1简介和前言
具有混合范数的调和函数或解析函数空间的嵌入定理已被广泛研究，特别是在单位圆盘的情况下，其中的第一个结果是由Hardy和Littlewood给出的[1,2]. 在解析函数的情况下，对ℂ中的一般有界严格伪凸域证明了这些定理n个，请参阅[三]. 研究了上半平面上调和函数和解析函数的混合范数空间[4,5]，我们在这里使用的一些方法可以追溯到这些论文。对于调和函数，许多作者考虑了混合范数空间在𝔹上的嵌入n个或上半空间ℍn个，参见示例[6]用于𝔹n个, [7,8,9]用于ℝn个，或[10]用于ℍn个然而，似乎没有处理更一般的域的情况。
本文证明了调和函数混合范数空间的嵌入定理，定理1下面，在bounded的设置中C1域。这个结果推广了定理1.1（iv）[6]. 此外，我们考虑了最大函数类型运算符u个↦u个×并证明了它对拟早次调和函数类中混合范数的有界性u个，请参阅定理2如下所示。
我们注意到操作员u个×就装置圆盘而言[11]，以及中的相应结果Ω⊂ ℝn个是定理2; 另请参见中的相关结果[12]关于𝔹上的加权调和Bergman空间n个.
我们在ℝ上表示勒贝格测度n个通过数字电压和可测集合的勒贝格测度E类⊂ ℝn个由|E类|. 表面测量∂Ω表示为dσ.B类(一,第页)表示ℝ中常见的欧几里得球n个，中心位于一∈ ℝn个和半径第页> 0. 我们还使用标准约定：C表示一个常量，该常量的值可以从一个实例更改为下一个实例。此外，对于正数A类和B类,A类≍B类意味着cA公司≤B类≤加利福尼亚州对于某些常数0<c≤C< ∞.
在本文中，我们使用有界域Ω⊂ ℝn个具有C1边界。我们修复了一个定义函数ρ对于Ω，这意味着ρ∈C1(ℝn个),Ω= {x个∈ ℝn个:ρ(x个) > 0},∂Ω= {x个∈ ℝn个:ρ(x个)=0}和+ρ(ξ)≠0表示全部ξ∈∂Ω。我们注意到
ρ(x个)≍d日我秒t吨(x个,∂Ω)（f）o个第页x个∈Ω.
根据众所周知的管状邻域定理，有一个邻域U型属于∂Ω还有一个C1-差异同构χ:U型⟶∂Ω× (–第页0,第页0)这样的话χ(∂Ω) =∂Ω× {0},χ(U型∩Ω) =∂Ω× (0,第页0). 我们设置了φ=χ–1和，对于-第页0<t吨<第页0,Γt吨=φ(∂Ω× {t吨}). 对于给定的可测复值函数（f）定义于U型∩Ω（或Ω)，我们定义f͠:∂Ω× (0,第页0)⟶ℂ由f͠(ξ,t吨) =（f）(φ(ξ,t吨)).
让小时(Ω) = {u个:Ω→ ℂ |u个是谐波Ω}. 如果u个1,u个2∈小时(Ω)和u个1=u个2在U型∩Ω，然后u个1=u个2在Ω我们稍微滥用了符号，u͠= (u个|U型∩Ω)~.根据上述备注，如果u͠1=u͠2，然后u个1=u个2对于u个1,u个2∈小时(Ω).
接下来，我们在上定义某些函数空间Ω和∂Ω× (0,第页0)这是单位球上经典混合范数空间的自然推广。对于Borel可测函数（f）在Ω或Ω∩U型我们设置了
M（M）秒(（f）,t吨)=∫∂Ω|（f）~(ξ,t吨)|秒d日σ(ξ)1秒,0<秒<∞,0<t吨<第页0,
对秒= ∞. 也适用于Borel可测函数克在∂Ω× (0,第页0)我们设置了
M（M）~秒(克,t吨)=∫∂Ω|克(ξ,t吨)|秒d日σ(ξ)1秒,0<秒<∞,0<t吨<第页0,
再次进行常规修改秒= ∞. 现在我们有一个混合范数空间
L（左）β秒,第页=L（左）β秒,第页(∂Ω×(0,第页0)),0<秒,第页≤∞,β∈R（右）,
作为Borel可测函数的空间克在∂Ω× (0,第页0)如下（准）规范克是有限的
||克||L（左）β秒,第页=||t吨βM（M）~秒(克,t吨)||L（左）第页((0,第页0),d日t吨t吨).
