Brauer-Severi品种的Picard群

定理1.1

设B是对应于循环代数的Brauer-Severi曲面(L（左）/k个,σ,一)尺寸的三²如定理所示2.5内部B的平滑模型对k个9由十字路口给出∩_{τ∈加仑(L（左）/k个)}^τX其中X/L是对L（左）9由方程组定义：

和{我₁,我₂,我_三}是非零跟踪（即数字我₁+我₂+我_三≠ 0)L.Its Picard群的正规基图片(B类)由超平面的交点生成

B是k上的亏格1曲线∈Z≃图(B类)，我们有一个r的生成器图片(B类)由

它定义了属的曲线(三第页−1)(三第页−2)2更准确地说，它与费马型曲线X的扭曲同构^三第页+一^第页Y（Y）^三第页+一^2第页Z轴^三第页= 0.

有几个人致力于为Brauer-Severi变种找到（或试图找到）方程式：使用Chátelet的思想（参见[7,11])格罗森迪克血统（参见[6])、草原动物（参见[5])以及投影空间中的特殊嵌入物（参见[§5.2]GS[9]). 所有这些结构都缺乏如何在其内部显式地构造余维1的子变种，即其Picard群的元素。因此，我们有动力找到子群生成元的曲线方程第页图片(B类). 这就是我们在定理中所做的1.1什么时候B类是Brauer-Severi曲面，在定理中6.2对于高维Brauer-Seviri变种（至少对于与循环代数相关的变种）。

本文的核心思想受到了[1,10]以及扭曲理论，其中光滑平面曲线的任何固定扭曲都嵌入到某个变得微不足道的Brauer-Severi曲面中(k个-与ℙ同构²)当且仅当该扭曲具有平滑平面模型k个.

一般来说，我们附加到一个cocycleξ∈H¹(k个、PGL_n个+1(k个))来自循环代数，维数的Brauer-Severi变种n个以及生活在其中的余维1亚变种（在本例中n个=2，此子簇是光滑平面曲线的扭曲）。

这里我们考虑任何Brauer-Severi品种B类与一些循环代数相关，然后我们确定了一类光滑超曲面，使得它们的一些扭曲嵌入到B类我们首先适当地选择自同构群（一个特定形状的自同构循环群，与我们已有的循环代数有关）。这反过来使我们可以得出结论，某些扭曲为子组生成生成器第页图片(B类).

我们得到了Brauer-Severi变种的显式方程B类以及第5、6和7节中的上述发电机。不同部分中的方法之间的差异是我们在Galois上同调中传输cocycle时使用的映射ξ到另一个Galois上同调集中的一个平凡的cocycle。在第5节和第6节中，我们使用了Veronese嵌入，而在第7节中我们使用了对应于某一光滑平面曲线的正则嵌入C类这样我们就能看到ξ∈H¹(k个，Aut（自动）(C类)).

定义2.1

设V是k上的光滑拟投影簇。如果存在k个-同构V（V）′×k个k个¯⟶ΦV（V）¯:=V（V）×k个k个¯.V模k同构的所有扭曲集用扭曲表示_k个(V（V）)而所有扭曲的集合V′V除以k，这样V′ ×_k个K是与V同构的K×_k个K表示为扭曲(V（V）,K（K）/k个).

定理2.2（[12，第三章，§1.3]）

遵循上述符号，对于任何Galois扩展K/k、 存在一个双射

哪里Aut（奥特）_K（K）(.)表示对象在K上的K-自同构组.

对于K（K）=k个，右侧将用H表示¹(k个，Aut（自动）_k个(V（V）))或者简单地说是H¹(k个，Aut（自动）(V（V）)).

定义2.3

维数n的k上的Brauer-Severi簇B是对k个n个.维度的Brauer-Severi变种的所有同构类的集合n个结束k个表示为英国标准n个k个.

推论2.4。（[6，推论4.7]）

这套英国标准n个k个与处于双射状态扭曲k个⁡(对k个n个)=H（H）1⁡(k个,PGL公司n个+1⁡(k个¯)).

定理3.1。（罗埃·泽利斯[10])

设C是k上的曲线，这样C类=C类×_k个k个是一条光滑的平面曲线k个d度≥ 4.让Υk个¯:C类¯↪对k个¯2是（唯一的）给定的态射克d日2-线性系统k个，则存在一个定义在k上的Brauer-Severi曲面B，以及一个k态射f:C类↪B类这样的话（f）×k个k个¯:C类¯→对k个¯2等于Υ_k个.

在[1]我们在上面构造了光滑平面曲线的扭曲k个没有平滑平面模型k个这些扭曲恰巧包含在非平凡的Brauer-Severi曲面中，如定理所示3.1.

定理3.2。（[1，定理3.1]）

给定一条平滑的平面曲线C类⊆对k个¯2d度的k以上≥ 4,有一张自然地图

此外Σ−1([对k个2])是C的扭曲集，在k上允许一个光滑平面模型。这里[对k个2]表示与k上射影平面的平凡Brauer-Severi曲面相关的平凡类.

