Weak group inverse

Hongxing Wang; Jianlong Chen

doi:10.1515/math-2018-0100

开放式访问发布人：De Gruyter开放存取 2018年10月31日

弱群逆

王红星和陈建龙

来自日志开放数学

https://doi.org/10.1515/math-2018-0100

摘要

本文介绍了任意指标平方复矩阵的弱群逆（本文称为WG逆），并给出了它的一些特征和性质。此外，我们引入了两个阶：一个是前序，另一个是偏序，并导出了这两个阶的几个特征。本文最后用WG逆刻画了核心EP阶。

关键词：组反转;弱群逆;WG订单;CE部分订单;堆芯-EP分解

MSC 2010年：15A09号;15A57号;15A24号

1引言

在本文中，我们使用以下符号。符号ℂ_{m、 n个}是一组米×n个具有复数项的矩阵；A类^*,ℛ(A类)和rk(A类)代表共轭转置,距离空间（或列空间)和等级属于A类∈ ℂ_{m、 n个}分别是。让A类∈ ℂ_{n、 n个}为单数，最小正整数k个令人满意的rk(A类^k个+1)=克(A类^k个)调用了指数属于A类并用Ind表示(A类). 非奇异矩阵的指数A类为0，空矩阵的索引为1。符号ℂn个厘米代表一组n个×n个指数小于或等于1的矩阵。这个Moore-Penrose逆属于A类∈ ℂ_{m、 n个}定义为唯一矩阵X（X）∈ ℂ_{n、米}满足方程式：

(1)A类X（X）A类=A类, (2)X（X）A类X（X）=X（X）, (三)(A类X（X）)∗=A类X（X）, (4)(X（X）A类)∗=X（X）A类,

并表示为X（X）=A类^†;P（P）_A类表示正交投影P（P）_A类=AA公司^†.矩阵X（X）这样的话安盛航空=A类称为的广义逆A类. TheDrazin逆属于A类∈ ℂ_{n、 n个}定义为唯一矩阵X（X）∈ ℂ_{n、 n个}满足方程式

(6k个)X（X）A类k个+1=A类k个, (2)X（X）A类X（X）=X（X）, (5)A类X（X）=X（X）A类,

通常表示为X（X）=A类^天，其中k个=印度(A类). 特别是，当A类∈ℂn个 C类M（M），矩阵X（X）被称为群逆属于A类，并表示为X（X）=A类^#（参见[1]). 这个堆芯逆堆属于A类∈ℂn个 C类M（M）定义为唯一矩阵X（X）∈ ℂ_{n、 n个}令人满意的

A类X（X）=A类A类†,ℛ(X（X）)⊆ℛ(A类)

并表示为X（X）=A类◯#[2]. 什么时候？A类∈ℂn个 C类M（M）我们称其为核心可逆（或群可逆）矩阵。

介绍了核逆的几种推广，例如DMP逆[三]BT反向[4]和core-EP反转[5]等。让A类∈ ℂ_{n、 n个}带Ind(A类) =k个. TheDMP逆属于A类是A类^d日,†=A类^天AA公司^†[三]. 这个BT反向属于A类是A类^⋄= (A类²A类^†)^†[4，定义1]。这个core-EP逆属于A类是A类⑪†=A类k个A类∗k个A类k个+1负极A类∗k个[5，定理3.5和备注2]。很明显A类◯#=A类♢=A类d日,†=A类◯†万一A类∈ℂn个 C类M（M）有关核心反演和相关问题的更多结果，请参见[6–10].

此外，已知群可逆矩阵的指数小于或等于1，即矩阵是核可逆的当且仅当它是群可逆的。尽管核逆的推广引起了人们的极大关注，但群逆的推广却没有得到同样的关注。因此，研究人们是否可以做一些类似于群逆的事情，以及是否可以使用一些矩阵分解作为工具，因为它被用于研究核逆的推广。

在本文中，我们的主要工具是core-EP分解。通过这种分解，我们引入了任意指数方阵群逆的推广。我们还给出了它的一些特征、性质和应用。

2准备工作

在本节中，我们将介绍一些初步结果。

引理2.1([1])

让A∈ ℂ_{n、 n个}具有印度(A类) =k.然后

A类天=A类k个(A类k个+1)#。(1)

