Bipartite graphs with close domination and k-domination numbers

Gülnaz Boruzanlı Ekinci; Csilla Bujtás

doi:10.1515/math-2020-0047

开放式访问发布人：De Gruyter开放存取 2020年8月24日

具有闭支配和k个-支配数

吉尔纳斯·博鲁桑·埃金奇和 Csilla Bujtás公司

来自日志开放数学

https://doi.org/10.1515/math-2020-0047

摘要

让 k个是一个正整数，让 G公司是具有顶点集的图 V（V） ( G公司 ) .一个子集天 ⊆ V（V） ( G公司 ) 是一个 k个 -控制集（如果每个顶点都在外部）天至少与相邻 k个中的顶点天 . The k个 -支配数 γ k个 ( G公司 ) 是的最小基数 k个 -控制集 G公司对于任何图形 G公司，我们知道 γ k个 ( G公司 ) ≥ γ ( G公司 ) + k个 − 2 哪里 Δ ( G公司 ) ≥ k个 ≥ 2 而且这个界限对每一个 k个 ≥ 2 .本文刻画了满足等式的二部图 k个 ≥ 三并给出了二部图在以下情况下遗传满足等式的充要条件 k个 = 三 .我们还证明了判定图是否满足给定等式的问题通常是NP-hard。

关键词：控制数;k控制数;世袭财产;顶点边缘盖;TC-编号;计算复杂性

MSC 2010年：05C69号;05立方厘米75;65年第68季度

1简介

让 G公司是一个无向简单图，其中 V（V） ( G公司 ) 和 E类 ( G公司 ) 表示顶点集和边集 G公司分别是。对于两个顶点 u个 , v（v） ∈ V（V） ( G公司 ) , u个和 v（v）如果它们相邻，也就是说，如果有边，它们就是邻居 e（电子） = u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 ) .顶点的开邻域 v（v）是布景吗 N个 G公司 ( v（v） ) = { u个 ∈ V（V） ( G公司 ) : u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 ) } 以及 v（v）由基数给出 N个 G公司 ( v（v） ) .两个顶点 u个 , v（v） ∈ V（V） ( G公司 ) 如果是假双胞胎 N个 G公司 ( u个 ) = N个 G公司 ( v（v） ) .让 δ ( G公司 ) 和 Δ ( G公司 ) 表示 G公司分别是。对于子集 S公司 ⊆ V（V） ( G公司 ) ，让 G公司 [ S公司 ] 表示由S公司.边缘 e（电子） = u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 ) 从中删除时会细分 G公司和一个新顶点 x个添加了两条新边 x个 u个和 x个 v（v）。这里是顶点 x个是细分顶点。让 [ 第页 ] 表示整数集 { 1 , … , 第页 } 贯穿论文始终。

一个子集天 ⊆ V（V） ( G公司 ) 在中占据主导地位 G公司如果的每个顶点 V（V） ( G公司 ) \ 天至少有一个邻居天类似地，一个子集天 ⊆ V（V） ( G公司 ) 是 k个 -在中占主导地位 G公司如果的每个顶点 V（V） ( G公司 ) \ 天至少有 k个中的邻居天 .支配数 γ ( G公司 ) 和 k个 -控制数 γ k个 ( G公司 ) 属于 G公司是一个支配和一个 k个 -控制集 G公司分别是。

我们说连通图G公司是一个 ( γ , γ k个 ) -图形if γ k个 ( G公司 ) = γ ( G公司 ) + k个 − 2 和 Δ ( G公司 ) ≥ k个 .连通图G公司是 ( γ , γ k个 ) -完美如果 δ ( G公司 ) ≥ k个和每个连通的诱导子图H（H）属于G公司具有 δ ( H（H） ) ≥ k个满足等式 γ k个 ( H（H） ) = γ ( H（H） ) + k个 − 2 .

超图是集系统，被认为是图的自然推广。超图 H（H） = ( V（V） , E类 ) 包含有限集V（V）顶点和集合E类的非空子集V（V）称为超边或简单的边。顶点数，即 | V（V） | ，被称为H（H）。在本文中，我们假设 | e（电子） | ≥ 2 为每个保留 e（电子） ∈ E类 .顶点的度数v（v）在里面H（H），表示为 d日 H（H） ( v（v） ) ，是包含顶点的边数v（v）.超图H（H）是k个-如果每条边精确包含k个顶点。因此，每个（简单）图都是一个2-一致超图。超图 H（H） ′ = ( V（V） ′ , E类 ′ ) 是的诱导子超图 H（H） = ( V（V） , E类 ) 如果 V（V） ′ ⊆ V（V）和 E类 ′ 包含所有边 e（电子） ∈ E类令人满意的 e（电子） ⊆ V（V） ′ 。我们也使用符号 H（H） [ V（V） ′ ] 对于由 V（V） ′ .给定一个集合如果属于k个-统一超图，我们说k个-一致超图H（H）是如果 -free if no诱导子类型图H（H）与中包含的任何超图同构如果 .完整k个-一致序超图n个是超图 K n个 k个 = ( V（V） , E类 ) ，其中 | V（V） | = n个 ≥ k个和E类包含全部k个-元素子集V（V）.

一套 T型 ⊆ V（V）是超图中的横向（或顶点覆盖） H（H） = ( V（V） , E类 ) 如果 | e（电子） ∩ T型 | ≥ 1 保持每一个边缘 e（电子） ∈ E类 .补语 V（V） \ T型横向的T型称为（弱）独立顶点集。中横截的最小基数和弱独立顶点集的最大基数H（H）表示为 τ ( H（H） ) 和 α 周 ( H（H） ) 分别是。覆盖每个顶点的最小边数H（H）是封边编号H（H）并用表示 ρ ( H（H） ) 例如，在一个完整的k个-一致超图 K n个 k个，任何 k个 − 1 顶点形成一个最大弱独立顶点集 n个 − k个 + 1 顶点构成最小横截。特别是，我们有 τ ( K n个 k个 ) = n个 − k个 + 1 , α 周 ( K n个 k个 ) = k个 − 1 、和 ρ ( K n个 k个 ) = ⌈ n个 k个 ⌉ .

两个顶点u个和v（v）属于H（H）如果有边，则相邻e（电子）属于H（H）这样的话 { x个 , 年 } ⊆ e（电子） .如果对于每两个顶点，超图是连通的x个和年存在一个序列 x个 = x个 0 , x个 1 , … , x个 j个 = 年这样的话 x个我 − 1 和 x个我是每个的相邻顶点我 ∈ [ j个 ] .的2段图 H（H） = ( V（V） , E类 ) 是图表G公司在同一个顶点集上V（V）这样两个顶点在G公司当且仅当它们在H（H）超图的关联图 H（H） = ( V（V） , E类 ) 是二分图 G公司 ′ = ( A类 ∪ B类 , E类 ′ ) 其中顶点位于A类和B类表示的顶点和边H（H）分别是。此外，两个顶点，一 ∈ A类和 b条 ∈ B类，在中相邻 G公司 ′ 如果的顶点H（H）由表示的一包含在由表示的超边缘中b条。请注意H（H）是连通超图，当且仅当，它的2段图是连通的，当且仅当，它的关联图是连通的。

1.1论文结构

在节中2，我们首先引用了一些先前的结果并证明了一些一般引理。然后，对于每个 k个 ≥ 2 ，三个图形类 ℬ k个 ⁎ , ℬ k个、和 G公司 k个定义为每个连接的 ( γ , γ k个 ) -图形属于 G公司 k个此外，在第节三，我们专注于 k个 ≥ 三并证明每个相连的二部 ( γ , γ k个 ) -图形包含在 ℬ k个 .我们还证明了连通二部图 G公司 ∈ ℬ k个是一个 ( γ , γ k个 ) -图形当且仅当其 γ k个 -简化图 G公司 ⁎ ∈ ℬ k个 ⁎ 是一个 ( γ , γ k个 ) -图表。然后，我们给出了二部的一个特征 ( γ , γ k个 ) -根据基础超图的属性来描述图。在节中4，我们研究问题的遗传版本，并给出所有二部的特征 ( γ , γ 三 ) -完美图形。稍后，在第节5，我们证明了一个给定的二部图是否为 ( γ , γ k个 ) -图，而相应的决策问题是NP-hard on G公司 k个 .

2初步结果 ( γ , γ k个 ) -图形

芬克和雅各布森[1,2]引入 k个 -图中的支配是支配概念的推广。受此定义的启发，许多研究人员对相关问题进行了广泛研究（例如，参见[三,4,5,6,7,8,9,10])。有关更多细节，我们请读者参阅海恩斯、海德涅米和斯莱特的统治书籍[11,12]以及对 k个 -统治和 k个 -Chellali等人[13].

