Computational methods and traveling wave solutions for the fourth-order nonlinear Ablowitz-Kaup-Newell-Segur water wave dynamical equation via two methods and its applications

Asghar Ali; Aly R. Seadawy; Dianchen Lu

doi:10.1515/phys-2018-0032

开放式访问发布人：De Gruyter开放存取 2018年5月24日

基于两种方法的四阶非线性Ablowitz-Kaup-Newell-Segur水波动力学方程的计算方法和行波解及其应用

阿斯加尔·阿里 , Aly R.Seadawy公司和滇晨路

来自日志开放物理学

https://doi.org/10.1515/phys-2018-0032

摘要

本文旨在构造四阶非线性Ablowitz-Kaup-Newell-Segur（AKNS）水波动力学方程的一些新的行波解，并研究其局域结构。本文应用简单方程法（SEM）和改进的简单方程方法（MSEM）构造了AKNS方程的解析行波解。通过为参数指定特殊值，可以导出不同的波解。所得结果在物理领域和其他应用科学领域具有重要意义。所有解决方案也都以图形表示。构造结果通常有助于研究高维模型中几种新的局域结构和波的相互作用。

关键词：简单方程法;修正简单方程法;四阶非线性AKNS方程;精确解;孤立波

PACS公司：小02.30;05.45.年;02.30识别码

1引言

应用物理和其他自然科学领域中的几个动态非线性问题通常以偏微分方程（PDE）的非线性演化为特征，即控制方程[1,2,三,4,5,6]. 这种非线性偏微分方程在理解非线性复杂物理现象的物理科学中起着至关重要的作用。非线性偏微分方程的解析解在数学物理科学、应用科学和其他工程领域的各个分支中都有其自身的重要性，以理解其物理解释。因此，寻求非线性系统的精确解一直是非线性科学中数学家和物理学家感兴趣的重要课题。为了构造非线性偏微分方程的解，已经发展了许多强大而系统的方法，如Hirota双线性方法、tanh-coth方法、Expfunction方法、多线性变量分离逼近方法、改进的扩展直接代数方法、简单方程方法、修改的简单方程方法，变系数法、扩展辅助方程法[7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19].

在偏微分方程中，AKNS方程非常重要，在物理和其他非线性科学领域有许多应用。这些方程是由一些非线性演化方程（如sine-Gordon方程、非线性Schrödinger方程、KdV方程等）简化而来的。采用不同的方法获得了AKNS方程、逆散射变换、Bäcklund变换、Darboux变换、转换[19,20,21,22,23,24,25,26,27,28].

在当前的工作中，我们考虑了众所周知的四阶非线性AKNS水波方程[19]带有扰动参数β以…的形式

4v（v）x个t吨+v（v）x个x个x个t吨+8v（v）x个v（v）x个年+4v（v）x个x个v（v）年−βv（v）x个x个=0(1)

我们在方程上使用了提出的简单方程法和修改的简单方程方法(1)获得不同参数的新精确孤立波解。据我们所知，在之前的研究中，没有使用当前提出的方法进行任何工作。获得的解在物理科学中很有用，有助于理解物理现象。

这篇文章的结构如下。建议方法的主要步骤如下所示第2节.英寸第3节我们将提出的方法应用于等式。(1)用于构造孤立波解。最后，本工作总结如下第4节.

2拟议方法说明

2.1简单方程法

在本节中，将应用简单方程法（SEM）来获得Ablowitz-Kaup-Newell-Segur水波方程的孤立波解。考虑形式上的非线性PDE

F类u个,u个x个,u个年,u个t吨,u个x个x个,u个年年,u个t吨t吨,...=0,(2)

哪里F类称为多项式函数u个(x个,年,t吨)及其包含最高阶导数和非线性项的偏导数。SEM的基本关键步骤如下：

考虑行波变换
u个(x个,年,t吨)=五(ξ),ξ=x个+年+ωt吨,(3)
通过利用上述转换，方程式。(2)被简化为ODE：
G公司五,五′,五″,五‴,...=0,(4)
哪里G公司是中的多项式五(ξ)其关于ξ.
假设方程的解。(4)具有以下形式：
五(ξ)=∑我=−M（M）M（M）A类我ψ我(ξ),(5)
哪里A类_我（i=-M，-M+1，…，-1,0,1，…，M）是可由后者确定的任意常数，M是一个正整数，可根据等式的齐次平衡原理计算。(4).
让ψ满足以下方程式：
ψ′(ξ)=b条0+b条1ψ+b条2ψ2+b条三ψ三,(6)
哪里b条₀,b条₁,b条₂,b条_三，是任意常数。
替换公式。(5)以及等式。(6)到等式。(4)，并收集(ψ)^j个然后将系数设为零，我们得到了一个参数代数方程组b条₀,b条₁,b条₂,b条_三,ω和A类_我借助Mathematica求解代数方程组，得到这些参数的值。
通过替换所有这些参数值和ψ到等式。(5)，我们得到了等式的所需解。(2).

