Spherical posets from commuting elements

Cihan Okay

doi:10.1515/jgth-2018-0008

公开可用发布人：德古意特出版社 2018年3月28日

交换元素的球面偏序集

Cihan好的

来自日志群论杂志

https://doi.org/10.1515/jgth-2018-0008

摘要

本文研究了一个超特殊的交换子群的左陪集的部分序集的同伦类型第页-组。我们证明其神经的普适覆盖是同伦等价于楔形的第页-球体，其中2⁢第页≥4是其Frattini商的秩。这决定了过渡交换丛分类空间的泛覆盖的同伦类型，如[2].

1引言

动机这项工作的背后是我们对分类空间的某种过滤感兴趣BG公司组的G公司引入于[1]. 这种过滤由子空间组成B类⁢(q个,G公司)⊂B类⁢G公司对于q个≥2定义为某些单形空间的几何实现。何时q个=2，一套n个-单纯形由成对交换集给出n个-组元素的元组。如所示[13,14]特别的第页-组，B类⁢(2,G公司)具有非平凡的高同伦群。在本文中，我们完全确定了泛覆盖的同伦类型B类⁢(2,G公司)什么时候G公司是特别的第页-组。空间B类⁢(2,G公司)是过渡交换主元的分类空间G公司-束[2，定理2.2]。因此，我们的结果暗示了非平凡过渡交换主元的存在G公司-捆在第页-球体𝕊第页哪里2⁢第页是Frattini商的秩G公司.另一个动机是理解B类⁢(2,G公司)为了更好地理解群的上同调环G公司。特别案件第页-团体特别有趣。它在mod中的上同调环第页系数完全由Quillen决定[15]何时第页=2.对于奇数第页只有部分结果已知，请参见[4]. 我们认为H（H）*⁢(B类⁢(2,G公司),𝔽第页)可能有助于深入了解extraspecial的上同调环第页-组。

让E类⁢(2,G公司)→B类⁢(2,G公司)表示通用原理的回拉G公司-束E类⁢G公司→B类⁢G公司沿着夹杂物B类⁢(2,G公司)⊂B类⁢G公司可以看出E类⁢(2,G公司)同伦等价于偏序集的神经吗

𝒞G公司⁢𝒜⁢(G公司)={克⁢A类∣克∈G公司⁢以及⁢A类⊂G公司⁢是阿贝尔子群}

在包含关系下排序。为了确定普适覆盖的同伦类型B类⁢(2,G公司)我们研究陪集偏序集𝒞G公司⁢𝒜⁢(G公司)。后者弱等价于更简单的陪集偏序集𝒞V（V）⁢ℐ⁢(V（V）)哪里V（V）是有限域上的向量空间𝔽第页具有非退化交替双线性形式𝔟、和ℐ⁢(V（V）)是同位素子空间的偏序集V（V）。不同作者广泛研究了与一组亚群相关的类似偏序集[19,12,18,20,6]. 本文使用的技术涵盖了用于研究子群集合的偏序集拓扑的各种工具。特别是，有两种主要成分，即沃格曼在[20]和Quillen[18]. 我们的主要结果如下。

定理1.1。

让E类成为一个特别的人第页-组。有一个纤维序列

⋁d日⁢(第页,第页)𝕊第页→B类⁢(2,E类)→B类⁢π

哪里2⁢第页≥4是的弗拉蒂尼商的秩E类,

(-1)第页⁢d日⁢(第页,第页)+1

=(-1)第页⁢第页2⁢第页+1+第页2+∑j=1第页(-1)第页-j⁢第页2⁢第页+1-j+(第页-j)2⁢(∏t吨=0j-1第页2⁢第页-t吨-第页t吨第页j-第页t吨)

π是乘法映射的核

1→π→E类×E类→E类/[E类,E类]→1。

有两个重要后果。第一个是非平凡过渡交换的存在E类-捆束超过𝕊第页如定理所示6.6.我们还给出了这样一个束的显式构造。另一个直接的应用是对上同调的描述B类⁢(2,E类)以较低的温度。

推论1.2。

让R（右）表示交换环，并且E类特别的第页-组。然后是同构

H（H）我⁢(B类⁢(2,E类),R（右）)≅H（H）我⁢(π,R（右）) 的⁢我<第页

哪里2⁢第页≥4是Frattini商的秩E类π表示基本群B类⁢(2,E类)。

我们注意到π完全由[13,14]. 它是E类按循环顺序组第页。对于第页=2它作为直接产品进行拆分E类×ℤ/2因此，它的上同调被认为是[15].

本文的结构如下。我们从偏序集同伦理论的初步结果开始，介绍陪集偏序集在第节中2。在节中三，我们描述了分解定理（定理3.4)用于陪集偏序集。接下来，我们专门研究了超特殊群的交换子群的偏序集，并证明了第节中的一些初步结果4。论文的主要结果在第节中得到了证明5其中我们证明了𝒞V（V）⁢ℐ⁢(V（V）)是球形的，当G公司是特别的第页-组。最后，在第节6，我们将结果应用于B类⁢(2,G公司)。

2准备工作

在本节中，我们回顾了偏序集同伦理论的一些结果。我们关注被称为陪集偏序集的特殊类型偏序集。它们是在研究分类空间的同伦共线时自然产生的。

2.1偏序集的同伦理论

让𝒳表示偏序集。我们将偏序集视为一个范畴，其态射由x→年无论何时x≤年。值得注意的是，我们通常不区分偏序集𝒳从它的神经N个⁢(𝒳)当谈论拓扑属性时。偏序集地图如果以下为：𝒳→𝒴可以视为关联类别之间的函子。与偏序集映射相关的一个非常有用的概念是它的纤维。纤维如果在对象上年∈𝒴由定义

如果≤年={x∈𝒳∣如果⁢(x)≤年},

和双重的

如果≥年={x∈𝒳∣如果⁢(x)≥年}。

当被解释为一个类别时，如果≤年对应于逗号类别如果↓年、和如果≥年对应于年↓如果。如果如果是身份图，我们简单地写𝒳≥x对于如果≥x其他变化包括𝒳>x,𝒳≤x、和𝒳<x。我们需要的一些结构如下。加入𝒳∗𝒴偏序集的𝒳和𝒴定义为其基础集为不相交并集的偏序集𝒳∐𝒴。订单与给定订单一致𝒳和𝒴、和x≤年对于每个x∈𝒳和年∈𝒴。（未减少的）暂停Σ⁢𝒳定义为联接{0,1}∗𝒳哪里{0,1}在每个对象上只有自反关系。

接下来我们回顾Quillen关于偏序集同伦理论的一些结果。让如果,克以下为：𝒳→𝒴是两个偏序集映射。如果地图满足以下条件如果⁢(x)≤克⁢(x)（或双重如果⁢(x)≥克⁢(x))为所有人x∈𝒳，则它们是同伦的，表示为如果≃克。此属性表示具有初始（或终端）对象的偏序集是可压缩的，因为标识映射将与常量映射同伦。我们将使用的另一个事实是偏序集的奎伦定理a的一个版本。

定理2.1([18，建议1.6]）。

让如果以下为：X（X）→年是偏序集的映射。如果光纤如果≥年（或如果≤年)对所有对象都是可收缩的年在里面年，然后如果是同伦等价。

尺寸昏暗的⁡(𝒳)偏序集的𝒳定义为整数的上确界k个这样就有了一条链条x0<x1<⋯<xk个。维的偏序集n个据说是n个-如果它（或者更确切地说是它的神经）是球形的(n个-1)-已连接。在研究球面偏序集时，Quillen的以下定理非常有用。此版本是中所述版本的双重版本[18，定理9.1]。

定理2.2([18，定理9.1]）。

让如果以下为：X（X）→年是偏序集的映射。如果年是(昏暗的⁡年)-球形，如果≥年是昏暗的⁡(年≥年)-球形和年<年是昏暗的⁡(年<年)-所有人都是球形的年，然后X（X）是(昏暗的⁡年)-球形。

2.2陪集偏序集

让G公司是一个有限群ℱ的子群集合G公司。我们定义与集合关联的陪集偏序集ℱ作为一个集合

𝒞G公司⁢ℱ={克⁢A类∣A类∈ℱ⁢以及⁢克∈G公司}

并将其视为包含下有序的偏序集。有一个同态克⁢A类→克′⁢A类′无论何时通用汽车公司包含在中克′⁢A类′作为一个集合。请注意𝒞G公司⁢ℱ是带有的偏序集G公司-左平移给出的动作及其神经是G公司-空间，即具有G公司-行动。我们还定义了相对版本。让H（H）⊂G公司成为一个小组。给定一个（左）陪集克⁢H（H）⊂G公司我们定义

𝒞克⁢H（H）⁢ℱ={克⁢小时⁢A类∣A类∈ℱ⁢以及⁢克⁢小时∈克⁢H（H）}。

偏序集结构类似地由作为集合的包含所诱导，并且克⁢H（H）⁢克-1通过左转操作。一个元素x∈G公司诱导贴图x以下为：𝒞克⁢H（H）⁢ℱ→𝒞x⁢克⁢H（H）⁢ℱ由定义克⁢小时⁢A类↦x⁢克⁢小时⁢A类。