本文的主要研究对象是调和函数的如下空间
B类β秒,第页(Ω)={u个∈小时(Ω):u个~∈L（左）β秒,第页(∂Ω×(0,第页0))},
具有以下（准）范数
||u个||B类β秒,第页(Ω)=||u个~||L（左）β秒,第页.
此处0<秒,第页≤∞和β> –1. 请注意，这些空间对于β≤ –1. 定义函数的不同选择ρ以及不同的管状邻域图选择χ导致不同但等价的范数和相同的混合范数空间。
对于每一点ξ关于…的边界Ω和t吨>0我们定义“球”
B类t吨∂Ω
(ξ)以点为中心ξ∈∂Ω和半径t吨>0由
B类t吨∂Ω(ξ)={η∈∂Ω:|ξ−η|≤t吨}.
请注意，以下面积估算是有效的：
σ(B类t吨∂Ω(ξ))≍t吨n个−1,0<t吨≤d日我一米(∂Ω).
(1.1)
我们还考虑了Ω居中于φ(ξ,t吨):
问(ξ,t吨)=z（z）∈Ω∩U型|χ(z（z）)∈B类t吨∂Ω(ξ)×t吨2,三t吨2,ξ∈∂Ω,0<t吨<2第页0三.
我们有以下双边体积估算：
|问(ξ,t吨)|≍t吨n个,0<t吨≤d日我一米(∂Ω).
(1.2)
我们定义了一个度量∂Ω×ℝ由
d日∂Ω×R（右）((ξ1,t吨1),(ξ2,t吨2))=|ξ1−ξ2|2+|t吨1−t吨2|2,
的(ξ1,t吨1), (ξ2,t吨2)英寸∂Ω×ℝ。很容易看出χ:U型1→∂Ω× [–第页1,第页1]和φ:∂Ω× [–第页1,第页1] →U型1Lipschitz在任何情况下都是连续的吗第页1∈ (0,第页0)，其中U型1=φ(∂Ω× [–第页1,第页1]). 事实上，这些C1微分同态具有连续和有界的偏导数。因此，在不失一般性的情况下，我们可以假设χ和φLipshitz是连续的，即常数为0<我≤L（左）<∞，这样
我|z（z）−w个|≤d日∂Ω×R（右）(χ(z（z）),χ(w个))≤L（左）|z（z）−w个|,
为所有人z（z）,w个∈U型。此外，还有常数0<c≤C<∞，对于任何可测量的E类⊂U型我们有
c(d日σ×d日t吨)(χ(E类))≤|E类|≤C(d日σ×d日t吨)(χ(E类)).
因此，对于任何非负的和可测量的（f）在Ω∩U型我们有：
∫U型∩Ω（f）d日V（V）≍∫∂Ω∫0第页0（f）~d日σd日t吨.
(1.3)
鉴于(1.1)，概括了(1.2).
让
第页2=最小值(2第页0三,第页02L（左）).
让我们证明以下内容：
B类¯φ(ξ,t吨),t吨2L（左）⊂问(ξ,t吨)⊂B类φ(ξ,t吨),2t吨我,ξ∈∂Ω,0<t吨≤第页2.
(1.4)
第一个内含物相当于以下内含物：
χB类¯φ(ξ,t吨),t吨2L（左）⊂χ(问(ξ,t吨))=B类t吨∂Ω(ξ)×t吨2,三t吨2.
现在，为了
z（z）∈B类¯(φ(ξ,t吨),t吨2L（左）)
我们有
d日∂Ω×R（右）(χ(z（z）),(ξ,t吨))=d日∂Ω×R（右）(χ(z（z）),χ(φ(ξ,t吨)))≤L（左）|z（z）−φ(ξ,t吨)|≤L（左）t吨2L（左）=t吨2,
这证明了更强大的包容性：
χB类¯φ(ξ,t吨),t吨2L（左）⊂B类t吨/2∂Ω(ξ)×t吨2,三t吨2.
同样，有人证明问(ξ,t吨) ⊂B类(φ(ξ,t吨), 2t吨/我).
让我们设定
V（V）=φ(∂Ω×(0,第页2))⊂Ω∩U型.
(1.5)
在以下范围内工作V（V）具有某些优势：人们总是可以考虑问(ξ,t吨)何时φ(ξ,t吨) ∈V（V）和，在V（V），可以使用内含物(1.4).
由Fefferman和Stein（参见[13])，表示|u个|第页具有任何次谐波行为第页> 0.