以下分解归因于Hartwig和Spindelböck[11]称为Hartwig-Spindelböck分解

引理2.2

([11，Hartwig-Spindelböck分解]）。让A∈ ℂ_{n、 n个}具有rk公司(A类) =r.那么存在一个酉矩阵U，这样

A类=U型[ΣK（K）ΣL（左）00]U型∗,(2)

其中∑=诊断(σ₁我_第页₁,σ₂我_第页₂。，σ_t吨我_第页₁)是奇异值A的对角矩阵，σ₁>σ₂> … ≥σ_t吨> 0,第页₁+第页₂+ … +第页_t吨=r、和K∈ ℂ_{r、第页},L（左）∈ℂ_{r、 n−r}满足KK^*+陆上通信线^*=我_第页。

此外，A类核心可逆当且仅当K（K）是非奇异的[2]. 什么时候？A类∈ℂn个 C类M（M），很容易检查

A类◯#=U型T型负极1000U型∗,(3)

A类#=U型[T型负极1T型负极2S公司00]U型∗,(4)

哪里T型=∑K和S公司=∑L。

方阵的核幂分解在矩阵理论中得到了广泛的应用[1,12]为了提醒自己，它是这样给出的：

引理2.3

([12，核幂零分解]）。让A∈ ℂ_{n、 n个}具有印度(A类) =k、那么A可以写成矩阵的和₁以及₂，即A=Â₁+Â₂，其中

A类^1∈ℂn个 C类M（M） ,A类^2k个=0 一n个d日 A类^1A类^2=A类^2A类^1=0

与核幂分解非常相似的是任意指数方阵的核幂分解，由Wang介绍[13]. 我们将其记录为：

引理2.4

([13，核心EP分解]）。让A∈ ℂ_{n、 n个}具有印度(A类) =k、那么A可以写成矩阵A的和₁和A₂，即A=A类₁+A类₂，其中

（i）A类1∈ℂn个 C类M（M） ;
（ii）A类2k个=0;
（iii）A类1∗A类2=A类2A类1=0。

这里是A中的一个或两个₁和A₂可以为null。

引理2.5([13])

让A的core-EP分解∈ ℂ_{n、 n个}和…一样引理2.4然后存在一个酉矩阵U，这样

A类1=U型[T型S公司00]U型∗, A类2=U型[000N个]U型∗,(5)

其中T是非奇异的，N是幂零的。此外，A的核-EP逆是

A类◯†=U型T型负极1000U型∗。(6)

3 WG反向

在本节中，我们应用core-EP分解来引入广义群逆（即WG逆），并考虑广义逆的一些特征。

3.1 WG逆的定义和性质

让A类∈ ℂ_{n、 n个}带Ind(A类) =k个，并考虑方程组¹

2′ A类X（X）2=X（X）,三c（c） A类X（X）=A类◯†A类。(7)

定理3.1

方程组(7)具有一致性和独特的解决方案

X（X）=U型[T型负极1T型负极2S公司00]U型∗。(8)

证明

让A类∈ ℂ_{n、 n个}带Ind(A类) =k个.自A类⑪†=A类k个A类∗k个A类k个+1负极A类∗k个,R（右）A类⑪†A类⊆R（右）A类因此，（3^c（c）)是一致的。让A类和…一样(5).来自(6)，我们获得

A类◯†2A类=U型T型负极1T型负极2S公司00U型∗（9）

和

A类A类◯†2A类=A类⑪†A类,(10)

也就是说，A类◯†2A类是（3）的解^c（c）).

显然，（2′）是一致的。应用（9），我们有

A类A类◯†2A类2=A类◯†2A类,(11)

也就是说，A类◯†2A类是（2′）的解。

因此，从（9）,(10)和(11)，我们推导出(7)是一致的，并且(8)是的解决方案(7)。

此外，假设两者都是X（X）和Y（Y）满足(7)，然后

X（X）=A类X（X）2=A类◯†A类X（X）=A类◯†A类◯†A类=A类◯†A类Y（Y）=A类Y（Y）2=Y（Y）,

也就是方程组的解(7)是独一无二的。□

定义3.2

让A∈ ℂ_{n、 n个}是指数k的矩阵。a的WG逆，表示为A类◯W公司，定义为系统的解决方案(7)。

备注3.3

什么时候？A类∈ℂn个 C类M（M） ，我们有A类◯W公司=A类#。

备注3.4

在[14，定义1]，给出了弱Drazin逆的概念：设A∈ℂ_{n、 n个}和印度(A类) =k、如果X满足（6），则X是a的弱Drazin逆^k个). 应用(8)，很容易检查WG是否反向A类◯W公司是a的弱Drazin逆。