2.2修正简单方程法

在本节中，我们描述了用改进的简单方程法（MSEM）获得非线性发展方程孤立波解的算法。考虑以下形式的非线性发展方程

G公司u个,u个x个,u个年,u个t吨,u个x个x个,u个年年,u个t吨t吨,...=0,(7)

哪里G公司是的多项式函数u个(x个,t吨)及其包含最高阶导数和非线性项的偏导数。基本的关键步骤包括：

考虑行波变换
u个(x个,年,t吨)=U型(ξ), ξ=x个+年+ωt吨,(8)
通过利用上述转换为等式。(7)，方程式。(7)被简化为ODE
H（H）U型,U型′,U型″,U型‴,...=0,(9)
哪里H（H）是中的多项式U型(ξ)其关于ξ.
假设方程的解。(9)具有以下形式：
U型(ξ)=∑M（M）=0N个B类M（M）Ψ′(ξ)Ψ(ξ)M（M）,(10)
哪里B类_M（M）是要确定的任意常数，如下所示B类_N个≠0和Ψ(ξ)有待确定。
正整数N可以通过在最高阶导数和非线性项之间应用齐次平衡技术来确定，如等式。(7).
我们计算所有需要的导数U型′,U型″,U型“”…并替换为等式。(10)和(9).我们得到一个多项式Ψ^–j个(ξ)用的导数Ψ(ξ). 我们将Ψ^–j个(ξ)到零，其中j个≥ 0. 这个过程产生了一个方程组，可以通过求解该方程组来找到B类_M（M）,Ψ(ξ)和Ψ^′(ξ).
我们替换以下值B类_M（M）,Ψ(ξ)和Ψ^′(ξ)到等式。(10)和(8)完成等式精确解的测定。(1).

3描述方法在AKNS上的应用

3.1 SEM的应用

在本节中，我们使用了中描述的方法第2.1节方程式。(1).考虑行波变换

v（v）(x个,年,t吨)=五(ξ), ξ=x个+年+k个t吨, (11)

其中k是任意常数，这可以稍后确定。通过对方程式进行上述转换。(1)到下面的常微分方程中并积分

(4k个−β)五′+6五′2+k个五‴=0(12)

现在应用均匀平衡原理(五′)²和五^′″在等式中。(12)，我们得到M（M）= 2. 我们假设方程的解。(12)具有以下形式：

五(ξ)=A类−2ψ−2+A类−1ψ−1+A类0+A类1ψ+A类2ψ2.(13)

替换公式。(13)沿等式。(6)到等式。(12)，我们得到了参数代数方程组b条₀,b条₁,b条₂,b条_三,β,k个,A类₀,A类_–1,A类_–2,A类₁,A类₂代数方程组可以针对这些参数进行求解，我们有以下几种解决方案。