引理1
让 u个∈小时(Ω)然后让 B类=B类(z（z）,第页) ⊂Ω.然后
|u个(z（z）)|第页≤C|B类|∫B类|u个|第页d日V（V）,
哪里 C 是一个仅取决于 第页 和 n个.
上述引理与(1.2)和(1.4)给出了下一个结果：
引理2
假设 问(ξ,t吨)气缸在 Ω,哪里 ξ∈∂Ω, 0 <t吨≤第页2,并假设 小时 是谐波 Ω.那么对于每个 第页> 0有一个常数 C> 0这只取决于 第页 和 n个 这样的话
|u个(φ(ξ,t吨))|第页≤C|问(ξ,t吨)|∫问(ξ,t吨)|u个|第页d日V（V）.
备注1
在上述结构中，可以使用段[（1–δ), (1 +δ)]，其中0<δ<1，而不是
[t吨2,三t吨2]
（案例δ=
12
). 特别是，引理2在这种情况下是有效的，当然，常数C取决于δ也。
2主要结果
本文的主要结果是：
定理1
对于0 <秒≤秒1≤ ∞和0 <第页≤第页1≤ ∞我们有一个连续的嵌入
B类β秒,第页(Ω)↪B类β1秒1,第页1(Ω),
哪里
β1=β+(n个−1)(1秒−1秒1).
下面的引理是定理1，其中秒=秒1,第页1= ∞:
引理3
假设0 <第页≤ ∞和 β> –1,那么我们有
B类β秒,第页
(Ω) ↪
B类β秒,∞
(Ω).
证明
让我们来解决u个∈
B类β秒,第页
(Ω). 我们单独处理案例0<秒≤第页<∞和0<第页<秒< ∞.
假设为0<秒≤第页< ∞. 对于0<t吨<第页2我们通过以下方式获得引理2和(1.3)，估计如下：
|u个~(ξ,t吨)|秒≤C|问(ξ,t吨)|∫t吨2三t吨2∫B类t吨∂Ω(ξ)|u个~(η,τ)|秒d日σ(η)d日τ.
(2.1)
集成过度ξ∈∂Ω应用Fubini定理，我们得到
∫∂Ω|u个~(ξ,t吨)|秒d日σ(ξ)≤C|问(ξ,t吨)|∫t吨2三t吨2∫∂Ω∫B类t吨∂Ω(ξ)|u个~(η,τ)|秒d日σ(η)d日σ(ξ)d日τ.
(2.2)
对于固定τ我们再次应用Fubini定理和(1.1):
∫∂Ω∫B类t吨∂Ω(ξ)|u个~(η,τ)|秒d日σ(η)d日σ(ξ)=∫∂Ω|u个~(η,τ)|秒∫∂ΩχB类t吨∂Ω(ξ)d日σ(ξ)d日σ(η)≤Cτn个−1∫∂Ω|u个~(η,τ)|秒d日σ(η).
我们使用上述不等式和(1.2)估计中的内部积分(2.2):
M（M）秒秒(u个,t吨)≤Ct吨n个∫t吨2三t吨2τn个−1∫∂Ω|u个~(η,τ)|秒d日σ(η)d日τ≤C∫t吨2三t吨2M（M）秒秒(u个,τ)d日ττ,
注意，我们还使用了
τ≍t吨 对于 t吨2≤τ≤三t吨2.
接下来，我们使用带指数的Hölder不等式
第页秒≥1
然后得到
M（M）秒秒(u个,τ)≤C∫t吨2三t吨2M（M）秒第页(u个,τ)d日ττ秒第页∫t吨2三t吨2d日ττ1−秒第页=C∫t吨2三t吨2M（M）秒第页(u个,τ)d日ττ秒第页.
因此，我们获得
M（M）秒(u个,t吨)≤C∫t吨2三t吨2M（M）秒第页(u个,τ)d日ττ1第页,0<t吨<第页2.
(2.3)
我们的下一个目标是获得关键的估计(2.3)同样在第二种情况下，即对于0<第页≤秒< ∞. 让我们设定第页=秒/秒≥ 1. 我们修复了0<t吨<第页2和第一种情况一样，请参见(2.1)，我们从引理2中得到以下估计：
|u个~(ξ,t吨)|第页≤C|问(ξ,t吨)|∫t吨2三t吨2∫B类t吨∂Ω(ξ)|u个~(η,τ)|第页d日σ(η)d日τ.
