1引言
钩端螺旋体病是由一种称为问号钩端螺旋菌的螺旋形细菌的多种不同血清型引起的，是一种动物和人类的疾病。这些血清型被广泛的动物庇护，所有这些都能在人类中致病。Pomona和hardjo钩端螺旋体血清型在家畜中尤其重要，但在家畜和人类中检测到的其他值得关注的血清型数量正在快速增长（阿拉巴马州合作推广系统（ANR-0858））。钩端螺旋体病是畜牧业经济损失的一个原因。许多受感染的动物没有临床疾病的迹象。
钩端螺旋体病通常通过受感染动物的尿液传播，水分是细菌在环境中生存的重要因素。牲畜通过接触受感染牲畜或野生动物尿液污染的牧场或水而感染。在温暖潮湿的条件下，这些生物体可能会在环境中存活并导致感染数周，因此在适当的气候条件下，许多牲畜几乎会持续暴露在环境中很长时间[1].
感染的范围从无症状或亚临床到急性和致命。动物急性钩端螺旋体病的症状包括哺乳期雌性突然无乳症、幼崽黄疸和血红蛋白尿、狗肾炎和肝炎以及脑膜炎。慢性钩端螺旋体病可导致流产、死胎、小牛死亡率高、产奶量减少、断奶和不育。通常，慢性感染的动物在一生中都是无症状携带者，该生物体位于肾脏和生殖器官中，而马也会因钩端螺旋体病而出现周期性眼炎[2]. 在人类中，钩端螺旋体病能够引起头痛、发烧、发冷、出汗和肌痛。其他症状还可能包括嗜睡、关节疼痛和长时间生病。一些高致病性血清型可能导致肺出血和死亡。虽然轻度钩端螺旋体病可能是最常见的感染形式，但它们有时可能是慢性的，并且在临床表现中具有精神成分。
这种疾病可以在动物之间直接传播，也可以通过环境间接传播。随着集约化农业的广泛采用，钩端螺旋体病作为一种职业病越来越重要。例如，1999年期间，在澳大利亚农业行业工作的人占通知的35.3%，而在畜牧业工作的人则占通知的22.9%[2].
已将最优控制方法应用于流行病学模型，但这些研究大多集中于艾滋病毒和结核病的动力学。中的作者[三–6]研究了控制HIV患者病毒繁殖的最佳化疗方案。在[7–10]采用最优控制使疾病和治疗成本最小化。在[1112]作者使用最优控制来研究流行病爆发期间开展教育活动的最佳策略，同时尽量减少感染人数。中的作者[13]还利用最优控制方法研究了带有免疫规划的非线性数学SIR流行病模型。应用最优控制研究了化疗对感染性移民疟疾的影响以及基本设施的影响[1415]，同时[16]使用SEIR模型研究了疟疾预防和治疗的效果。它也被用于一个有转基因蚊子但没有人类的疟疾模型[17]. 最佳控制在传染病建模中的其他应用[18–21].
在应用最优控制理论研究和分析钩端螺旋体病动力学方面，人们做得很少。最近，作者[22]研究钩端螺旋体病感染载体与人群的动态相互作用。While期间[23]考虑使用多个控制变量的钩端螺旋体病流行模型来实现最优运动。然而，这些研究都没有对控制策略进行成本效益分析。
本文对SIR钩端螺旋体病模型进行了扩展[22]考虑将人类和病媒种群（家畜）结合起来，还将病媒疫苗接种、治疗和预防策略结合起来。目的是深入了解将疾病在人群中传播降至最低的最佳干预措施，并探讨各种干预方案的影响，即预防、接种和治疗。我们分析了模型的稳定性和分岔，然后将适当的成本函数纳入模型，以研究和确定这些策略在控制疾病方面的可能影响。我们进一步对所得模型进行了详细的定性最优控制分析，并利用Pontryagin的最大值原理给出了疾病最优控制的必要条件，以确定控制疾病传播的最优策略。进一步考虑了控制战略的成本效益分析，以确定最具成本效益的战略。
本文的结构如下：第2节，我们导出了一个由常微分方程组成的模型，该模型描述了人类和牲畜种群之间的相互作用以及潜在的假设。第3节致力于钩端螺旋体病模型的数学分析。在第4节提出了该病的最优控制分析。在第5节，仿真结果显示了预防、接种和治疗的效果。成本效益分析见第6节虽然结论在第7节.
2模型制定
该模型细分了总人口，表示为N个小时，成为易感人群的亚群体(S公司小时)，名有钩端螺旋体病症状的患者(我小时)，康复人员(对小时). 因此N个小时=S公司小时+我小时+对小时.
病媒（家畜）总数量，表示为N个v（v），被细分为易感病媒(S公司v（v）)，传染病媒(我v（v）)，恢复的向量(对v（v）)和接种载体(V（V）v（v）). 因此，N个v（v）(t吨) =S公司v（v）+我v（v）+对v（v）+V（V）v（v）.
