财富偏好最优增长模型中的鞍节点分岔

附录

在给出一些引理之后，我们证明了命题2和命题3。

引理1让k个是k的最优路径₀>0.那么，不可能有一个整数T使得γk_t吨=k个_t吨+1对于所有t≥T型.

证明：让k个成为最佳路径k个₀>0.假设存在T型.自k个_t吨→0，假设3下存在一个整数T′≥T型这样的话β（f）′(k个T型′+1)>1最优消费的积极性意味着k个_t吨+1<（f）(k个_t吨)为所有人t吨所以存在ε>0足够小，因此

γk个t吨<(1+ε)k个t吨+1≤（f）(k个t吨),∀t吨≥T型′.

定义k个˜作为k个˜t吨=k个t吨对于t吨=1, …,T′和k个˜t吨=(1+ε)k个t吨对于t吨≥T′+1.可行，因为我们有：

γk个˜t吨=k个˜t吨+1 和k个˜t吨+1=(1+ε)k个t吨+1≤（f）(k个t吨)<（f）(k个˜t吨), 的t吨≥T型′+1

接下来，我们展示一下k个˜占主导地位k个对一些人来说ε足够小。定义Δ(ε)=U型(k个˜)−U型(k个).通过设置（f）^(k个)=（f）(k个)−γk个,我们有：

Δ(ε)=βT型′[u个(（f）^(k个T型′)−γεk个T型′)−u个(（f）^(k个T型′))]+βT型′ηw个(γεk个T型′)+βT型′+1[u个(（f）˜((1+ε)k个T型′+1))−u个(（f）˜(k个T型′+1)]+∑τ>T型′+1+∞βτ[u个(（f）˜((1+ε)k个τ))−u个(（f）˜(k个τ)]

因为第二项和最后一项是积极的u、 （f）我们得到的是凹的和可微的

Δ(ε)βT型′>[u个(（f）^(k个T型′)−γεk个T型′)−u个(（f）^(k个T型′))]+β[u个(（f）^((1+ε)k个T型′+1))−u个(（f）^(k个T型′+1)].

作为ε→0，我们有：

Δ(ε)βT型′>γk个T型′[−u个′(（f）^(k个T型′))+βu个′(（f）^(k个T型′+1))（f）^′(k个T型′+1)]>0,

这与k个.              ■

引理2让k个是k的最优路径₀>0.那么，存在一个整数T，使得γk_t吨<k个_t吨+1对于所有t≥T型.

证明：让k个成为最佳路径k个₀>相反，假设对于任何T型存在T′≥T型这样的话γk个T型′−1=k个T型′.请注意T′可以进行选择，以便γk个T型′<k个T型′+1和β（f）′(k个T型′)>1根据引理1和事实k个_t吨→0

最优消费的积极性意味着k个T型′<（f）(k个T型′−1)为所有人t吨这样就有了ε>0足够小，可以验证

k个T型′+ε<（f）(k个T型′−1) 以及γ(k个T型′+ε)<k个T型′+1.

让k个˜是一个可行序列，定义为

k个˜t吨=k个t吨 的t吨≠T型′ 和k个˜T型′=k个T型′+ε.

让我们定义Δ:ℝ+→ℝ+通过

Δ(ε)=u个(（f）(k个T型′−1)−k个T型′−ε)+ηw个(ε)+βu个(（f）(k个T型′+ε)−k个T型′+1)+βηw个(k个T型′+1−γ(k个T型′+ε)).

微分Δ(ε)关于ε并在进行评估ε=0，我们得到

Δ′(0)>−u个′(（f）(k个T型′−1)−k个T型′−ε)+βu个′(（f）(k个T型′+ε)−k个T型′+1)（f）′(k个T型′)≥0,

与Δ的事实相矛盾(ε)最大值必须为ε=0.           ■

引理3让k个是k的最优路径₀>0.然后，存在一个整数T，如下所示

ηw个′ (k个t吨+1−γk个t吨)−βηγw个′ (k个t吨+2−γk个t吨+1)≥0, ∀t吨≥T型.

证明：让k个成为最佳路径k个₀>0.根据假设3，k个_t吨∈[0,A类(k个₀)]对所有人来说t吨以及根据命题2-（ii），k个是单调的。因此，k个必须收敛到某个k个^不锈钢相反，假设对于任何整数T型存在τ≥T型这样的话

ηw个′ (k个τ+1−γk个τ)−βηγw个′ (k个τ+2−γk个τ+1)<0

作为τ→+∞, 我们有

η(1−βγ)w个′ (δk个S公司S公司)>0,

这与w′.                 ■