1引言
近年来，分数阶偏微分方程（FPDE）受到了越来越多的关注，它可以比经典的积分阶微分方程更准确地描述一些物理和化学现象。例如，当研究涉及扩散和波传播现象统一的通用电磁响应时，有些过程是由具有时间分数阶导数的方程建模的γ∈ (1, 2) [1]. 一般来说，分数阶偏微分方程的解析解很难获得，因此许多作者求助于基于收敛性和稳定性的数值求解技术。研究人员提出了求解FPDE的各种数值方法，如有限元法[2，三]，有限差分法[4，5，6]，无网格法[7，8]，小波方法[9]，样条曲线配置法[10，11，12]等等。
在本研究中，我们考虑以下二维时间分数阶扩散波方程
0C类D类吨γu个(x个，年，吨)=Δu个(x个，年，吨)−u个(x个，年，吨)+（f）(x个，年，吨)，(x个，年，吨)∈Ω×(0，T型]
(1.1)
以初始条件为准
u个(x个，年，0)=ϕ(x个，年)，∂u个(x个，年，0)∂吨=φ(x个，年)，(x个，年)∈Ω，
（1.2）
和边界条件
u个(x个，年，吨)=0，(x个，年，吨)∈∂Ω×(0，T型]，
（1.3）
哪里Δ是拉普拉斯算子，Ω=[0,1]×[0,1]带边界∂ Ω，ϕ(x个，年),φ(x个，年)和（f）(x个，年，吨)在各自的域中给出足够光滑的函数
0C类D类吨γ
表示顺序的卡普托导数γ（1）<γ<2），内容如下：
0C类D类吨γu个(x个，年，吨)=1Γ(2−γ)∫0吨∂2u个(x个，年，秒)∂秒2(吨−秒)1−γd日秒，
在哪儿Γ（●）是Gamma函数。在不失一般性的情况下，我们假设ϕ(x个，年)≡0英寸（1.2），因为我们可以求解v（v）(x个，年，吨)=u个(x个，年，吨) −ϕ(x个，年)一般来说。
中的大多数数值算法[1，2，三，4，5，6，7，8]雇佣了我1近似分数导数的方案。最近，Tian等人[13]通过加权和移位Grünwald差分（WSGD）算子，提出了Riemann-Liouville分数阶导数的二阶和三阶近似。此后，许多学者进行了一些涉及WSGD思想的相关研究工作。在[14]Liu等人开发了一种结合WSGD近似的高阶局部间断Galerkin方法，用于求解Caputo时间分数次扩散方程。在[15]Chen考虑了用WSGD算子逼近时间分数导数的变系数多项时间分数阶扩散和扩散波方程的数值解。在[16]Yang提出了一种新的数值逼近方法，利用时间方向上的二阶WSGD算子和空间方向上的正交样条配置方法，对二维分布阶时间分数阶反应扩散方程进行了数值逼近。遵循WSGD运营商的想法，Wang和Vong[17]将紧致有限差分WSGI格式用于时间Caputo分数阶扩散波方程。然而，WSGI近似的数值方法却很少被研究。Cao等人[18]应用WSGI近似思想结合有限元方法求解时间分数阶波动方程。
正交样条配置（OSC）方法已发展成为求解不同类型偏微分方程的一种有价值的技术[19，20，21，22，23]. OSC之所以受欢迎，是因为其概念简单、适用范围广且易于实现。与有限差分法和伽辽金有限元法相比，OSC法具有以下优点：由于不需要计算积分，因此确定近似解的方程中系数的计算速度快；它提供了解的近似和空间导数。此外，OSC方案总是会导致几乎块对角线性系统，这可以通过软件包进行有效求解[24]. OSC方法的另一个特点在于它的超收敛性[25]。
受上述工作的激励和启发，本文的主要目标是提出一种结合二阶WSGI算子的高阶OSC近似方法来求解二维时间分数阶波动方程，在后面的章节中简称为WSGI-OSC。本文的其余部分组织如下。在第2节，给出了一些注释和前言。在第3节将WSGI算子与二阶正交样条配置格式相结合，建立了全离散格式。WSGI-OSC格式的稳定性和收敛性分析见第4节.第5节提供了WSGI-OSC方案的详细描述。在第6节为了验证收敛性分析，进行了若干数值实验。最后，第7节得出了结论。
2离散时间OSC方案
2.1准备工作
在本节中，我们将介绍一些符号和基本引理。对于某些正整数N个x个和N个年，δx个和δ年是两个均匀的分区我=[0，1]，定义如下：
δx个:0=x个0<x个1<⋯<x个N个x个=1，δ年:0=年0<年1<⋯<年N个年=1，
和
小时我x个=x个我−x个我−1， 我我x个=(x个我−1，x个我)，1≤我≤N个x个， 和 小时j个年=年j个−年j个−1， 我j个年=(年j个−1，年j个)，1≤j个≤N个年
，
小时=最大值(最大值1≤我≤N个x个小时我x个，最大值1≤j个≤N个年小时j个年).
让M（M）对(δx个)和M（M）对(δ年)至多是分段多项式的空间对≥3，定义为
M（M）对(δx个)={v（v）∈C类1[0，1]:v（v）|我我x个∈P（P）对，1≤我≤N个x个，v（v）(0)=v（v）(1)=0}，M（M）对(δ年)={v（v）∈C类1[0，1]:v（v）|我j个年∈P（P）对，1≤j个≤N个年，v（v）(0)=v（v）(1)=0}，
哪里P（P）对表示最多次数多项式集对很容易知道空间的尺寸M（M）x个(δx个)和M（M）年(δ年)是(对− 1)N个x个:=M（M）x个和(对− 1)N个年:=M（M）年分别是。
让δ=δx个⊗δ年是的拟均匀划分Ω、和M（M）对(δ)=M（M）对(δx个) ⊗M（M）对(δ年)尺寸为M>（M）x个×M（M）年.让
{λj个}j个=1对−1
表示的节点{对区间上的−1}-点高斯求积规则我具有相应的重量
{ωj个}j个=1对−1
。表示方式
G公司x个={ξ我，我x个}我，我=1N个x个，对−1一n个d日G公司年={ξj个，米年}j个，米=1N个年，对−1
作为高斯点的集合x个和年方向，其中
ξ我，我x个=x个我−1+小时我x个λ我，ξj个，米年=年j个−1+小时j个年λ米，1≤我，米≤对−1
设𝓖={ξ= (ξx个，ξ年) :ξx个∈ 𝓖x个，ξ年∈ 𝓖年}. 对于功能u个和v（v）定义在𝓖上，内积〈u个，v（v）〉和范数‖v（v）∥M（M）对分别由定义
〈u个，v（v）〉=∑我=1N个x个∑j个=1N个年小时我x个小时j个年∑我=1对−1∑米=1对−1ω我ω米(u个v（v）)(ξ我，我，ξj个，米)，∥v（v）∥M（M）对2=〈v（v），v（v）〉.