该模型由以下常微分方程组给出：
d日S公司小时d日t吨=Λ小时+σ小时对小时负极(1负极μ1)β米∗βS公司小时负极μ小时S公司小时d日我小时d日t吨=(1负极u个1)β米∗S公司小时负极(u个2γ)+u个小时+δ小时)我小时d日对小时d日t吨=u个2γ我小时负极(σ小时+μ小时)对小时d日S公司v（v）d日t吨=(1负极u个三)Λv（v）负极(1负极u个1)β米∗λS公司v（v）负极μv（v）S公司v（v）+σv（v）对v（v）+τV（V）v（v）d日我v（v）d日t吨=(1负极u个1)β米∗λS公司v（v）+(1负极u个1)b条β米∗λV（V）v（v）负极(u个4α+μv（v）+δv（v）)我v（v）d日对v（v）d日t吨=u个4α我v（v）负极(σv（v）+μv（v）)对v（v）d日V（V）v（v）d日t吨=u个三Λv（v）负极(τ+μv（v）)V（V）v（v）负极(1负极u个1)b条λβ米∗V（V）v（v）(1)
哪里β米∗=我v（v）+我小时.
易感人群以∧的速度招募小时.易感人群通过接触传染病媒和感染性人群而感染钩端螺旋体病(我v（v）+我小时)β.感染者以γ的速度从疾病中康复。患有这种疾病的人在一定程度上得到了控制u个2(t吨)，同时u个1(t吨)是对预防的控制努力。未经治疗的感染者死亡率δ小时.以一定速度恢复了个人的松散免疫力σ小时再次变得易受感染。术语μ小时是自然死亡率。
敏感向量(S公司v（v）)以∧的速率生成v（v），其中一个比例u个三∈[0,1]成功接种个体载体。感染该病的病媒在一定程度上得到了控制u个4(t吨). 钩端螺旋体病是通过与感染者和传染病媒接触而获得的(我v（v）+I小时)λ. 假设感染钩端螺旋体病的牲畜因自然原因和疾病引起的死亡率而死亡，μv（v）和δv（v）分别是。载体回收率为α，由于万宁效应，一些接种疫苗的载体将以一定的速度转移到受感染的类别b条β米∗λ式中，（1-b）∈[0,1]是疫苗的效力，或者它们完全失去免疫力并以τ的速率转移到易感类别。
3钩端螺旋体病模型的数学分析
3.1解的正性和有界性
钩端螺旋体病传播模型(1)为了具有流行病学意义，重要的是要证明所有具有非负初始数据的解在任何时候都将保持非负。
定理3.1如果S公司小时(0),我小时(0),对小时(0),S公司v（v）(0),我v（v）(0),对v（v）(0),V（V）v（v）(0)是非负的，那么也是Sh公司(t吨),我小时(t吨),对小时(t吨),S公司v（v）(t吨),我v（v）(t吨),对v（v）(t吨)和V（V）v（v）(t吨)一直如此t吨> 0.此外,
林啜饮t吨→∞N个小时(t吨)≤Λ小时μ小时一n个d日林啜饮t吨→∞N个v（v）(t吨)≤Λ小时μv（v）.（2）
此外，如果N个小时(0)≤Λ小时μ小时,然后N个小时(t吨)≤Λ小时μ小时,如果N个v（v）(0)≤Λ小时μ小时,然后N个v（v）(t吨)≤Λ小时μ小时.
为了简单起见，省略了这个证明。系统可行域(1)因此，由
D类=D类小时×D类v（v）⊂对+三×对+4(3)
哪里，
D类小时={(S公司小时,我小时,对小时)∈对+三:S公司小时+我小时+对小时≤Λ小时μ小时},(4)
和
D类v（v）={(S公司v（v）,我v（v）,对v（v）)∈对+4:S公司v（v）+我v（v）+对v（v）+V（V）v（v）≤Λv（v）μv（v）}.(5)
D类是正不变的。
3.2稳态、稳定性和分岔
疾病模型的无病平衡（DFE）(1)仅在以下情况下存在u个1=0，其他控件为常数，由下式给出
ε0=Λ小时μ小时,0,0,Λ小时(τ+μv（v）(1负极u个三))μ小时(τ+μv（v）,0,0,u个三Λv（v）τ+μv（v）.（6）
模型的基本复制编号(1),Rh（相对湿度）v（v），使用下一代矩阵计算[24]. 它是由
对小时v（v）=βΛ小时μ小时(γ+δ小时+μ小时)+λΛv（v）[τ+(1负极(1负极b条)u个三)](τ+μv（v）)(α+δv（v）+μv（v）).(7)
很明显，接种疫苗会导致Rhv（相对湿度）因此，总接种覆盖率如下所示
u个三∗=11负极b条对v（v）q个(τ+1)+对小时q个负极对小时v（v）对v（v）q个(8)
哪里，
对小时q个=βΛ小时μ小时(γ+δ小时+μ小时),对v（v）q个=λΛv（v）(1+τ)(τ+μv（v）)(α+δv（v）+μv（v）)
此外，在[24]，得出以下结果。
提议3.2DFE公司模型的(1),如果R是局部渐近稳定的高压< 1,如果R，则不稳定高压> 1.