备注3.5

让A∈ ℂ_{n、 n个}.应用定理3.1，很容易检查A类◯W公司A类A类◯W公司=A类◯W公司和R（右）A类◯W公司=R（右）A类k个。

有关弱Drazin逆的更多详细信息，请参见[14–16].

在下面的示例中，我们解释了WG逆与Drazin、DMP、core-EP和BT逆不同。

示例3.6

让A类=[1010010100010000]。很容易检查印度(A类) = 2，Moore-Penrose逆A^†和Drazin逆A^天是

A类†=[0.500001负极100.50000010] 一n个d日 A类天=[1011010100000000],

DMP逆A^{d、 †}和BT反向A^⋄是

A类d日,†=A类天A类A类†=[1010010000000000] 一n个d日 A类⋄=(A类2A类†)†=[0.500001000.50000000],

和core-EP反转A类◯†与WG相反A类⑪W公司是

A类⑪†=1000010000000000和A类◯W公司=1010010100000000。

3.2 WG逆的特征

定理3.7

让A∈ ℂ_{n、 n个}如在(5).然后

A类◯W公司=A类1#=U型T型负极1T型负极2S公司00U型∗。(12)

证明

让A类=Â₁+Â₂是的核幂分解A类∈ ℂ_{n、 n个}.然后A类天=A类^1#.应用引理2.4,(5)和(8)，我们推导(12)。

定理3.8

让A∈ ℂ_{n、 n个}具有印度(A类) =k.然后

A类◯W公司=A类A类◯†A类#=A类◯†2A类=A类2◯†A类。(13)

证明

让A类和…一样(5).然后

A类A类◯†A类=U型T型S公司0N个T型负极1000T型S公司0N个U型∗=U型T型S公司00U型∗,A类◯†2=U型T型负极1000U型∗2=U型T型负极2000U型∗,A类2◯†=U型T型2T型S公司+S公司N个0N个2U型∗◯†=U型T型负极2000U型∗。

它源自定理3.7那个

A类A类◯†A类#=U型T型S公司00U型∗#=U型T型负极1T型负极2S公司00U型∗=A类◯W公司,A类◯†2A类=A类2◯†A类=U型T型负极2000T型S公司0N个U型∗=U型T型负极1T型负极2S公司00U型∗=A类◯W公司。

因此，我们获得(13).□

定理3.9

让A∈ ℂ_{n、 n个}具有印度(A类) =k.然后

A类◯W公司=A类k个A类k个+2⑪#A类=A类2P（P）A类k个†A类。(14)

证明

让A类和…一样(5).然后

A类k个=U型[T型k个Φ00]U型∗,(15)

哪里Φ=∑我=1k个T型我负极1S公司N个k个负极我。由此可见

A类k个A类k个+2◯#A类=U型T型k个Φ00T型负极(k个+2)000T型S公司0N个U型∗=U型T型负极1T型负极2S公司00U型∗=A类◯W公司,(16)

P（P）A类k个=A类k个A类k个†=U型我第页k个(A类k个)000U型∗,A类2P（P）A类k个†A类=U型T型2000†T型S公司0N个U型∗=A类◯W公司。(17)

因此，我们有(14).□

众所周知，Drazin逆是群逆的推广。我们将从以下推论中看到Drazin逆和WG逆之间的相似性和差异。

推论3.10

让A∈ ℂ_{n、 n个}具有印度(A类) =k.然后

第页k个A类◯W公司=第页k个A类天=第页k个A类k个。

众所周知(A类²)^天= (A类^天)²，但对于WG逆函数而言，情况并非如此。应用core-EP分解(5)属于A类，我们有

A类2=U型[T型2T型S公司+S公司N个0N个2]U型∗(18)

和

A类2◯W公司=U型T型负极2T型负极4T型S公司+S公司N个00U型∗,A类◯W公司2=U型T型负极2T型负极三S公司00U型∗。(19)

因此，A类2◯W公司=A类◯W公司2当且仅当T型⁻⁴(时间+序号) =T型⁻³S公司.自T型是可逆的，我们推导如下推论3.11。

推论3.11

让A∈ℂ_{n、 n个}和…一样(5).然后A类2◯W公司=A类◯W公司2当且仅当序号= 0.