芬克和雅各布森[1]证明了关于支配数与 k个 -控制数 G公司 .

定理2.1

[1]对于任何图形 G公司具有 Δ ( G公司 ) ≥ k个 ≥ 2 , γ k个 ( G公司 ) ≥ γ ( G公司 ) + k个 − 2 .

虽然已经证明，上述不等式对于每个 k个 ≥ 2 ，即使对于较小的值 k个中研究了相应的表征问题[8,14,15]. 最近，我们考虑了一大类图，并给出了满足等式的成员的特征 γ 2 ( G公司 ) = γ ( G公司 ) .我们还证明了决定图的等式是否成立是NP-hard。此外，我们给出了图满足的一个充要条件 γ 2 ( G公司 ) = γ ( G公司 ) 遗传地[16]. 考虑了一些涉及不同支配类型图和超图不变量的类似问题，例如[17,18,19,20,21,22].

引理2.2

设D为最小值 k个 -图G的支配集。如果 γ k个 ( G公司 ) = γ ( G公司 ) + k个 − 2 ,然后 γ ( G公司 [ 天 ] ) ≥ γ k个 ( G公司 ) − ( k个 − 2 ) .

证明

相反，假设 γ ( G公司 [ 天 ] ) ≤ γ k个 ( G公司 ) − k个 + 1 .让 S公司成为基数的支配集 | 天 | − k个 + 1 在里面 G公司 [ 天 ] 。我们声称 S公司也是 G公司的确，当我们删除 k个 − 1 顶点k个-支配集天，中的每个顶点 V（V） ( G公司 ) \ 天仍由至少一个顶点控制 S公司。请注意S公司控制中的所有顶点天通过选择S公司.自 γ ( G公司 ) ≤ | S公司 | = γ k个 ( G公司 ) − k个 + 1 ，我们遇到了矛盾。因此， γ ( G公司 [ 天 ] ) ≥ γ k个 ( G公司 ) − k个 + 2 .□

自 γ ( G公司 ) ≤ | V（V） ( G公司 ) | − Δ ( G公司 ) 保留每个图形G公司，前面的引理直接暗示了Hansberg获得的以下结果（参见[8])。

引理2.3

[8]设D为最小值 k个 -图G的支配集。如果 γ k个 ( G公司 ) = γ ( G公司 ) + k个 − 2 ,然后 Δ ( G公司 [ 天 ] ) ≤ k个 − 2 .

对于每个 k个 ≥ 2 ，我们定义了三个在我们的研究中起关键作用的图类。

定义2.4

给定任意连接 k个 -一致超图如果具有顶点集 V（V） ( 如果 ) = 天 = { v（v） 1 , … , v（v）秒 } 和边缘集 E类 ( 如果 ) = { e（电子） 1 , … , e（电子）第页 } ，我们定义了以下图形类。

定义一对新顶点 X（X）我 = { x个我 1 , x个我 2 } 对于每个超边缘 e（电子）我 ∈ E类 ( 如果 ) .让 X（X） = ⋃ 我 ∈ [ 第页 ] X（X）我然后让
V（V） ( G公司 1 ) = X（X） ∪ V（V） ( 如果 ) , E类 ( G公司 1 ) = { x个我 j个 v（v） ℓ : v（v） ℓ ∈ e（电子）我 , 我 ∈ [ 第页 ] , j个 ∈ [ 2 ] , ℓ ∈ [ 秒 ] } .
图形类 ℬ ⁎ ( 如果 ) 仅包含此图形 G公司 1 ，也称为双关联图如果.
班级 ℬ ( 如果 ) 包含图形 G公司 2 如果可以从双关联图中得到 G公司 1 以以下方式。我们保留的所有顶点和边 G公司 1 .对于每个边缘 e（电子）我 ∈ E类 ( 如果 ) ，我们创建了顶点的一些（可能为零）假双胞胎 x个我 1 此外，如果 S公司 ⊆ V（V） ( 如果 ) 在中导出完整的子类型图如果，然后我们可以补充 G公司 1 与中所有顶点相邻的一些新顶点（可能为零）S公司。我们表示为Y（Y）新顶点集 Y（Y） = V（V） ( G公司 2 ) \ V（V） ( G公司 1 ) 反过来说，我们这么说 G公司 1 是 γ k个 -简化图 G公司 2 .
班级 G公司 ( 如果 ) 包含 G公司三如果可以从图中获得 G公司 2 ∈ B类 ( 如果 ) 通过在其内部补充一些（可能是零）新边天和 X（X） ∪ Y（Y）这些边可以任意选择，但每个边 X（X）我必须保持独立。

对于每个 k个 ≥ 2 ，图形类 ℬ k个 ⁎ , ℬ k个、和 G公司 k个包含这些图形G公司其中存在一个 k个 -一致超图如果这样的话G公司属于 ℬ ⁎ ( 如果 ) , ℬ ( 如果 ) 、和 G公司 ( 如果 ) 分别是。我们这么说如果是的基本超图 G公司如果 G公司 ∈ G公司 ( 如果 ) .

很明显 ℬ k个是两部分的 ℬ k个 ⁎ ⊆ ℬ k个 ⊆ G公司 k个为每个保留 k个 ≥ 2 特别是，对于每个k个-一致超图如果，我们正好有一个图形 ℬ k个 ⁎ 有如果作为其基础超图，但在 ℬ k个注意，在[16]，其中 ( γ , γ 2 ) -研究了图，一个图类 G公司引入了与类完全对应的 G公司 2 此处定义。此外，根据[17,20,23]，班级 ℬ 2 是满足以下条件的连通图的集合 τ ( G公司 ) = γ ( G公司 ) 和 δ ( G公司 ) ≥ 2 .

Hansberg证明了以下引理，它直接暗示类 G公司 k个包含全部 ( γ , γ k个 ) -图表。

引理2.5

[8]让 G公司成为 ( γ , γ k个 ) -整数的图形 k个 ≥ 2 假设是这样 天 是最小值 k个 -控制集 G公司 然后，对于每个 k个顶点 v（v） 1 , v（v） 2 , … , v（v） k个 从D开始，如果 ⋂ 我 = 1 k个 N个 ( v（v）我 ) ≠ ∅ ，则有一个不相邻的对 x个 , 年 ∈ V（V） \ 天 这样的话 N个 G公司 ( x个 ) ∩ 天 = N个 G公司 ( 年 ) ∩ 天 = { v（v） 1 , v（v） 2 , … , v（v） k个 } .

推论2.6

如果 G公司 是连接的吗 ( γ , γ k个 ) -图形，带有 Δ ( G公司 ) ≥ k个 ≥ 2 如果D是G的最小k-支配集，则存在一个k-一致的底层超图 如果 在顶点集D上，这样 G公司 ∈ G公司 ( 如果 ) .

3二分( γ , γ k个 )-图形

在本节中，我们刻画了满足 Δ ( G公司 ) ≥ k个和 γ k个 ( G公司 ) = γ ( G公司 ) + k个 − 2 ，每 k个 ≥ 三 .请注意 γ k个 ( G公司 ) ≥ γ ( G公司 ) 对每个图都适用，而不对顶点度数施加条件。此外，假设 k个 ≥ 三，平等 γ k个 ( G公司 ) = γ ( G公司 ) 满足当且仅当G公司由孤立的顶点组成。因此，如果 Δ ( G公司 ) ≥ k个 ≥ 三如果G公司断开，然后 γ k个 ( G公司 ) = γ ( G公司 ) + k个 − 2 仅当且仅当G公司只包含一个组件 ( γ , γ k个 ) -图和所有其他组件都是孤立的顶点。因此，专注于连接的 ( γ , γ k个 ) -图表。

在第3.1节中，我们证明了所有连接的二部 ( γ , γ k个 ) -图形属于 ℬ k个考虑子类中的图就足够了 ℬ k个 ⁎ 其中底层超图唯一地表示该图G公司在第3.2节中，我们引入了一个超图不变量，称为“顶点边覆盖数”或简称“TC-数”，并导出了连通二部的特征 ( γ , γ k个 ) -图通过底层超图的属性。

3.1将问题减少到 γ k个 -简化图

定理3.1

让 k个 ≥ 三 设G是满足 γ k个 ( G公司 ) = γ ( G公司 ) + k个 − 2 和 Δ ( G公司 ) ≥ k个 然后， G公司 ∈ ℬ k个 和每个最小值 k个 -支配集对应于G的一个部分类。

证明

让天是最小值 k个 -控制集G公司。学位条件意味着 V（V） ( G公司 ) \ 天不为空，因此，底层超图如果至少包含一条边。让 e（电子）我 = { v（v） 1 , … , v（v） k个 } 成为…的边缘如果。由于中的所有顶点 e（电子）我有共同的邻居 X（X）我，他们属于同一党派G公司。这意味着如果都在同一个党派。如果如果是连接的，整个也是如此天此外，由于每个顶点 x个 ∈ V（V） ( G公司 ) \ 天有一些邻居在家天，它们都必须包含在另一个partite类中。它完成了案件的证据如果已连接。

如果如果未连接，请考虑一个重要组件如果 1 和剩下的部分如果 2 = 如果 − 如果 1 底层超图的。根据推论2.6，没有顶点 V（V） ( G公司 ) \ 天可以与中的顶点相邻 V（V） ( 如果 1 ) 和到顶点 V（V） ( 如果 2 ) 同时。根据我们的假设，G公司已连接。考虑以下两种情况就足够了。

案例1。存在边缘紫外线在里面 G公司 [ 天 ] 这样的话 u个 ∈ V（V） ( 如果 1 ) 和 v（v） ∈ V（V） ( 如果 2 ) .