3.3全球无病稳定性
在本节中，平衡系统的全球行为(1)进行了分析。
定理3.3如果R高压< 1,无病平衡点在Ω
证明考虑以下Lyapunov函数：
P（P）(t吨)=(α+μv（v）+δv（v）)我小时+(γ+μ小时+δ小时)我v（v）(9)
计算的时间导数P（P）沿着系统的解决方案(1)，得到以下结果，
d日P（P）(t吨)d日t吨=(α+μv（v）+δv（v）)d日我小时d日t吨+(γ+u个小时+δ小时)d日我v（v）d日t吨=(α+μv（v）+δv（v）)βS公司小时(我小时+我v（v）)负极(u个2γ+μ小时+δ小时)我小时+(γ+μ小时+δ小时)λS公司v（v）(我小时+我v（v）)+b条(我小时+我v（v）)λV（V）v（v）负极(u个4α+μv（v）+δv（v）)我v（v）≤(α+μv（v）+δv（v）)βΛ小时我小时μ小时+(α+μv（v）+δv（v）)βΛ小时我v（v）μ小时负极(α+μv（v）+δv（v）)(γ+μ小时+δ小时)我小时+我小时(γ+μ小时+δ小时)λΛv（v）(τ+μv（v）(1负极u个三))μv（v）(τ+μv（v）)+我v（v）(γ+μ小时+δ)λΛv（v）(τ+μv（v）(1负极u个三))μv（v）(τ+μv（v）)+我小时(γ+μ小时+δ小时)b条u个三λΛv（v）τ+μv（v）+我v（v）(γ+μ小时+δ)b条u个三λΛv（v）τ+μv（v）负极我v（v）(γ+μ小时+δ)(α+μv（v）+δv（v）)≤负极我小时(γ+μ小时+δ小时)(α+μv（v）+δv（v）)1负极对小时v（v）负极我v（v）(γ+μ小时+δ小时)(α+μv（v）+δv（v）)1负极对小时v（v）=(我小时+我v（v）)(γ+μ小时+δ小时)(α+μv（v）+δv（v）)1负极对小时v（v）(10)
因此d日P（P）(t吨)d日t吨每当对小时v（v）<1d日P（P）(t吨)d日t吨=0当且仅当我小时+我v（v）=0或在以下情况下对高压= 1. 因此S公司小时,我小时,我v（v）∈Ω,d日P（P）(t吨)d日t吨=0，无论何时对高压≤1，为单粒子ε0因此，拉萨尔不变性原理[26]意味着ε0在Ω中全局渐近稳定。这就完成了证明。□
3.4地方平衡
接下来我们计算局部稳态。解决系统(1)在平衡状态下，我们得到β米∗=0（对应于DFE）或
Ω0β米∗三+Ω1β米∗2+Ω2β米∗+Ω三=0(11)
哪里
Ω0=1Ω1=z（z）∗E类(1负极对w个)Ω2=克1E类(1负极对（f）)Ω三=χ[1负极对小时v（v）],(12)
对小时v（v）2=对小时q个+对v（v）q个+βΛ小时μ小时(γ+δ小时+μ小时)+λΛv（v）[τ+(1负极(1负极b条)u个三)](τ+μv（v）)(α+δv（v）+μv（v）),E类=b条βλ2[μv（v）(α+δv（v）+μv（v）)+(δv（v）+μv（v）)σv（v）][μ小时(γ+δ小时+μ小时)+(δ小时+μ小时)σ小时],问1=b条λ2μ小时(γ+δ小时+μ小时)(μ小时+σ小时)[μv（v）(α+δv（v）+μv（v）)+(δv（v）+μv（v）)σv（v）],问2=βλ[μ小时(γ+δ小时+μ小时)+(δ小时+μ小时)σ小时]F类三b条(μv（v）+δv（v）)(τ+μv（v）)(α+δv（v）+μv（v）)(τ+(1负极(1负极b条)u个三),Z轴∗=问1+问2对w个2=问1对小时q个+问2对v（v）q个Z轴∗F类1=λμ小时(μ小时+σ小时)(γ+δ小时+μ小时)(τ+(1+b条)μv（v）)[μv（v）(α+δv（v）+μv（v）)+(δv（v）+μv（v）)σv（v）],F类2=βμ小时(α+δv（v）+μv（v）)(τ+u个v（v）)(μv（v）+σv（v）)[μ小时(γ+δ小时+μ小时)+(δ小时+μ小时)σ小时],F类三=[(τ+(1+b条)μv（v）)[μv（v）(α+δv（v）+μv（v）)+(δv（v）+μv（v）)σv（v）]+b条αμv（v）]克1=λ[μ小时(μ小时+σ小时)(γ+δ小时+μ小时)(τ+u个v（v）)[u个v（v）(α+δv（v）+μv（v）)+(δv（v）+μv（v）)σv（v）]负极b条[Λv（v）(μv（v）+σv（v）)+βΛ小时αμv（v）σv（v）)(μ小时+σ小时)]+b条μv（v）(α+δv（v）+μv（v）)(μv（v）+σv（v）)],χ=u个v（v）μ小时(μv（v）+σv（v）)(μ小时+σ小时)(τ+u个v（v）)(α+δv（v）+μv（v）)(γ+δ小时+μ小时)b条βλ2[μv（v）(α+δv（v）+μv（v）)+(δv（v）+μv（v）)σv（v）][μ小时(γ+δ小时+μ小时)+(δ小时+μ小时)σ小时],对（f）2=F类12对小时q个+F类22对v（v）q个克1.（13）
备注系统(1)具有唯一的地方病平衡E*如果R高压> 1和案例1-3（如表1)都很满意。如果R高压> 1案例4满足；如果R高压< 1满足案例2-4.
