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NS的动量/角动量守恒-α和勒雷-α配方
这里我们展示了NS-α和勒雷-α如果div，公式不保持动量或角动量u个≠0和divw个≠0，其中w个表示过滤速度u个̄. 进一步说明u个=Fw公司哪里F类= −α2ΔI+我.
A.1 NS系列-α
回忆NS的非线性项-α公式是
（A.1）
u个t吨+(∇×u个)×w个+∇第页−v（v）Δu个=（f）.
测试(A.1款)带有e（电子）我对于我= 1, 2, 3. 应用时空散度定理并重新排列后，我们得到
（A.2）
(u个t吨,e（电子）我)+((∇×u个)×w个,e（电子）我)+v（v）(∇u个,∇e（电子）我)=(（f）,e（电子）我).
假设ν=（f）= 0, (A.2款)简化为
d日d日t吨(u个,e（电子）我)+((∇×u个)×w个,e（电子）我)=0
如果非线性项等于零，则动量守恒。我们现在检查一下：
((∇×u个)×w个,e（电子）我)=(∇×(w个×e（电子）我),u个) =((∇·e（电子）我)w个,u个)−((∇·w个)e（电子）我,u个)+(e（电子）我·∇w个,u个)−(w个·∇e（电子）我,u个)
其中上述两个等式来自向量恒等式。还要注意，因为e（电子）我是标量向量e（电子）我)w个,u个) = (w个⋅ ∇e（电子）我,u个) = 0. 这给我们留下了
((∇×u个)×w个,e（电子）我)=−((∇·w个)e（电子）我,u个)+(e（电子）我·∇w个,u个)
我们不能得出结论为零，因此我们不能说NS-α公式保持了动量。对于角动量，我们测试(A.1款)带有φ我代数计算结果类似于动量，
((∇×u个)×w个,φ我)=((∇·φ我)w个,u个)−((∇·w个)φ我,u个)+(φ我·∇w个,u个)−(w个·∇φ我,u个).
自●φ我=0（对于）我=1,2,3，我们有
((∇·φ我)w个,u个)=0
还记得使用(3.15)英寸定理3.3，我们有
(w个·∇φ我,u个)=0
这给了我们
((∇×u个)×w个,φ我)=−((∇·w个)φ我,u个)+(φ我·∇w个,u个).
就像动量一样，我们不能得出这个量为零的结论，我们希望它不是零。
A.2勒雷-α
回忆一下勒雷的非线性项-α公式是
（A.3）
u个t吨+w个·∇u个+∇第页−v（v）Δu个=（f）.
我们测试(答3)带有e（电子）我对于我=1、2、3和积分。类似于(A.2款)
（A.4）
(u个t吨,e（电子）我)+(w个·∇u个,e（电子）我)+v（v）(∇u个,∇e（电子）我)=(（f）,e（电子）我).
假设ν=（f）= 0, (A.4款)简化为
d日d日t吨(u个,e（电子）我)+(w个·∇u个,e（电子）我)=0
如果非线性项等于零，则动量守恒。使用(2.6)关于我们得到的非线性项
(w个·∇u个,e（电子）我)=−(w个·∇e（电子）我,u个)−((∇·w个)u个,e（电子）我)=−((∇·w个)u个,e（电子）我)
在以下情况下不为零：w个≠ 0. 因此动量不一定守恒。
对于角动量，我们测试(答3)带有φ我对于我=1、2、3，并简化为
d日d日t吨(u个,φ我)+(w个·∇u个,φ我)=0
与动量证明类似，我们有非线性项
(w个·∇u个,φ我)=−(w个·∇φ我,u个)−((∇·w个)u个,φ我)=−((∇·w个)u个,φ我)
其中第一项通过应用而消失(3.15)类似于定理3.3（以及NS的角动量证明-α附录A.1）。因此非线性项不为零，所以角动量不守恒。