交换性是群逆的主要特征之一。德拉津逆也有其特点。有兴趣询问WG逆是否也是如此。应用core-EP分解(5)属于A类，我们有

A类A类◯W公司=U型T型S公司0N个T型负极1T型负极2S公司00U型∗=U型我T型负极1S公司00U型∗;（20年）

A类◯W公司A类=U型T型负极1T型负极2S公司00T型S公司0N个U型∗=U型我T型负极1S公司+T型负极2S公司N个00U型∗。（20亿）

因此，我们有以下几点推论3.12。

推论3.12

让A的core-EP分解∈ ℂ_{n、 n个}和…一样(5).然后A类A类◯W公司=A类◯W公司A类当且仅当序号= 0.

推论3.13

让A∈ ℂ_{n、 n个}具有印度(A类) =k、 A be的core-EP分解如(5)和序号= 0.然后

A类◯W公司=A类天=A类k个+1◯#A类k个=A类t吨+1◯†A类t吨,

其中t是任意正整数。

证明

让core-EP分解A类∈ ℂ_{n、 n个}如在(5)。

通过应用序号=0和Ind(A类) =k个，我们有

A类k个负极1=U型[T型k个负极1T型k个负极2S公司0N个k个负极1]U型∗, A类k个=U型[T型k个T型k个负极1S公司00]U型∗, A类k个+1=U型[T型k个+1T型k个S公司00]U型∗。

它来自于应用(1),(4)和(6)那个

A类k个+1#=A类k个+1◯#=U型T型负极(k个+1)T型负极(k个+2)S公司00U型∗,A类天=A类k个+1#A类k个=U型T型负极(k个+1)T型负极(k个+2)S公司00T型k个T型k个负极1S公司00U型∗=U型T型负极1T型负极2S公司00U型∗=A类◯W公司。

因此，A类⑪W公司=A类天=A类k个+1◯#A类k个。

让t吨为任意正整数。通过应用序号=0，我们有

A类t吨=U型[T型t吨T型t吨负极1S公司0N个t吨]U型∗, A类t吨+1=U型[T型t吨+1T型t吨S公司0N个t吨+1]U型∗。

它源自引理2.5那个

A类t吨+1◯†=U型T型负极(t吨+1)000U型∗,A类t吨+1◯†A类t吨=U型T型负极(t吨+1)000T型t吨T型t吨负极1S公司0N个t吨U型∗=A类◯W公司,(21)

因此，我们推导出A类◯W公司=A类t吨+1◯†A类t吨，其中t吨是任意正整数。□

4两个订单

回顾负偏序,尖锐偏序,德拉赞命令和核幂零偏序[12] :

A类≤负极B类:A类,B类∈ℂ米,n个,第页k个(B类负极A类)=第页k个(B类)负极第页k个(A类),(22)

A类≤#B类:A类,B类∈ℂn个 C类M（M） ,A类2=A类B类=B类A类,（23）

A类≤天B类:A类,B类∈ℂn个,n个,A类^1≤#B类^1,(24)

A类≤#,负极B类:A类,B类∈ℂn个,n个,A类^1≤#B类^1 一n个d日 A类^2≤负极B类^2,(25)

在哪儿A类=Â₁+Â₂和B类=B类^1+B类^2是的核幂分解A类和B类分别是。同样，在本节中，我们应用core-EP分解引入两个阶：一个是WG阶，另一个是CE偏序。

4.1工作组订单

考虑二元关系：

A类≤ W公司G公司 B类:A类,B类∈ℂn个,n个, 我（f） A类1≤#B类1,（26）

在哪儿A类=A类₁+A类₂和B类=B类₁+B类₂是的核心EP分解A类和B类分别是。

这种关系的自反性是显而易见的。假设A类≤ 工作组 B类和B类≤ 工作组 C类，其中A类=A类₁+A类₂,B类=B类₁+B类₂和C类=C类₁+C类₂是的核心EP分解A类,B类和C类分别是。然后A类1≤#B类1和B类1≤#C类1.因此A类1≤#C类1。它源自（26）那个A类≤ 工作组 C类。