表1
的可能正实根数P（P）β米∗对于对高压>1和对高压<1
| 案例 | Ω0 | Ω1 | Ω2 | Ω三 | 对高压 | 标志更改次数 | 正实根数 |
|---|
| 1 | + | + | + | + | 对高压< 1 | 0 | 0 |
| + | + | + | - | 对高压> 1 | 1 | 1 |
| 2 | + | + | - | + | 对高压< 1 | 2 | 0, 2 |
| + | + | - | - | 对高压> 1 | 1 | 1 |
| 三 | + | - | - | + | 对高压< 1 | 2 | 0, 2 |
| + | - | - | - | 对高压> 1 | 1 | 1 |
| 4 | + | - | + | + | 对高压< 1 | 2 | 0，2 |
| + | - | + | - | 对高压> 1 | 三 | 1, 3 |
3.4.1地方病平衡的全局稳定性
出租对高压>1，从而存在地方病平衡。我们考虑非线性Lyapunov函数
L（左）=S公司小时∗∗S公司小时S公司小时∗∗负极我n个S公司小时S公司小时∗∗+我小时∗∗我小时我小时∗∗负极我n个我小时我小时∗∗+克1对小时∗∗γ对小时对小时∗∗负极我n个对小时对小时∗∗+S公司v（v）∗∗S公司v（v）S公司v（v）∗∗负极我n个S公司v（v）S公司v（v）∗∗+我v（v）∗∗我v（v）我v（v）∗∗负极我n个我v（v）我v（v）∗∗+对v（v）∗∗对v（v）对v（v）∗∗负极我n个对v（v）对v（v）∗∗+V（V）v（v）∗∗V（V）v（v）V（V）v（v）∗∗负极我n个V（V）v（v）V（V）v（v）∗∗(14)
哪里克1==========================================================(u个2年+μ小时+δ小时),克2==========================================================(σ2+μ小时),克三==========================================================(u个4α+μv（v）+δv（v）),克4==========================================================(σv（v）+μv（v）). 微分上述方程式(14)，我们有
d日L（左）d日t吨=1负极S公司小时∗∗S公司小时d日S公司小时d日t吨+1负极我小时∗∗我小时d日我小时d日t吨+克1γ1负极对小时∗∗对小时d日对小时d日t吨+1负极S公司v（v）∗∗S公司v（v）d日S公司v（v）d日t吨+1负极我v（v）∗∗我v（v）d日我v（v）d日t吨+1负极对v（v）∗∗对v（v）d日对v（v）d日t吨+1负极V（V）v（v）∗∗V（V）v（v）d日V（V）v（v）d日t吨(15)
所以
d日L（左）d日t吨=1负极S公司小时∗∗S公司小时[Λ小时+σ小时对小时∗∗+(1负极u个1)ββ米∗∗S公司小时∗∗+μ小时S公司小时∗∗负极Λ小时负极σ对小时负极(1负极u个1)ββ米S公司小时负极μ小时S公司小时]+1负极我小时∗∗我小时[(1负极u个1)ββ米S公司小时负极克1我小时]+克1γ1负极对小时∗∗对小时[u个2γ我小时负极克2对小时]+1负极S公司v（v）∗∗S公司v（v）[(1负极u个三)Λv（v）+(1负极u个1)λβ米∗∗S公司v（v）∗∗+μv（v）S公司v（v）∗∗+σv（v）对v（v）∗∗+τV（V）v（v）∗∗负极(1负极u个三)Λv（v）负极(1负极u个1)λβ米S公司v（v）负极μv（v）S公司v（v）负极σv（v）对v（v）负极τV（V）v（v）]+1负极我v（v）∗∗我v（v）[(1负极u个1)λβ米S公司v（v）+(1负极u个1)b条λβ米V（V）v（v）负极克三我v（v）]+克三α1负极对v（v）∗∗对v（v）[u个4α我v（v）负极克4对v（v）]+1负极我v（v）∗∗V（V）v（v）[u个三Λv（v）+(1负极u个1)b条λβ米∗∗V（V）v（v）∗∗+(τ+u个v（v）)V（V）v（v）∗∗负极u个三Λv（v）]负极(1负极u个1)b条λβ米V（V）v（v）负极(τ+μv（v）)V（V）v（v）](16)
因此，进一步简化，
μ小时S公司∗∗2负极S公司小时∗∗S公司小时负极S公司小时S公司小时∗∗+σ对小时∗∗1负极对小时对小时∗∗+对小时S公司小时∗∗S公司小时1负极对小时∗∗对小时负极克1克2S公司小时γS公司小时∗∗1负极对小时∗∗对小时+1负极u个1ββ米∗∗S公司小时∗∗1负极β米β米∗∗负极S公司小时∗∗S公司小时负极S公司小时β米我∗∗S公司小时∗∗β米∗∗我小时+克1我小时∗∗1负极我小时我小时∗∗负极u个2我小时我小时∗∗1负极对小时∗∗对小时+μv（v）S公司v（v）∗∗2负极S公司v（v）∗∗S公司v（v）负极S公司v（v）S公司v（v）∗∗+σv（v）对v（v）∗∗1负极S公司v（v）∗∗S公司v（v）负极对v（v）对v（v）∗∗+对v（v）S公司v（v）∗∗对v（v）∗∗S公司v（v）+τV（V）v（v）∗∗1负极S公司v（v）∗∗S公司v（v）负极V（V）v（v）V（V）v（v）∗∗负极V（V）v（v）S公司v（v）∗∗V（V）v（v）∗∗S公司v（v）+1负极u个1λβ米∗∗S公司v（v）∗∗1负极S公司v（v）∗∗S公司v（v）+β米β米∗∗负极S公司v（v）β米我v（v）∗∗S公司v（v）∗∗β米∗∗我v（v）+克三我v（v）∗∗我v（v）1负极我v（v）我v（v）∗∗负极克三u个4我v（v）我v（v）∗∗负极克三u个4我v（v）对v（v）∗∗我v（v）∗∗对v（v）+克三克4对v（v）∗∗α1负极对v（v）对v（v）∗∗+τ+μv（v）V（V）v（v）∗∗2负极V（V）v（v）∗∗V（V）v（v）负极V（V）v（v）V（V）v（v）∗∗+b条1负极u个1λβ米∗∗V（V）v（v）∗∗1负极V（V）v（v）∗∗V（V）v（v）+β米β米∗∗负极V（V）v（v）β米我v（v）∗∗V（V）v（v）∗∗β米∗∗我v（v）(17)