对于米非负整数，让H（H）米(Ω)表示通常的带范数的Sobolev空间
∥v（v）∥H（H）米=(∑我=0米∑我+j个=我∥∂我+j个v（v）∂x个我∂年j个∥2)12，
其中范数‖‖表示通常我2规范，有时写为‖‖H（H）0为了方便起见。在我们即将进行的分析中，需要以下重要引理。首先，我们介绍了可微（分别是两次可微）映射W公司：[0，T型] →M（M）对(δ)由
Δ(u个−W公司)=0o个n个G公司×[0，T型]，
(2.1)
哪里u个是等式的解。(1.1)-（1.3）然后我们对以下方面进行了估算u个−W公司及其时间导数。
引理2.1
[26]如果 ∂我u/？t我∈H（H）对+3−j个，为所有人 吨∈ [0,T型],我= 0, 1, 2,j个= 0, 1, 2,和 W公司 由定义(2.1)，那么存在一个常数 C类 这样的话
∥∂我(u个−W公司)∂吨我∥H（H）j个≤C类小时对+1−j个∥∂我u个∂吨我∥H（H）对+三−j个.
(2.2)
引理2.2
[26]如果 ∂我u/？t我∈H（H）对+3，对于 吨∈ [0,T型],我= 0, 1,然后
∥∂我+我(u个−W公司)∂x个我1∂年我2∂吨我∥M（M）对≤C类小时对+1−我∥∂我u个∂吨我∥H（H）对+三，
(2.3)
其中0≤我=我1+我2≤4。
引理2.3
[27]如果u，v（v）∈M（M）对(δ),然后
〈−Δu个，v（v）〉=〈u个，−Δv（v）〉，
(2.4)
存在一个正常数C类这样的话
〈−Δu个，u个〉≥C类∥∇u个∥2≥0
(2.5)
引理2.4
[28]规范∥⋅∥M（M）对 和∥⋅∥等效于 M（M）对(δ).
在整篇文章中，我们表示C类>0是一个与网格大小无关的常数小时和τ以下杨氏不等式也将被反复使用，
X（X）Y（Y）≤εX（X）2+14εY（Y）2，X（X），Y（Y）∈对，ε>0
(2.6)
2.2完全离散正交样条配置方案的构造
在本小节中，我们考虑求解方程的离散时间OSC格式。(1.1)-（1.3）我们提出的方法的主要思想是将时间分数阶扩散波方程转换为等效的偏积分微分方程。构造解的连续时间OSC格式u个属于(1.1)，我们引入了Riemann-Liouville分数积分，其定义为
0我吨αu个(x个，年，吨)=1Γ(α)∫0吨u个(x个，年，秒)(吨−秒)1−αd日秒，
(2.7)
其中0<α=γ− 1 < 1.
我们对方程进行积分(1.1)使用Riemann-Liouville分数次积分算子
0我吨α
定义于(2.7)，然后将问题转化为等价的偏积分微分方程，如下所示
u个吨(x个，年，吨)−0我吨αΔu个(x个，年，吨)+0我吨αu个(x个，年，吨)=0我吨α（f）(x个，年，吨)+φ(x个，年).
(2.8)
让吨k个=kτ，k个= 0, 1, ⋯,N个，其中τ=电话号码是时间步长。为了便于描述，我们定义
D类吨u个n个+1=u个n个+1−u个n个τ， 和 u个n个+12=u个n个+1+u个n个2，
哪里u个n个≜u个(x个，年，吨n个). 基于加权移位Grünwald差分算子的思想，Wang和Vong([17])建立了Riemann-Liouville分数阶积分算子的二阶精度逼近公式
0我吨αu个n个+1，
称为WSGI近似，
0我吨αu个n个+1=τα∑k个=0n个λk个(α)u个n个+1−k个+E类~≜0我吨αu个n个+1+E类~，
(2.9)
哪里Ẽ=哦(τ2)和
λ0(α)=(1−α2)ω0(α)，λk个(α)=(1−α2)ωk个(α)+α2ωk个−1(α)，k个≥1，
（2.10）
在这里
ωk个(α)=(−1)k个−αk个，ω0(α)=1，ωk个(α)=(1+α−1k个)ωk个−1(α)，k个≥1
(2.11)
利用Crank-Nicolson差分格式和WSGI近似公式对方程进行离散(2.8)，我们得到了时间方向上的半离散格式
D类吨u个n个+1−0我吨α△u个n个+12+0我吨αu个n个+12=克n个+12+E类n个+12，
(2.12)
哪里
克n个+12=0我吨α（f）n个+12+φ(x个，年)， E类n个+12=E类~+E类c（c）n个+12=哦(τ2)， E类c（c）n个+12=D类吨u个n个+12−u个吨(吨n个+12)=哦(τ2).
然后使用(2.9)，(2.12)，Eqs的全离散WSGI-OSC方案(1.1)包含在查找中
{u个小时n个}n个=0N个−1⊂M（M）对(δ)
这样的话
u个小时n个+1−u个小时n个τ−τα∑k个=0n个λk个(α)△u个小时n个+12−k个+τα∑k个=0n个λk个(α)u个小时n个+12−k个=克n个+12.
(2.13)
为了分析的需要，我们给出了方程的以下等价Galerkin弱公式(2.12)将方程式乘以v（v）∈
H（H）01
并在空间领域进行整合Ω
(D类吨u个n个+1，v（v）)+(0我吨α▽u个n个+12，▽v（v）)+(0我吨αu个n个+12，v（v）)=(克n个+12，v（v）)+(E类n个+12，v（v）).
(2.14)
我们占据了空间M（M）对(δ)⊂
H（H）01
并获得如下全离散格式：
(u个小时n个+1−u个小时n个τ，v（v）小时)+τα∑k个=0n个λk个(α)(▽u个小时n个+12−k个，▽v（v）小时)+τα∑k个=0n个λk个(α)(u个小时n个+12−k个，v（v）小时)=(克n个+12，v（v）小时)，∀v（v）小时∈M（M）对(δ)
(2.15)
3 WSGI-OSC格式的稳定性和收敛性分析
在本节中，我们将给出全离散WSGI-OSC格式的稳定性和收敛性分析(2.13).为此，我们还需要以下引理。
引理3.1
[17]让
{λk个(α)}k个=0∞
定义于（2.10），那么对于任何正整数 k个 和实向量(v（v）1，v（v）2, ⋯,v（v）k个)T型∈ 𝓡k个，它认为
∑n个=0k个−1(∑第页=0n个λ第页(α)v（v）n个+1−第页)v（v）n个+1≥0
引理3.2
（格朗沃尔的不定性）[29]假设 k个n个 和 第页n个 是非负序列，和顺序 ϕn个 满足
ϕ0≤克0，ϕn个≤ϕ0+∑我=0n个−1第页我+∑我=0n个−1k个我第页我，n个≥1，
哪里，克0≥ 0.然后是序列 ϕn个满足
ϕn个≤(克0+∑我=0n个−1第页我)e（电子）x个第页(∑我=0n个−1k个我)，n个≥1
定理3.1
完全-离散WSGI-OSC方案(2.15)对于足够小是无条件稳定的 τ> 0,它能容纳
||u个小时我+1||2≤C类(||u个小时0||2+最大值0≤n个≤N个−1||克n个+12||2)，1≤我≤N个−1
(3.1)
证明
拿
v（v）小时=u个小时n个+12=u个n个+1+u个n个2
在里面(2.15)应用Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式得出
12τ(||u个小时n个+1||2−||u个小时n个||2)+τα∑k个=0n个λk个(α)[(▽u个小时n个+12−k个，▽v（v）小时)+(u个小时n个+12−k个，v（v）小时)]≤12(||克n个+12||2+||u个小时n个+12||2).