示例4.1

让

A类=[111001000], B类=[111002000]

尽管A类≤ W公司G公司 B类和B类≤ W公司G公司 A类,A类≠B类。因此，二进制运算的反对称性（26）一般来说不成立。

因此，我们有以下几点定理4.2。

定理4.2

二元关系（26）是预订单。我们将此预订单称为弱组订单。

备注4.3

WG订单与ℂn个 C类M（M）。

我们给出以下两个例子来证明WG阶与Drazin阶是不同的，并且两个阶中的任何一个都不暗示另一个阶。

示例4.4

让A和B如示例4.1.我们有

A类天=[112000000]。

很容易检查A类≤ W公司G公司 B类。

自A起^天A类≠A类^天,我们推导A类≰天B类因此，WG命令并不意味着Drazin命令。

例4.5

让

A类^=[100000000],B类^=[100001000],P（P）=[1负极20010001],A类=P（P）A类^P（P）负极1=[120000000],B类=P（P）B类^P（P）负极1=[12负极2000000],A类1=[120000000], A类2=0, B类1=[12负极2000000], B类2=[000001000],

其中A=A类₁+A类₂和B=B类₁+B类₂分别是A和B的核心EP分解。然后A类≤天B类和A类1≰#B类1因此，Drazin命令并不意味着WG命令。

众所周知A类≤天B类⇒A类2≤天B类2，但WG订单的情况则不同，如下例所示：

示例4.6

让A和B如示例4.1，然后

A类2=[111000000], B类2=[11三000000]。

我们推导A类2≰ W公司G公司 B类2因此，A类≤ W公司G公司 B类⇏A类2≤ W公司G公司 B类2。

定理4.7

让A,B类∈ ℂ_{n、 n个}.然后A类≤ W公司G公司 B类当且仅当存在酉矩阵U型^这样的话

A类=U型^[T型S公司^1S公司^20N个11N个120N个21N个22]U型^∗,（27年a）

B类=U型^[T型S公司^1负极T型负极1S公司^1T型1S公司^2负极T型负极1S公司^1S公司10T型1S公司100N个2]U型^∗,（27亿）

其中T和T₁是可逆的，[N个11N个12N个21N个22]和N₂是幂零的。

证明

假设A类≤ W公司G公司 B类.让A类=A类₁+A类₂和B类=B类₁+B类₂是的核心EP分解A类和B类,A类₁和A类₂如中所示(5)、和分区

U型∗B类1U型=[B类11B类12B类21B类22]。(28)

应用(12)给予

B类1A类1#=U型[B类11B类12B类21B类22][T型负极1T型负极2S公司00]U型∗=U型[B类11T型负极1B类11T型负极2S公司B类21T型负极1B类21T型负极2S公司]U型∗。

自A类≤ W公司G公司⁡B类,A类1≤#⁡B类1。它源自A类1A类1#=B类1A类1#那个

B类11=T型一n个d日 B类21=0(29)

通过应用(12)和(29)，我们有

A类1#A类1=U型[我T型负极1S公司00]U型∗,A类1#B类1=U型[我T型负极1B类12+T型负极2S公司B类2200]U型∗。

它源自A类1#A类1=A类1#B类1那个

T型负极1(S公司负极T型负极1S公司B类22负极B类12)=0

因此，

B类12=S公司负极T型负极1S公司B类22,(30)

在哪儿B类₂₂是具有适当大小的任意矩阵。发件人(29)和(30)，我们获得

B类1=U型[T型S公司负极T型负极1S公司B类220B类22]U型∗。(31)

自B类₁核心是可逆的，并且T型是非奇异的，B类₂₂是核心可逆的。让core-EP分解B类₂₂作为

B类22=U型1[T型1S公司100]U型1∗,(32)

哪里T型₁是可逆的。表示

U型^=U型[我00U型1]。

很容易看出这一点U型^是酉矩阵SU公司₁分区如下：

S公司U型1=[S公司^1S公司^2],

其中的列数S公司^1与方阵的大小一致T型₁.然后

A类1=U型^[T型S公司^1S公司^2000000]U型^∗(33)