我们描述了一个基本结果，它通常允许我们处理较小的子组集合。让ℱ∩H（H）表示集合{A类∩H（H）∣A类∈ℱ}。有一个H（H）-等变映射

我H（H）以下为：𝒞H（H）⁢ℱ→𝒞H（H）⁢ℱ∩H（H）

由定义小时⁢A类↦小时⁢(A类∩H（H）)在适当的条件下，这个映射是弱等价的。事实上，它变得很弱H（H）-等效性。这意味着不动点上的诱导映射对于所有子群都是弱等价的。

定义2.3。

我们说ℱ是H（H）-稳定的如果是所有人A类∈ℱ十字路口A类∩H（H）也在ℱ。

例如，交换子群的集合对于任何子群都满足这个性质。

主张2.4。

如果F类是H（H）-那么就稳定了我H（H）以下为：C类H（H）⁢F类→C类H（H）⁢F类∩H（H）是个弱者H（H）-等效性。

证明。

请注意，假设我们ℱ∩H（H）⊂ℱ。让K（K）⊂H（H）并考虑到我H（H）到固定点我H（H）以下为：(𝒞H（H）⁢ℱ)K（K）→(𝒞H（H）⁢ℱ∩H（H）)K（K）。如果后一个不动点集不为空，则陪集上的光纤小时⁢B类∈𝒞H（H）⁢ℱ∩H（H）在…的作用下固定K（K）由提供

(我H（H）)≥小时⁢B类={小时′⁢A类∈(𝒞H（H）⁢ℱ)K（K）∣小时′⁢(A类∩H（H）)⊃小时⁢B类}

={小时⁢A类∈(𝒞H（H）⁢ℱ)K（K）∣A类∩H（H）⊃B类}

={小时⁢A类∈𝒞H（H）⁢ℱ∣A类∩H（H）⊃B类⁢以及⁢K（K）⊂小时⁢A类⁢小时-1}。

注意，如果小时′⁢(A类∩H（H）)⊃小时⁢B类，然后小时-1⁢小时′⁢(A类∩H（H）)⊃B类特别是，我们有1∈小时-1⁢小时′⁢(A类∩H（H）)也就是说，小时′=小时⁢x对一些人来说x∈A类∩H（H）。因此，我们有小时′⁢A类=小时⁢A类，下面是第一个等式。纤维可收缩，因为哈勃是初始的，结果遵循定理2.1。∎

2.3分类空间的同伦共点

我们对分类空间的同伦共线的参考是[13, §3].让𝐒表示单形集的范畴。群的分类空间可以看作一个函子B类以下为：𝐆𝐫𝐩→𝐒从群的范畴到单纯集的范畴。让ℱ表示以下子组的集合G公司.我们认为ℱ作为部分有序集合。限制分类空间函子给出B类以下为：ℱ→𝐒.有一个纤维序列

(2.1)霍科利姆ℱ(G公司/-)→大肠杆菌属ℱB类→B类G公司

由夹杂物引起B类⁢A类⊂B类⁢G公司对于每个A类∈ℱ，其中(G公司/-)以下为：ℱ→𝐒是发送的函子A类给陪衬G公司/A类被认为是离散的单形集。光纤可以等效地描述如下。陪集的同伦共点G公司/A类作为A类越过偏序集ℱ与陪集偏序集的神经同构

𝒞G公司⁢ℱ={克⁢A类∣克∈G公司⁢以及⁢A类∈ℱ}

（请参见[10，建议5.12]）。纤维序列的同位长精确序列(2.1)给出了一个精确的序列

1→π1⁢𝒞G公司⁢ℱ→π1⁢霍科利姆ℱ⁡B类→G公司→1

基本群的。

提案2.5。

假设集合F类有一个初始对象。然后

π1⁢霍科利姆ℱ⁡B类≅绞痛A类∈ℱ⁡A类

其中大肠杆菌被纳入组的类别。

证明。

这是由于[8，推论5.1]。∎

让π表示群的colimitA类在里面ℱ。有一个群的交换图

这意味着自然地图我A类是一个单态。因此，我们可以将子组视为ℱ作为π的子群，并讨论陪集π/A类考虑fibration序列

霍科利姆ℱ(π/-)→霍科利姆ℱB类→B类π

由夹杂物引起B类⁢A类⊂B类⁢π注意，纤维是一个简单连接的空间，可以通过陪集偏序集的神经来识别

𝒞π⁢ℱ={克⁢A类∣克∈π⁢以及⁢A类∈ℱ}。

我们将使用偏序集的同伦理论方法来研究这个对象。

3分解陪集偏序集

我们将描述𝒞G公司⁢ℱ作为同伦大肠杆菌。关于同伦结肠炎的基本性质，我们参考[9,5,11].

让如果以下为：𝒳→𝒴是偏序集的映射。定义函子如果≥-以下为：𝒴操作→𝐒通过发送对象年纤维的神经如果≥年.在这里(-)操作表示相反的类别。有一张自然地图

(3.1)如果~以下为：霍科利姆⁡如果≥-→𝒳

由夹杂物引起如果≥年→𝒳。此映射是弱等价[11，四 §5.1].下一个结果需要一些符号。让ℒ⁢(G公司)表示所有子群的集合，包括平凡子群和群G公司。对于正规子群H（H）我们定义ℱ∨H（H）成为收藏品{A类∈ℱ∣A类⁢H（H）=G公司}哪里A类⁢H（H）⊂G公司表示由生成的子组A类和H（H）。让x小时在中表示陪集G公司.有偏序集地图

(3.2)θx⁢H（H）以下为：𝒞G公司⁢ℱ∨H（H）→𝒞x⁢H（H）⁢ℱ

通过发送陪集定义年给陪衬x小时A哪里年=x⁢小时⁢一对一些人来说小时∈H（H）和一∈A类。

提议3.1。

让1→H（H）→G公司→𝜋G公司¯→1是组的精确序列，其中G公司¯与循环群同构C类第页素数阶第页。选择一个元素克∈G公司使得克¯=π⁢(克)生成G公司¯.假设F类包含平凡子群和中未包含的子群H（H）。然后是一个弱等价

π~以下为：霍科利姆𝒞C类第页⁢ℒ⁢(C类第页)操作⁡π≥-→𝒞G公司⁢ℱ

和函子π≥-可以识别为

π≥G公司¯=𝒞G公司⁢ℱ∨H（H） 𝑎𝑛𝑑 π≥克¯t吨=𝒞克t吨⁢H（H）⁢ℱ。

证明。

地图π~如下所示。让π⁢ℱ表示偏序集

π⁢ℱ={π⁢(A类)∣A类∈ℱ}

的子组G公司¯.存在偏序集的诱导映射π以下为：𝒞G公司⁢ℱ→𝒞G公司¯⁢(π⁢ℱ)由定义克⁢A类↦π⁢(克⁢A类).分解(3.1)应用于π给出了一个弱等价

π~以下为：霍科利姆⁡π≥-→𝒞G公司⁢ℱ

大肠杆菌在偏头痛上的位置𝒞C类第页⁢ℒ⁢(C类第页)操作.根据以下假设ℱ这个偏序集可以用

𝒞G公司¯⁢(π⁢ℱ)操作={克¯,克¯2,…,克¯第页,G公司¯}

在反向包裹体下部分有序。有两种类型的光纤π≥G公司¯和π≥克¯t吨哪里1≤t吨≤第页.然后𝒞G公司⁢ℱ是图的同伦共线

(3.3)

哪里θ克t吨⁢H（H）对于t吨=1,2,…,第页表示上述定义的天然包裹体。∎

例3.2。

让V（V）是上方的向量空间𝔽第页，并让𝒯⁢(V（V）)表示适当子空间的偏序集。选择子空间W公司余维1。自𝒯⁢(V（V）)是W公司-稳定，

我W公司以下为：𝒞W公司⁢𝒯⁢(V（V）)→𝒞W公司⁢𝒯⁢(V（V）)∩W公司

是命题的弱等价2.4。此外，𝒯⁢(V（V）)∩W公司是收缩的，因为W公司是终端。因此命题中的分解3.1对于W公司=H（H）给予

𝒞V（V）⁢𝒯⁢(V（V）)≃⋁第页-1Σ⁢(𝒞V（V）⁢𝒯⁢(V（V）)∨W公司)。

3.1同伦截面

除了命题中的设置之外，我们还做了一个假设3.1.让克t吨⁢ℱ∨H（H）表示左平移的偏序集{克t吨⁢A类∣A类∈ℱ∨H（H）}被视为𝒞G公司⁢ℱ∨H（H）.假设存在偏序集映射