(3.2)
求和(3.2)对于n个从0到我(0 ≤n个≤N个−1），我们获得
12τ∑n个=0我(||u个小时n个+1||2−||u个小时n个||2)+τα∑n个=0我∑k个=0n个λk个(α)[(▽u个小时n个+12−k个，▽v（v）小时)+(u个小时n个+12−k个，v（v）小时)]≤12∑n个=0我(||克n个+12||2+||u个小时n个+12||2).
(3.3)
将上述方程式乘以2τ，也使用引理1，然后去掉非负项
2τα+1∑n个=0我∑k个=0n个λk个(α)[(▽u个小时n个+12−k个，▽v（v）小时)+(u个小时n个+12−k个，v（v）小时)]，
我们有
||u个小时我+1||2≤||u个小时0||2+τ∑n个=0我(||克n个+12||2+||u个小时n个+12||2)≤||u个小时0||2+T型最大值0≤n个≤N个−1||克n个+12||2+τ∑n个=0我||u个小时n个+12||2≤||u个小时0||2+T型最大值0≤n个≤N个−1||克n个+12||2+τ∑n个=0我12(||u个小时n个+1||2+||u个小时n个||2).
(3.4)
然后，它给出了这一点，
(1−12τ)||u个小时我+1||2≤(1+12τ)||u个小时0||2+T型最大值0≤n个≤N个−1||克n个+12||2+τ∑n个=1我||u个小时n个||2.
(3.5)
提供时间步长τ足够小，存在一个正常数C类这样的话
||u个小时我+1||2≤C类(||u个小时0||2+T型最大值0≤n个≤N个−1||克n个+12||2+τ∑n个=1我||u个小时n个||2).
(3.6)
使用Gronwall的引理3.2，我们得到
||u个小时我+1||2≤C类(||u个小时0||2+最大值0≤n个≤N个−1||克n个+12||2).
(3.7)
证据是完整的。
定理3.2
假设 u个 是的精确解(1.1)-（1.3），和
u个小时n个
(0 ≤n个≤N个− 1)是问题的解决方案(2.13)具有
u个小时0
=W公司0，那么存在一个正常数 C类，独立于 小时 和 τ 这样的话
∥u个(吨n个)−u个小时n个∥2≤C类(τ2+小时对+1).
(3.8)
证明
使用W公司定义于(2.1)，我们设置
ηn个=W公司n个−u个n个，ζn个=u个小时n个−W公司n个，0≤n个≤N个，
(3.9)
所以我们有
u个n个−u个小时n个=ηn个+ζn个.
(3.10)
因为估计ηn个由提供引理2.2，绑定就足够了ζn个，然后使用三角形不等式来限定u个n个−
u个小时n个
首先，来自(1.1)，(2.1)，(2.13)、和(2.15)，然后针对v（v）小时∈M（M）对(δ)，我们获得
(ηn个+1−ηn个τ，v（v）小时)+τα∑k个=0n个λk个(α)(▽ηn个+12−k个，▽v（v）小时)+τα∑k个=0n个λk个(α)(ηn个+12−k个，v（v）小时)=−τα∑k个=0n个λk个(α)(ζn个+12−k个，v（v）小时)−(ζn个+1−ζn个τ，v（v）小时)+(E类n个+12，v（v）小时)，
（3.11）
哪里
E类n个+12
定义于(2.12).采取
v（v）小时=ηn个+12
在里面(3.11)，我们有
(ηn个+1−ηn个τ，ηn个+12)+τα∑k个=0n个λk个(α)(▽ηn个+12−k个，▽ηn个+12)+τα∑k个=0n个λk个(α)(ηn个+12−k个，ηn个+12)=−τα∑k个=0n个λk个(α)(ζn个+12−k个，ηn个+12)−(ζn个+1−ζn个τ，ηn个+12)+(E类n个+12，ηn个+12).
(3.12)
乘法(3.12)按2τ，并从中求和n个=0至n个=我− 1 (1 ≤n个≤N个+1），因此
∑n个=0我−1(||ηn个+1||2−||ηn个||2)+2τα+1∑n个=0我−1∑k个=0n个λk个(α)[(▽ηn个+12−k个，▽ηn个+12)+(ηn个+12−k个，ηn个+12)]=−2τα+1∑n个=0我−1∑k个=0n个λk个(α)(ζn个+12−k个，ηn个+12)−2τ∑n个=0我−1(ζn个+1−ζn个τ，ηn个+12)+2τ∑n个=0我−1(E类n个+12，ηn个+12)=我1+我2+我三.
(3.13)
接下来，我们将给出我1，我2和我三分别是。
我1=−2τα+1∑n个=0我−1∑k个=0n个λk个(α)(ζn个+12−k个，ηn个+12)=−2τα+1∑n个=0我−1(0我吨n个+1αζ+0我吨n个αζ2−E类~，ηn个+12)=−2τα+1∑n个=0我−1(1Γ(α)∫0吨n个+1ζ(x个，年，秒)(吨n个+1−秒)1−αd日秒+1Γ(α)∫0吨n个ζ(x个，年，秒)(吨n个−秒)1−αd日秒−2E类~，ηn个+12)≤τ∑n个=0我−1(−1Γ(α)α[(吨n个+1−秒)α|0吨n个+1+(吨n个−秒)α|0吨n个]最大值0≤秒≤吨n个+1||ζ(x个，年，秒)||+||2E类~||)||ηn个+12||≤τΓ(α+1)∑n个=0我−1(2T型α最大值0≤吨≤T型||ζ(x个，年，吨)||+||E类~||)||ηn个+12||≤C类τ∑n个=0我−1(2T型α最大值0≤吨≤T型||ζ(x个，年，吨)||+||E类~||)||ηn个+12||≤C类τ∑n个=0我−1(τ4+最大值0≤吨≤T型||ζ(x个，年，吨)||2+||ηn个+12||2).
(3.14)
利用中值定理和Cauchy-Schwarz不等式以及Young不等式的优点，我们得到吨n个≤吨n个+θ≤吨n个+1
我2+我三=−2τ∑n个=0我−1(ζn个+1−ζn个τ，ηn个+12)+2τ∑n个=0我−1(E类n个+12，ηn个+12)=τ∑n个=0我−1(||ζ吨(x个，年，吨n个+θ||2+||E类n个+12||2+2||ηn个+12||2).