因为算术平均值超过了几何平均值[25]，因此
2负极S公司小时∗∗S公司小时负极S公司小时S公司小时∗∗≤01负极对小时对小时∗∗≤01负极对小时∗∗对小时负极克1克2S公司小时γS公司小时∗∗1负极对小时∗∗对小时≤01负极β米β米∗∗负极S公司小时∗∗S公司小时负极S公司小时β米我∗∗S公司小时∗∗β米∗∗我小时≤01负极我小时我小时∗∗负极u个2我小时我小时∗∗1负极对小时∗∗对小时≤02负极S公司v（v）∗∗S公司v（v）负极S公司v（v）S公司v（v）∗∗≤01负极S公司v（v）∗∗S公司v（v）负极对v（v）对v（v）∗∗+对v（v）S公司v（v）∗∗对v（v）∗∗S公司v（v）≤01负极S公司v（v）∗∗S公司v（v）负极V（V）v（v）V（V）v（v）∗∗负极V（V）v（v）S公司v（v）∗∗V（V）v（v）∗∗S公司v（v）≤01负极S公司v（v）∗∗S公司v（v）+β米β米∗∗负极S公司v（v）β米我v（v）∗∗S公司v（v）∗∗β米∗∗我v（v）≤01负极我v（v）我v（v）∗∗负极克三u个4我v（v）我v（v）∗∗负极克三u个4我v（v）对v（v）∗∗我v（v）∗∗对v（v）≤01负极对v（v）对v（v）∗∗≤02负极V（V）v（v）∗∗V（V）v（v）负极V（V）v（v）V（V）v（v）∗∗≤01负极V（V）v（v）∗∗V（V）v（v）+β米β米∗∗负极V（V）v（v）β米我v（v）∗∗V（V）v（v）∗∗β米∗∗我v（v）≤0(18)
由于所有模型参数都是非负的，因此如下所示L（左）˙≤0对于对高压> 1. 因此，根据拉萨尔的不变性原理[26]，模型中方程的每个解都接近地方病平衡点t吨→∞无论何时对高压> 1.
3.5模型参数敏感性分析
研究了确定模型对参数值鲁棒性的灵敏度分析。这是为了帮助我们了解对复制数量有很大影响的参数(对高压). 采用该方法([1427])我们分析了繁殖数量，以确定疫苗接种、感染者治疗和死亡率是否能有效消除或控制人群中的疾病。
定义变量h的归一化前向灵敏度指数与参数l存在差异，定义为:
Υ我小时:=∂小时∂我x个我小时.(19)
3.5.1敏感性指标对高压
因此，我们得出了对高压模型的十三个不同参数中的每一个。使用中的参数值表3，详细敏感性指数对高压关于模型参数的评估结果如下所示。
表2
| 参数 | 说明 | 灵敏度指数 |
|---|
| μv（v） | 牲畜死亡率 | -1.1057 |
| β | 人类传播率 | 0.9906 |
| Λ小时 | 人员招募率 | 0.9906 |
| γ | 人的康复率 | -0.5887 |
| δ小时 | 人类疾病引起的死亡率 | -0.2867 |
| λ小时 | 人类死亡率 | -0.0147 |
| λ | 牲畜传播率 | 0.00944 |
| Λv（v） | 牲畜补充率 | 0.00944 |
| α | 牲畜恢复率 | -0.003825 |
| u个三 | 接种比例 | -0.003059 |
| δv（v） | 牲畜疾病导致的死亡 | -0.001913年 |
| τ | 衰退率 | 0.00152 |
| b条 | 疫苗效力 | 0.0003398 |
表3
钩端螺旋体病模型的变量和参数描述(1). 的单位μ小时,μv（v）,α,Λ小时,Λv（v）,τ,δ小时,δv（v）是天−1，其他参数没有单位。
| 参数 | 估计价值 | 参考 |
|---|
| μ小时 | 4.6×10−5 | [34] |
| δ小时 | 0.4×10−3 | [35] |
| μv（v） | 1.8x10像素−3 | [34] |
| β | 0.03 | 假设 |
| λ | 0.23 | [22] |
| α | 2.7x10像素−3 | [35] |
| Λ小时 | 1.34 | 假设 |
| Λv（v） | 1.71 | 假设 |
| τ | 0.013 | [22] |
| δv（v） | 0.01 | 假设 |
| b条 | 0.002 | 假设 |
表2上述，意味着人类治疗的增加γ、牲畜处理α或蚊子死亡率增加μv（v）对控制社区钩端螺旋体病有积极影响。参数从最敏感到最小排列，最敏感的参数是蚊虫叮咬比例和接触率μv（v）,βΛ小时.提高（或降低）传输速率β增加（或减少）10%对高压增加9.9%，同样增加（或减少）人类招募率，∧小时，增加（或减少）对高压增长9.9%。同样，提高（或降低）人体恢复率γ，减少（或增加）对高压，提高（或降低）牲畜回收率5.89%α减少（或增加）对高压，减少0.03%。
在下一节中，我们使用Pontryagin最大值原理应用最优控制方法来确定最优控制措施对钩端螺旋体病影响的必要条件。
4钩端螺旋体病模型的最优控制分析
我们在这里力求将感染者的数量以及实施预防、治疗和疫苗接种控制的成本降到最低。我们考虑的目标函数如下所示
J型=最小值u个1;u个2;u个三;u个4∫0t吨（f）(w个1我v（v）+w个2我小时+w个三u个12+w个4u个22+w个5米u个三2+w个6u个42)d日t吨(20)
服从微分方程组(1).