和

B类1=U型[T型S公司负极T型负极1S公司B类220U型1[T型1S公司100]U型1∗]U型∗=U型[我00U型1][T型S公司U型1负极T型负极1S公司U型1U型1∗B类22U型10[T型1S公司100]][我00U型1∗]U型∗=U型^[T型[S公司^1S公司^2]负极T型负极1[S公司^1S公司^2][T型1S公司100]0[T型1S公司100]]U型^∗=U型^[T型S公司^1负极T型负极1S公司^1T型1S公司^2负极T型负极1S公司^1S公司10T型1S公司1000]U型^∗。(34)

发件人（26）,(33)和(34)，我们推导（27年a）和（27亿）.□

4.2 CE部分订单

考虑二元关系：

A类≤ C类电子 B类:A类,B类∈ℂn个,n个,A类1≤#B类1 一n个d日 A类2≤负极B类2,(35)

在哪儿A类=A类₁+A类₂和B类=B类₁+B类₂是的核心EP分解A类和B类分别是。

定义4.8

让A,B类∈ ℂ_{n、 n个}.如果A和B满足二元关系，我们说A在核-EP-负（简称CE）序下低于B(35)。

当CE订单中A低于B时，我们会写A类≤ C类电子 B类。

备注4.9

根据（26）和(35)我们得出CE订单意味着WG订单，即，

A类≤ C类电子 B类⇒A类≤ W公司G公司 B类。(36)

此外，

A类≤ C类电子 B类⇔A类≤ W公司G公司 B类一n个d日 A类2≤负极B类2。(37)

定理4.10

CE订单是部分订单。

证明

自反性是微不足道的。

让A类≤ C类电子 B类,B类≤ C类电子 C类和A类=A类₁+A类₂,B类=B类₁+B类₂和C类=C类₁+C类₂是的核心EP分解A类,B类和C类分别是。然后A类1≤#B类1,B类1≤#C类1和A类2≤负极B类2,B类2≤负极C类2.因此A类1≤#C类1和A类2≤负极C类2。它来自定义4.8那个A类≤ C类电子 C类

如果A类≤ C类电子 B类和B类≤ C类电子 A类，然后A类₁=B类₁和A类₂=B类₂也就是说，A类=B类.□

定理4.11

让A,B类∈ ℂ_{n、 n个}.然后A类≤ C类电子 B类当且仅当存在酉矩阵U型^令人满意的

A类=U型^[T型S公司^1S公司^200000N个22]U型^∗,（38年）

B类=U型^[T型S公司^1负极T型负极1S公司^1T型1S公司^2负极T型负极1S公司^1S公司10T型1S公司100N个2]U型^∗,（38亿）

其中T和T₁可逆，N₂₂和N₂是幂零的，并且N个22≤负极N个2。

证明

让A类≤ C类电子 B类、和A类=A类₁+A类₂和B类=B类₁+B类₂是的核心EP分解A类和B类分别是。然后A类1≤#B类1和A类2≤负极B类2.通过应用引理2.5,定理4.7和A类1≤#B类1，我们有

B类1=U型^[T型S公司^1负极T型负极1S公司^1T型1S公司^2负极T型负极1S公司^1S公司10T型1S公司1000]U型^∗,B类2=U型^[00000000N个2]U型^∗,

哪里U型^,T型,T型₁,[N个11N个12N个21N个22]和N个₂如中所示定理4.7。

自A类2≤负极B类2，我们有rk(B类₂负极A类₂)=克(B类₂)−rk（千克）(A类₂)，也就是说，

第页k个([000N个2]负极[N个11N个12N个21N个22])=第页k个(N个2)负极第页k个([N个11N个12N个21N个22])。(39)

此外，很容易检查

第页k个(N个2)负极第页k个([N个11N个12N个21N个22])≤第页k个(N个2)负极第页k个(N个22)≤第页k个(N个2负极N个22)≤第页k个([000N个2]负极[N个11N个12N个21N个22])。(40)

应用(39)到(40)我们获得

第页k个(N个22)=第页k个([N个11N个12N个21N个22])(41)

第页k个(N个2)负极第页k个(N个22)=第页k个(N个2负极N个22)。(42)