(3.15)
使用引理1，我们得到
2τα+1∑n个=0我∑k个=0n个λk个(α)[(▽ηn个+12−k个，▽η)+(ηn个+12−k个，η)]≥0
(3.16)
替换(3.14)，(3.15)，(3.16)在里面（3.13）去掉非负项，我们得到
||η我||2≤||η0||2+C类τ∑n个=0我−1(τ4+最大值0≤吨≤T型||ζ(x个，年，吨)||2+||ηn个+12||2)+τ∑n个=0我−1(||ζ吨(x个，年，吨n个+θ||2+||E类n个+12||2+2||ηn个+12||2)，
（3.17）
那就是
(1−C类τ)||η我||2≤C类τ∑n个=0我−1||ηn个||2+C类τ∑n个=0我−1(τ4+最大值0≤吨≤T型||ζ(x个，年，吨)||2+||ζ吨(x个，年，吨n个+θ||2).
(3.18)
利用Gronwall不等式，引理2.2以及三角形不等式，在时间步长为τ足够小，存在一个正常数C类这样的话
||η我||2≤e（电子）x个第页(C类T型).C类τ∑n个=0我−1(τ4+C类小时2对+2||u个||H（H）对+三2+C类小时2对+2||u个吨||H（H）对+三2)≤C类(τ4+小时2对+2)
(3.19)
和
||u个(吨我)−u个小时我||2≤(||η我||+||ζ我||)2≤C类(τ4+小时2对+2)
(3.20)
这就完成了证明。
4 WSGI-OSC方案说明
它可以从全离散格式中观察到(2.13)我们需要处理每个时间层的二维偏微分方程，即
(1+12τα+1λ0(α))u个小时n个+1−12τα+1λ0(α)Δu个小时n个+1=−12τα+1∑k个=1n个+1λk个(α)(−Δu个小时n个+1−k个+u个小时n个+1−k个)−12τα+1∑k个=0n个λk个(α)(−Δu个小时n个−k个+u个小时n个−k个)+τ克n个+1+克n个2+u个小时n个
(4.1)
我们表示
α0=12τα+1λ0(α)， β0=12τα+1，
那么上述方程可以改写为
(1+α0)u个小时n个+1−α0Δu个小时n个+1=β0∑k个=1n个+1λk个(α)(Δu个小时n个+1−k个−u个小时n个+1−k个)+β0∑k个=0n个λk个(α)(Δu个小时n个−k个−u个小时n个−k个)+τ克n个+1+克n个2+u个小时n个，n个=0，⋯，N个−1
(4.2)
为了应用数值格式，首先，我们通常表示
u个小时n个
通过的基本函数M（M）对(δ)然后求解表示式的系数。出租
M（M）对(δx个)=秒第页一n个{Φ1，Φ2，⋯，ΦM（M）x个−1，ΦM（M）x个}，M（M）对(δ年)=秒第页一n个{Ψ1，Ψ2，⋯，ΨM（M）年−1，ΨM（M）年}，
然后
u个小时n个(x个，年)=∑j个=1M（M）年∑我=1M（M）x个u个^我，j个n个Φ我(x个)Ψj个(年)，
哪里
{u个^我，j个n个}我，j个=1M（M）x个，M（M）年
是待确定的未知系数。设置
u个^=[u个^1，1n个，u个^1，2n个，⋯，u个^1，M（M）年n个，u个^2，1n个，u个^2，2n个，⋯，u个^M（M）x个，M（M）年n个]T型，
然后是方程式(4.2)可以用Kronecker产品以以下形式书写
{(1+α0)(B类x个⊗B类年)+α0(A类x个⊗B类年+B类x个⊗A类年)}u个^n个+1=−β0{A类x个⊗B类年+B类x个⊗A类年+B类x个⊗B类年}(∑k个=1n个+1λk个(α)u个^n个+1−k个+∑k个=0n个λk个(α)u个^n个−k个)+(B类x个⊗B类年)u个^n个+12τ(G公司1n个+1+G公司2n个)，n个=0，⋯，N个−1，
(4.3)
哪里
A类x个=(一我，j个x个)我，j个=1M（M）x个，一我，j个x个=−Φj个”(ξ我x个)，B类x个=(b条我，j个x个)我，j个=1M（M）x个，b条我，j个x个=Φj个(ξ我x个)，A类年=(一我，j个年)我，j个=1M（M）年，一我，j个年=−Ψj个”(ξ我年)，B类年=(b条我，j个年)我，j个=1M（M）年，b条我，j个年=Ψj个(ξ我年)，
(4.4)
和
G公司1n个+1=[克n个+1(ξ1x个，ξ1年)，克n个+1(ξ1x个，ξ2年)，⋯，克n个+1(ξ1x个，ξM（M）年年)，克n个+1(ξ2x个，ξ1年)，⋯，克n个+1(ξM（M）x个x个，ξM（M）年年)]T型，
(4.5)
G公司2n个=[克n个(ξ1x个，ξ1年)，克n个(ξ1x个，ξ2年)，⋯，克n个(ξ1x个，ξM（M）年年)，克n个(ξ2x个，ξ1年)，克n个(ξ2x个，ξ2年)，⋯，克n个(ξM（M）x个x个，ξM（M）年年)]T型.
(4.6)
矩阵A类x个，B类x个，A类年和B类年是M（M）x个×M（M）年具有以下结构，
××××××××××××××⋱⋱⋱⋱××××××.
（4.7）
我们在分段Hermite三次样条空间中实现了WSGI-OSC格式M（M）三(δ)，满足零边界条件。具体来说，我们选择了三次Hermite多项式的基[30]，即，对于1≤我≤K（K）−1，因此
ϕ我(x个)=−2(x个−x个我−1)三小时三+三(x个−x个我−1)2小时2，x个我−1≤x个≤x个我，2(x个−x个我−1)三小时三+三(x个−x个我+1)2小时2，x个我≤x个≤x个我+1，0，x个<x个我−1o个对x个>x个我+1，
(4.8)
和
ψ我(x个)=(x个−x个我−1)2(x个−x个我)小时2，x个我−1≤x个≤x个我，(x个−x个我)(x个−x个我+1)2小时2，x个我≤x个≤x个我+1，0，x个<x个我−1o个对x个>x个我+1.
(4.9)
请注意ϕ我(x个),ψ我(x个)满足零边界条件ϕ我(0) =ϕ我(1) =ψ我(0) =ψ我(1) = 0. 对基本函数重新编号，并让
{ψ0，ϕ1，ψ1，ϕ2，⋯，ϕK（K）−1，ψK（K）−1，ψK（K）}={Φ1，Φ2，Φ三，⋯，Φ2K（K）}，
然后
M（M）三(δx个)=秒第页一n个{Φ1，Φ2，Φ三，⋯，Φ2K（K）}，M（M）三(δ年)=秒第页一n个{Φ1，Φ2，Φ三，⋯，Φ2K（K）}.