(3.4)秒以下为：𝒞H（H）⁢ℱ→ℱ∨H（H）

使得θH（H）⁢秒≃∗和组成

𝒞H（H）⁢ℱ→𝑠ℱ∨H（H）→克-1克-1⁢ℱ∨H（H）→θH（H）𝒞H（H）⁢ℱ

与身份映射同伦。在这里克-1以下为：ℱ∨H（H）→克-1⁢ℱ∨H（H）由定义A类↦克-1⁢A类、和θH（H）仅限于克-1⁢ℱ∨H（H）。受限映射发送克-1⁢A类∈克-1⁢ℱ∨H（H）到哈哪里克-1=小时⁢一对一些人来说小时∈H（H）。

引理3.3。

给定地图秒英寸(3.4)存在同伦部分

秒克k个⁢H（H）以下为：𝒞克k个⁢H（H）⁢ℱ→𝒞G公司⁢ℱ∨H（H）

属于θ克k个⁢H（H）使得θ克k个-1⁢H（H）⁢秒克k个⁢H（H）≃∗为所有人1≤k个≤第页。

证明。

我们定义秒克k个⁢H（H）成为复合材料

秒克k个⁢H（H）以下为：𝒞克k个⁢H（H）⁢ℱ→克-k个𝒞H（H）⁢ℱ→𝑠ℱ∨H（H）→克k个-1克k个-1⁢ℱ∨H（H）⊂𝒞G公司⁢ℱ∨H（H）

对于1≤k个≤第页.那么我们有

θ克我⁢H（H）⁢秒克k个⁢H（H）=克我⁢θH（H）⁢克k个-1-我⁢秒⁢克-k个≃{身份证件如果⁢我=k个,∗如果⁢我=k个-1。

我们使用过的θ克我⁢H（H）=克我⁢θH（H）⁢克-我。这给出了一系列章节

使得θ克k个-1⁢H（H）⁢秒克k个⁢H（H）≃0。∎

对于偏序集𝒳我们写作H（H）*⁢(𝒳)（和H（H）~*⁢(𝒳))神经的（约化）积分同源群𝒳.给出偏序集的映射如果以下为：𝒳→𝒴，同源性中的诱导映射表示为如果*以下为：H（H）*⁢(𝒳)→H（H）*⁢(𝒴)（类似于减少同源性组）。

定理3.4。

让1→H（H）→G公司→𝜋G公司¯→1是组的精确序列，其中G公司¯与循环群同构C类第页素数阶第页由生成克¯.让F类是包含平凡子群和不包含在中的子群的子群的集合H（H）.假设有一张地图秒以下为：C类H（H）⁢F类→F类∨H（H）使得θH（H）⁢克-1⁢秒≃身份证件和θH（H）⁢秒≃∗。然后有一个拆分的精确序列

0→H（H）~我⁢(𝒞G公司⁢ℱ)→H（H）~我-1⁢(𝒞G公司⁢ℱ∧H（H）)⊕(第页-1)→𝜃⊕k个=1第页H（H）~我-1⁢(𝒞克k个⁢H（H）⁢ℱ)→0,我≥1

哪里θ⁢(xt吨)=(θ克t吨-1⁢H（H）)*⁢(xt吨)-(θ克t吨⁢H（H）)*⁢(xt吨)对于1≤t吨<第页。

这个定理是引理的直接结果3.3，同伦colimit分解(3.3)，以及基于梅耶-维多利斯序列的以下结果。

提案3.5。

让X（X）0,X（X）1,…,X（X）米-1表示空间的子空间序列X（X）这样他们的工会就会X（X）和任意两两交叉X（X）k个∩X（X）我具有k个≠我给出了相同的子空间，表示为X（X）整数假设每个包含ιk个以下为：X（X）整数→X（X）k个有同伦节秒k个使得ιk个-1⁢秒k个≃∗哪里k个写入mod米然后，将相关的Mayer–Vietoris序列分裂，以生成短而精确的序列

0→H（H）~我⁢(X（X）)→H（H）~我-1⁢(X（X）整数)⊕(米-1)→𝜃⊕k个=0米-1H（H）~我-1⁢(X（X）k个)→0。

证明。

有一个梅耶-维多利斯序列

⋯→H（H）~我-1⁢(X（X）整数)⊕米-1→𝜃⊕k个H（H）~我-1⁢(X（X）k个)→H（H）~我-1⁢(X（X）)→H（H）~我-2⁢(X（X）整数)⊕米-1→⋯

与内含物图相关的简化同源群

可以将此序列作为Bousfield–Kan谱序列的特例来获得[5，§XII.5.7]。映射θ发送元素x在中k个-第次会议至(ιk个-1)*⁢(x)-(ιk个)*⁢(x)。我们将通过构造θ的一段来证明Mayer–Vietoris长精确序列分裂。章节秒k个可以放在一起定义θ的一个截面。让Δ以下为：H（H）我-1⁢(X（X）整数)→H（H）我-1⁢(X（X）整数)⊕米-1表示对角线图。然后定义

秒θ以下为：⊕k个=0米-1H（H）~我-1⁢(X（X）k个)→H（H）~我-1⁢(X（X）整数)⊕米-1

通过秒θ⁢(αk个)=(秒k个)*⁢(αk个)如果k个>0和秒θ⁢(α0)=Δ⁢(秒0)*⁢(α0).然后秒θ是θ的截面。完

推论3.6。

假设地图秒存在于定理中定义的3.4.如果C类G公司⁢F类∨H（H）和C类H（H）⁢F类是(n个-1)-那么是球形的C类G公司⁢F类是n个-球形。

证明。

我们设置X（X）k个=𝒞克k个⁢H（H）⁢ℱ并使用Proposition中的符号3.5。Van Kampen定理给出了一个同构

(3.5)π1(X（X）)≅(∗k个π1(X（X）k个))/∼

其中商关系由(ιk个)*⁢(x)∼(ιk个-1)*⁢(x)对于x∈π1⁢(X（X）整数)和0≤k个≤米-1.我们现在证明X（X）通过一个与命题证明中使用的类似论点简单相连3.5.修复k个然后让xk个是…的元素π1⁢(X（X）k个).采取x=(秒k个)*⁢(xk个)，我们看到了xk个=(ιk个)*⁢(x)∼(ιk个-1)*⁢(x)=1因此，中的等价关系(3.5)用identity元素标识每个生成器，因此我们有π1⁢(X（X）)=1.将此观察与定理相结合3.4给出了期望的结果。∎

超特殊群交换子群的4陪集偏序集

让𝒜⁢(G公司)表示的交换子群的偏序集G公司.我们将学习𝒞G公司⁢𝒜⁢(G公司)什么时候G公司是特别的第页-组。在这种情况下，通用盖是球形的。

4.1特殊群体

一个特别的第页-group是表单的中心扩展

0→ℤ/第页→E类→𝜈V（V）→0

哪里V（V）是一个初等阿贝尔第页-军衔组2⁢第页扩张的核是群的中心和交换子[三，第8章]。我们将通过以下方式表示中心Z轴⁢(E类).商V（V）也是Frattini商。换向器在上诱导双线性形式V（V）以下为：𝔟⁢(v（v）1,v（v）2)=[ν-1⁢(v（v）1),ν-1⁢(v（v）2)]。子空间我⊂V（V）称为各向同性，如果𝔟在我为零。让ℐ⁢(V（V）)表示的各向同性子空间的集合V（V）。有一张偏序集地图𝒜⁢(E类)→ℐ⁢(V（V）)由定义A类↦ν⁢(A类)在陪集偏序集之间产生偏序集映射ν^以下为：𝒞E类⁢𝒜⁢(E类)→𝒞V（V）⁢ℐ⁢(V（V）)由定义x⁢A类↦ν⁢(x⁢A类)。

提案4.1。

诱导映射ν^以下为：C类E类⁢A类⁢(E类)→C类V（V）⁢我⁢(V（V）)是一个弱等价。

证明。

光纤ν^≤v（v）+我包含陪集ν-1⁢(v（v）+我)作为终端对象。因此，通过定理，给定的映射是弱等价的2.1。完

4.2第页=1案例

考虑陪集偏序集𝒞V（V）⁢ℐ⁢(V（V）)什么时候第页=1.然后ℐ⁢(V（V）)由所有一维子空间和零子空间组成。相应的空间是一维连通空间，因此具有楔形圆的同伦类型。例如，四元数群的交换子群集问8由提供{〈我〉,〈j〉,〈k个〉,〈-1〉,1}.在商图下ν以下为：E类→V（V）最大阿贝尔子群映射到一维子空间，中心子群和单位子群都映射到零子空间。实际上命题的弱等价性4.1这意味着为了确定陪集偏序集的同伦类型，我们可以限制为最大可交换数及其交集。

4.3基础组

在[14，§4.2]超特殊的阿贝尔子群的colimit第页-计算组。从节中召回2.3这个colimit与分类空间的同伦colimit的基本群同构巴阿贝尔子群的A类⊂E类。

提议4.2([14]).