b条_三= 0,
家族-I
k个=βb条12−4b条0b条2+4,A类−1=βb条0b条12−4b条0b条2+4,A类2=0,A类1=0,A类−2=0(14)
替换公式。(14)到等式。(6)，然后是等式的解。(1)变为：
v（v）1(x个,年,t吨)⋅−2b条2b条0β(b条12−4b条0b条2+4)(b条1−4b条0b条2−b条12棕褐色的⁡(4b条0b条2−b条122(ξ+ξ0)))+A类0,4b条0b条2>b条12,(15)
哪里ξ=x个+年+βb条12−4b条0b条2+4t吨.
家族-II
k个=βb条12−4b条0b条2+4,A类1=βb条2−b条12+4b条0b条2−4,A类−1=0,A类−2=0,A类2=0（16）
替换公式。（16）到等式。(6)，然后是等式的解。(1)变为：
v（v）2(x个,年,t吨)=A类0+β(b条1−4b条0b条2−b条12棕褐色的⁡(4b条0b条2−b条122(ξ+ξ0)))(2b条12−8b条0b条2+8),4b条0b条2>b条12,(17)
哪里ξ=x个+年+βb条12−4b条0b条2+4t吨.
图1
方程的精确孤立波解。(15)和等式。(17)通过选择参数值绘制A类₀= 1.5,b条₁= 0.5,β= 1,ξ₀=1:（a）周期孤立波v（v）₁在b条₂= 1,b条₀=1和（b）周期孤立v（v）₂在b条₂= –2,b条₀= –1
b条₀=b条_三= 0,
k个=βb条12+4,A类1=−βb条2b条12+4,A类−1=0,A类−2=0,A类2=0(18)
替换公式。(18)到等式。(6)等式的解。(1)变为：
v（v）31(x个,年,t吨)=A类0+−βb条2b条1电子b条1(ξ+ξ0)(b条12+4)(1−b条2电子b条1(ξ+ξ0)),b条1>0;(19)
v（v）32(x个,年,t吨)=A类0+βb条2b条1电子b条1(ξ+ξ0)(b条12+4)(1+b条2电子b条1(ξ+ξ0)),b条1<0;(20)
哪里ξ=x个+年+βb条12+4t吨.
图2
方程的精确孤立波解。(19)和等式。(20)通过选择以下参数值绘制：A类₀= 0.5,b条₂= 0.5,β= –0.5,ξ₀=–0.5:（a）孤立波v（v）₃₁在b条₁=0.5和（b）孤立波v（v）₃₂在b条₁= –0.5
b条₁=b条_三= 0,
家族-I
k个=−β4b条0b条2−1,A类1=0,A类−1=−βb条04b条0b条2−1,A类−2=0,A类2=0(21)
替换公式。(21)到等式。(6)等式的解。(1)变为：
v（v）41(x个,年,t吨)=b条2b条0β(−4b条0b条2+4)b条0b条2棕褐色的⁡(b条0b条2(ξ+ξ0)+A类0,b条0b条2>0;(22)
v（v）42(x个,年,t吨)=b条2b条0β(4b条0b条2−4)−b条0b条2坦纳⁡(−b条0b条2(ξ+ξ0)+A类0,b条0b条2<0;(23)
哪里ξ=x个+年−β4b条0b条2−1t吨.
图3
方程的精确孤立波解。(22)和等式。(23)通过在以下位置选择这些参数值绘制：A类₀= –1.5,β= 1,ξ₀=1:（a）周期孤立波v（v）₄₁在b条₀= –0.5,b条₂=-1和（b）的孤立波v（v）₄₂在b条₀= –0.5,b条₂= 1
家族-II
k个=−β4b条0b条2−1,A类1=βb条24b条0b条2−1,A类−1=0,A类−2=0,A类2=0(24)
替换公式。(24)到等式。(6)等式的解。(1)变为：
v（v）51(x个,年,t吨)=A类0+βb条0b条2棕褐色的⁡(b条0b条2(ξ+ξ0))4b条0b条2−1,b条0b条2>0;(25)
五52(x个,年,t吨)=A类0+β−b条0b条2坦纳⁡(−b条0b条2(ξ+ξ0))−4b条0b条2+4,b条0b条2<0;(26)
哪里ξ=x个+年−β4b条0b条2−1t吨.
图4
方程的精确解。(25)和等式。(26)绘制位置A类₀= 1.5,β= –0.75,ξ₀=1:（a）周期孤立波v（v）₅₁在b条₀=0.75，b条₂=0.5和（b）孤立波v（v）₅₂在b条₀=0.75，b条₂= –0.5
家庭III
k个=−β44b条0b条2−1,A类1=βb条244b条0b条2−1,A类−1=−βb条044b条0b条2−1,A类−2=0,A类2=0(27)
代入等式。(27)到等式。(6)等式的解。(1)变为：
v（v）61(x个,年,t吨)=b条2b条0β(−16b条0b条2+4)b条0b条2棕褐色的⁡(b条0b条2(ξ+ξ0)+A类0+βb条0b条2棕褐色的⁡(b条0b条2(ξ+ξ0))44b条0b条2−1,b条0b条2>0;(28)
v（v）62(x个,年,t吨)=b条2b条0β(16b条0b条2−4)−b条0b条2坦纳⁡(−b条0b条2(ξ+ξ0)+A类0+β−b条0b条2坦纳⁡(−b条0b条2(ξ+ξ0))−16b条0b条2+4,b条0b条2<0;(29)
哪里ξ=x个+年−β4b条0b条2−1t吨.
图5
方程的精确解。(28)以及等式。(29)绘制位置A类₀= 1,β= 2,ξ₀=–0.5:（a）周期孤立波v（v）₆₁在b条₀= 1,b条₂=0.5和（b）v（v）₆₂在b条₀= –1,b条₂= 0.5
b条₀=b条₂= 0,
k个=β4+4b条12,A类2=−βb条三2+2b条12,A类−1=0,A类−2=0,A类1=0(30)
哪里ξ=x个+年β4+4b条12t吨.替换公式。(30)到等式。(6)等式的解。(1)变为：
v（v）71(x个,年,t吨)=−b条1b条三β(2+2b条12)(电子−2(ξ+ξ0)b条1+b条三)+A类0,b条1<0,(31)
v（v）72(x个,年,t吨)=−βb条三b条1电子2(ξ+ξ0)b条1(2+2b条12)1−电子2(ξ+ξ0)b条1b条三+A类0,b条1>0(32)
哪里ξ=x个+年+β4+4b条12t吨.
图6
方程的精确解。(31)和等式。(32)绘制位置A类₀= 0.5,β= 3,ξ₀= –0.5,b条₁= –0.5,b条_三=–0.5（a）和A类₀= –0.5,β= 3,ξ₀= –0.5,b条₁= 1,b条_三=–1 at（b），分别为v（v）₇₁和v（v）₇₂