为了恢复方程的系数矩阵(4.3)，我们需要计算高斯点的基函数值及其二阶导数。它们的定义如下：
H（H）1(u个j个)=(1+2u个j个)(1−u个j个)2，H（H）2(u个j个)=u个j个(1−u个j个)2小时k个，H（H）三(u个j个)=u个j个2(三−2u个j个)，H（H）4(u个j个)=u个j个2(u个j个−1)小时k个，我1(u个j个)=(12u个j个−6)/小时k个2，我2(u个j个)=(6u个j个−4)/小时k个，我三(u个j个)=(6−12u个j个)/小时k个2，我4(u个j个)=(6u个j个−2)/小时k个，
(4.10)
哪里
u个1=(三−三)/6，u个2=(三+三)/6，
H（H）我和我我分别表示Hermite多项式及其在高斯点的二阶导数的公式。基于对基函数的上述描述，我们给出了矩阵的一个例子A类x个和B类x个在以下情况下N个x个=N个年=5和小时k个= 1/N个x个.我们有
A类x个=我2(u个1)我三(u个1)我4(u个1)0000000我2(u个2)我三(u个2)我4(u个2)00000000我1(u个1)我2(u个1)我三(u个1)我4(u个1)000000我1(u个2)我2(u个2)我三(u个2)我4(u个2)00000000我1(u个1)我2(u个1)我三(u个1)我4(u个1)000000我1(u个2)我2(u个2)我三(u个2)我4(u个2)00000000我1(u个1)我2(u个1)我三(u个1)我4(u个1)000000我1(u个2)我2(u个2)我三(u个2)我4(u个2)00000000我1(u个1)我2(u个1)我4(u个1)0000000我1(u个2)我2(u个2)我4(u个2).
(4.11)
B类x个=H（H）2(u个1)H（H）三(u个1)H（H）4(u个1)0000000H（H）2(u个2)H（H）三(u个2)H（H）4(u个2)00000000H（H）1(u个1)H（H）2(u个1)H（H）三(u个1)H（H）4(u个1)000000H（H）1(u个2)H（H）2(u个2)H（H）三(u个2)H（H）4(u个2)00000000H（H）1(u个1)H（H）2(u个1)H（H）三(u个1)H（H）4(u个1)000000H（H）1(u个2)H（H）2(u个2)H（H）三(u个2)H（H）4(u个2)00000000H（H）1(u个1)H（H）2(u个1)H（H）三(u个1)H（H）4(u个1)000000H（H）1(u个2)H（H）2(u个2)H（H）三(u个2)H（H）4(u个2)00000000H（H）1(u个1)H（H）2(u个1)H（H）4(u个1)0000000H（H）1(u个2)H（H）2(u个2)H（H）4(u个2).
(4.12)
从张量积计算可以看出，WSGI-OSC格式需要在每个时间层解一个几乎块对角线性系统，这可以通过COLROW软件包进行有效求解[24]。
5数值实验
在本节中，给出了四个示例来演示我们的理论分析。在我们的实现中，我们采用了分段Hermite双三次空间(对=3）在均匀分区上我在两者中x个和年带有的方向N个x个=N个年=K（K）.强制项（f）(x个，年，吨)近似于高斯点中的分段Hermite插值投影。为了检查WSGI-OSC方案的准确性，我们提出我∞和我2错误发生在T型=1，相应的收敛阶由
收敛顺序≈我o个克(e（电子）米/e（电子）米+1)我o个克(小时米/小时米+1)，
哪里小时米=1/K（K）是时间步长和e（电子）米是相应误差的范数。
示例1
我们考虑以下一维时间分数阶扩散波方程
0c（c）D类吨γu个(x个，吨)=∂2u个(x个，吨)∂x个2−u个(x个，吨)+（f）(x个，吨)，0<x个<1，0<吨≤1，u个(x个，0)=0，∂u个(x个，0)∂吨=0，0≤x个≤1，u个(0，吨)=u个(1，吨)=0，0≤吨≤1，
(5.1)
哪里
（f）(x个，吨)=Γ(4)Γ(4−α)吨三−γx个2(1−x个)2e（电子）x个−2吨三e（电子）x个(1−4x个+4x个三).
这个方程的解析解是u个(x个，吨)=吨三 x个2(1 −x个)2e（电子）x个.
从理论分析来看，WSGI-OSC的数值收敛阶(4.2)预计将哦(τ2+小时4)何时对= 3. 为了检查时间方向的二阶精度，我们选择τ=小时因此，空间近似引起的误差可以忽略不计。表1列表我∞和我2WSGI-OSC格式的误差及其收敛阶γ∈ (1, 2). 我们观察到，我们的方案生成的时间精度为2阶。为了测试空间近似精度，表2表明我们的方案在空间方向上的精度为4，其中时间步长τ=小时2已修复。数值解和整体误差γ= 1.3,小时= 1/32,τ=1/32如所示图1.
表1
这个我∞，我2误差和时间收敛阶τ=小时对于示例1.
| γ |
τ |
我∞错误 |
收敛顺序 |
我2错误 |
收敛顺序 |
| 1.1 |
110
|
7.0727×10−5 |
|
4.4681×10−5 |
|
|
120
|
1.7932×10−5 |
1.9798 |
1.1012×10−5 |
2.0206 |
|
140
|
4.5623×10−6 |
1.9747 |
2.7487×10−6 |
2.0022 |
|
180
|
1.1483×10−6 |
1.9903 |
6.8758×10−7 |
1.9992 |
| 1.3 |
110
|
2.6081×10−4 |
|
1.7238×10−4 |
|
|
120
|
6.6648×10−5 |
1.9684 |
4.2518×10−5 |
2.0194 |
|
140
|
1.6825×10−6 |
1.9860 |
1.0577×10−5 |
2.0072 |
|
180
|
4.2263×10−7 |
1.9931 |
2.6387×10−6 |
2.0030 |
| 1.5 |
110
|
4.1657×10−4 |
|
2.7911×10−4 |
|
|
120
|
1.0633×10−4 |
1.9701 |
6.8593×10−5 |
2.0247 |
|
140
|
2.6736×10−5 |
1.9916 |
1.7020×10−5 |
2.0108 |
|
180
|
6.7115×10−6 |
1.9941 |
4.2405×10−6 |
2.0050 |
| 1.7 |
110
|
5.3422×10−4 |
|
3.6265×10−4 |
|
|
120
|
1.3701×10−4 |
1.9632 |
8.9343×10−5 |
2.0212 |
|
140
|
3.4419×10−5 |
1.9930 |
2.2160×10−5 |
2.0114 |
|
180
|
8.6292×10−6 |
1.9959 |
5.5175×10−6 |
2.0059 |
| 1.9 |
110
|
5.7600×10−4 |
|
3.9339×10−4 |
|
|
120
|
1.4884×10−4 |
1.9523 |
9.7244×10−5 |
2.0163 |
|
140
|
3.7391×10−5 |
1.9930 |
2.4112×10−5 |
2.0119 |
|
180
|
9.3633×10−6 |
1.9976 |
5.9996×10−6 |
2.0068 |
| 1.95 |
110
|
5.6941×10−4 |
|
3.8862×10−4 |
|
|
120
|
1.4696×10−4 |
1.9540 |
9.6061×10−5 |
2.0163 |
|
140
|
3.6917×10−5 |
1.9931 |
2.3812×10−5 |
2.0123 |
|
180
|
9.2425×10−6 |
1.9979 |
5.9232×10−6 |
2.0072 |
表2
这个我∞，我2误差和空间收敛阶τ=小时2对于示例1.