在这里w个1我v（v）和w个2我小时成本是否与数字相关我v（v）感染媒介和感染个体的It。术语w个5米u个三2是与疫苗接种相关的成本，其中m是接种的载体数量w个4u个22,w个6u个42分别是与人类和病媒治疗相关的成本。与预防措施相关的成本为w个三u个12，同时t吨（f）是干预的时间段和系数，w个1,w个2,w个三,w个4,w个5,w个6是由于目标函数的十个部分的规模和重要性而产生的平衡成本因素。符合[35,15,28]，感染成本的线性函数，w个1我v（v）,w个2我小时和控制成本的二次型w个三u个12,w个4u个22,w个5米u个三2和w个6u个42.
我们寻求最佳控制u个1#,u个2#,u个三#,u个4#这样的话
J型u个1,#u个2,#u个三,#u个4#=米我n个u个1,u个2,u个三,U型4∈U型J型u个1,u个2,u个三,u个4(21)
哪里U型= {u个:u个可测量且0≤u个t吨, (t吨)≤1适用于t吨∈[0，t吨（f）],我=1,2,3,4}是控制集。
最优控制必须满足的必要条件来自彭特里亚金最大值原理[29]. 此原则转换(1)和(20)成为点态哈密顿量极小化问题H（H），关于(u个1,u个2,u个三,u个4)
H（H）=w个1我v（v）+w个2我小时+w个三u个12+w个4u个22+w个5米u个三2+w个6u个62+M（M）S公司小时Λ小时+σ小时对小时负极1负极u个1β我v（v）+我小时S公司小时负极μ小时S公司小时+M（M）我小时1负极u个1β我v（v）+我小时S公司小时负极u个2γ1+ı小时+μ小时我小时+M（M）对小时u个2γ我小时负极σ小时+μ小时对小时+M（M）S公司v（v）1负极u个三Λv（v）负极1负极u个1λ我v（v）+我小时S公司v（v）负极μv（v）S公司v（v）+σv（v）对v（v）+τV（V）v（v）+M（M）我v（v）1负极u个1λ我v（v）+我小时S公司v（v）+1负极u个1b条λ我v（v）+我小时V（V）v（v）负极u个4α+δv（v）+μv（v）我v（v）+M（M）对v（v）u个4α我v（v）负极σv（v）+μv（v）对v（v）+M（M）V（V）v（v）u个三Λv（v）负极τ+μv（v）V（V）v（v）负极1负极u个1b条λ我v（v）+我小时V（V）v（v）(22)
哪里M（M）S公司小时,M（M）我小时,M（M）对小时,M（M）S公司v（v）,M（M）我v（v）,M（M）对v（v）和M（M）V（V）v（v）是以下伴随系统的伴随变量或共态变量解：
负极d日M（M）S公司小时d日t吨=(1负极u个1我v（v）+我小时βM（M）S公司小时负极M（M）我小时+μ小时M（M）S公司小时负极d日M（M）我小时d日t吨=负极w个2+1负极u个1βS公司小时M（M）S公司小时负极M（M）我小时+u个2γ+μ小时+δ小时M（M）我小时负极u个2γM（M）对小时+1负极u个2λS公司v（v）M（M）S公司v（v）负极M（M）我v（v）+b条λM（M）V（V）v（v）负极M（M）我v（v）负极d日M（M）对小时d日t吨=负极σ小时M（M）S公司小时+σ小时+μ小时M（M）对小时负极d日M（M）S公司v（v）d日t吨=1负极u个1λ我v（v）+我小时M（M）S公司v（v）负极M（M）我v（v）+μv（v）M（M）S公司v（v）负极d日M（M）我v（v）d日t吨=负极w个1+1负极u个1βM（M）S公司小时负极M（M）我小时S公司小时+1负极u个1λM（M）S公司v（v）负极M（M）我v（v）S公司v（v）+b条λM（M）V（V）v（v）负极M（M）我v（v）V（V）v（v）+u个4α+μv（v）+δv（v）M（M）我v（v）负极u个4αM（M）对v（v）负极d日M（M）对v（v）d日t吨=负极σv（v）M（M）S公司v（v）+σv（v）+μv（v）M（M）对v（v）负极d日M（M）V（V）v（v）d日t吨=负极τM（M）S公司v（v）+1负极u个1b条λ我v（v）+我小时M（M）V（V）v（v）负极M（M）我v（v）+τ+μv（v）M（M）V（V）v（v）(23)
满足横向条件
M（M）S公司小时t吨（f）=M（M）我小时t吨（f）=M（M）对小时t吨（f）=M（M）S公司V（V）t吨（f）=M（M）我V（V）t吨（f）=M（M）对v（v）t吨（f）=M（M）V（V）v（v）t吨（f）=0(24)
应用庞特里亚金最大值原理[29]和最优控制的存在性结果[30]，我们获得
定理4.1最优控制向量u个1#,u个2#,u个三#,u个4#使其最小化J型结束U型由提供
u个1#=米一x个0,米我n个1,β(M（M）我小时负极M（M）S公司小时)我v（v）+我小时S公司小时∗+λ(M（M）我v（v）负极M（M）S公司v（v）)我v（v）+我小时S公司v（v）∗+b条λ(M（M）我v（v）负极M（M）V（V）v（v）)我v（v）+我小时V（V）v（v）∗2w个三u个2#=米一x个0,米我n个1,γ(M（M）对小时负极M（M）我小时)我小时∗2w个4u个三#=米一x个0,米我n个1,Λv（v）(M（M）V（V）v（v）负极M（M）S公司v（v）)2w个5u个4#=米一x个0,米我n个1,α(M（M）对v（v）负极M（M）我v（v）)我v（v）∗2w个6(25)
哪里M（M）S公司小时,M（M）我小时,M（M）对小时,M（M）S公司v（v）,M（M）我v（v）,M（M）对v（v）和M（M）V（V）v（v）是的解决方案(23)-(24).