假设第页≥2.存在群的同构

ϕ以下为：绞痛A类∈𝒜⁢(E类)⁡A类→π

其中π是乘法映射的核米⁢(e（电子）,e（电子）′)=e（电子）⁢e（电子）′⁢[E类,E类]以下为：

1→π→E类×E类→𝑚E类/[E类,E类]→1

和ϕ⁢(一)=(一,一-1)对于一∈A类。

注意π是E类按循环顺序组第页.使用同构，我们看到同伦长精确序列(2.1)给予

1→π1⁢𝒞E类⁢𝒜⁢(E类)→π→π1E类→1

哪里π1是对第一个因子的投影。因此，我们获得了以下内容。

推论4.3。

假设第页≥2.存在同构

π1⁢𝒞E类⁢𝒜⁢(E类)≅ℤ/第页。

4.4海森堡集团

让H（H）⁢(V（V）)表示与向量空间相关的海森堡群V（V）具有双线性形式𝔟。此组定义为集合V（V）×ℤ/第页根据下面给出的乘法规则

(v（v）1,t吨1)⁢(v（v）2,t吨2)=(v（v）1+v（v）2,𝔟⁢(v（v）1,v（v）2)+t吨1+t吨2)。

让我们确定Z轴⁢(E类)具有ℤ/第页通过同构。

引理4.4。

存在由定义的群的满射同态

φ以下为：π→H（H）⁢(V（V）),(e（电子）,e（电子）′)↦(ν⁢(e（电子）),e（电子）⁢e（电子）′)

其内核由对组成(一,一-1)哪里一∈Z轴⁢(E类)。

证明。

我们检查φ是群同态。一方面我们有

φ⁢((e（电子）1,e（电子）1′)⁢(e（电子）2,e（电子）2′))=φ⁢(e（电子）1⁢e（电子）2,e（电子）1′⁢e（电子）2′)=(ν⁢(e（电子）1⁢e（电子）2),e（电子）1⁢e（电子）2⁢e（电子）1′⁢e（电子）2′)

另一方面

φ⁢((e（电子）1,e（电子）1′))⁢φ⁢((e（电子）2,e（电子）2′))=(ν⁢(e（电子）1),e（电子）1⁢e（电子）1′)⁢(ν⁢(e（电子）2),e（电子）2⁢e（电子）2′)

=(ν⁢(e（电子）1)⁢ν⁢(e（电子）2),[e（电子）1,e（电子）2]⁢e（电子）1⁢e（电子）1′⁢e（电子）2⁢e（电子）2′)。

请注意，由于

[e（电子）1,e（电子）2]⁢e（电子）1⁢e（电子）1′⁢e（电子）2⁢e（电子）2′=e（电子）1⁢e（电子）2⁢e（电子）1-1⁢e（电子）2-1⁢e（电子）1⁢e（电子）1′⁢e（电子）2⁢e（电子）2′=e（电子）1⁢e（电子）2⁢e（电子）1′⁢e（电子）2-1⁢e（电子）2⁢e（电子）2′=e（电子）1⁢e（电子）2⁢e（电子）1′⁢e（电子）2′

我们利用了这个事实e（电子）1⁢e（电子）1′属于中心Z轴⁢(E类)为了看出这是一种主观的观察(e（电子）,e（电子）-1)生成H（H）⁢(V（V）)。内核如映射定义所述。∎

考虑一下投影公共关系1以下为：H（H）⁢(V（V）)→V（V）第一个因素。各向同性子空间我可以用H（H）⁢(V（V）)通过地图一↦(一,0).我们可以考虑ℐ⁢(V（V）)作为以下子组的集合H（H）⁢(V（V）)首先我们需要一个初步结果。将分类空间视为函子B类限制在偏序集上𝒜⁢(E类)和ℐ⁢(V（V）).我们将计算同伦colimit的基本群B类以下为：ℐ⁢(V（V）)→𝐒。

提议4.5。

有一种自然的同构

π1⁢霍科利姆ℐ⁢(V（V）)⁡B类≅H（H）⁢(V（V）)。

证明。

偏序集的自然映射𝒜⁢(E类)→ℐ⁢(V（V）)由提供A类↦ν⁢(A类)诱导贴图

霍科利姆𝒜⁢(E类)⁡B类→大肠杆菌属ℐ⁢(V（V）)⁡B类

在同伦结肠炎之间。这张地图的同伦纤维是B类⁢ℤ/第页从图中可以看出

我们在其中使用了Proposition4.1以识别中发现的水平纤维(2.1).这两个同伦结肠炎具有相同的普适覆盖，它们的区别在于B类⁢ℤ/第页因此，图中的所有序列都是纤维序列。在命题的识别下4.2和推论4.3考虑基本群的图

哪里π¯是同伦群的基本群B类以下为：ℐ⁢(V（V）)→𝐒。中间的列是引理中同态的扩展4.4自循环子群ℤ/第页单位为π准确地说克尔⁡φ.因此π¯同构于H（H）⁢(V（V）)根据需要。∎

作为此计算的直接结果，我们有以下几点。

推论4.6。

假设第页≥2哪里2⁢第页是的尺寸V（V）然后是自然地图

公共关系^1以下为：𝒞H（H）⁢(V（V）)⁢ℐ⁢(V（V）)→𝒞V（V）⁢ℐ⁢(V（V）)

由投影引起的公共关系1以下为：H（H）⁢(V（V）)→V（V）是通用覆盖图。

证明。

投影图公共关系1以下为：H（H）⁢(V（V）)→V（V）生成腓骨图

由此我们可以得出结论，纤维之间的映射是通用的覆盖映射。∎

接下来，我们总结了与关联的陪集偏序集之间的关系𝒜⁢(E类)和ℐ⁢(V（V）)。

提议4.7。

同态φ以下为：π→H（H）⁢(V（V）)归纳图表

在通用覆盖图之间，其纤维由Z轴/第页。

我们的目的是证明相应结果（定理5.6)陪集偏序集𝒞H（H）⁢(V（V）)⁢ℐ⁢(V（V）)鉴于提议4.7。

定理4.8。

假设第页≥2.陪集偏序集C类π⁢A类⁢(E类)是第页-球形。

我们把这个定理的证明留给第节5并以涉及辛群斯坦伯格表示维数的欧拉特征公式结束本节。

4.5欧拉特性

偏序集的几何实现ℐ∘⁢(V（V）)=ℐ⁢(V（V）)-{0}可以用辛群的Tits构造来确定服务提供商⁡(V（V）)。它是(第页-1)-根据Solomon–Tits定理得出的球面[19]其中2⁢第页=昏暗的⁡(V（V）)。顶维同源性提供了服务提供商⁡(V（V）)。我们将描述𝒞H（H）⁢(V（V）)⁢ℐ⁢(V（V）)作为由辛群的Steinberg表示组成的长精确序列的核。

如第节所示2.3陪集空间𝒞H（H）⁢(V（V）)⁢ℐ⁢(V（V）)可以用函子的同伦集合来识别H（H）V（V）/-以下为：ℐ(V（V）)→𝐒它发送一个各向同性子空间我给陪衬H（H）⁢(V（V）)/我。有一个Bousfield–Kan谱序列[5，§XII.5.7]计算同伦大肠杆菌的积分同源性E类2-页面由给出

绞痛我⁡H（H）j⁢(H（H）⁢V（V）/我)⇒H（H）我+j⁢(𝒞H（H）⁢(V（V）)⁢ℐ⁢(V（V）))

折叠到j=0轴，因为陪集空间是离散的。因此我们有

H（H）k个(𝒞H（H）⁢(V（V）)ℐ(V（V）))≅绞痛k个ℤ[H（H）V（V）/-]

哪里ℤ[H（H）V（V）/-]是函子ℐ⁢(V（V）)→𝐀𝐛它发送我陪集生成的自由阿贝尔群H（H）⁢V（V）/我我们将描述一个光谱序列来计算这些导出的共鸣。有关此结构（双重版本）的详细信息，请参见[13, §4].

函子的导出共鸣F类以下为：𝒫→𝐀𝐛可以用同源性来描述H（H）*⁢(𝒫,F类)链复合体的

C类k个⁢(𝒫;F类)=⊕第页0<第页1<⋯<第页k个F类⁢(第页0)

其微分是通过移除物体而引起的第页0<第页1<⋯<第页^我<⋯<第页k个。我们描述了一个很好的偏序集过滤。对于一个对象第页∈𝒫我们定义ht（高温）⁡(第页)=-昏暗的⁡(𝒫≥第页).这会对链条进行过滤

C类*⁢(𝒫;F类第页)⊂⋯⊂C类*⁢(𝒫;F类1)⊂C类*⁢(𝒫;F类0)

其中函子F类我定义如下：

F类我⁢(第页)={0如果⁢ht（高温）⁡(第页)>-我,F类⁢(第页)否则。

与过滤相关的是第八个八分位的光谱序列：

E类我,j1=⊕第页∈𝒫ht（高温）⁡(第页)=-我H（H）我+j⁢((𝒫≥第页,𝒫>第页),F类⁢(第页))⇒H（H）我+j⁢(𝒫,F类)。

现在我们将这个谱序列应用于偏序集𝒫=ℐ⁢(V（V）)和函子F类=ℤ[H（H）V（V）/-]。第一页由同源群的直接和组成

（4.1）H（H）我+j⁢((ℐ⁢(V（V）)≥我,ℐ⁢(V（V）)>我),F类⁢(我))≅ℤ⁢[H（H）⁢V（V）/我]⊗H（H）我+j⁢(Σ⁢ℐ∘⁢(我⊥/我))