| γ |
小时 |
我∞错误 |
收敛顺序 |
我2错误 |
收敛顺序 |
| 1.1 |
110
|
2.4371×10−6 |
|
1.7740×10−6 |
|
|
120
|
1.5377×10−7 |
3.9863 |
1.0837×10−7 |
4.0329 |
|
140
|
9.6290×10−9 |
3.9972 |
6.6928×10−9 |
4.0172 |
|
180
|
6.0225×10−10 |
3.9989 |
4.1576×10−10 |
4.0088 |
| 1.3 |
110
|
3.8377×10−6 |
|
2.6750×10−6 |
|
|
120
|
2.4364×10−7 |
3.9774 |
1.6332×10−7 |
4.0338 |
|
140
|
1.5241×10−8 |
3.9987 |
1.0085×10−8 |
4.0174 |
|
180
|
9.5308×10−10 |
3.9992 |
6.2644×10−10 |
4.0089 |
| 1.5 |
110
|
4.7527×10−6 |
|
3.2535×10−6 |
|
|
120
|
3.0159×10−7 |
3.9781 |
1.9851×10−7 |
4.0347 |
|
140
|
1.8863×10−8 |
3.9990 |
1.2256×10−8 |
4.0177 |
|
180
|
1.1798×10−9 |
3.9990 |
7.6129×10−10 |
4.0089 |
| 1.7 |
110
|
5.1530×10−6 |
|
3.4857×10−6 |
|
|
120
|
3.2579×10−7 |
3.9834 |
2.1258×10−7 |
4.0354 |
|
140
|
2.0382×10−8 |
3.9986 |
1.3123×10−8 |
4.0178 |
|
180
|
1.2754×10−9 |
3.9982 |
8.1509×10−10 |
4.0090 |
| 1.9 |
110
|
4.6730×10−6 |
|
3.0735×10−6 |
|
|
120
|
2.9311×10−7 |
3.9948 |
1.8735×10−7 |
4.0361 |
|
140
|
1.8412×10−8 |
3.9927 |
1.1563×10−8 |
4.0181 |
|
180
|
1.1509×10−9 |
3.9999 |
7.1819×10−10 |
4.0090 |
| 1.95 |
110
|
4.3316×10−6 |
|
2.8280×10−6 |
|
|
120
|
2.7151×10−7 |
3.9958 |
1.7235×10−7 |
4.0364 |
|
140
|
1.7062×10−8 |
3.9922 |
1.0637×10−8 |
4.0182 |
|
180
|
1.0665×10−9 |
3.9999 |
6.6066×10−10 |
4.0091 |
示例2
考虑以下一维分数阶扩散波方程
0c（c）D类吨γu个(x个，吨)=∂2u个(x个，吨)∂x个2−u个(x个，吨)+（f）(x个，吨)，0<x个<1，0<吨≤1，u个(x个，0)=0，∂u个(x个，0)∂吨=−罪πx个，0≤x个≤1，u个(0，吨)=u个(1，吨)=0，0≤吨≤1，
(5.2)
哪里
（f）(x个，吨)=[2Γ(三−γ)吨2−γ+(吨2−吨)π2+(吨2−吨)]罪πx个.
这个方程的解析解是u个(x个，吨) = (吨2−吨)罪π x个.
为了测试该方法的时间准确性，我们选择τ=小时以避免空间误差的污染。最大值我∞，我2误差和时间收敛阶如所示表3为了检查空间中的收敛顺序，时间步长τ和空间步长小时被选择为τ=小时2、和γ= 1.1, 1.3, 1.5, 1.7, 1.9, 1.95.表4表示最大值我∞，我2误差和空间收敛顺序。中的结果表3和4同时证明了时间上2阶和空间上4阶的预期收敛速度。数值解和全局误差T型=1，带γ＝1.5，小时= 1/32,τ=1/32如所示图2.
表3
这个我∞，我2误差和时间收敛阶τ=小时对于示例2.
| γ |
τ |
我∞错误 |
收敛顺序 |
我2错误 |
收敛顺序 |
| 1.1 |
110
|
2.7779×10−5 |
|
1.8686×10−5 |
|
|
120
|
6.9405×10−6 |
2.0009 |
4.5452×10−6 |
2.0395 |
|
140
|
1.7225×10−6 |
2.0105 |
1.1135×10−6 |
2.0292 |
|
180
|
4.2704×10−7 |
2.0121 |
2.7427×10−7 |
2.0215 |
| 1.3 |
110
|
6.8399×10−5 |
|
4.6042×10−5 |
|
|
120
|
1.6912×10−5 |
2.0159 |
1.1079×10−5 |
2.0551 |
|
140
|
4.1818×10−6 |
2.0158 |
2.7032×10−6 |
2.0352 |
|
180
|
1.0358×10−6 |
2.0134 |
6.6503×10−7 |
2.0232 |
| 1.5 |
110
|
1.0251×10−4 |
|
6.9519×10−5 |
|
|
120
|
2.5114×10−5 |
2.0292 |
1.6555×10−5 |
2.0701 |
|
140
|
6.2025×10−6 |
2.0176 |
4.0327×10−6 |
2.0375 |
|
180
|
1.5384×10−6 |
2.0114 |
9.9335×10−7 |
2.0214 |
| 1.7 |
110
|
1.4424×10−4 |
|
9.9816×10−5 |
|
|
120
|
3.5642×10−5 |
2.0168 |
2.4001×10−5 |
2.0562 |
|
140
|
8.8717×10−6 |
2.0063 |
5.8868×10−6 |
2.0275 |
|
180
|
2.2116×10−6 |
2.0041 |
1.4572×10−6 |
2.0143 |
| 1.9 |
110
|
1.9061×10−4 |
|
1.2932×10−4 |
|
|
120
|
4.7290×10−5 |
2.0110 |
3.1561×10−5 |
2.0347 |
|
140
|
1.1810×10−5 |
2.0015 |
7.7937×10−6 |
2.0178 |
|
180
|
2.9519×10−6 |
2.0003 |
1.9367×10−6 |
2.0087 |
| 1.95 |
110
|
2.0110×10−4 |
|
1.3455×10−4 |
|
|
120
|
4.9930×10−5 |
2.0099 |
3.2930×10−5 |
2.0306 |
|
140
|
1.2482×10−5 |
2.0001 |
8.1369×10−6 |
2.0169 |
|
180
|
3.1218×10−6 |
1.9994 |
2.0222×10−6 |
2.0085 |
表4
这个我∞，我2误差和空间收敛阶τ=小时2对于示例2.