自如果 1 是连通的且不平凡的，有一条边 e（电子）我 ∈ E类 ( 如果 1 ) 包含 u个。在这种情况下 k个顶点来自 e（电子）我 \ { u个 } ∪ { v（v） } 中不能有公共邻居 V（V） ( G公司 ) \ 天因此，

天 ′ = 天 \ ( e（电子）我 \ { u个 } ∪ { v（v） } ) ∪ { x个我 1 } ,

哪里 x个我 1 来自这对 X（X）我与关联 e（电子）我 .请注意天 ′ 是一个支配集G公司.作为 | 天 ′ | < | 天 | − k个 + 2 ，这是一个矛盾。

案例2。存在一条边xy公司在里面 G公司 [ V（V） ( G公司 ) \ 天 ] 这样的话x个有来自的邻居 V（V） ( 如果 1 ) 和年有来自的邻居 V（V） ( 如果 2 ) .

考虑 k个顶点，即， v（v） 1 , … , v（v） k个从 N个 ( x个 ) ∩ V（V） ( 如果 1 ) 和 k个顶点，即， u个 1 , … , u个 k个从 N个 ( 年 ) ∩ V（V） ( 如果 2 ) 然后定义天 ′ = 天 \ { v（v） 1 , … , v（v） k个 − 1 , u个 1 , … , u个 k个 − 1 } ∪ { x个 , 年 } .请注意天 ′ 是一组占主导地位的G公司，自 { v（v） 1 , … , v（v） k个 − 1 , u个 1 , … , u个 k个 − 1 } ∪ { x个 , 年 } 不包含的任何边如果.根据我们的条件 k个 ≥ 三，因此 | 天 ′ | = | 天 | − ( 2 k个 − 2 ) + 2 < | 天 | − k个 + 2 我们又遇到了一个矛盾，这就完成了定理的证明。□

注意，定理3.1不适用于 k个 = 2 .作为一个例子，考虑图 H（H）由两个顶点不相交的副本构造 K 2 , 三通过在它们之间精确添加一条边，使最大阶数保持为三。观察这个图是二分的并且满足等式 γ 2 ( H（H） ) = γ ( H（H） ) = 4 但这两个partite类都不对应于最小支配集或最小2支配集。

定理3.2

让 G公司 是一个连通的二部图 ℬ k个 然后让 G公司 ⁎ 是它的 γ k个 -简化图 B类 k个 ⁎ ，其中 k个 ≥ 三 然后， γ k个 ( G公司 ) = γ ( G公司 ) + k个 − 2 当且仅当 γ k个 ( G公司 ⁎ ) = γ ( G公司 ⁎ ) + k个 − 2 .

证明

首先，我们证明了k个-一致超图如果和图形 H（H） ∈ ℬ ( 如果 ) ，顶点集天 = V（V） ( 如果 ) 是最低要求k个-控制集H（H）。根据定义，很明显 ℬ ( 如果 ) ，即天是一个k个-控制集H（H）假设有一个矛盾天 ′ 是最小值k个-支配集和 | 天 ′ | < | 天 | 持有。如果天 ′ \ 天包含一个v（v）埃特克斯v（v）至少占主导地位 k个 + 1 顶点来自天 \ 天 ′ ，让我们介绍一下符号 S公司 = N个 ( v（v） ) ∩ ( 天 \ 天 ′ ) 和秒 = | S公司 | ≥ k个 + 1 根据定义2.4（ii），S公司诱导完成k个-中的一致子类型图如果，因此，它包含秒 k个超边。对于每个这样的超边缘 e（电子）我 ⊆ S公司，顶点 x个我 1 和 x个我 2 从 X（X）我必须包含在k个-支配集天 ′ 。让我们用表示 X（X） ( S公司 ) 所有这些对的并集， X（X） ( S公司 ) = { X（X）我 : e（电子）我 ∈ E类 ( 如果 ) 和 e（电子）我 ⊆ S公司 } 注意，自秒 ≥ k个 + 1 ，我们有 | X（X） ( S公司 ) | = 2 秒 k个 ≥ 2 秒和 X（X） ( S公司 ) ⊆ 天 ′ 。很容易检查 ( 天 ′ ∪ S公司 ) \ ( X（X） ( S公司 ) ∪ { v（v） } ) 是一个k个-支配性集合H（H）最多包含 | 天 ′ | + 秒 − ( 2 秒 + 1 ) < | 天 ′ | 顶点。这与天 ′ .我们可以推断 v（v） ∈ 天 ′ \ 天最多有个k个来自的邻居天 \ 天 ′ 然后，数字z（z）之间的边缘天 ′ \ 天和天 \ 天 ′ 最多是 k个 | 天 ′ \ 天 | 从另一侧计算边缘，如天是一个独立的集合H（H），每个顶点 v（v） ∈ 天 \ 天 ′ 必须是k个-由…支配k个不同的邻居天 ′ \ 天如下：， z（z） ≥ k个 | 天 \ 天 ′ | 我们有 k个 | 天 ′ \ 天 | ≥ z（z） ≥ k个 | 天 \ 天 ′ | .这与我们的假设相矛盾 | 天 ′ | < | 天 | 并证明了这一点 γ k个 ( H（H） ) = | 天 | 对于每个 H（H） ∈ ℬ ( 如果 ) .由于两者G公司和 G公司 ⁎ 属于 ℬ ( 如果 ) ，我们可以得出这样的结论 γ k个 ( G公司 ) = γ k个 ( G公司 ⁎ ) .

现在，我们证明 γ ( G公司 ) = γ ( G公司 ⁎ ) .让问 ′ 成为中的最小支配集 G公司 ⁎ 这样的话 | 问 ′ ∩ 天 | 为最大值。通过这个最大值，问 ′ 每个对最多包含一个顶点 { x个我 1 , x个我 2 } ，否则 x个我 2 可以替换为 e（电子）我 .自 x个我 1 和 x个我 2 是假双胞胎，我们可以假设顶点 x个我 2 不属于问 ′ 对于任何我。请注意问 ′ ∩ 天是底层超图中的横截如果。我们声称问 ′ 是中的支配集G公司也。事实上，中的所有顶点天 ∪ X（X）占主导地位。此外，对于任何顶点年 ∈ Y（Y）我们可以考虑 k个任意选择邻居天，它们必须形成超边缘 e（电子） j个在里面如果.顶点 x个 j个 2 不在中问 ′ 但它由一个顶点控制问 ′ ∩ e（电子） j个。此顶点占主导地位年也。这证明了 γ ( G公司 ) ≤ | 问 ′ | = γ ( G公司 ⁎ ) .

另一方面，考虑一个最小支配集问在里面G公司这样的话 | 问 ∩ 天 | 为最大值。通过这个最大值，我们有 | 问 ∩ X（X）我 | ≤ 1 对于每个我.如果问 ∩ X（X）我包含不同于的顶点 x个我 1 ，我们可以用 x个我 1 在支配集中。再一次，问 ∩ 天必须是横向的如果现在假设问包含顶点年从Y（Y）.让 z（z） 1 , … , z（z） ℓ 这些顶点来自天私人主导的年（他们在支配集中没有其他邻居）。请注意，所有 z（z） 1 , … , z（z） ℓ 在的外部问根据推论2.6和如果，如果 ℓ ≥ k个，然后是集合 { z（z） 1 , … , z（z） ℓ } 必须包含至少一条边如果这与以下事实相矛盾：问是横向的如果.如果 ℓ ≤ k个 − 1 ，然后有一个边缘 e（电子）我 ∈ E类 ( 如果 ) 包含 z（z） 1 , … , z（z） ℓ .作为 x个我 1 可以控制所有这些顶点 z（z） 1 , … , z（z） ℓ 和支配顶点 x个我 2 在里面问也占主导地位年，集合问 \ { 年 } ∪ { x个我 1 } 是一个支配集G公司.