超各向同性子空间我高度等于-我。请注意ht（高温）⁡(我)=昏暗的⁡(我)-第页因此，事实上总和已经结束我尺寸的第页-我在这种情况下，商我⊥/我尺寸为2⁢我和ℐ∘⁢(我⊥/我)是(我-1)-球形。因此，术语(4.1)仅当j=0并且光谱序列折叠以给出一个长的精确序列

0→ℤ⁢[H（H）⁢V（V）]⊗H（H）第页-1⁢(ℐ∘⁢(V（V）))→⊕我1ℤ⁢[V（V）/我1]⊗H（H）第页-2⁢(ℐ∘⁢(我1⊥/我1))

→⋯→⊕我第页-1ℤ⁢[V（V）/我第页-1]⊗H（H）0⁢(ℐ∘⁢(我第页-1⊥/我第页-1))→⊕我第页ℤ⁢[V（V）/我第页]→0

其同源性计算𝒞H（H）⁢(V（V）)⁢ℐ⁢(V（V）)这里，直和遍历各向同性子空间我k个尺寸的k个。

推论4.9。

欧拉特征C类H（H）⁢(V（V）)⁢我⁢(V（V）)由提供

(-1)第页⁢d日⁢(第页,第页)+1

=(-1)第页⁢第页2⁢第页+1+第页2+∑j=1第页(-1)第页-j⁢第页2⁢第页+1-j+(第页-j)2⁢(∏t吨=0j-1第页2⁢第页-t吨-第页t吨第页j-第页t吨)。

证明。

让N个j表示j-维各向同性子空间我j在里面V（V）,和D类j与商相关的Tits建筑的维度我j⊥/我j.何时j=第页，商是零空间，我们设置D类第页=1然后通过交替求和给出欧拉特性

∑j=0第页(-1)第页-j⁢|H（H）⁢V（V）/我j|⁢N个j⁢D类j

其中，各向同性子空间的数量由下式给出

N个j=∏t吨=0j-1第页2⁢第页-t吨-第页t吨第页j-第页t吨

我们采取N个j=1如果j=0注意j线性无关的各向同性向量由下式给出(第页2⁢第页-1)⁢(第页2⁢第页-1-第页)⁢⋯⁢(第页2⁢第页-(j-1)-第页j-1)由于各向同性子空间的正交补的维数我等于2⁢第页-昏暗的⁡(我).将此产品除以ja中的线性无关向量j-维向量空间给出了N个j。尺寸D类jTits大楼的我j⊥/我j等于服务提供商⁡(我j⊥/我j)哪个是第页(第页-j)2（请参见[22, §3.5.4]).∎

各向同性子空间的5 Coset偏序集

在本节中，我们将重点讨论陪集偏序集𝒞H（H）⁢(V（V）)⁢ℐ⁢(V（V）)如第节所述4.在定理中5.6我们证明这个偏序集是第页-球形，其中2⁢第页=昏暗的⁡(V（V）)我们从关于任意维向量空间的子空间集合的一些结果开始。

5.1真子空间的偏序集

让𝒯⁢(V（V）)表示的真子空间的偏序集V（V）、和𝒯∘⁢(V（V）)=T型⁢(V（V）)-{0}后一个偏序集的几何实现通常称为与一般线性群相关联的Tits构建德国劳埃德船级社⁡(V（V）)其同伦类型由Solomon–Tits定理描述。

提议5.1([19]).

假设昏暗的⁡V（V）≥1.然后T型∘⁢(V（V）)是(昏暗的⁡V（V）-2)-球形。

在他关于经典群的离散级数表示的工作中，Lusztig研究了偏序集𝒞V（V）⁢𝒯⁢(V（V）).英寸[12定理1.9]他证明了以下的同调版本。

提议5.2。

陪集偏序集C类V（V）⁢T型⁢(V（V）)是(昏暗的⁡V（V）-1)-球形。

这个结果是[6，命题11]，其中它被推广到可解群的适当子群的陪集。

让W公司是的子空间V（V）哪里尾标⁡W公司=1回想一下，我们从命题中得到了以下地图2.4和(3.2):

我W公司以下为：𝒞W公司⁢𝒯⁢(V（V）)→𝒞W公司⁢𝒯⁢(W公司) 和 θW公司以下为：𝒞V（V）⁢𝒯⁢(V（V）)∨W公司→𝒞W公司⁢𝒯⁢(V（V）)

我们确定的地点𝒯⁢(V（V）)∩W公司具有𝒯⁢(W公司)在第一张地图上。修复v（v）∉W公司并定义偏序集的映射

θv（v）以下为：𝒯⁢(V（V）)∨W公司→𝒞W公司⁢𝒯⁢(W公司)

哪里θv（v）⁢(A类)=(-v（v）+A类)∩W公司。此映射定义明确，因为它可以分解为

(5.1)

哪里θW公司限制在子位置-v（v）+𝒯⁢(V（V）)∨W公司⊂𝒞V（V）⁢𝒯⁢(V（V）)∨W公司形式的陪集-v（v）+A类。

提案5.3。

假设昏暗的⁡V（V）≥1.地图θv（v）以下为：T型⁢(V（V）)∨W公司→C类W公司⁢T型⁢(W公司)是一个弱等价。特别地，T型⁢(V（V）)∨W公司是(昏暗的⁡V（V）-2)-球形。

证明。

的同伦逆θv（v）由地图给出

秒v（v）以下为：𝒞W公司⁢𝒯⁢(W公司)→𝒯⁢(V（V）)∨W公司

由定义秒v（v）⁢(w个+A类)=〈v（v）+w个,A类〉一个人检查θv（v）⁢秒v（v）⁢(w个+A类)⊃w个+A类、和秒v（v）⁢θv（v）⁢(B类)⊂B类。因此秒v（v）是第节中描述的基本结果的同伦逆2.1陪集偏序集的同伦类型在命题中给出5.2。∎

当昏暗的⁡V（V）≥2其证明基本相同。让单位是的子空间W公司具有昏暗的⁡单位=1。让𝒯⁢(V（V）)∧单位表示偏序集{A类∈𝒯⁢(V（V）)∣A类∩单位=0}。我们将表示交叉点𝒯⁢(V（V）)∨W公司∩𝒯⁢(V（V）)∧单位简单地说𝒯⁢(V（V）)单位W公司。考虑以下限制θv（v）到子标题𝒯⁢(V（V）)单位W公司。受限制地图的图像θv（v）′位于𝒞W公司⁢𝒯⁢(W公司)∧单位因此我们有一个图表

其中垂直图是自然包裹体。地图θv（v）′也是一个弱等价，其同伦逆由秒v（v）到𝒞W公司⁢𝒯⁢(W公司)∧单位。我们记录了此结果。

提案5.4。

假设昏暗的⁡V（V）≥2.地图θv（v）′以下为：T型⁢(V（V）)单位W公司→C类W公司⁢T型⁢(W公司)∧单位是一个弱等价。

什么时候？昏暗的⁡V（V）=2，偏序集𝒯⁢(V（V）)单位W公司由不同于W公司。有第页许多这样的子空间。陪集偏序集𝒞W公司⁢𝒯⁢(W公司)∧单位由零子空间的陪集组成W公司。同样有第页许多这样的陪集。子空间偏序集𝒯⁢(V（V）)单位W公司将显示为陪集偏序集之间某些映射的纤维。接下来我们证明这个偏序集是球形的。

定理5.5。

假设昏暗的⁡V（V）≥2.让单位⊂W公司是子空间V（V）和尾标⁡W公司=昏暗的⁡单位=1.然后T型⁢(V（V）)单位W公司是(昏暗的⁡V（V）-2)-球形。

证明。

按命题5.4偏序集𝒯⁢(V（V）)单位W公司弱等价于陪集偏序集𝒞W公司⁢𝒯⁢(W公司)∧单位。定理的陈述适用于昏暗的⁡V（V）=2因为生成的空间是点的不相交并集。对于更大的值昏暗的⁡V（V）我们将对维度进行归纳。假设定理的陈述适用于维数小于的向量空间昏暗的⁡V（V）。我们会分解𝒞W公司⁢𝒯⁢(W公司)∧单位关于子空间L（左）属于W公司余维1包含单位。按推论3.6这足以表明𝒞L（左）⁢𝒯⁢(W公司)∧单位和𝒞W公司⁢𝒯⁢(W公司)单位L（左）是(昏暗的⁡W公司-2)-球形，并构建地图秒我们从第一个同伦类型开始。自从偏序集𝒯⁢(W公司)∧单位是L（左）-稳定，命题2.4意味着