(2.4)
这提供了，使用(1.2):
|u个~(ξ,t吨)|秒≤(Ct吨n个)第页(∫t吨2三t吨2∫B类t吨∂Ω(ξ)|u个~(η,τ)|第页d日σ(η)d日τ)第页.
现在我们整合了dσ(ξ)并获得：
M（M）秒秒(u个,t吨)≤(Ct吨n个)第页∫∂Ω(∫t吨2三t吨2∫B类t吨∂Ω(ξ)|u个~(η,τ)|第页d日σ(η)d日τ)第页d日σ(ξ),
它给出了
M（M）秒第页(u个,t吨)≤Ct吨n个(∫∂Ω(∫t吨2三t吨2∫B类t吨∂Ω(ξ)|u个~(η,τ)|第页d日σ(η)d日τ)第页d日σ(ξ))1第页.
现在我们使用带指数的Minkowski积分不等式第页=秒/秒并获得
M（M）秒第页(u个,t吨)≤Ct吨n个∫t吨2三t吨2(∫∂Ω(∫B类t吨∂Ω(ξ)|u个~(η,τ)|第页d日σ(η))第页d日σ(ξ))1第页d日τ.
我们设置了
φτ(ξ)=∫B类t吨∂Ω(ξ)|u个~(η,τ)|第页d日σ(η),
(2.5)
并将上述估计值写为
M（M）秒第页(u个,t吨)≤Ct吨n个∫t吨2三t吨2∫∂Ωφτ第页(ξ)d日σ(ξ)1第页d日τ=Ct吨n个∫t吨2三t吨2||φτ||L（左）第页(∂Ω,d日σ(ξ))d日τ.
(2.6)
接下来，我们要估计L（左）P（P）(∂Ω,dσ)的规范φτ，其中t吨/2 ≤τ≤ 3t吨/2，为此我们定义了一个函数θ:∂Ω×∂Ω→ ℝ 通过
θ(ξ,η)=1,|ξ−η|≤t吨0,|ξ−η|>t吨,
清晰地θ(ξ,η) =θ(η,ξ)和
φτ(ξ)=∫∂Ωθ(ξ,η)|u个~(η,τ)|第页d日σ(η).
我们将使用二元论证：让我们修复ψ∈L（左）q个(∂Ω,dσ(ξ)), ||ψ||q个≤1，其中1/第页+ 1/q个= 1. 那么我们有
∫∂Ωφτ(ξ)ψ(ξ)d日σ(ξ)=|∫∂Ω∫∂Ω|u个~(η,τ)|第页θ(ξ,η)|ψ(ξ)|d日σ(η)d日σ(ξ)|≤∫∂Ω∫∂Ω|u个~(η,τ)|第页θ1第页(ξ,η)θ1q个(ξ,η)|ψ(ξ)|d日σ(ξ)d日σ(η)≤A类B类,
哪里
A类=∫∂Ω∫∂Ω(u个~(η,τ))第页第页θ(ξ,η)d日σ(ξ)d日σ(η)1第页≤t吨n个−1第页∫∂Ω|u个~(η,τ)|秒d日σ(η)第页/秒,
B类=∫∂Ω∫∂Ω|ψ(ξ)|q个θ(ξ,η)d日σ(ξ)d日σ(η)1q个≤t吨n个−1q个∥ψ∥q个≤t吨n个−1q个.
结合上述估计，我们得出
∫∂Ωφτ(ξ)ψ(ξ)d日σ(ξ)≤t吨n个−1M（M）秒第页(u个,τ),∥ψ∥q个≤1,
通过二元性
||φτ||L（左）第页(∂Ω,d日σ(ξ))≤t吨n个−1M（M）秒第页(u个,τ).
使用(2.6)并记住这一点t吨≍τ对于t吨/2 ≤τ≤ 3t吨/2我们最终获得
M（M）秒第页(u个,t吨)≤C∫t吨2三t吨2M（M）秒第页(u个,τ)d日ττ,
这意味着我们证明了(2.3)同样在情况0中<第页≤秒。因此，再次使用τ≍t吨，在这两种情况下，我们都有：
t吨βM（M）秒第页(u个,t吨)≤C∫t吨2三t吨2τβM（M）秒第页(u个,τ)d日ττ≤C||u个||B类β秒,第页(Ω)第页,0<t吨<第页2,
因此
||u个||B类β秒,∞(Ω)≤C||u个||B类β秒,第页(Ω).