在存在顶点时执行这些更改Y（Y）在支配集中。最后，我们有一个最小支配集问年 ⊆ ( 天 ∪ X（X） ) 在里面G公司显然，问 ⁎ 是一个支配集 G公司 ⁎ ，我们有 γ ( G公司 ⁎ ) ≤ | 问 ⁎ | = γ ( G公司 ) 。这意味着 γ ( G公司 ) = γ ( G公司 ⁎ ) ，这就完成了证明。□

3.2通过底层超图进行表征

定义3.3

对于超图H（H），一套 S公司 ⊆ V（V） ( H（H） ) ∪ E类 ( H（H） ) 是顶点边缘覆盖，或者简称为TC-setH（H）如果 S公司 ∩ V（V） ( H（H） ) 是横向（顶点覆盖）H（H）和边缘 S公司 ∩ E类 ( H（H） ) 一起覆盖外部的所有顶点 S公司 ∩ V（V） ( H（H） ) 中TC-set的最小基数H（H）称为TC-数量H（H）并用表示 t吨 c（c） ( H（H） ) .

提案3.4

对于每一个n阶超图H，下面的语句成立，并且（i）和（ii）中给出的上界是尖锐的.

如果r是H中边的最小尺寸，则 t吨 c（c） ( H（H） ) ≤ n个 − 第页 + 2 .
如果H是k均匀的，那么 t吨 c（c） ( H（H） ) ≤ n个 − k个 + 2 .
如果H是2-均匀的，这是一个简单的图，那么 t吨 c（c） ( H（H） ) = n个 .

证明

让H（H）是超图并且 e（电子） ∈ E类 ( H（H） ) 最小基数边第页.如果v（v）是来自的任意顶点e（电子），的第页 − 1 中的顶点 e（电子） \ { v（v） } 不包含的任何边H（H）因此， T型 = ( V（V） ( H（H） ) \ e（电子） ) ∪ { v（v） } 是横向的 T型 ∪ { e（电子） } 是中的TC集H（H）.那么，我们有 t吨 c（c） ( H（H） ) ≤ | T型 | + 1 = n个 − ( 第页 − 1 ) + 1 = n个 − 第页 + 2 这证明了 ( 我 ) 从（i）可以直接得到语句（ii）。进一步观察每个完整的k个-一致超图给出了一个尖锐的例子 K n个 k个至少包含 n个 − k个 + 1 顶点，如果不是整个顶点集，我们还必须在TC集中放置一条边。因此， t吨 c（c） ( K n个 k个 ) = n个 − k个 + 2 为每个保留 n个 ≥ k个 ≥ 2 .

现在，让我们H（H）是一个任意图并且让T型是它的横向集。因为每个边缘H（H）相交 V（V） ( H（H） ) \ T型我们最多只能覆盖一个顶点 V（V） ( H（H） ) \ T型小于 | V（V） ( H（H） ) \ T型 | = n个 − | T型 | 边缘。这给了 t吨 c（c） ( H（H） ) ≥ n个很明显，或从第（ii）部分得出结论 t吨 c（c） ( H（H） ) ≤ n个这证明了（iii）。□

关于命题3.4第（ii）部分中的极值情况，我们证明如下。

定理3.5

n阶k-一致超图H满足 t吨 c（c） ( H（H） ) = n个 − k个 + 2 ，当且仅当，对于每个 ℓ ≤ k个 − 1 并且对于每个 ℓ 边缘 e（电子）我 1 , … , e（电子）我 ℓ H的工会 L（左） = ⋃ j个 = 1 ℓ e（电子）我 j个 最多包含个 ℓ + k个 − 2 弱独立顶点。

证明

我们证明了否定的等价性。首先假设存在 ℓ 比如说边缘 e（电子） 1 , … , e（电子） ℓ ，英寸H（H）这样的话 L（左） = ⋃ j个 = 1 ℓ e（电子） j个包含秒 = ℓ + k个 − 1 （弱）独立顶点。让 X（X） = { v（v） 1 , … , v（v）秒 } 是这样一个独立的子集L（左）然后，设置 T型 = V（V） ( H（H） ) \ X（X）是基数的横向 n个 − 秒和中的其余顶点X（X）可以使用覆盖 ℓ 边缘 e（电子） 1 , … , e（电子） ℓ 。此TC-set包含 n个 − 秒 + ℓ = n个 − ( ℓ + k个 − 1 ) + ℓ = n个 − k个 + 1 元素，如下所示 t吨 c（c） ( H（H） ) ≤ n个 − k个 + 1 < n个 − k个 + 2 这证明了等价的第一个方向。

现在我们假设 t吨 c（c） ( H（H） ) ≤ n个 − k个 + 1 并表明 ℓ ≤ k个 − 1 边缘，以便联合L（左）包含的内容超过 ℓ + k个 − 2 独立顶点。考虑一个TC集S公司具有 | S公司 | = n个 − k个 + 1 并且，如果需要，重命名边和顶点，让 S公司 ∩ E类 ( H（H） ) = { e（电子） 1 , … , e（电子） ℓ } 和 X（X） = V（V） ( H（H） ) \ ( S公司 ∩ V（V） ( H（H） ) ) = { v（v） 1 , … , v（v）秒 } ，其中秒 = n个 − | S公司 ∩ V（V） ( H（H） ) | = n个 − ( n个 − k个 + 1 − ℓ ) = k个 + ℓ − 1 根据TC-set的定义， X（X）是一个独立的集合H（H）以及中的所有顶点X（X）可以被覆盖 ℓ 边缘 e（电子） 1 , … , e（电子） ℓ 因此，工会L（左）这些中的 ℓ 边包含一组X（X）属于秒 > ℓ + k个 − 2 独立顶点。

现在只要证明我们可以确保 ℓ ≤ k个 − 1 。假设 ℓ ≥ k个和工会L（左）属于 e（电子） 1 , … , e（电子） ℓ 包含一个集合X（X）属于秒 = k个 + ℓ − 1 独立顶点。然后， ℓ = 秒 − k个 + 1 ≥ 秒 − ℓ + 1 保持不变，我们可以得出 2 ℓ − 1 ≥ 秒根据鸽子洞原理，存在一条边 e（电子） q个，其中 q个 ∈ [ ℓ ] ，它最多包含一个来自X（X）也就是说，

e（电子） q个 \ ⋃ j个 ∈ [ ℓ ] , j个 ≠ q个 e（电子） j个 ∩ X（X） | ≤ 1 .

删除此边缘 e（电子） q个从列表中，我们有 ℓ − 1 边，使其并集至少包含 ( ℓ − 1 ) + k个 − 1 独立顶点。如果 ℓ − 1 仍然大于 k个 − 1 ，我们可以重复这个过程。最后，我们有 ℓ ′ ≤ k个 − 1 边，使其并集包含 k个 + ℓ ′ − 1 独立顶点。因此，至多只需检查属性即可 k个 − 1 边缘。□

受定理3.5的启发，我们定义了以下几类超图。

定义3.6

对于每个 k个 ≥ 三，k一致超图H属于该类 ℋ k个，当且仅当， ρ ( H（H） ) ≤ k个 − 1 和 α 周 ( H（H） ) ≥ ρ ( H（H） ) + k个 − 1 .

条件 ρ ( H（H） ) ≤ k个 − 1 意味着对于每个k个以及每个 H（H） ∈ ℋ k个，顺序为H（H）最多是 k个 ( k个 − 1 ) 因此， ℋ k个是超图的有限集。具有以下定义 ℋ k个目前，我们可以得出以下推论。

推论3.7

对于每个 k个 ≥ 三 ，k一致超图F满足 t吨 c（c） ( 如果 ) = | V（V） ( 如果 ) | − k个 + 2 当且仅当F是 ℋ k个 -免费.

下一个定理及其结果给出了连通二部的一个刻画 ( γ , γ k个 ) -图表。事实上，这些特征指的是底层超图的属性，但是，因为我们知道每一个二部 ( γ , γ k个 ) -图表G公司属于一个类 ℬ k个 ( 如果 ) ，这些结果也表征了G公司.

定理3.8

对于每个 k个 ≥ 三 ，连通二部图G满足 γ k个 ( G公司 ) = γ ( G公司 ) + k个 − 2 ,当且仅当， G公司 ∈ ℬ k个 G的底层超图F满足 t吨 c（c） ( 如果 ) = | V（V） ( 如果 ) | − k个 + 2 .

证明

如果G公司是一个相连的二分体 ( γ , γ k个 ) -然后，根据定理3.1，我们得到 G公司 ∈ ℬ k个此外，根据定理3.2，G公司是一个 ( γ , γ k个 ) -图形当且仅当其 γ k个 -简化图 G公司 ⁎ 是一个 ( γ , γ k个 ) -图表也是如此。请注意G公司和 G公司 ⁎ 接受相同的底层超图如果哪里 | V（V） ( 如果 ) | = γ k个 ( G公司 ) = γ k个 ( G公司 ⁎ ) 根据推论2.6。因此，足以证明 γ ( G公司 ⁎ ) = t吨 c（c） ( 如果 ) .