| γ |
小时 |
我∞错误 |
收敛顺序 |
我2错误 |
收敛顺序 |
| 1.1 |
110
|
9.8873×10−8 |
|
7.9806×10−8 |
|
|
120
|
6.3013×10−9 |
3.9719 |
5.0124×10−9 |
3.9929 |
|
140
|
4.0052×10−10 |
3.9757 |
3.1726×10−10 |
3.9818 |
|
180
|
2.5425×10−11 |
3.9775 |
2.0139×10−11 |
3.9776 |
| 1.3 |
110
|
2.0590×10−7 |
|
1.1973×10−7 |
|
|
120
|
1.2348×10−8 |
4.0596 |
7.0248×10−9 |
4.0912 |
|
140
|
7.5090×10−10 |
4.0395 |
4.2273×10−10 |
4.0547 |
|
180
|
4.6084×10−11 |
4.0263 |
2.5826×10−11 |
4.0328 |
| 1.5 |
110
|
3.1378×10−7 |
|
1.8224×10−7 |
|
|
120
|
1.9140×10−8 |
4.0351 |
1.0838×10−8 |
4.0716 |
|
140
|
1.1827×10−9 |
4.0165 |
6.6114×10−10 |
4.0350 |
|
180
|
7.3513×10−11 |
4.0079 |
4.0836×10−11 |
4.0170 |
| 1.7 |
110
|
4.2637×10−7 |
|
2.5157×10−7 |
|
|
120
|
2.6414×10−8 |
4.0127 |
1.5170×10−8 |
4.0516 |
|
140
|
1.6453×10−9 |
4.0049 |
9.3246×10−10 |
4.0241 |
|
180
|
1.0270×10−10 |
4.0019 |
5.7825×10−11 |
4.0113 |
| 1.9 |
110
|
6.2873×10−7 |
|
3.5996×10−7 |
|
|
120
|
3.9276×10−8 |
4.0007 |
2.1898×10−8 |
4.0389 |
|
140
|
2.4548×10−9 |
4 |
1.3510×10−9 |
4.0188 |
|
180
|
1.5342×10−10 |
4 |
8.3898×10−11 |
4.0092 |
| 1.95 |
110
|
6.7414×10−7 |
|
3.9216×10−7 |
|
|
120
|
4.2262×10−8 |
3.9956 |
2.3894×10−8 |
4.0367 |
|
140
|
2.6423×10−9 |
3.9995 |
1.4745×10−9 |
4.0184 |
|
180
|
1.6515×10−10 |
3.9999 |
9.1572×10−11 |
4.0091 |
示例3
考虑以下二维分数阶扩散波方程
0c（c）D类吨γu个(x个，年，吨)−Δu个(x个，年，吨)+u个(x个，年，吨)=（f）(x个，年，吨)，u个(x个，年，0)=0，∂u个(x个，年，0)∂吨=0，(x个，年)∈Ω，u个(x个，年，吨)=0，(x个，年，吨)∈∂Ω×(0，T型]，
(5.3)
哪里
Ω=[0，1]×[0，1]， T型=1， （f）(x个，年，吨)=[Γ(4)Γ(4−γ)吨三−γx个年(1−x个)(1−年)+吨三x个年(7−三年−三x个−x个年)]e（电子）x个+年.
方程的精确解为u个(x个，年，吨)=吨三 xy公司(1 −x个)(1 −年)e（电子）x个+年.
与中的参数选择类似示例1和2，表5和6列出最大值我∞，我2误差和收敛阶。在时间和空间上也得到了相似的收敛速度。正如我们所希望的那样，所有数值结果的收敛顺序都与理论分析的收敛顺序相匹配。图3绘制数值解和全局误差T型=1，带γ= 1.7,小时= 1/32,τ= 1/32.
表5
| γ |
N个 |
我∞错误 |
收敛顺序 |
我2错误 |
收敛顺序 |
| 1.1 |
10 |
1.6611×10−4 |
|
8.3486×10−5 |
|
|
15 |
7.5461×10−5 |
1.9461 |
3.7876×10−5 |
1.9493 |
|
20 |
4.2909×10−5 |
1.9624 |
2.1509×10−5 |
1.9669 |
|
25 |
2.7589×10−5 |
1.9792 |
1.3841×10−5 |
1.9754 |
| 1.3 |
10 |
5.1729×10−4 |
|
2.6164×10−4 |
|
|
15 |
2.3249×10−4 |
1.9724 |
1.1769×10−4 |
1.9704 |
|
20 |
1.3148×10−4 |
1.9813 |
6.6585×10−5 |
1.9799 |
|
25 |
8.4565×10−5 |
1.9779 |
4.2760×10−5 |
1.9847 |
| 1.5 |
10 |
7.7899×10−4 |
|
3.9475×10−4 |
|
|
15 |
3.4829×10−4 |
1.9853 |
1.7651×10−4 |
1.9850 |
|
20 |
1.9648×10−4 |
1.9899 |
9.9627×10−5 |
1.9882 |
|
25 |
1.2607×10−4 |
1.9886 |
6.3896×10−5 |
1.9905 |
| 1.7 |
10 |
9.8958×10−4 |
|
5.0659×10−4 |
|
|
15 |
4.3990×10−4 |
1.9995 |
2.2433×10−4 |
2.0090 |
|
20 |
2.4748×10−4 |
1.9995 |
1.2609×10−4 |
2.0028 |
|
25 |
1.5841×10−4 |
1.9994 |
8.0685×10−5 |
2.0006 |
| 1.9 |
10 |
1.1985×10−3 |
|
6.2808×10−4 |
|
|
15 |
5.3173×10−4 |
2.0044 |
2.7856×10−4 |
2.0052 |
|
20 |
2.9891×10−4 |
2.0022 |
1.5657×10−4 |
2.0026 |
|
25 |
1.9123×10−4 |
2.0015 |
1.0018×10−4 |
2.0014 |
表6
| γ |
N个 |
我∞错误 |
收敛顺序 |
我2错误 |
收敛顺序 |
| 1.1 |
10 |
1.7277×10−6 |
|
5.8164×10−7 |
|
|
15 |
3.7129×10−7 |
3.7921 |
1.1583×10−7 |
3.9799 |
|
20 |
1.2237×10−7 |
3.8582 |
3.6753×10−8 |
3.9902 |
|
25 |
5.1343×10−8 |
3.8922 |
1.5074×10−8 |
3.9942 |
| 1.3 |
10 |
4.5383×10−6 |
|
2.0806×10−6 |
|
|
15 |
8.9315×10−7 |
4.0091 |
4.1188×10−7 |
3.9946 |
|
20 |
2.8185×10−7 |
4.0092 |
1.3042×10−7 |
3.9974 |
|
25 |
1.1523×10−7 |
4.0083 |
5.3439×10−8 |
3.9984 |
| 1.5 |
10 |
7.1532×10−6 |
|
3.3974×10−6 |
|
|
15 |
1.4118×10−6 |
4.0021 |
6.7176×10−7 |
3.9976 |
|
20 |
4.4624×10−7 |
4.0036 |
2.1262×10−7 |
3.9988 |
|
25 |
1.8263×10−7 |
4.0037 |
8.7104×10−8 |
3.9993 |
| 1.7 |
10 |
9.2188×10−6 |
|
4.4527×10−6 |
|
|
15 |
1.8187×10−6 |
4.0031 |
8.7956×10−7 |
4 |
|
20 |
5.7483×10−7 |
4.0038 |
2.7830×10−7 |
3.9999 |
|
25 |
2.3526×10−7 |
4.0036 |
1.1399×10−7 |
3.9999 |
| 1.9 |
10 |
1.1444×10−5 |
|
5.7230×10−6 |
|
|
15 |
2.2505×10−6 |
4.0110 |
1.1299×10−6 |
4.0011 |
|
20 |
7.1020×10−7 |
4.0091 |
3.5746×10−7 |
4.0005 |
|
25 |
2.9046×10−7 |
4.0068 |
1.4641×10−7 |
4.0003 |
示例4
考虑以下二维分数阶扩散波方程
0c（c）D类吨γu个(x个，年，吨)−Δu个(x个，年，吨)+u个(x个，年，吨)=（f）(x个，年，吨)，u个(x个，年，0)=0，∂u个(x个，年，0)∂吨=0，(x个，年)∈Ω，u个(x个，年，吨)=0，(x个，年，吨)∈∂Ω×(0，T型]
(5.4)
哪里
Ω=[0，1]×[0，1]， T型=1， （f）(x个，年，吨)=[Γ(三+γ)2+(2π2+1)吨γ]吨2罪πx个罪π年.