□
为了从这个特殊情况着手定理1至定理1我们需要研究一类拟早次谐波函数。这方面的一个关键结果是定理2如下所示。
让，为了K（K）≥ 1,质量控制系统K（K）(W公司)表示一类非负的局部有界Borel可测函数u个在域上W公司⊂ ℝn个令人满意的
u个(x个)≤K（K）|B类(x个,第页)|∫B类(x个,第页)u个d日V（V）,B类(x个,第页)⊂W公司.
类中的函数QNS公司(W公司) = ⋃K（K）≥1 QNS公司K（K）(W公司)被称为准近次谐波功能。我们需要下一个结果，它概括了引理1.
定理A
[14,15]让0 <第页< ∞.如果 u个∈QNS公司(W公司),然后 u个第页∈QNS公司(W公司).更准确地说,如果 u个∈QNS公司K（K）(W公司),然后 u个第页∈QNS公司K（K）1(W公司),哪里 K（K）1 仅取决于 K（K）,n个 和 第页.
让
u个×(φ(ξ,t吨))=啜饮三t吨4≤τ≤t吨u个(φ(ξ,τ)),(ξ,t吨)∈∂Ω×(0,第页0),
u个×是在上定义的函数Ω∩U型.
使用备注1和估算(1.1)和(1.2)我们很容易证明：
啜饮三4t吨≤τ≤t吨|u个~(ξ,τ)|≤K（K）1|问(ξ,t吨)|∫问(ξ,t吨)u个d日V（V）,u个∈问N个S公司K（K）(Ω),ξ∈∂Ω,0<t吨≤第页2,
哪里K（K）1仅取决于K（K）,n个和Lipschitz常数L（左）,我属于χ,φ。这意味着u个∈QNS公司K（K）(Ω)我们有：
u个×(φ(ξ,t吨))≤K（K）1|问(ξ,t吨)|∫问(ξ,t吨)u个d日V（V）,ξ∈∂Ω,0<t吨≤第页2.
(2.7)
如前所述，在[11,12].
空间
L（左）β第页,q个
(Ω∩U型)由所有可测量的函数组成（f）:Ω∩U型⟶ ℂ 这样的话
||（f）||L（左）β第页,q个=(∫0第页0(∫∂Ω|（f）~(ξ,t吨)第页d日σ(ξ))q个第页t吨βq个−1d日t吨t吨)1q个<∞.
换句话说，
||（f）||L（左）β第页,q个=||（f）~||L（左）β第页,q个.
以下定理是关于有界性的一个结果u个↦u个×在拟早次调和函数类中。它将用于证明我们的主要结果，定理1
定理2
让0 <秒,第页≤ ∞和 β> –1.一个函数 u个∈QNS公司K（K）(Ω∩U型)属于
L（左）β秒,第页
(Ω∩U型)当且仅当 u个× 属于
L（左）β秒,第页
(V（V）).此外，我们还有
||u个×||L（左）β秒,第页(V（V）)≤C||u个||L（左）β秒,第页(Ω∩U型),
哪里 C 取决于 K（K） 和 Ω 但独立于 u个.
证明
自u个是局部有界的，我们只需证明其蕴涵u个∈
L（左）β秒,第页
⇒u个×∈
L（左）β秒,第页
。假设0<秒<第页< ∞. 自u个秒根据定理A，是QNS公司我们的功能，使用(2.7)
(u个×(φ(ξ,t吨)))秒≤C|问(ξ,t吨)|∫t吨2三t吨2∫B类t吨∂Ω(ξ)u个秒(φ(η,τ))d日σ(η)d日τ.
(2.8)
集成超过ξ∈∂Ω给予：
∫∂Ω(u个×(φ(ξ,t吨)))秒d日σ(ξ)≤C|问(ξ,t吨)|∫∂Ω∫t吨2三t吨2∫B类t吨∂Ω(ξ)u个秒(φ(η,τ))d日σ(η)d日τd日σ(ξ).
按照引理3的证明进行论证，我们得到
M（M）秒秒(u个×,t吨)≤Ct吨n个∫t吨2三t吨2τn个−1∫∂Ω|u个(φ(η,τ))|秒d日σ(η)d日τ≤C∫t吨2三t吨2M（M）秒秒(u个,τ)d日ττ.
然后我们使用带指数的Hölder不等式
第页秒
并获得
M（M）秒(u个×,t吨)≤C∫t吨2三t吨2M（M）秒第页(u个,τ)d日ττ1第页.