证明根据推论4.1[30]，最优控制的存在是由J型关于u个1,u个2,u个三和u个4状态解的先验有界性，以及利普席茨状态系统相对于状态变量的属性。系统(23)通过微分哈密顿函数得到，并在最优控制下进行评估。此外，通过将哈密顿量相对于控制的导数等于零，我们得到（参见[31])
u个1=u个~1:=(βM（M）我小时负极M（M）S公司小时)(我v（v）+我小时)S公司小时∗+λM（M）我v（v）负极M（M）S公司v（v）)(我v（v）+我小时)S公司v（v）∗+b条λM（M）我v（v）负极M（M）V（V）v（v）)(我v（v）+我小时)V（V）v（v）∗2w个三,u个2=u个~2:=γ(M（M）对小时负极M（M）我小时)我小时∗2w个4,u个三=u个~三:=Λv（v）(M（M）V（V）v（v）负极M（M）S公司v（v）)2w个5一n个d日u个4=u个~4:=α(M（M）对v（v）负极M（M）我v（v）)我v（v）∗2w个6.
通过涉及控件边界的标准控件参数，我们得出以下结论
u个1#=0我（f）u个~1≤0u个~1我（f）0<u个~1<1,1我（f）u个~1≥1,u个2#=0我（f）u个~2≤0u个~2我（f）0<u个~2<1,1我（f）u个~2≥1（26）
u个三#=0我（f）u个~三≤0u个~三我（f）0<u个~三<1一n个d日1我（f）u个~三≥1,u个4#=0我（f）u个~4≤0u个~4我（f）0<u个~4<11我（f）u个~4≥1(27)
这将导致(25). 由于状态函数和伴随函数的先验有界性以及由此产生的常微分方程的Lipschitz结构，我们获得了小系统最优控制的唯一性t吨（f）.最优控制四元组的唯一性来自最优系统的唯一性，该系统包括(1), (23), (24)和(25). □
为了保证最优性系统的唯一性，时间间隔的长度是有限制的。这是由于最优系统的时间方向相反；状态问题有初值，伴随问题有终值。这种限制在控制问题中非常常见（请参阅[6,28,32,33]).
接下来我们讨论最优性系统的数值解和相应的最优控制对、参数选择以及各种情况下的解释。
5数值结果
在本节中，我们展示了最优控制策略对钩体病传播影响的数值模拟。最优控制是通过求解由状态系统组成的最优性系统获得的(1)和伴随系统(23), (24)和(25). 我们使用迭代方案来求解最优性系统。我们首先使用四阶Runge-Kutta格式求解状态方程，并在模拟时间内对控制进行猜测。然后，我们利用状态方程的当前迭代解，通过四阶逆Runge-Kutta格式求解伴随方程。最后，我们通过使用前面的控件和特征值的凸组合来更新控件(25). 如果前一次迭代中的未知值与当前迭代中的值非常接近，则重复此过程并停止迭代([31]).
由于空间的原因，最佳四名选手的成绩(4)给出了下列控制策略中最有效的控制策略。
策略C：将人类预防控制、感染性人类治疗和疫苗接种相结合
策略F：将人类预防控制、接种疫苗和治疗感染性载体结合起来
战略J：将人类预防控制、人类治疗、疫苗接种和感染性载体治疗结合起来
战略K：人的预防控制、人的治疗和感染性载体的治疗相结合
从结果来看，最好的四个(4)战略就是战略B、 E、G和我如下所示。
策略B：最佳的人类预防和病媒疫苗接种
预防人类控制u个1和疫苗接种控制u个三的向量用于优化目标函数J型当我们设置其他控制时u个2和u个4至零。我们观察到图3（a）和3（b）由于控制策略，感染人数(我小时)和受感染的载体(我v（v）)社区中减少。这表明，通过有效预防人类感染和接种病媒疫苗战略，可以控制疾病的传播。该策略进一步表明对回收的病媒总数和接种的病媒总量没有显著影响，图3（c）和3（d）.