备注3.3（[1，备注3.2]）

我们可以重新解释定理中的映射∑3.2作为发送扭曲C的地图′定理中的Brauer-Severi簇B3.1.

这些结果提出了相反的问题；而不是给出曲线C类和扭转C类'，然后找到Brauer-Severi曲面B类，修复Brauer-Severi曲面B类试着找到正确的曲线C类和正确的扭转C类'为了建立k个-同构（f）:C类′ ↪B类.

主要思想是寻找平滑的平面曲线C类度可被3整除，否则它们的所有扭曲都是光滑的平面曲线k个根据[定理2.6]，并且具有形式的自同构[aZ公司:X（X）:Y（Y）]. 接下来，考虑扭转C类'由cocycle定义给出B类，它发送特定的生成器σ3度循环扩展L（左）/k个到自同构[aZ公司:X（X）:Y（Y）].

引理3.4

对于任何a∈k个∗和r∈Z_{≥ 1},方程式X^三第页+一^第页Y（Y）^三第页+一^2第页Z轴^三第页= 0,定义平滑平面曲线C类一第页超过k度三第页,这样的话[aZ公司:X（X）:年]是自同构.

定理4.1。（Lichtenbaum，见[2]，定理5.4.10]）

设B是k上的Brauer-Severi簇，则有一个精确序列

映射δ向对应于B的Brauer类发送1.

定理4.2

设B是k上与循环代数相关的非平凡Brauer-Severi曲面(L（左）/k个,σ,一)根据定理，尺寸为92.5.对于任何整数r≥ 1,有一个扭曲C′光滑平面曲线的k上C类一第页,位于B中，还定义了r的生成器图片(B类).

证明

我们通过定理得出结论3.2和备注3.3那是扭转C类的'C类一第页由cocycle的通货膨胀图给出

如定理所示2.5住在里面B类对于任何整数第页≥ 2. 对于第页=1，台A类u个t吨发票⁡(C类一1)关于的自同构子群C类一1，使方程保持不变X（X）^三+是的^三+一²Z轴^三= 0. 因此，夹杂物A类u个t吨发票⁡(C类一1)≤PGL公司三⁡(k个¯)和A类u个t吨发票⁡(C类一1)≤Aut（奥特）⁡(C类¯)给我们两张自然地图发票:H（H）1⁡(k个,A类u个t吨发票⁡(C类一1))→H（H）1⁡(k个,Aut（奥特）⁡(C类一1¯))、和Σ:H（H）1⁡(k个,A类u个t吨发票⁡(C类一1))→H（H）1⁡(k个,PGL公司三⁡(k个¯))分别是。第二，使用3-Veronese嵌入进行合成版本三:对k个2→对k个9获得的模型C类在平凡的Brauer-Severi曲面内版本三⁡(对k个2).因为地图上任何1-循环的图像版本~三:H（H）1⁡(k个,PGL公司三⁡(k个¯))→H（H）1⁡(k个,PGL公司10⁡(k个¯))，相当于GL中具有值的1-循环₁₀(k个)，请参阅[9]，自H起¹(k个，德国劳埃德船级社₁₀(k个))=1，则版本~三([B类])以H为单位¹(k个、PGL₁₀(k个))由τ∈加仑(k个/k个)↦M（M）∘^τM（M）⁻¹，对于一些M（M）∈GL₁₀(k个). 因此，(M（M）∘版本三)(对k个2)是的模型B类在里面对k个9，包含(M（M）∘版本三)(C类一1)内部，这是一个扭曲C类一1结束k个关联到ξ通过定理2.5.

另一方面，由于韦德伯恩的成绩[15]和定理4.1，地图δ向Brauer类发送1[B类]第页，共页B类3扭转Br内部(k个)[3] Brauer集团Br(k个)领域的k个.因此[B类]精确顺序为3，非平凡，所以Pic(B类)内部照片⁡(B类×k个k个¯=对k个¯2)≅度(Z轴)与3ℤ同构。此外，C类′×k个k个¯⊆对k个¯2拥有3级学位第页，因此它对应于理想〈3第页〉通过度映射。因此C类'在图片中(B类)是的生成器第页图(B类).

引理6.1

对于任何a∈k个∗和r∈ ℤ_≥1，方程式

定义了一个非奇异k投影模型X（X）一第页,n个学位(n个+ 1)内部光滑射影簇的r对k个n个,这样A_一:= [aX公司_n个:X（X）₀:…:X（X）_n个−1]保持不变X（X）一第页,n个.

定理6.2

设B是k上的Brauer-Seviri变种，与循环代数相关(L（左）/k个,σ,一)尺寸的(n个+ 1)²和准确的顺序n个+1英寸溴(k个). 对于任何整数第页≥1，有扭曲X（X）'结束k个属于X（X）一第页,n个，住在里面B类和定义的生成器第页图片(B类).