因此，我们获得

N个22≤负极N个2。(43)

自N个22≤负极N个2，存在非奇异矩阵P（P）和问这样的话

N个22=P（P）[天100000000]问, N个2=P（P）[天1000天20000]问,

哪里天₁和天₂非奇异，（参见[12，定理3.7.3]）。由此可见

第页k个(N个22)=第页k个(天1) 一n个d日第页k个(N个2)负极第页k个(N个22)=第页k个(天2)。(44)

表示

N个12=[M（M）12M（M）13M（M）14]问一n个d日 N个21=P（P）[M（M）21M（M）31M（M）41]。(45)

然后

[N个11N个12N个21N个22]=[我第页k个(N个11)00P（P）][N个11M（M）12M（M）13M（M）14M（M）21天100M（M）31000M（M）41000][我第页k个(N个11)00问]

和

第页k个([N个11N个12N个21N个22])=第页k个(天1)+第页k个([M（M）13M（M）14])+第页k个([M（M）31M（M）41]) +第页k个(N个11负极M（M）12天1负极1M（M）21)

它源自(44)和(41)那个

M（M）13=0,M（M）14=0, M（M）31=0 一n个d日 M（M）41=0(46)

因此，

[负极N个11负极N个12负极N个21N个2负极N个22]=[我第页k个(N个11)00P（P）][负极N个11负极M（M）1200负极M（M）2100000天200000][我第页k个(N个11)00问]。

通过应用(41),(44)和[N个11N个12N个21N个22]≤负极[000N个2]，我们推导出

第页k个([000N个2]负极[N个11N个12N个21N个22])=第页k个([N个11M（M）12M（M）210])+第页k个(天2)=第页k个(N个2)负极第页k个(N个22)=第页k个(天2)。

因此，[N个11M（M）12M（M）210]=0也就是说，N个₁₁= 0,M（M）₁₂=0和M（M）₂₁= 0. 通过应用(45)和(46)，我们获得N个₁₁= 0,N个₁₂=0和N个₂₁= 0. 因此，我们获得（38年）和（38b）。

让A类和B类形式如（38年）和（38亿）。很容易检查A类=A类₁+A类₂和B类=B类₁+B类₂是的核心EP分解A类和B类分别为和

A类1=U型^[T型S公司^1S公司^2000000]U型^∗,A类2=U型^[00000000N个22]U型^∗;B类1=U型^[T型S公司^1负极T型负极1S公司^1T型1S公司^2负极T型负极1S公司^1S公司10T型1S公司1000]U型^∗,B类2=U型^[00000000N个2]U型^∗。

它源自（23）和N个22≤负极N个2那个A类1≤#B类1和A类2≤负极B类2因此，A类≤ C类电子 B类.□

备注4.12

在示例4.5中，很容易检查A类≤#,负极B类.自A类1≰#B类1，我们有A类≰ C类电子 B类因此，核幂零偏序并不意味着CE偏序。

推论4.13

让A,B类∈ ℂ_{n、 n个}.如果A类≤ C类电子 B类，然后A类≤负极B类。

证明

让A类,B类∈ ℂ_{n、 n个}.然后A类和B类具有定理4.11中给出的形式。根据A类≤ C类电子 B类，我们有N个22≤负极N个2也就是说，

第页k个(N个2负极N个22)=第页k个(N个2)负极第页k个(N个22)。(47)

自T型和T型₁是可逆的，因此

第页k个(B类)=第页k个(T型)+第页k个(T型1)+第页k个(N个2);第页k个(A类)=第页k个(T型)+第页k个(N个22);第页k个(B类负极A类)=第页k个([0负极T型负极1S公司^1T型1负极T型负极1S公司^1S公司10T型1S公司100N个2负极N个22])=第页k个([我第页k个(T型)T型负极1S公司^100我第页k个(T型1)000我n个负极第页k个(T型)负极第页k个(T型1)][0负极T型负极1S公司^1T型1负极T型负极1S公司^1S公司10T型1S公司100N个2负极N个22])=第页k个([T型1S公司10N个2负极N个22])=第页k个([T型100N个2负极N个22])=第页k个(T型1)+第页k个(N个2负极N个22)。(48)

因此，通过应用(22),(47)和(48)我们导出rk(B类负极A类)=克(B类)−rk（千克）(A类)，也就是说，A类≤负极B类。

5 core-EP顺序的特征

如中所述[13]，给出了core-EP顺序：

A类≤◯†⁡B类:A类,B类∈C类n个,n个,A类◯†A类=A类◯†B类一n个d日A类A类◯†=B类A类◯†。(49)

核心-EP阶的一些特征如所示[13].