3.2 MSEM的应用

在本节中，我们使用了中所述的方法第2.2节，关于等式。(1).考虑行波变换

v（v）(x个,年,t吨)=U型(ξ),ξ=x个+年+ωt吨,(33)

哪里ω是可以稍后确定的任意常数。通过对方程式进行上述转换。(1)在下面的常微分方程中积分

(4ω−β)U型′+6U型′2+ωU型‴=0(34)

现在应用均匀平衡原理(U型′)²和U型式中的〃。(34)，我们得到N个= 1. 我们假设方程的解。(34)格式如下：

U型=B类0+B类1Ψ′(ξ)Ψ(ξ).(35)

在哪里？B类₀,B类₁是常数，因此B类₁≠0，替换公式。(35)到等式。(34)并将Ψ^–4,Ψ^–3,Ψ^–2,Ψ^–1我们得到以下方程式：

(−ω+B类1)B类1(Ψ′)4=0,(36)

(ω−B类1)B类1(Ψ′)2Ψ″=0,(37)

(βB类1−4ωB类1)(Ψ′)2+(6B类12−三ωB类1)(Ψ″)2−4ωB类1Ψ′Ψ‴=0,(38)

(−βB类1+4ωB类1)Ψ″+ωB类1Ψ(4)=0(39)

根据方程式。(36)和等式。(37)我们得到，B类₁=ω，现在积分方程式。(39)并代入等式。(38)，我们得到：

Ψ″Ψ′=μ, 哪里 μ=±三β−16ω三ω,(40)

因此，我们得到

Ψ′(ξ)=c（c）1电子μξ,(41)

Ψ=c（c）2+c（c）1μc（c）1电子μξ,（42）

哪里c（c）₁和c（c）₂是积分常数。现在替换B类₁,Ψ和Ψ'到等式。(35)，我们得到了方程的精确解。(1)，如下所示

v（v）(x个,年,t吨)=B类0+ωμc（c）1电子μξμc（c）2+c（c）1电子μξ,(43)

哪里ξ=x个+年+ωt.

图7

方程的精确孤立波解。(43)在以下位置以不同形状绘制：B类₀= 1,β= 2,c（c）₁= 0.5,c（c）₂= –0.5,ω=0.25:（a）孤立波和（b）一维孤立波

简化方程式。(43)，我们获得

v（v）(x个,年,t吨)=B类0+ωμc（c）1科什μξ2+新几内亚μξ2(c（c）1+μc（c）2)科什μξ2+(c（c）1−c（c）2μ)新几内亚μξ2,(44)

哪里ξ=x个+年+ωt.

同样，我们可以随机选择参数c（c）₁和c（c）₂，通过设置c（c）₁=微克₂，我们得到以下孤立解

v（v）(x个,年,t吨)=B类0+三βω−16ω212坦纳三β−16ω12ωξ±1,(45)

哪里ξ=x个+年+ωt.

现在我们再次选择c（c）₁= –c（c）₂μ，我们得到以下孤立波解。

v（v）(x个,年,t吨)=B类0+三βω−16ω212帆布床三β−16ω12ωξ±1,（46）

哪里ξ=x个+年+ωt和B类₀保留为自由参数。

图8

方程的精确孤立波解。（46）在以下位置以不同形状绘制：B类₀= 1,β= 1,ω=0.5:（a）周期孤立波和（b）一维孤立波

4结论

本文采用简单方程法（SEM）和修正的简单方程法（MSEM）等方法，成功地获得了四阶非线性ablowitz-Kaup-newell-segur水方程的精确孤立波解。AKNS方程在物理科学领域有着广泛的应用，所获得的不同形式的孤立波解有助于从各个方面理解物理现象。所有解决方案也通过为参数指定特殊值以图形方式规定。Mathematica帮助我们处理所有计算。随着孤波理论的广泛应用，进一步研究局域激发及其在未来的应用是有价值的。

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收到：2017-09-21

认可的：2017-12-27

在线发布：2018-05-24

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基于两种方法的四阶非线性Ablowitz-Kaup-Newell-Segur水波动力学方程的计算方法和行波解及其应用

摘要

1引言

2拟议方法说明

2.1简单方程法

2.2修正简单方程法

3描述方法在AKNS上的应用

3.1 SEM的应用

3.2 MSEM的应用

4结论

参考文献

期刊和发行

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