策略E：感染性载体的最佳接种和治疗
疫苗接种控制u个三使用载体的数量和感染载体的治疗来优化目标函数J型当我们设置其他控制时u个1和u个2至零。我们观察到图4（a）和4（b）由于控制策略，感染人数(我小时)和受感染的载体(我v（v）)社区中减少。这表明，通过有效接种病媒疫苗和治疗病媒策略，也可以控制疾病的传播。同样由于该策略，如图4（c），恢复的矢量有所增加。
战略G：最佳预防人类和治疗感染性媒介
我们优化了目标函数J型使用预防人类控制u个1感染媒介的控制和治疗u个4而其他控件u个2和u个三设置为零。我们观察到图5（a）和5（b）由于控制策略，感染人数(我小时)和受感染的载体(我v（v）)社区中减少。这表明，通过有效的人类预防和病媒治疗策略，可以控制疾病的传播。由于该策略，如所示图5（c），恢复向量增加。
策略一：优化人类治疗和感染性载体治疗
我们优化了目标函数J型使用人类控制治疗u个2感染媒介的控制和治疗u个4而其他控件u个1和u个三设置为零。我们观察到图6（a）和6（b）由于控制策略，感染人数(我小时)和受感染的载体(我v（v）)社区中减少。这表明，通过对人类的有效治疗和对病媒的治疗策略，可以控制疾病的传播。很明显，从所选的最佳有效策略中，我们无法得出哪种控制策略能产生最佳结果。然而，所选的四种策略产生了相似的模式和效果。因此，有必要进一步确定这些战略中哪一种最具成本效益和效率。在下一节中，将进行成本效益分析。
6成本效益分析
通过成本效益分析，确定了控制钩端螺旋体病最具成本效益的策略。为此，比较了这些干预措施的成本和健康结果之间的差异（参见[21]).
根据模型仿真结果，这些策略按有效性的增加顺序排列。基于从数值结果中观察到的四种最有效的策略，即人类预防措施和仅接种病媒疫苗（策略B=u个1,u个三)，仅接种和治疗病媒（策略E=u个三,u个4)，仅针对人类的预防工作和病媒的治疗（策略G=u个1,u个4)以及只对人类和病媒进行治疗（策略一=u个2,u个4)，最初对平均成本进行了方差分析。
对平均成本进行单因素方差分析以比较策略。分析非常重要，[F（429，1290）=1,29，p=0.000441]。使用Tukey HSD测试进行事后比较表明，以下配对E-G、B-E和I-E显著不同。然而，G-B、G-I和B-I没有显著差异。具体而言，结果表明，建议采用策略E以实现成本效益。
成本效益分析如下：
未经控制的总感染人数与经控制的感染人数之差用于确定成本效益分析表中使用的“避免感染的总人数”
| 战略 | 避免的总感染 | 总成本（美元） |
|---|
| 策略B | 114.0869 | $1795.9 |
| 战略E | 198.8027 | $1780.8 |
我C类E类对B类=1795.9114.0869=15:74我C类E类对E类=1780.8负极1795.9198.8027负极114.0869=负极0.17824(28)
ICER（B）和ICER（E）之间的比较表明，战略E比战略B节省0.17824美元。战略E的负ICER表明战略B“占主导地位”。也就是说，策略B比策略E成本更高，效率更低。因此，策略B（强支配者）被排除在备选方案之外，因此它不消耗有限的资源。
我们排除了策略B，并将策略E与G进行了比较
| 战略 | 避免的总感染 | 总成本（美元） |
|---|
| 战略E | 198.8027 | $1780.8 |
| 战略G | 226.5642 | $3573.6 |
这导致ICER的以下值，
我C类E类对E类=198.80271780.8=8.9576我C类E类对克=3573.6负极1780.8226.5642负极198.8027=64.5786(29)
ICER（E）和ICER（G）之间的比较表明，战略E比战略G节省了8.9576美元。当我们从战略E转向战略G时，每避免一次感染，额外节省64.57美元。战略E的小值ICER表明战略G“占主导地位”。也就是说，战略G比战略E成本更高，效率更低。因此，战略G排除了强支配者。排除策略G，我们现在将策略E与策略I进行比较
| 战略 | 避免的总感染 | 总成本（美元） |
|---|
| 战略E | 198.8027 | $1780.8 |
| 战略I | 239.4994 | $3194.7 |
这导致了ICER的以下值，
我C类E类对E类=198.80271780.8=8.9576我C类E类对我=3194.7负极1780.8239.4994负极198.8027=34.7424(30)
ICER（E）和ICER（I）之间的比较表明，战略E比战略I节省了8.9576美元。当我们从战略E转向战略I时，每避免一次感染，额外节省34.74美元。同样，战略E的小值ICER表明战略I“占据主导地位”。也就是说，战略I比战略E成本更高，效率更低。因此，战略I排除了强支配者。
因此，根据这一结果，我们发现策略E（疫苗接种组合u个三治疗感染性载体(u个4)是所有钩端螺旋体病控制策略中最具成本效益的。
7结论
本文推导并分析了钩端螺旋体病传播的确定性模型，包括免疫力下降的治疗和疫苗接种。计算了基本再生数，研究了平衡点的存在性和稳定性，并对模型进行了最优控制分析。
该模型表明存在多个地方病平衡点。其流行病学含义是，为了有效控制疾病，基本生殖数、，对高压，应小于小于1的临界值。导出并分析了疾病最优控制的必要条件。此外，还进行了成本效益控制，以确定以最低成本遏制钩端螺旋体病传播的最有效战略。在资源有限的地方，该模型表明，决策者可以采用战略E，而不是其他战略，其中包括人类预防和治疗的额外费用。总之，根据我们的模型，最具成本效益的是只接种疫苗和治疗病媒的组合。
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