我L（左）以下为：𝒞L（左）⁢𝒯⁢(W公司)∧单位→𝒞L（左）⁢(𝒯⁢(W公司)∧单位)∩L（左）=𝒞L（左）⁢𝒯⁢(L（左）)∧单位

是弱等价的，并且通过命题5.4有一个弱等价

𝒞L（左）⁢𝒯⁢(L（左）)∧单位≃𝒯⁢(W公司)单位L（左）

哪个是(昏暗的⁡W公司-2)-由归纳假设得出的球形。接下来我们确定同伦类型𝒞W公司⁢𝒯⁢(W公司)单位L（左）通过应用定理2.2到自然地图ϵ以下为：𝒞W公司⁢𝒯⁢(W公司)单位L（左）→𝒯⁢(W公司)单位L（左）由定义w个+A类↦A类.我们需要考虑偏序集(𝒯⁢(W公司)单位L（左）)<A类和ϵ≥A类和表明两者都是球形的。第一种可以确定如下：

(𝒯⁢(W公司)单位L（左）)<A类=(𝒯⁢(W公司)∨L（左）)<A类=𝒯⁢(A类)∨L（左）∩A类

其中后者通过命题为球形5.3。光纤可识别为

ϵ≥A类=𝒞W公司⁢(𝒯⁢(W公司)单位L（左）)≥A类=𝒞W公司⁢(𝒯⁢(W公司)∧单位)≥A类

还有一张偏序集地图

α以下为：𝒞W公司⁢(𝒯⁢(W公司)∧单位)≥A类→𝒞W公司/A类⁢𝒯⁢(W公司/A类)∧单位⁢A类/A类

由定义w个+B类↦w个+B类⁢A类/A类。我们认为这是一个弱等价。看到这个让B类¯在图像中表示陪集，并考虑光纤α≤B类¯纤维具有末端物体，因此可以收缩。因此定理2.1意味着α是弱等价。最后，再次使用命题5.4根据诱导假设，我们可以看到纤维是球形的。因此这两个空间都满足定理中的要求2.2我们的结论是𝒞W公司⁢𝒯⁢(W公司)单位L（左）是(昏暗的⁡W公司-2)-球形。仍需定义地图秒以下为：𝒞L（左）⁢𝒯⁢(W公司)∧单位→𝒯⁢(W公司)单位L（左）.根据定理3.4此映射需要满足以下两个属性：θL（左）⁢秒≃∗和复合材料

θL（左）⁢(-v（v）)⁢秒以下为：𝒞L（左）⁢𝒯⁢(W公司)∧单位→𝑠𝒯⁢(W公司)单位L（左）→-v（v）-v（v）+𝒯⁢(W公司)单位L（左）→θL（左）𝒞L（左）⁢𝒯⁢(W公司)∧单位

与某些固定元素的单位映射同伦v（v）∈W公司-L（左）。这里我们限制了地图θL（左）以下为：𝒞W公司⁢𝒯⁢(W公司)单位L（左）→𝒞L（左）⁢𝒯⁢(W公司)∧单位到形式陪集的子集-v（v）+A类哪里A类∈𝒯⁢(W公司)单位L（左）。我们的候选人秒与同伦逆密切相关秒v（v）地图的

θv（v）′以下为：𝒯⁢(W公司)单位L（左）→𝒞L（左）⁢𝒯⁢(L（左）)∧单位

在提案中考虑5.4注意，通过图表(5.1)我们有θv（v）′=我L（左）⁢θL（左）⁢(-v（v）).让j是同伦的逆我L（左）。我们要求秒=秒v（v）⁢我L（左）是我们需要的地图。我们有θL（左）⁢(-v（v）)⁢秒≃j⁢θv（v）′⁢秒v（v）⁢我L（左）≃j⁢我L（左）≃身份证.仍需检查θL（左）⁢秒=θL（左）⁢秒v（v）⁢我L（左）≃∗对于此次召回秒v（v）发送陪集我+A类到子空间〈v（v）+我,A类〉。通过直接验证，我们看到θL（左）⁢秒v（v）⁢我L（左）⁢(我+A类)是平凡陪集〈v（v）+我,A类∩L（左）〉包含0，生成收缩同伦θL（左）⁢秒≃∗。完

5.2各向同性子空间的位置集

让𝔟是上的交替双线性形式V（V）.这意味着𝔟⁢(v（v）,v（v）′)=-𝔟⁢(v（v）′,v（v）)为所有人v（v）,v（v）′在里面V（V）.子空间的正交补A类⊂V（V）由定义

A类⊥={w个∈V（V）∣𝔟⁢(w个,一)=0⁢为所有人⁢一∈A类}。

对于元素v（v）我们写作v（v）⊥表示子空间的正交补〈v（v）〉。我们假设𝔟非退化，即。V（V）⊥=0.子空间称为各向同性，如果A类⊂A类⊥。让ℐ⁢(V（V）)表示各向同性子空间的集合。让H（H）⁢(V（V）)表示与向量空间相关的海森堡群V（V）具有双线性形式𝔟如第节所述4.4。我们可以考虑ℐ⁢(V（V）)作为阿贝尔子群的集合H（H）⁢(V（V）)夹杂物下我→H（H）⁢(V（V）)由定义一↦(一,0)。然后是我在里面H（H）⁢(V（V）)可以通过子组识别H（H）⁢(我⊥)。

定理5.6。

存在弱等价性

𝒞H（H）⁢(V（V）)⁢ℐ⁢(V（V）)≃⋁d日⁢(第页,第页)𝕊第页

哪里2⁢第页=昏暗的⁡V（V）和d日⁢(第页,第页)在推论中定义4.9。

这个定理的证明将占据本节的其余部分。我们确定一个辛基b={x1,x2,…,x第页,x¯1,x¯2,…,x¯第页}属于V（V）具有𝔟⁢(x我,x¯j)=1什么时候|我-j|=0否则为零。让我们修复x=x第页和x¯=x¯第页为其他人。我们将应用推论3.6具有H（H）=H（H）⁢(x⊥)它是H（H）⁢(V（V）)商同构于循环序群第页.陪集空间𝒞H（H）⁢(V（V）)⁢ℐ⁢(V（V）)是图的同伦次共线

哪里克=(x¯)和H（H）=H（H）⁢(x⊥)。请注意克第页=(第页⁢x¯)=(0)是的标识元素H（H）⁢(V（V）)。我们有两个主要目标：

构建地图秒、和
向大家展示𝒞H（H）⁢(V（V）)⁢ℐ⁢(V（V）)∨H（H）是(第页-1)-球形。

5.3施工秒

我们将构建偏序集地图

秒以下为：𝒞H（H）⁢ℐ⁢(V（V）)→ℐ⁢(V（V）)∨H（H）

使得θH（H）⁢克-1⁢秒≃身份证件和θH（H）⁢秒≃∗根据Corolary的要求3.6。商映射第页以下为：x⊥→x⊥/〈x〉诱导弱等价

(5.2)第页以下为：𝒞H（H）⁢ℐ⁢(x⊥)→𝒞H（H）⁢(x⊥/〈x〉)⁢ℐ⁢(x⊥/〈x〉)

因为光纤通常会收缩到终端对象。在这里H（H）⁢(x⊥)/〈x〉被识别为H（H）⁢(x⊥/〈x〉)此外，通过命题2.4地图

（5.3）我H（H）以下为：𝒞H（H）⁢ℐ⁢(V（V）)→𝒞H（H）⁢ℐ⁢(V（V）)∩H（H）=𝒞H（H）⁢ℐ⁢(x⊥)

是弱等价，因为ℐ⁢(V（V）)是H（H）-稳定。让表示成分

（5.4）ϕ=第页⁢我H（H）以下为：𝒞H（H）⁢ℐ⁢(V（V）)→𝒞H（H）⁢(x⊥/〈x〉)⁢ℐ⁢(x⊥/〈x〉)

然后让θ¯H（H）表示组成ϕ⁢θH（H）哪里θH（H）以下为：ℐ⁢(V（V）)∨H（H）→𝒞H（H）⁢ℐ⁢(V（V）)。

引理5.7。

假设偏序集的映射

(5.5)θ¯=θ¯H（H）⁢克-1以下为：ℐ⁢(V（V）)∨H（H）⁢(x⊥)→𝒞H（H）⁢(x⊥/〈x〉)⁢ℐ⁢(x⊥/〈x〉)

具有表示为秒¯使得θ¯H（H）⁢秒¯≃∗.然后秒=秒¯⁢ϕ满足推论中要求的属性3.6。

证明。

如果φ是的同伦逆，则乘以θ¯⁢秒¯=身份证件通过左边的φ和右边的，我们得到

身份证件≃φ⁢ϕ=φ⁢θ¯⁢秒¯⁢ϕ=φ⁢ϕ⁢θH（H）⁢克-1⁢秒≃θH（H）⁢克-1⁢秒。

此外，θH（H）⁢秒≃∗自从ϕ⁢θH（H）⁢秒⁢ϕ≃θ¯H（H）⁢秒¯≃∗。∎

我们着手建设秒¯。商x⊥/〈x〉可以用子空间识别Z轴跨越者b-{x,x¯}.让j以下为：x⊥/〈x〉→Z轴⊂x⊥表示该标识。有一个交换图

哪里k个⁢(u个)=u个-𝔟⁢(u个,x¯)⁢x。有一个相应的交换图

(5.6)