如果第页<秒<∞，我们有(2.8)
|u个×(φ(ξ,t吨))|第页≤C|问(ξ,t吨)|∫t吨2三t吨2∫B类t吨∂Ω(ξ)|u个(φ(η,τ))|第页d日σ(η)d日τ,
它给出了
M（M）秒第页(u个×,t吨)≤Ct吨n个(∫∂Ω(∫t吨2三t吨2∫B类t吨∂Ω(ξ)u个第页(φ(η,τ))d日σ(η)d日τ)秒第页d日σ(ξ))第页秒.
争论如中所示引理3我们得到
M（M）秒第页(u个×,t吨)≤C∫t吨2三t吨2M（M）秒第页(u个,τ)d日ττ,0<t吨<第页2.
乘以t吨β和积分超过0<t吨<第页2给予
||u个×||L（左）β秒,第页第页=∫0第页2t吨β第页M（M）秒第页(u个×,t吨)d日t吨t吨≤C∫0第页2t吨β第页∫t吨2三t吨2M（M）秒第页(u个,τ)d日ττd日t吨t吨≤C∫0第页2t吨β第页∫0第页0χ[t吨2,三t吨2](τ)M（M）秒第页(u个,t吨)d日ττd日t吨t吨≤C∫0第页0τβ第页M（M）秒第页(u个,τ)d日ττ=C||u个||L（左）β秒,第页第页.
□
定理3
让0 <秒<秒1≤ ∞, 0 <第页≤ ∞和 β> –1.如果函数 u个 属于 QNS公司K（K）(Ω∩U型) ∩
L（左）β秒,第页
,那么它属于
L（左）β1秒1,第页
(Ω∩U型),哪里
β1=β+(n个−1)(1秒−1秒1),
我们有
||u个||L（左）β1秒1,第页≤C||u个||L（左）β秒,第页,
哪里 C 是独立于 u个.
证明
让u个∈QNS公司K（K）∩
L（左）β秒,第页
然后，通过定理A,u个秒∈QNS公司K（K）1，很容易得出以下结论：
M（M）∞(u个,t吨)≤Ct吨n个−1秒啜饮t吨2≤τ≤三t吨2M（M）秒(u个,τ),三t吨2<第页0.
因此，我们得到一个估计：
M（M）秒1秒1(u个,t吨)=∫∂Ωu个秒1−秒(φ(ξ,t吨))u个秒(φ(ξ,t吨))d日σ(ξ)≤M（M）∞秒1−秒(u个,t吨)M（M）秒秒(u个,t吨).
然后
M（M）秒1(u个,t吨)≤Ct吨n个−1秒秒1−秒秒1啜饮t吨2≤τ≤三t吨2M（M）秒(u个,τ)=Ct吨(n个−1)(1秒−1秒1)啜饮t吨2≤τ≤三t吨2M（M）秒(u个,τ).
(2.9)
自
[t吨2,三t吨2]⊂⋃j个=14Δj个,
哪里
Δj个=(三4)j个t吨2,(三4)j个−1三t吨2
我们有
啜饮t吨2≤τ≤三t吨2M（M）秒(u个,τ)≤∑j个=14啜饮τ∈Δj个M（M）秒(u个,τ)≤∑j个=14M（M）秒u个×,三j个−14j个−1三t吨2.
(2.10)
因此，使用(2.9)和(2.10)，我们获得
M（M）秒1(u个,t吨)t吨β+(n个−1)(1秒−1秒1)≤C∑j个=14t吨βM（M）秒u个×,三j个−14j个−1三t吨2.
(2.11)
现在，结果遵循前面的定理。□
我们在完成这篇论文时提供了定理1.
让u个∈
B类β秒,第页
(Ω). 然后|u个|是次谐波的，因此QNS公司1(Ω). 现在|u个| ∈
L（左）β秒,第页
，因为u个∈
B类β秒,第页
(Ω). 因此，通过定理3, |u个| ∈
L（左）β1秒1,第页
.自u个是谐波，这意味着u个∈
B类β1秒1,第页
(Ω). 引理3给出了我们u个∈
B类β1秒1,∞
(Ω)因此u个∈
B类β1秒1,第页1
(Ω). 因此
B类β秒,第页
(Ω) ⊂
B类β1秒1,第页1
(Ω). 嵌入的连续性
B类β秒,第页
(Ω) ↪
B类β1秒1,第页1
(Ω)根据定理3和引理3，或来自闭图定理。□