现在考虑一个最小支配集问属于 G公司 ⁎ 这样的话 | 问 ∩ V（V） ( 如果 ) | 在此条件下为最大值。通过这个最大值，问不包含来自 V（V） ( G公司 ) \ V（V） ( 如果 ) 的确， x个我 1 ∈ 问控制自身和关联边的所有顶点 e（电子）我属于如果，然后， x个我 2 可以替换为的任何顶点 e（电子）我在支配集中。我们可以假设，在不失一般性的情况下 x个我 2 ∉ 问为每个人保留 e（电子）我 ∈ E类 ( 如果 ) .自 N个 G公司 ⁎ ( x个我 2 ) = e（电子）我和 | N个 G公司 ⁎ ( x个我 2 ) ∩ 问 | ≥ 1 ，我们推断问每个顶点至少包含一个顶点 e（电子）我 ∈ E类 ( 如果 ) 因此，问 ∩ V（V） ( 如果 ) 是的横向如果此外，如果顶点 v（v） j个 ∈ V（V） ( 如果 ) 不属于问，由顶点控制 x个秒 1 ∈ 问其中边缘 e（电子）秒底层超图的 v（v） j个。这意味着边缘集

R（右） = { e（电子）秒 : e（电子）秒 ∈ E类 ( 如果 ) 和 x个秒 1 ∈ 问 }

覆盖的所有顶点 V（V） ( 如果 ) 在外面问然后， ( 问 ∩ V（V） ( 如果 ) ) ∪ R（右）是中的TC集如果从那以后 | R（右） | 等于中的顶点数问 \ V（V） ( 如果 ) ，此TC集的基数为 | 问 | = γ ( G公司 ⁎ ) 因此， t吨 c（c） ( 如果 ) ≤ | 问 | = γ ( G公司 ⁎ ) .

为了证明另一个方向，假设 S公司 ′ = T型 ′ ∪ R（右） ′ 是TC-set的最小值如果哪里 T型 ′ = S公司 ′ ∩ V（V） ( 如果 ) 和 R（右） ′ = S公司 ′ ∩ E类 ( 如果 ) 现在，确定集合问 ⁎ ⊆ V（V） ( G公司 ⁎ ) 作为问 ⁎ = T型 ′ ∪ R（右） ⁎ 哪里 R（右） ⁎ 由这些顶点组成 x个我 1 代表边缘的 e（电子）我 ∈ R（右） ′ 也就是说，

R（右） ⁎ = { x个我 1 : N个 G公司 ⁎ ( x个我 1 ) ∈ R（右） ′ } .

因此，我们有 | 问 ⁎ | = | S公司 ′ | = t吨 c（c） ( 如果 ) 观察下面超图的定义，横截 T型 ′ 属于如果控制中的所有顶点 V（V） ( G公司 ) \ V（V） ( 如果 ) 在图表中 G公司年此外，每个顶点u个属于 V（V） ( 如果 ) 哪个在外面 T型 ′ 被边缘覆盖 e（电子）我 ∈ R（右） ′ 在底层超图中，因此，u个由顶点控制 x个我 1 ∈ R（右）年在里面G公司我们的结论是问 ⁎ 是一组占主导地位的 G公司 ⁎ 我们有 γ ( G公司 ⁎ ) ≤ | 问 ⁎ | = t吨 c（c） ( 如果 ) 。这就完成了定理的证明。□

定理3.8、定理3.5和推论3.7直接暗示了其他表征公式。

推论3.9

对于每个 k个 ≥ 三 ，连通二部图G是 ( γ , γ k个 ) -图的当且仅当 G公司 ∈ ℬ k个 G的底层超图F满足以下性质：对于每一个 ℓ ≤ k个 − 1 并且对于每个 ℓ 边缘 e（电子）我 1 , … , e（电子）我 ℓ F的联合 L（左） = ⋃ j个 = 1 ℓ e（电子）我 j个 最多包含个 ℓ + k个 − 2 弱独立顶点。

推论3.10

对于每个 k个 ≥ 三 ，连通二部图G是 ( γ , γ k个 ) -图的当且仅当 G公司 ∈ B类 k个 G的底层超图是 ℋ k个 -免费。

对于以下情况 k个 = 三，推论3.9可以重新表述如下。

推论3.11

连通二部图G是 ( γ , γ 三 ) -图的当且仅当 G公司 ∈ ℬ 三 并且底层超图F满足以下属性：

(⁎)每四个不同的顶点可以分割成两对相邻顶点，在F中至少会产生一个超边。

提议3.12

如果G是连通二部 ( γ , γ 三 ) -图和D是G的最小3支配集，那么 G公司 2 [ 天 ] 是阈值图.

证明

假设G公司和天满足命题的条件并考虑底层超图如果具有 V（V） ( 如果 ) = 天 .自 G公司 ∈ ℬ 三，任意两个顶点 u个 , v（v） ∈ 天距离为2英寸G公司属于的公共超边缘如果换句话说，如果 u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 2 [ 天 ] ) ，然后紫外线是2段图形中的边H（H）属于如果类似的论证表明，另一个方向也是有效的。因此， H（H） = G公司 2 [ 天 ] 根据推论3.11，基础超图如果满足 ( ⁎ ) 这意味着对于每两个顶点不相交的边 v（v） v（v） ′ 和 u个 u个 ′ 属于H（H），顶点集 { v（v） , v（v） ′ , u个 , u个 ′ } 至少包含一个超边缘如果。我们推断在 { v（v） , v（v） ′ , u个 , u个 ′ } ，在中引入三角形H（H）.检查所有可能的扩展 2 K 2 在四个顶点上，我们得到 2 K 2 , P（P） 4 、和 C类 4 是禁止的诱导子图。自 ( 2 K 2 , P（P） 4 , C类 4 ) -下面的语句中，自由图就是阈值图。□

4二分体的特征 ( γ , γ 三 ) -完美图

在本节中，我们证明了二部的一个特征 ( γ , γ 三 ) -完美图形。首先，我们定义图类 S公司 k个并证明 S公司 k个是 ( γ , γ k个 ) -适合所有人 k个 ≥ 2 然后，本节的主要定理说明 S公司三是所有二部的集合 ( γ , γ 三 ) -完美图形。

定义4.1

让 k个 , 第页 , 我 1 , … , 我第页是满足以下条件的整数 k个 ≥ 2 , 第页 ≥ 1 、和我 j个 ≥ k个对于每个 j个 ∈ [ 第页 ] 。我们定义 S公司 k个 ( 我 1 , … , 我第页 ) 作为从恒星获得的图形 K 1 , 第页以以下方式。首先更换边缘 e（电子） 1 , … , e（电子）第页与明星的关系我 1 , … , 我第页平行边，并将每条边精确细分一次。最后，通过以下内容补充图表 k个 − 2 新的顶点是带有中心的假双胞胎。对于固定整数 k个 ≥ 2 ，让 S公司 k个是包含所有 S公司 k个 ( 我 1 , … , 我第页 ) 具有第页 ≥ 1 和我 j个 ≥ k个对于每个 j个 ∈ [ 第页 ] .

用这个符号， S公司 2 ( ℓ ) 对应于 K 2, ℓ 无论何时 ℓ ≥ 2 一般来说， S公司 k个 ( ℓ ) 只是 K k个 , ℓ 如果 ℓ ≥ k个 ≥ 2 。有关另一个非完整二部图的示例，请参见图1.

提议4.2

如果 G公司 ∈ S公司 k个 ，然后 G公司是 ( γ , γ k个 ) -完美的.