海森堡群的地图仍然用相同的字母表示。我们定义偏序集的映射

秒¯以下为：𝒞H（H）⁢(x⊥/〈x〉)⁢ℐ⁢(x⊥/〈x〉)→ℐ⁢(V（V）)∨H（H）

发送陪集(w个,t吨)⁢A类⊂j⁢(H（H）⁢(x⊥/〈x〉))到子组

〈(x¯+t吨⁢x+w个),(𝔟⁢(w个,一)⁢x+一)∣一∈A类〉。

让我们检查一下这个定义是否给出了一个阿贝尔子群H（H）。注意H（H）⁢(V（V）)由提供

[(v（v）1),(v（v）2)]=(v（v）1,0)⁢(v（v）2,0)⁢(-v（v）1,0)⁢(-v（v）2,0)

=(v（v）1+v（v）2,𝔟⁢(v（v）1,v（v）2))⁢(-v（v）1-v（v）2,𝔟⁢(v（v）1,v（v）2))=(0,2⁢𝔟⁢(v（v）1,v（v）2))。

因此秒¯应用于陪集给出了一个交换子群，因为

𝔟⁢(x¯+t吨⁢x+w个,𝔟⁢(w个,一)⁢x+一)=𝔟⁢(w个,一)⁢𝔟⁢(x¯,x)+𝔟⁢(w个,一)=0。

接下来我们证明一个关键引理。

引理5.8。

地图秒¯是的倒数θ¯定义见(5.5). 它满足了θ¯H（H）⁢秒¯≃∗。

证明。

首先我们展示一下秒¯⁢θ¯⁢(A类)=A类为所有人A类在里面ℐ⁢(V（V）)H（H）.这样的各向同性子空间满足A类+x⊥=V（V）我们认为A类作为的子组H（H）⁢(V（V）)通过映射一↦(一,0).我们有x¯+u个∈A类对一些人来说u个∈x⊥自从A类和x⊥跨越整个空间V（V）。然后A类=〈x¯+u个,A类∩x⊥〉回忆一下θ¯=θ¯H（H）⁢克-1发送空格A类到商((克-1⁢A类)∩H（H）)/〈x〉哪里H（H）=H（H）⁢(x⊥)和克=(x¯).虽然功能θ¯定义在子空间上，可以很方便地认为它是定义的向量如下v（v）使得〈v（v）〉+x⊥=V（V）以下为：

θ¯⁢(v（v）)=第页⁢((x¯)-1⁢(v（v）)∩H（H）)=(第页⁢(v（v）-x¯),𝔟⁢(v（v）,x¯))

哪里第页以下为：x⊥→x⊥/〈x〉.然后我们可以写

j⁢θ¯⁢(v（v）)=(k个⁢(v（v）-x¯),𝔟⁢(v（v）,x¯))

通过的可交换性(5.6).特别是，我们j⁢θ¯⁢(x¯+u个)=(k个⁢(u个),𝔟⁢(u个,x¯))。更一般的情况是一∈A类∩x⊥我们计算

j⁢θ¯⁢(x¯+u个+一)=(k个⁢(u个+一),𝔟⁢(u个+一,x¯))

=(k个⁢(u个),𝔟⁢(u个,x¯))⁢(k个⁢(一),𝔟⁢(一,x¯)+𝔟⁢(一,u个))

=(k个⁢(u个),𝔟⁢(u个,x¯))⁢(k个⁢(一),𝔟⁢(一,x¯+u个))

=(k个⁢(u个),𝔟⁢(u个,x¯))⁢(k个⁢(一),0)

在最后一步中，我们使用了以下事实一和x¯+u个是各向同性空间的元素A类，即。𝔟⁢(一,x¯+u个)=0.因此成分j⁢θ¯地图A类到陪集

A类=〈x¯+u个,A类∩x⊥〉↦(k个⁢(u个),𝔟⁢(u个,x¯))⁢k个⁢(A类)

在里面j⁢(H（H）⁢(x⊥/〈x〉))。正在应用秒¯对于这个陪集，给出了一个由

(x¯+𝔟⁢(u个,x¯)⁢x+k个⁢(u个))=(x¯+u个)

和

(𝔟⁢(k个⁢(u个),k个⁢(一))⁢x+k个⁢(一))=(𝔟⁢(u个,一)⁢x+k个⁢(一))=(𝔟⁢(x¯+u个,一)⁢x+一)=(一)

我们利用了这个事实k个由定义k个⁢(u个)=u个-𝔟⁢(u个,x¯)⁢x并尊重双线性形式。因此

秒¯⁢θ¯⁢(A类)=〈(x¯+u个),(一)∣一∈A类∩x⊥〉

它正好等于A类当被视为H（H）⁢(V（V）)。

相反，让我们(w个,t吨)⁢A类成为形象中的陪衬j。申请后秒¯考虑元素(x¯+t吨⁢x+w个+𝔟⁢(w个,一)⁢x+一,𝔟⁢(x¯,一))作为两个发电机的乘积获得(x¯+t吨⁢x+w个)和(𝔟⁢(w个,一)⁢x+一)。看看是什么θ¯做到了秒¯⁢((w个,t吨)⁢A类)检查其对该元素的影响就足够了：

(-x¯)⁢(x¯+t吨⁢x+w个+𝔟⁢(w个,一)⁢x+一,𝔟⁢(x¯,一))

=(t吨⁢x+w个+𝔟⁢(w个,一)⁢x+一,t吨+𝔟⁢(w个,一))

选择(w个+一,t吨+𝔟⁢(w个,一))国防部(x)

=(w个,t吨)⁢(一,0)国防部(x)

这意味着θ¯⁢秒¯就是身份。

最后，最后一条语句来自θ¯H（H）⁢秒¯⁢((w个,t吨)⁢A类)⊃(0)因为实际上这个复合是通过与子群相交来计算的秒¯⁢((w个,t吨)⁢A类)具有H（H）⁢(x⊥)并将商取为〈x〉因此，此合成与标识元素处的常量映射收缩。∎

5.4定理证明5.6

限制地图的域我=我H（H）在(5.3)和第页英寸(5.2)，我们得到了以下映射：

(5.7)𝒞H（H）⁢ℐ⁢(V（V）)∨H（H）→𝑖𝒞H（H）⁢ℐ⁢(x⊥)∧〈x〉→𝑝𝒞H（H）⁢(x⊥/〈x〉)⁢ℐ⁢(x⊥/〈x〉)

哪里ℐ⁢(x⊥)∧〈x〉表示子空间的偏序集A类在里面ℐ⁢(x⊥)使得A类∩〈x〉=0。让我们考虑一下每一张地图的纤维。由于这两个映射对于H（H），只需考虑形式陪集上的纤维B类.其他陪集α⁢B类在…的作用下与这个同构α∈H（H）。

引理5.9。

让B类∈我⁢(x⊥/〈x〉).光纤第页≤B类是(昏暗的⁡B类)-球形。

证明。

举起B类到各向同性子空间B类~=〈j⁢(B类),x〉在里面x⊥，我们有

第页≤B类=𝒞B类~⁢𝒯⁢(B类~)∧〈x〉≃𝒯⁢(B类~⊕𝔽第页)〈x〉B类~

其中弱等价性遵循定理5.5具有V（V）=B类~⊕𝔽第页所以它是(昏暗的⁡(B类~⊕𝔽第页)-2)-根据需要呈球形。∎

引理5.10。

让B类∈我⁢(x⊥)∧〈x〉。光纤我≥B类是(第页-昏暗的⁡B类-1)-球形。

证明。

让B类⊥表示的正交补B类在里面V（V）关于𝔟。请注意B类⊥包含x自从B类⊂x⊥。我们有

我≥B类=(ℐ⁢(V（V）)∨H（H）)≥B类≅ℐ⁢(B类⊥/B类)∨H（H）⁢(B类⊥∩x⊥)/B类

其中最后一个偏序集同构于𝒞H（H）⁢(B类⊥∩x⊥/〈B类,x〉)⁢ℐ⁢(B类⊥∩x⊥/〈B类,x〉)通过引理5.8.中最大各向同性子空间的维数B类⊥∩x⊥/〈B类,x〉是第页-昏暗的⁡B类-1。∎

现在我们可以完成定理的证明了5.6通过收集到目前为止获得的结果。我们将通过归纳第页哪里2⁢第页=昏暗的⁡V（V）.何时第页=2，陪集偏序集𝒞H（H）⁢(V（V）)⁢ℐ⁢(V（V）)是一维连通空间，因此它是1-球形的。我们已经建造了这个部分秒在引理中5.7和引理5.8。使用弱等效in(5.4)和归纳法，我们看到了𝒞H（H）⁢ℐ⁢(V（V）)是(第页-1)-球形。还有待证明

