限的v（v），这足以表明林inf公司n个→∞E类(v（v）e（电子）c（c）(Y（Y）~n个S公司+v（v）′Y（Y）~n个S公司+v（v）))<∞为所有人v（v）.设置V（V）n个S公司+v（v）=E类(v（v）e（电子）c（c）(Y（Y）~n个S公司+v（v）′Y（Y）~n个S公司+v（v）)).来自(27)我们得到以下第一订单S公司-周期差分方程

（28）V（V）n个S公司+v（v）=E类(A类v（v）⊗2)V（V）n个S公司+v（v）−1+[E类(A类v（v）⊗B类v（v）)+E类(B类v（v）⊗A类v（v）)]E类(Y（Y）~n个S公司+v（v）)+v（v）e（电子）c（c）(E类(B类v（v）B类v（v）′)),

哪里E类(A类t吨⊗2),E类(A类t吨⊗B类t吨)和v（v）e（电子）c（c）(E类(B类t吨B类t吨′))是有限的S公司-周期矩阵t吨自起(27)是有界的，因此林n个→∞V（V）n个S公司+v（v）每1≤存在v（v）≤S公司无论何时(9)成立，这就完成了米= 2. 对于一般情况米，证明是类似的。 ■

定理证明3

该证明与Basrak、Davis和Mikosch（2002）. ■

A类

MCMC公司诊断工具

为了评估所提算法的收敛性，我们使用了一些MCMC公司诊断工具，如后验抽签的自相关、相对数值效率(RNI公司,Geweke 1989年)和数值标准误差(NSE公司,Geweke 1989年). 参数图的自相关表明后验图是如何混合的。这个RNI公司测量由于MCMC公司绘制。它是由

R（右）N个我=1+2∑小时=1B类K(小时B类)ρ^小时,

哪里B类=500是带宽，K（.）是Parzen内核（例如。Kim、Shephard和Chib 1998年)和ρ^小时是滞后的样本自相关小时绘制的参数。

这个NSE公司是估计的渐近方差的平方根MCMC公司估计器。它是由

N个S公司E类=1L（左）(γ^0+2∑小时=1B类K(小时B类)γ^小时),

哪里γ^小时是滞后的样本自方差小时的参数绘制。

确认

作者非常感谢主编和两位审稿人的相关评论和建议，这些评论和建议对改进初稿非常有帮助。

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补充材料

本文的在线版本提供了补充材料（DOI：https://doi.org/10.1515/snde-2018-0112).

在线发布：2019-10-19