证明

考虑一个图表 G公司 = S公司 k个 ( 我 1 , … , 我第页 ) 从graph类 S公司 k个检查最小顶点度数是否为k个而且 γ k个 ( G公司 ) = 第页 + k个 − 1 和 γ ( G公司 ) = 第页 + 1 保持。或者，平等 γ k个 ( G公司 ) = γ ( G公司 ) + k个 − 2 可以通过定理3.8直接验证。因此，G公司是一个 ( γ , γ k个 ) -图表。请注意，每个细分顶点都有度k个现在，考虑一个诱导子图H（H）属于G公司满足 δ ( H（H） ) ≥ k个。假设一个顶点 u个 ∈ V（V） ( G公司 ) 不属于 V（V） ( H（H） ) .如果u个那么，是中心还是它的假孪生兄弟，因为 δ ( H（H） ) ≥ k个，中不能存在细分顶点H（H）。这与学位条件相矛盾。如果u个是原始恒星中的叶子，那么，根据度条件，没有相邻的细分顶点属于H（H）.如果u个是细分顶点，则考虑u个比如说，那是星星上的一片叶子 u个 ′ ，并表示度数 d日 G公司 ( u个 ′ ) 通过我 j个 .何时u个不属于H（H），我们有两种情况： u个 ′ 至少k个它的邻居仍在H（H）; 或整个 N个 G公司 [ u个 ′ ] 从中省略H（H）.我们推断每个诱导子图H（H）属于G公司具有 δ ( H（H） ) ≥ k个与图同构 S公司 k个 ( 我 1 ′ , … , 我第页 ′ ′ ) ，其中我 j个 ′ ≥ k个为所有人 j个 ′ ∈ [ 第页 ′ ] 因此，H（H）是一个 ( γ , γ k个 ) -再次绘制图表。这证明了 ( γ , γ k个 ) -完美G公司.□

$图1图表插图S公司三(三,三,4){宋体}_{3}(3,3,4)。红色粗框表示两个假双子顶点。$

图1

图表插图 S公司三 ( 三 , 三 , 4 ) 。厚厚的红色方框表示两个虚假的孪生顶点。

如中所述[16], S公司 2 是全部的集合 ( γ , γ 2 ) -完美的图形。自每个 S公司 k个只包含二部图，这相当于说 S公司 2 是所有二部的集合 ( γ , γ 2 ) -完美的图形。这里，我们证明了一个类似的语句 S公司三 .

定理4.3

G公司 是一个二分体 ( γ , γ 三 ) -完美图的当且仅当 G公司 ∈ S公司三 .

证明

根据定义4.1和命题4.2 S公司三是 ( γ , γ 三 ) -完美的和二分的。为了证明另一个方向，假设G公司是一个二分体 ( γ , γ 三 ) -完美图，天是一个最小的3支配集，并且如果是的3-一致底层超图G公司（关于天). 在这些条件下，我们首先证明了关于如果和G公司.

权利要求A.F的每条边都包含一个1次顶点.

索赔证明A相反，假设 e（电子） 1 = { u个 , u个 ′ , u个 ″ } 是中的边如果这样的话 d日如果 ( u个 ) ≥ d日如果 ( u个 ′ ) ≥ d日如果 ( u个 ″ ) ≥ 2 .让 Y（Y） 4 是至少4英寸的度顶点集 V（V） ( G公司 ) \ 天然后让 Z轴 = ( N个 G公司 ( u个 ) ∩ N个 G公司 ( u个 ′ ) ∩ N个 G公司 ( u个 ″ ) ) \ { x个 1 1 } .

考虑诱导子图 H（H） = G公司 [ V（V） ( G公司 ) \ ( Y（Y） 4 ∪ Z轴 ) ] 属于G公司.自G公司是二部的，没有顶点天已删除，每个顶点年 ∈ V（V） ( H（H） ) \ 天 3度残余物H（H）.如果v（v）是来自的顶点天这样的话 d日如果 ( v（v） ) = 1 ，然后v（v）不能包含在顺序至少为4 in的集团中如果根据推论2.6，v（v）不能与中的任何顶点相邻 Y（Y） 4 .根据我们的假设， e（电子） 1 不包含1度顶点v中，因此，v（v）与中的任何顶点都不相邻Z轴因此， d日如果 ( v（v） ) = 1 暗示 d日 H（H） ( v（v） ) = d日 G公司 ( v（v） ) ≥ 三现在，考虑一个顶点 v（v） ∈ 天满足 d日如果 ( v（v） ) ≥ 2 .此顶点v（v）与至少两个不同的边相交如果，说吧v（v）与发生意外 e（电子）我和 e（电子） j个 .请注意 d日 G公司 ( v（v） ) ≥ 4 作为v（v）与中的所有顶点相邻 X（X）我 ∪ X（X） j个 .自 Y（Y） 4 ∪ Z轴最多包含一个顶点，即 x个 1 2 ，来自 X（X）我 ∪ X（X） j个，程度v（v）仍至少为3英寸H（H）.我们得出结论 δ ( H（H） ) = 三 .

很明显，在我们的假设下， ( 天 ∪ { x个 1 1 } ) \ { u个 , u个 ′ , u个 ″ } 是一个支配集H（H）因此我们有 γ ( H（H） ) ≤ | 天 | − 2 .我们现在证明 γ 三 ( H（H） ) ≥ | 天 | 这就产生了预期的矛盾。考虑任意3支配集问在里面H（H）.表示 | 天 \ 问 | 通过秒和 | 问 ∩ ( V（V） ( H（H） ) \ 天 ) | 通过 ℓ 。要在中控制所有顶点天 \ 问，我们至少需要三秒顶点集之间的边天 \ 问和问 ∩ ( V（V） ( H（H） ) \ 天 ) 另一方面，我们最多可能有三 ℓ 这两个集合之间的边，因为第二个集合中的每个顶点的阶数都是3。因此， ℓ ≥ 秒持有，这意味着

| 问 | = | 问 ∩ 天 | + | 问 ∩ ( V（V） ( H（H） ) \ 天 ) | = | 天 | − 秒 + ℓ ≥ | 天 |

对于每个3支配集问属于H（H）因此，我们有 γ 三 ( H（H） ) ≥ | 天 | > γ ( H（H） ) + 1 对于与 ( γ , γ 三 ) -完美G公司.这一矛盾完成了权利要求A的证明。

权利要求B。 每个顶点 V（V） ( G公司 ) \ 天 在G中为3度。

索赔证明B根据权利要求A，在如果在四个（或更多）顶点上。连同推论2.6，这意味着不存在大于3英寸的顶点 V（V） ( G公司 ) \ 天 .自 δ ( G公司 ) ≥ 三，这将导致 d日 G公司 ( 年 ) = 三对于每个年 ∈ V（V） ( G公司 ) \ 天如前所述。

权利要求C。 如果三个顶点在底层超图F中形成一条边，那么它们在G中至少有三个公共邻居.

索赔证明C根据权利要求A，每个边缘 e（电子） = { u个 , u个 ′ , u个 ″ } 属于如果包含一个度为1的顶点。我们可以假设u个这样的顶点在e（电子）根据底层超图的定义和权利要求B，1度顶点的所有邻居u个与边缘关联e（电子）也就是说，

N个 G公司 ( u个 ) = { 年 ∈ V（V） ( G公司 ) \ 天 : N个 G公司 ( 年 ) = { u个 , u个 ′ , u个 ′ ′ } } .

自 | N个 G公司 ( u个 ) | = d日 G公司 ( u个 ) ≥ 三，至少有三个共同的邻居u个, u个 ′ 、和 u个 ″ .

权利要求D.F没有正好共享一个顶点的两条边.

索赔证明D首先假设两条边，即 e（电子）我和 e（电子） j个，第页，共页如果恰好共享一个顶点周.让 e（电子）我 = { u个 , u个 ′ , 周 } 和 e（电子） j个 = { v（v） , v（v） ′ , 周 } 根据权利要求Cu个, u个 ′ 、和周至少有三个共同的邻居，用 x个我 1 , x个我 2 、和 x个我三同样，让v（v）, v（v） ′ 、和 v（v） ″ 是 x个 j个 1 , x个 j个 2 、和 x个 j个三考虑子图H（H）属于G公司由这11个顶点引起。请注意H（H）最低等级为3， γ 三 ( H（H） ) = 5 和，作为周, x个我 1 , x个 j个 1 形成支配集， γ ( H（H） ) ≤ 三因此，我们有 γ 三 ( H（H） ) > γ ( H（H） ) + 1 对于的连通诱导子图G公司最低等级为3。这与我们在 ( γ , γ 三 ) -完美G公司。因此，如果不能包含正好相交于一个顶点的两条边。

关于权利要求D的陈述和证明，请注意，即使 e（电子）我 ∪ e（电子） j个包含更多边如果，考虑的子图H（H）是的诱导子图G公司.

为了完成定理4.3的证明，我们进行了以下观察。如果如果只包含一条边，那么G公司是一个 K 三 , ℓ 与同构的 S公司三 ( ℓ ) 对于整数 ℓ ≥ 三因此，我们可以假设 | 天 | ≥ 4 和如果至少包含两条边。自G公司是一个连通的二部图天是partite类之一，即底层超图如果也必须连接。因此，如果有两条相交的边 e（电子）我和 e（电子） j个根据权利要求D， e（电子）我和 e（电子） j个共享两个顶点 v（v） 0 1 和 v（v） 0 2 .权利要求A暗示 e（电子）我为1级，同样适用于 e（电子） j个 .的连接性如果然后要求如果发生意外 v（v） 0 1 和 v（v） 0 2 并包含另一个私有顶点。因此，底层超图如果的 ( γ , γ 三 ) -完美的G公司总是可以通过以下方式获得（直到同构）：

V（V） ( 如果 ) = { v（v） 0 1 , v（v） 0 2 , v（v） 1 , … , v（v）第页 } ;

E类 ( 如果 ) = { e（电子） 1 , … , e（电子）第页 } 哪里 e（电子）我 = { v（v） 0 1 , v（v） 0 2 , v（v）我 } 对于每一个我 ∈ [ 第页 ] .

