热等离子体中KdV方程的一种可靠算法

1引言

非线性问题的研究在数学和物理的所有领域都非常重要。物理系统的大多数重要现象都隐藏在其非线性行为中。这些现象只能用解决这些非线性问题的适当方法来研究[1]. KdV方程是浅水表面波浪的数学模型。它是一个非线性、色散的偏微分方程，其解可以精确地指定。1877年，Boussinesq首次引入KdV方程。1895年，Kortweg和De-Vries开发了KdV方程来模拟Russell的孤子现象[2]例如振幅较小且有限的浅水波[三].

KdV方程是流体动力学、等离子体物理、弹性介质和非线性光学中研究非线性波的通用模型。这些方程已被用于解释不同的物理现象，如无碰撞等离子体中的离子声波、暖等离子体中的磁流体动力学波、等离子体中的磁声波、等离子体中的Alfvén波、等离子体中的尘埃声波、等离子体中的孤立子波、浅水重力波，大气和海洋中的内波、气泡流体中的波、不和谐晶体中的声波等[4]. KdV型方程在工程和科学中具有重要作用。KdV方程描述了最低阶、二次非线性和最简单的长波色散的组合效应，这一事实解释了这种广泛的适用性。

考虑以下方程式：

具有初始条件u个(x个, 0) = 6x个

具有初始条件u个(x个，0）=x个

具有初始条件u个(x个, 0) =x个

具有初始条件

具有初始条件

方程式（1）称为KdV方程方程式（2）称为mKdV方程和方程(3)&(4)称为K（2,2）方程方程式（5）分别称为K（3，3）方程[5——9].

孤子是存在于某些非线性系统中的非线性类脉冲波，其传播不改变其物理性质（如形状和速度），并能稳定地抵抗相互碰撞[10].公式（1）&(2)是给出孤立波解的基本方程。这些孤子是在非线性对流之间平衡产生的(u个^n个)_x个和线性色散u个_三x个在里面方程式（1）——(5)。

方程式（6）是紧子的基本方程。菲利普·罗森奥（Philip Rosenau）于1993年首次对其进行了研究。紧子是有限波长的特殊孤子[11]. 这些紧致是由非线性对流之间的微妙相互作用产生的(u个^n个)_x个具有真正的非线性色散u个_三x个在中方程（6）修正的KdV方程出现在流体力学中，用于描述冲击波的结构[12]. 有几种方法可以描述未通过常规观察描述的重要事实。但当这些物理问题具有高度非线性时，很难找到其解析解。

近年来，许多研究人员利用各种方法研究非线性微分方程的解。其中包括Adomian分解法[13]，He's半逆方法[14]、Backlund和Darboux变换[15]，逆散射法[16]，Hirota双线性方法[17]，Tanh方法[18]，差分变换法[19——21]，分数同伦分析变换方法[22——24]，变分迭代法[25-29]，同伦摄动法[30——34]. 利用李群分析方法可以确定KdV方程的不变性[35，36].

他[37——42]发展了同伦摄动法来解决此类物理问题。该方法是拓扑同伦和摄动方法的结合。这为我们提供了一种方便的方法来获得科学和工程不同领域中出现的各种问题的解析或近似解。由于非线性项引起的困难，拉普拉斯变换无法处理非线性方程。最近提出了各种方法来处理这些非线性，例如Adomian分解方法[43]和拉普拉斯分解算法[44，45]. 此外，同伦摄动法也与著名的拉普拉斯变换法相结合[46]以及变分迭代方法，以产生处理许多非线性问题的高效技术。

在最近的一篇论文中，Khan和Wu[47]提出了求解非线性方程组的同伦摄动变换方法。值得一提的是，该方法是拉普拉斯变换、同伦摄动方法和He多项式的优雅组合[48]主要是因为戈尔巴尼[49，50]. 同伦摄动变换方法以快速收敛的级数形式提供解，这可能导致解的闭合形式[51]. 这种方法的优点是它能够结合两种强大的方法来获得非线性方程的精确解[52——54]. 分数阶偏微分方程也用拉普拉斯变换求解[55，56]. 本文应用同伦摄动变换法（HPTM）求解非线性方程，如KdV、mKdV，K（2，2）和K（3，3）方程，以表明该方法的简单性和直接性。

2同伦摄动变换法（HPTM）

为了说明该方法的基本思想，我们考虑一个一般非线性偏微分方程，其初始条件形式为：

哪里D类是二阶线性微分算子D类=∂²/¼t²R是低于以下阶的线性微分算子D、 N个表示一般非线性微分算子克(x、 t吨)是源项。采用拉普拉斯变换（本文中表示为L（左）)在等式（7），我们得到

利用拉普拉斯变换的微分性质，我们得到

使用拉普拉斯反转操作等式（8）给予

哪里G公司(x、 t吨)表示源项和规定初始条件产生的项。现在我们应用同伦摄动方法

非线性项可以分解为

对于一些He多项式H（H）_n个(u个)（请参见[48，49])由提供的

替换等式（10）和等式（11）在里面等式（9），我们得到

这是拉普拉斯变换和使用He多项式的同伦摄动方法的耦合。比较第页，得到以下近似值。

3数值应用

在本节中，我们使用同伦摄动变换方法求解KdV方程的三个模型。

示例3.1。考虑以下KdV方程

具有初始条件

在两侧应用拉普拉斯变换等式（15）以初始条件为准(16)，我们有

拉普拉斯变换的逆运算意味着

现在，应用同伦摄动方法，我们得到

哪里Hn公司(u个)是He的多项式吗[48，49]表示非线性项。He多项式的前几个分量由下式给出

比较p的相似幂的系数，我们得到

因此，解决方案u个(x个，t吨)由给定

它可以用封闭形式写为

例3.2。考虑以下mKdV方程

具有初始条件

在两侧应用拉普拉斯变换等式（24）以初始条件为准(25)，我们有

拉普拉斯变换的逆运算意味着

现在，应用同伦摄动方法，我们得到

哪里H（H）_n个(u个)是He的多项式吗[48，49]表示非线性项。He多项式的前几个分量由下式给出

比较第页，我们有

因此，解决方案u个(x个，t吨)由提供

它可以用封闭形式写为

例3.3。考虑以下K（2,2）方程

具有初始条件

在两侧应用拉普拉斯变换等式（33）以初始条件为准(34)，我们有

拉普拉斯变换的逆意味着

现在，应用同伦摄动方法，我们得到

哪里H（H）_n个(u个)是He的多项式吗[48，49]表示非线性项。He多项式的前几个分量由下式给出

比较第页，我们有

因此，解u（x，t）由下式给出

它可以用封闭形式写为

例3.4。考虑以下K（2，2）方程

具有初始条件

在两侧应用拉普拉斯变换等式（42）以初始条件为准(43)，我们有

拉普拉斯变换的逆运算意味着

现在，应用同伦摄动方法，我们得到

哪里H（H）_n个(u个)是He的多项式吗[48，49]表示非线性项。He多项式的前几个分量由下式给出

比较第页，我们有