方程的精确解为u个(x个，年，吨)=吨2+γ罪π x个罪π 年.
表7和8显示我∞和我2误差及其在时间和空间上的收敛阶γ∈ (1, 2). 再次，可以从两个表中观察到时间方向上具有二阶精度和空间方向上具有四阶精度的预期收敛速度。数值解和全局误差T型=1与γ= 1.9,小时= 1/32,τ=1/32显示在图4.
表7
| γ |
N个 |
我∞错误 |
收敛顺序 |
我2错误 |
收敛顺序 |
| 1.1 |
10 |
8.8381×10−4 |
|
4.4449×10−4 |
|
|
15 |
3.9978×10−4 |
1.9566 |
2.0073×10−4 |
1.9607 |
|
20 |
2.2738×10−4 |
1.9615 |
1.1385×10−4 |
1.9711 |
|
25 |
1.4625×10−4 |
1.9775 |
7.3238×10−5 |
1.9771 |
| 1.3 |
10 |
3.1514×10−3 |
|
1.5847×10−3 |
|
|
15 |
1.4225×10−3 |
1.9617 |
7.1426×10−4 |
1.9654 |
|
20 |
8.0814×10−4 |
1.9656 |
4.0464×10−4 |
1.9752 |
|
25 |
5.1939×10−4 |
1.9811 |
2.6009×10−4 |
1.9807 |
| 1.5 |
10 |
5.3058×10−3 |
|
2.6680×10−3 |
|
|
15 |
2.3861×10−3 |
1.9709 |
1.1981×10−3 |
1.9745 |
|
20 |
1.3534×10−3 |
1.9711 |
6.7766×10−4 |
1.9808 |
|
25 |
8.6906×10−4 |
1.9851 |
4.3519×10−4 |
1.9847 |
| 1.7 |
10 |
7.2062×10−3 |
|
3.6236×10−3 |
|
|
15 |
3.2347×10−3 |
1.9755 |
1.6242×10−3 |
1.9792 |
|
20 |
1.8321×10−3 |
1.9760 |
9.1737×10−4 |
1.9857 |
|
25 |
1.1754×10−3 |
1.9893 |
5.8858×10−4 |
1.9889 |
| 1.9 |
10 |
8.0346×10−3 |
|
4.0402×10−3 |
|
|
15 |
3.6198×10−3 |
1.9665 |
1.8175×10−3 |
1.9701 |
|
20 |
2.0516×10−3 |
1.9736 |
1.0273×10−3 |
1.9833 |
|
25 |
1.3162×10−3 |
1.9893 |
6.5910×10−4 |
1.9888 |
表8
| γ |
N个 |
我∞错误 |
收敛顺序 |
我2错误 |
收敛顺序 |
| 1.1 |
10 |
1.2725×10−5 |
|
6.5169×10−5 |
|
|
15 |
2.5700×10−6 |
3.9453 |
1.2858×10−5 |
4.0029 |
|
20 |
8.0847×10−7 |
4.0202 |
4.0665×10−5 |
4.0014 |
|
25 |
3.3300×10−7 |
3.9751 |
1.6653×10−5 |
4.0009 |
| 1.3 |
10 |
3.6079×10−5 |
|
1.8230×10−5 |
|
|
15 |
7.1968×10−6 |
3.9758 |
3.6064×10−6 |
3.9964 |
|
20 |
2.2773×10−6 |
3.9997 |
1.1417×10−6 |
3.9982 |
|
25 |
9.3472×10−7 |
3.9907 |
4.6773×10−7 |
3.9989 |
| 1.5 |
10 |
5.7773×10−5 |
|
2.9133×10−5 |
|
|
15 |
1.1491×10−5 |
3.9829 |
5.7620×10−6 |
3.9968 |
|
20 |
3.6402×10−6 |
3.9959 |
1.8240×10−6 |
3.9984 |
|
25 |
1.4930×10−6 |
3.9942 |
7.4725×10−7 |
3.9991 |
| 1.7 |
10 |
7.6488×10−5 |
|
3.8541×10−5 |
|
|
15 |
1.5190×10−5 |
3.9868 |
7.6189×10−6 |
3.9981 |
|
20 |
4.8133×10−6 |
3.9948 |
2.4113×10−6 |
3.9991 |
|
25 |
1.9734×10−6 |
3.9959 |
9.8780×10−7 |
3.9994 |
| 1.9 |
10 |
8.4694×10−5 |
|
4.2666×10−5 |
|
|
15 |
1.6803×10−5 |
3.9892 |
8.4290×10−6 |
3.9997 |
|
20 |
5.3240×10−6 |
3.9951 |
2.6670×10−6 |
3.9999 |
|
25 |
2.1823×10−6 |
3.9968 |
1.0924×10−6 |
4 |
6结论
本文构造了二维时间分数扩散波动方程的Crank-Nicolson WSGI-OSC方法。将原始分数阶扩散波方程转化为等价的偏积分-微分方程，发展了WSGI近似下的Crank-Nicolson正交样条配置法。该方法的收敛阶高于收敛阶哦(τ3−γ)通用的我1近似值。给出了稳定性和收敛性分析。文中还给出了一些数值例子来证实我们的理论分析。
确认
作者要感谢裁判们非常有用和详细的评论，这些评论大大改进了本文的表述。本研究得到了国家自然科学基金（11601076号）和华东理工大学博士研究启动基金项目（DHBK2019213号）的资助。
工具书类
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