然后，G公司可以通过指定至少三个来构造我 j个，每条边的新顶点 e（电子） j个属于如果并使顶点相邻 e（电子） j个到新的关联顶点。这显然会产生图表 S公司三 ( 我 1 , … , 我第页 ) 具有我 j个 ≥ 三为所有人 j个 ∈ [ 第页 ] 请注意 δ ( G公司 ) ≥ 三意味着如果并不是没有棱角，因此，第页 ≥ 1 必须保持。我们的结论是 ( γ , γ 三 ) -完美图属于 S公司三 .□

我们证明，类似于定理4.3的语句对 k个 = 4 也不适用于任何偶数 k个 > 4 首先，考虑词典产品 C类 6 ∘ K ¯ 2 也就是说，循环的每个顶点 C类 6 替换为两个独立的顶点。然后， γ 4 ( C类 6 ∘ K ¯ 2 ) = 6 = γ ( C类 6 ∘ K ¯ 2 ) + 2 并且，由于图是4正则的，所以每个合适的子图都有一个小于4的度的顶点。因此， C类 6 ∘ K ¯ 2 是 ( γ , γ 4 ) -完美和二分但不属于 S公司 4 。作为一个无限类的类似示例，我们提出了以下结构。

例子

对于每个偶数整数 k个 = 2 ℓ ≥ 4 考虑二部图 G公司 k个 ∈ G公司 k个 ⁎ 作为以下底层超图的双关联图获得如果 k个。的顶点集如果 k个是 V（V） = W公司 ∪ 单位哪里 W公司 = { 周 1 , … , 周 ℓ } 和单位 = { u个 1 , … , u个 ℓ + 1 } ; 边缘集是 E类 = { e（电子） 1 , … , e（电子） ℓ + 1 } 哪里 e（电子）我 = V（V） \ { u个我 } 为所有人我 ∈ [ ℓ + 1 ] 。可以检查一下如果 k个满足结论3.9中给出的条件，因此， G公司 k个是一个 ( γ , γ k个 ) -图表。另一方面，可以检查 G公司 k个最小度数小于k个我们可以得出这样的结论 G公司 k个是一个二分体 ( γ , γ k个 ) -完美图但不属于 S公司 k个 .

$图2以下结构的说明三三-SAT减少：条款C类1{C}（C）_{1}和C类ℓ{C}（C）_{\ell}对应于顶点c（c）1{c}_{1}和c（c）ℓ{c}_{\ell}，分别。，是C类1=(x个1∨¬x个三∨¬x个秒){C}（C）_{1}=({x}_{1} \vee\neg（V）{x}_{3} \vee\neg（V）{x}_{s} ）和C类ℓ=(x个1∨¬x个2∨x个秒){C}（C）_{\ell}=({x}_{1} \vee\neg（V）{x}_{2} \维{x}_{s} ）。红色粗框表示k个−1k-1号机组具有相同开放邻域的独立顶点。$

图2

以下结构的说明三 -SAT减少：条款 C类 1 和 C类 ℓ 对应于顶点 c（c） 1 和 c（c） ℓ ，分别。，是 C类 1 = ( x个 1 ∨ ¬ x个三 ∨ ¬ x个秒 ) 和 C类 ℓ = ( x个 1 ∨ ¬ x个 2 ∨ x个秒 ) 。红色粗框表示 k个 − 1 具有相同开放邻域的独立顶点。

5复杂性结果

提议5.1

设k是一个固定整数 k个 ≥ 三 然后让 G公司 是一个二部图 Δ ( G公司 ) ≥ k个 .可以在多项式时间内决定图是否 G公司 满足等式 γ k个 ( G公司 ) = γ ( G公司 ) + k个 − 2 .

证明

如果G公司是一个相连的二分体 ( γ , γ k个 ) -带有的图形 Δ ( G公司 ) ≥ k个然后，根据定理3.1，每个最小值k个-支配集是G公司和 G公司 ∈ ℬ k个。可以有效地进行检查，并且假设条件满足k个-一致底层超图如果也可以在多项式时间内确定。然后，根据推论3.10，足以决定是否如果是 ℋ k个 -免费。回想一下 ℋ k个是有限集k个-一致超图，每个超图最多是有序的 k个 ( k个 − 1 ) 因此，此步骤也可以在多项式时间内执行。

最后，请注意，如果G公司断开，它满足 γ k个 ( G公司 ) = γ ( G公司 ) + k个 − 2 ，当且仅当，G公司包含一个组件，该组件是 ( γ , γ k个 ) -图和其他组件是孤立的顶点。因此，在不连通二部图类上，该语句仍然成立。□

定理5.2

对于每个 k个 ≥ 2 ，由NP决定是否平等 γ k个 ( G公司 ) = γ ( G公司 ) + k个 − 2 全班支持G G公司 k个 .

证明

为了证明相应的决策问题是NP-hard，我们从经典的NP-完全问题3-SAT问题构造了一个多项式时间约简[24]. 请注意，我们采用了我们在[16]证明NP-hardness。由于这里需要的构造更一般，为了简洁起见，我们只显式地给出了构造并给出了其余证明的草图。

让 C类成为三 -带子句的SAT实例 C类 1 , C类 2 , … , C类 ℓ 在布尔变量上 X（X） = { x个 1 , x个 2 , … , x个秒 } 。我们可以假设秒 ≥ 4 , ℓ ≥ 2 每三个变量 x个我 1 , x个我 2 , x个我三存在一个子句 C类 j个，其中 j个 ∈ [ ℓ ] ，使得 C类 j个不包含任何变量 x个我 1 , x个我 2 , x个我三（既不以积极形式也不以消极形式）。否则，问题最多可以减少到八个（分开） 2 -SAT问题，可在多项式时间内解决。

我们构造一个图 G公司 ∈ G公司 k个，以便给定实例 C类属于三 -SAT问题是可满足的当且仅当 γ ( G公司 ) < γ k个 ( G公司 ) − k个 + 2 .

对于每个变量 x个我，我们创建三个顶点 { x个我 t吨 , x个我（f） , v（v）我 } 然后我们添加边 x个我 t吨 v（v）我和 x个我（f） v（v）我 .对于每个条款 C类 j个 ∈ C类，我们创建一个顶点 c（c） j个，如果 x个我是中的文字 C类 j个，然后 x个我 t吨 c（c） j个 ∈ E类 ( G公司 ) ; 如果 ¬ x个我是中的文字 C类 j个，然后 x个我（f） c（c） j个 ∈ E类 ( G公司 ) 此外，我们添加了一个顶点 c（c） ⁎ 和边缘 c（c） ⁎ x个我 t吨和 c（c）年 x个我（f）对于每个我 ∈ [ 秒 ] 。我们还添加了一个顶点 v（v）秒 + 1 和边缘集 { c（c）我 v（v）秒 + 1 : 1 ≤ 我 ≤ ℓ } ∪ { c（c） ⁎ v（v）秒 + 1 } 。最后，我们添加 k个 − 1 新顶点 v（v） 0 1 , … , v（v） 0 k个 − 1 ，以便每个顶点 v（v） 0 第页与中的每个顶点相邻 V（V） ( G公司 ) \ { v（v） 1 , v（v） 2 … , v（v）秒 + 1 } 对于第页 ∈ [ k个 − 1] （有关构造的说明，请参见图2). 的顺序 G公司很明显三秒 + ℓ + k个 + 1 这种构造可以在多项式时间内完成。请注意 G公司 ∈ G公司 ( 如果 ) 和中的任意两个超边如果分享 k个 − 1 顶点，即 v（v） 0 1 , … , v（v） 0 k个 − 1 。很容易证明 { v（v） 1 , … , v（v）秒 + 1 , v（v） 0 1 , … , v（v） 0 k个 − 1 } 是最小值k个-控制集G公司因此， γ k个 ( G公司 ) = k个 + 秒。我们向读者介绍[16]以获得更详细的证据 k个 = 2 .