证明

设置米=2n个+1n个−1并表示为A类u个t吨发票⁡(X（X）一第页,n个)的自同构子群X（X）一第页,n个保留其定义方程的不变量。因此，夹杂物A类u个t吨发票⁡(X（X）一第页,n个)≤PGL公司n个+1⁡(k个¯)和A类u个t吨发票⁡(X（X）一第页,n个)≤Aut（奥特）⁡(X（X）一第页,n个×k个k个¯)给我们两张自然地图发票:H（H）1⁡(k个,A类u个t吨发票⁡(X（X）一第页,n个))→H（H）1⁡(k个,Aut（奥特）⁡(X（X）一第页,n个×k个k个¯))、和Σ:H（H）1⁡(k个,A类u个t吨发票⁡(X（X）一第页,n个×k个k个¯))→H（H）1⁡(k个,PGL公司n个+1⁡(k个¯))分别是。使用n个-Veronese嵌入版本n个:对k个n个→对k个米，以获得模型X（X）一第页,n个在琐碎的Brauer-Severi变化中版本n个⁡(对k个n个).因为地图下的一个1-古柯尔的图像版本~n个:H（H）1⁡(k个,PGL公司n个+1⁡(k个¯))→H（H）1⁡(k个,PGL公司米+1⁡(k个¯))等价于GL中系数为1的余循环_{米+ 1}(k个)由[9]自H起¹(k个，德国劳埃德船级社_{米+ 1}(k个))=1，则版本~三([B类])以H为单位¹(k个，第页_{米+ 1}(k个))由τ∈加仑(k个/k个) ↦M（M）∘^τM（M）⁻¹，对一些人来说M（M）∈GL_{米+ 1}(k个). 因此，(M（M）∘版本三)(对k个2)是的模型B类在里面对k个9，包含(M（M）∘版本三)(C类一1)内部，这是一个扭曲X（X）一第页,n个结束k个关联到ξ:σ↦A类_一.

另一方面，根据定理4.1，地图δ向Brauer类发送1[B类]第页，共页B类在内部(n个+1）-扭转Br(k个)[n个+1]Brauer集团Br(k个)领域的k个.因此[B类]有准确的顺序n个+1，非平凡，所以Pic(B类)内部照片⁡(B类×k个k个¯=对k个¯2)≅度(Z轴)与同构(n个+1）ℤ。此外，X（X）′×k个k个¯⊆对k个¯2有学位(n个+ 1)第页，因此它对应于理想〈(n个+ 1)第页〉⊂ℤ通过度图。因此X（X）'在图中(B类)是的生成器第页图片(B类).

按照[9，引理3.1]的符号，我们写下V（V）n个:对n个→对米:(X（X）0:...:X（X）n个)↦(ω0:...:ω米)，其中ω_k个等于产品ωX（X）0α0…X（X）n个αn个=∏我X（X）我α我带有∑_我α_我=n个+按字母顺序为1。的自同构X（X）一第页,n个作为的自同构版本n个⁡(X（X）一第页,n个)发送ωX（X）我n个↦ωX（X）我+1n个和ωX（X）n个n个↦一ωX（X）1n个.

推论6.3

用上面的符号，

证明

通过使用[8，§3]，我们发现矩阵ϕ实现cocycleξ也就是说，ξ=ϕ∘^σϕ⁻¹，发送ϕ(ωX（X）我n个)=一我∑j个我我+j个ωX（X）j个n个和ϕ(ωX（X）n个n个)=∑j个我j个−1ωX（X）j个n个.我们堵住ϕ到等式中X（X）一第页,n个结果如下。□

引理7.1

设C是亏格k上的光滑平面曲线克=12(d日−1)(d日−2)≥三.C的正则嵌入同构于合成Ψ:C类⟶ι对k个2⟶版本d日−三对k个克−1,式中：来自（唯一的）克d日2-线性系统，都定义在k上。特别是，固定非奇异平面模型F_C类(X（X）,年,ℤ) = 0在里面对k个2属于C类,可以直接计算其规范嵌入对k个克−1通过应用态射版本_d日−3.

证明

众所周知，滑轮Ω¹(C类)和O（运行）(d日− 3)|_C类同构（参见R.Hartshorne[4，示例8.20.3]）。因此，H⁰(ℙ²,O（运行）(d日−3））⟶H₀(C类, Ω₁)是一个同构，下面是一个语句。□

两张地图，ι和Ver_{d日− 3}，是Gal(k个/k个)-等变。因此，自然地图

是Gal的形态(k个/k个)-组。

提议7.2

给定一个非平凡的Brauer-Severi曲面B类结束k个，与循环代数相关(L（左）/k个,σ,一)9维的k模型对k个92第页(第页−1)带有r≥ 2通过考虑k度上的任何光滑平面曲线C，可以进行算法计算三r这样[aZ公司:X（X）:Y（Y）]是一个自同构。特别是对于r= 2我们得到一个模型^[1]在ℙ⁹.