引理5.1([13])

让A,B类∈ ℂ_{n、 n个}和A类≤◯†⁡B类然后存在一个酉矩阵U，这样

A类=U型[T型1T型2S公司10N个11N个120N个21N个22]U型∗, B类=U型[T型1T型2S公司10T型三S公司200N个2]U型∗,(50)

哪里[N个11N个12N个21N个22]和N₂是幂零的，T₁和T_三为非单数。

定理5.2

让A,B类∈ ℂ_{n、 n个}.然后A类≤◯†⁡B类当且仅当

A类A类◯W公司=B类A类◯W公司一n个d日A类∗A类◯W公司=B类∗A类◯W公司。(51)

证明

让A类如中所示(5)，并表示

U型∗B类U型=[B类1B类2B类三B类4]。(52)

通过应用（20年）和

B类A类◯W公司=U型B类1B类2B类三B类4T型负极1T型负极2S公司00U型∗=U型B类1T型负极1B类1T型负极2S公司B类三T型负极1B类三T型负极2S公司U型∗,

我们有A类A类◯W公司=B类A类◯W公司当且仅当

B类1=T型一n个d日 B类三=0

由此可见

A类∗A类◯W公司=U型T型∗0S公司∗N个∗T型负极1T型负极2S公司00U型∗=U型T型∗T型负极1T型∗T型负极2S公司S公司∗T型负极1S公司∗T型负极2S公司U型∗,B类∗A类◯W公司=U型T型∗0B类2∗B类4∗T型负极1T型负极2S公司00U型∗=U型T型∗T型负极1T型∗T型负极2S公司B类2∗T型负极1B类2∗T型负极2S公司U型∗。

因此，A类A类◯W公司=B类A类◯W公司和A类∗A类◯W公司=B类∗A类◯W公司当且仅当

B类1=T型,B类三=0,B类2=S公司,一n个d日B类4我秒一第页b条我t吨第页一第页年,(53)

也就是说，A类和B类满足A类A类◯W公司=B类A类◯W公司和A类∗A类◯W公司=B类∗A类◯W公司当且仅当存在酉矩阵U型这样的话

A类=U型[T型S公司0N个]U型∗, B类=U型[T型S公司0B类4]U型∗,(54)

哪里N个是幂零的，T型非单数，且B类₄是任意的。因此，通过应用引理5.1，我们导出了特征(51)核心-EP订单。□

披露声明

作者没有报告潜在的利益冲突。

基金

本研究部分得到了广西自然科学基金[批准号：2018GXNSFAA138181]、中国博士后科学基金[授予号：2015M581690]、广西高校高水平创新团队和杰出学者、广西八桂学者专项基金[批准编号：2016A17]的支持国家自然科学基金【批准号11771076】。

确认：

作者衷心感谢裁判的宝贵意见和建议。

工具书类

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1
自A类◯†A类核心可逆，我们使用符号3^c（c）在（7）中。

收到：2017-12-13

认可的：2018-09-12

在线发布：2018-10-31

本作品是根据Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0许可证授权的。

弱群逆

摘要

1引言

2准备工作

引理2.1([1])

引理2.2

引理2.3

引理2.4

引理2.5([13])

3 WG反向

3.1 WG逆的定义和性质

定理3.1

证明

定义3.2

备注3.3

备注3.4

备注3.5

示例3.6

3.2 WG逆的特征

定理3.7

证明

定理3.8

证明

定理3.9

证明

推论3.10

推论3.11

推论3.12

推论3.13

证明

4两个订单

4.1工作组订单

示例4.1

定理4.2

备注4.3

示例4.4

例4.5

示例4.6

定理4.7

证明

4.2 CE部分订单

定义4.8

备注4.9

定理4.10

证明

定理4.11

证明

备注4.12

推论4.13

证明

5 core-EP顺序的特征

引理5.1([13])

定理5.2

证明

披露声明

基金

确认：

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