为了完成证明，只需表明 C类是可满足的当且仅当 γ ( G公司 ) < γ k个 ( G公司 ) − k个 + 2 首先，假设 C类是可满足的并且让 φ : X（X） → { t吨 , （f） } 是相应的真理赋值。这套天 ′ = 天 1 ∪ 天 2 ∪ { c（c）年 } 是支配集，其中天 1 = ⋃ 我 ∈ [ 秒 ] { x个我 t吨 : φ ( x个我 ) = t吨 } 然后让天 2 = ⋃ 我 ∈ [ 秒 ] { x个我（f） : φ ( x个我 ) = （f） } .自 | 天 ′ | = 秒 + 1 ，我们有 γ ( G公司 ) < γ k个 ( G公司 ) − k个 + 2 = ( k个 + 秒 ) − k个 + 2 对于 k个 ≥ 2 .

对于另一个方向，假设 γ ( G公司 ) < γ k个 ( G公司 ) − k个 + 2 考虑一个支配集天 ′ 这样的话 | 天 ′ | ≤ 秒 + 1 .为了统治 v（v）我，集合天 ′ 包含集合中的至少一个顶点 { x个我 t吨 , x个我（f） , v（v）我 } ，每个我 ∈ [ 秒 ] 类似地，支配 v（v）秒 + 1 ，集合天 ′ 包含集合中的至少一个顶点 { c（c） 1 , c（c） 2 , … , c（c） ℓ , c（c） ⁎ , v（v）秒 + 1 } .自 | 天 ′ | ≤ 秒 + 1 ，我们有 | 天 ′ ∩ { x个我 t吨 , x个我（f） , v（v）我 } | = 1 对于每个我 ∈ [ 秒 ] 此外， | 天 ′ ∩ { c（c） 1 , c（c） 2 , … , c（c） ℓ , c（c） ⁎ , v（v）秒 + 1 } | = 1 和 { v（v） 0 1 , … , v（v） 0 k个 − 1 } ∩ 天 ′ = ∅ 。有三个案例需要考虑，如需详细讨论，请读者参考[16].

如果 v（v）秒 + 1 ∈ 天 ′ 然后，统治 x个我 t吨和 x个我（f）对于每个我 ∈ [ 秒 ] ，每 v（v）我必须包含在天 ′ 。因此，顶点 { v（v） 0 1 , … , v（v） 0 k个 − 1 } 不受来自的顶点控制天 ′ ，一个矛盾。
如果 c（c） j个 ∈ 天 ′ 对一些人来说 j个 ∈ [ ℓ ] 然后是所有人，最多三人我 ∈ [ 秒 ] 我们有 v（v）我 ∈ 天 ′ 然后，有一个顶点 c（c） q个，使得 q个 ∈ [ ℓ ] 和 c（c） q个不受来自的顶点控制天 ′ ，一个矛盾。
如果 c（c） ⁎ ∈ 天 ′ ，然后 c（c） j个必须由顶点控制 x个我 t吨或 x个我（f）对于每个 j个 ∈ [ ℓ ] 。现在，考虑一下真相分配 φ : X（X） → { t吨 , （f） } 哪里 φ ( x个我 ) = t吨当且仅当 x个我 t吨 ∈ 天 ′ 并观察到 φ 满足3-SAT实例 C类 .

这就完成了证明。□

鸣谢

这项研究是在Csilla Bujtás访问土耳其伊兹密尔的Ege大学时开始的；作者感谢TüBITAK在BIDEB 2221（1059B211800686）拨款下提供的财政支持。Csilla Bujtás还感谢斯洛文尼亚研究机构在N1-0108项目下提供的财政支持。

工具书类

[1]约翰·弗雷德里克·芬克（John Frederick Fink）和迈克尔·S·雅各布森（Michael S.Jacobson），《图论及其在算法和计算机科学中的应用》，1985年，第283-300页。在谷歌学者中搜索

[2]约翰·弗雷德里克·芬克（John Frederick Fink）和迈克尔·雅各布森（Michael S.Jacobson），关于n-支配、n-依赖和禁止子图，收录于：图论在算法计算机科学中的应用，1985年，第301-311页。在谷歌学者中搜索

[3]Csilla Bujtás和Szilárd Jaskó，2支配数的界限，离散应用。数学。242（2018），4-15，10.1016/j.dam.2017.05.014.在谷歌学者中搜索

[4]Yair Caro，关于图和超图的k-控制和k-横截数，Ars Combin.29（1990），49–55。在谷歌学者中搜索

[5]Yair Caro和Yehuda Roditty，关于图的k-控制数的注记，国际数学杂志。数学。科学。13（1990），编号1，205-206，10.1155/S016117129000031X号.在谷歌学者中搜索

[6]Odile Favaron，图中的k-支配和k-独立，Ars Combin，25C（1988），159-167。在谷歌学者中搜索

[7]Odile Favaron、Adriana Hansberg和Lutz Volkmann，关于图的k-控制和最小度，《图论杂志》57（2008），第1期，33–40，10279年10月10日.在谷歌学者中搜索

[8]阿德里亚娜·汉斯伯格（Adriana Hansberg），关于k-控制数、控制数和长度四的圈，尤蒂尔（Util）。数学。98 (2015), 65–76.在谷歌学者中搜索

[9]Adriana Hansberg和Ryan Pepper，关于图中的k-支配和j-依赖，离散应用。数学。161（2013），第10期，1472-1480，10.1016/j.dam.2013.02.008.在谷歌学者中搜索

[10]Ramy S.Shaheen，环形网格图的2支配数的界，国际计算杂志。数学。86（2009），第4期，584–588，10.1080/00207160701690284.在谷歌学者中搜索

[11]Teresa W.Haynes、Stephen Hedetniemi和Peter Slater，《图形支配：高级主题》，马塞尔·德克尔，纽约，1997年。在谷歌学者中搜索

[12]Teresa W.Haynes、Stephen Hedetniemi和Peter Slater，《图的支配基础》，CRC出版社，博卡拉顿，1998年。在谷歌学者中搜索

[13]Mustapha Chellali、Odile Favaron、Adriana Hansberg和Lutz Volkmann，《图中的k-支配和k-独立：一项调查》，《图组合》28（2012），第1期，第1-55页，2007年10月7日/00373-011-1040-3.在谷歌学者中搜索

[14]Adriana Hansberg、Bert Randerath和Lutz Volkmann，具有相等2支配数和控制数的无爪图，Filomat 30（2016），第10期，2795–2801，10.2298/FIL1610795H.在谷歌学者中搜索

[15]阿德里亚娜·汉斯伯格（Adriana Hansberg）和卢兹·沃克曼（Lutz Volkmann），关于具有相等支配数和2支配数的图，离散数学。308（2008），第11期，2277–2281，10.1016/j.disc.2007.04.057.在谷歌学者中搜索

[16]Gülnaz BoruzanlñEkinci和Csilla Bujtás，《关于支配数和2支配数的相等性》，arXiv预印本，arXiv:1907.078662019年。在谷歌学者中搜索

[17]S.Arumugam、Bibin K.Jose、Csilla BujtáS和Zsolt Tuza，超图中控制数和横截数的相等性，离散应用。数学。161（2013），第13期，1859–1867，2016年10月10日/2009年2月13日.在谷歌学者中搜索

[18]Mostafa Blidia、Mustapha Chellali和Teresa W.Haynes，具有相等配对和双重控制数的树的特征，离散数学。306（2006），第16期，1840–1845，2016年10月10日/j.disc.2006.03.061.在谷歌学者中搜索

[19]Magda Dettlaff、Magdalena Lemaáska、Gabriel Semanišin和Rita Zuazua，《完美图的一些变体》，讨论。数学。图论36（2016），第3期，661-668，10.7151/天1880.在谷歌学者中搜索

[20]伯特·哈特内尔（Bert Hartnell）和道格拉斯·拉尔（Douglas F.Rall），最小支配集覆盖所有边的图的特征，捷克斯洛伐克数学。J.45（1995），第2期，221–230。2011年10月11日/立方厘米.1995.128526在谷歌学者中搜索

[21]Marcin Krzywkowski、Michael A.Henning和Christoph Brause，《二支配数和二独立数相等的树的特征描述》，《离散数学》。西奥。计算。科学。19 (2017),10.23638/DMTCS-19-1-1.在谷歌学者中搜索

[22]Bert Randerath和Lutz Volkmann，具有相等控制和覆盖数的图的特征，离散数学。191（1998），编号1-3，159-169，10.1016/S0012-365X（98）00103-4.在谷歌学者中搜索

[23]Andrzej Lingas、Mateusz Miotk、Jerzy Topp和PaweŻylin ski，《控制和覆盖数相等的图》，J.Comb。最佳方案。39（2020年），第1期，第55–71期，2007年10月10日/10878-019-00454-6.在谷歌学者中搜索

[24]迈克尔·加里（Michael R.Garey）和大卫·约翰逊（David S.Johnson），《计算机与不可处理性：NP-完备性理论指南》，WH Freeman and Co.，纽约，1979年。在谷歌学者中搜索

收到：2019-07-31

认可的：2020-06-03

在线发布：2020-08-24

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