𝒳=𝒞H（H）⁢(V（V）)⁢ℐ⁢(V（V）)∨H（H）

是(第页-1)-球形。我们将使用引理5.9和引理5.10。首先考虑地图

第页以下为：𝒳′→𝒴′

英寸(5.7). 根据归纳假设𝒴′是(第页-1)-球形。让B类∈ℐ⁢(x⊥/〈x〉).光纤第页≤B类是(昏暗的⁡B类)-由引理确定的球面5.9、和

𝒴>B类′=𝒞H（H）⁢(B类⊥/B类)⁢ℐ⁢(B类⊥/B类)

是(第页-1-昏暗的⁡B类)-经检查呈球形。然后𝒳′是(第页-1)-球面定理2.2应用于地图的对面𝒳′→𝒴′（原始报表[18，定理9.1]）。我们转向另一张地图(5.7)，并简单地表示为

我以下为：𝒳→𝒳′。

让B类∈ℐ⁢(x⊥)∧〈x〉。在这种情况下，𝒳<B类′=𝒞B类⁢𝒯⁢(B类)∧〈x〉是(昏暗的⁡B类-1)-球形（按命题）5.3和我≥B类是(第页-昏暗的⁡B类-1)-由引理确定的球面5.10.因此𝒳是(第页-1)-球面定理2.2并分解成楔形球体，其中球体的数量等于d日⁢(第页,第页)通过推论4.9。这就是定理的证明5.6。

6可交换性的分类空间

在[1]自然过滤{B类⁢(q个,G公司)}q个≥2分类空间的BG公司介绍了。这些空间可以描述为分类空间的同伦共线，陪集偏序集在研究此类对象时自然会出现。在本节中，我们应用我们的主要结果定理4.8到B类⁢(2,G公司)什么时候G公司是特别的第页-小组。

6.1空间B类⁢(2,G公司)

作为简单集B类⁢(2,G公司)有n个-由群同态集给出的单形霍姆⁡(ℤn个,G公司)简单结构是由BG公司。让E类⁢(2,G公司)→B类⁢(2,G公司)表示通用原理的回拉G公司-束E类⁢G公司→B类⁢G公司沿着自然包裹体B类⁢(2,G公司)⊂B类⁢G公司。众所周知，自然地图

霍科利姆𝒜⁢(G公司)⁡B类→B类⁢(2,G公司)

是弱等价[1, §4]. 作为定理的结果4.8我们确定了B类⁢(2,G公司)什么时候G公司是特别的第页-组。

定理6.1。

让E类成为一个特别的人第页-组。有一个纤维序列

⋁d日⁢(第页,第页)𝕊第页→B类⁢(2,G公司)→B类⁢π

哪里2⁢第页≥4是Frattini商的秩E类，数字d日⁢(第页,第页)在推论中定义4.9，π是乘法映射的核

1→π→E类×E类→E类/[E类,E类]→1。

证明。

按命题4.2基本群B类⁢(2,G公司)与π同构。通用封面B类⁢(2,G公司)用陪集偏序集标识𝒞π⁢𝒜⁢(G公司)因此𝒞H（H）⁢V（V）⁢ℐ⁢(V（V）)按命题4.7。∎

让我们介绍一下B类⁢(2,G公司).让V（V）是上方的向量空间𝔽第页具有非退化交替双线性形式𝔟.我们定义了一个单纯集B类⁢(𝔟,V（V）)谁的一套n个-simplices是n个-元组(v（v）1,v（v）2,…,v（v）n个)哪里𝔟⁢(v（v）我,v（v）j)=0为所有人0≤我,j≤n个.简单结构是通过包含体诱导的B类⁢(𝔟,V（V）)⊂B类⁢V（V）。类似于B类⁢(2,G公司)我们可以把这个空间描述为同伦群。有一个自然的弱等价

霍科利姆ℐ⁢(V（V）)⁡B类→B类⁢(𝔟,V（V）)

由夹杂物引起B类⁢我⊂B类⁢(𝔟,V（V）)哪里我是各向同性子空间。让E类⁢(𝔟,V（V）)→B类⁢(𝔟,V（V）)表示通用束的回拉E类⁢V（V）→B类⁢V（V）沿着夹杂物B类⁢(𝔟,V（V）)⊂B类⁢V（V）.存在弱等价性

E类⁢(𝔟,V（V）)≃𝒞V（V）⁢ℐ⁢(V（V）)

因为这两个空间都是映射的同伦纤维B类⁢(𝔟,V（V）)→B类⁢V（V）。

提议6.2。

投影E类→V（V）归纳图表

其中水平映射是纤维化序列。此外，还有一个纤维序列

⋁d日⁢(第页,第页)𝕊第页→B类⁢(𝔟,V（V）)→B类⁢(H（H）⁢(V（V）))

哪里H（H）⁢(V（V）)是海森堡集团。

证明。

这是一个直接的验证，表明E类⁢(2,E类)→E类⁢(𝔟,V（V）)是通过检查喇叭提升性能进行的Kan纤维化[11，第页。 11] 。其思想是，总是有可能提升各向同性子空间我到的阿贝尔子群E类.我们认为零元素是基点∗属于E类⁢(𝔟,V（V）)在这一点上，光纤E类⁢ℤ/第页根据地图的定义。类似的论点也适用于地图B类⁢(2,E类)→B类⁢(𝔟,V（V）)最后一句话出自定理6.1和推论4.6其中我们展示了同伦colimit的基本群商业智能哪里我∈ℐ⁢(V（V）)是海森堡集团H（H）⁢(V（V）)。∎

6.2细分

让X（X）是一个简单集。我们将其细分为标准偏差⁡X（X）。它附带一张地图我以下为：X（X）→标准偏差⁡X（X）称为最后一个顶点贴图。这张图是弱等价的[11，第页。 193]. 对于某些单纯形集，可以更好地描述细分构造。让文学士⁡(X（X）)表示的非退化单形的偏序集X（X）在面关系下排序：x≤年如果x是一张脸年.如果有任何非退化n个-的单纯形X（X）有n个+1不同的顶点，然后标准偏差⁡X（X）与偏序集的神经同构文学士⁡(X（X）)，称为Barratt神经[21，引理2.2.11]。此类简单集的一些示例如下E类⁢G公司,E类⁢(2,G公司),E类⁢(𝔟,V（V）),…我们用Barratt神经识别这样一个单形集的细分。有一张偏序集地图

(6.1)θ以下为：标准偏差⁡E类⁢(𝔟,V（V）)→𝒞V（V）⁢ℐ⁢(V（V）)

通过发送非退化单纯形定义(v（v）,一1,一2,…,一n个)给陪衬v（v）+〈一1,一2,…,一n个〉。

6.3瞬态交换束

校长G公司-束第页以下为：E类→X（X）如果存在开盖，则称为过渡交换{单位j}j∈J型属于X（X）这样受限制的束第页|单位j对所有人来说都是微不足道的j∈J型并且当同时定义转换函数时转换函数。两个过渡交换丛第页0和第页1据说是同构的如果存在过渡交换主体G公司-束第页以下为：E类→X（X）×[0,1]使得第页|X（X）×0=第页0和第页|X（X）×1=第页1。

定理6.3([2，定理2.2]）。

让X（X）是有限CW-复形G公司a李群。有一对一的通信映射的一组同伦类之间[X（X）,B类⁢(2,G公司)]和传递交换主同构类的集合G公司-捆绑包。

捆绑包E类⁢(2,G公司)→B类⁢(2,G公司)是过渡交换的普遍例子G公司-束在任何过渡交换的意义上G公司-捆绑在一起X（X）与回拉束同构如果*⁢(E类⁢(2,G公司))→X（X）为了一些地图如果以下为：X（X）→B类⁢(2,G公司)。

推论6.4。

让E类成为一个特别的人第页-组。传递交换主元的同构类E类-捆束超过S公司第页由给定

[𝕊第页,B类⁢(2,E类)]=[𝕊第页,⋁d日𝕊第页]=ℤd日

哪里2⁢第页≥4是的Frattini商E类。

证明。

自第页≥2任何地图𝕊第页→B类⁢(2,E类)提升到由定理确定的同伦类型为楔形球体的普适覆盖6.1结果来自于Hurewicz定理。∎

这个结果表明，尽管任何本金E类-捆绑在一起𝕊第页对于来说是微不足道的第页≥2这种束不能通过过渡交换原理被简化E类-捆绑包。

6.4非平凡丛

接下来我们构造了一个非平凡的过渡交换主元E类-捆绑在第页-球体。让{x我,x¯我}我=1第页表示以下项的辛基V（V）.设置

x=∑我=1第页(x我+x¯我) 和 x¯=0。

考虑两点离散偏序集的连接

J型={x,x¯}∗{x1,x¯1}∗⋯⁢{x第页,x¯第页}

其几何实现与第页-球体。对于每个对象j属于J型让我们修一辆电梯j~关于投影E类→V（V）。识别J型利用它的神经，我们定义了单形集的映射

τ以下为：J型→B类⁢(2,E类)

通过发送n个-单工j0→j1→⋯→jn个到n个-单工

((j~0)-1⁢j~1,(j~1)-1⁢j~2,…,(j~n个-1)-1⁢j~n个)。

我们的目标是证明同伦群中由τ表示的类π第页⁢B类⁢(2,E类)是非平凡的。为此，我们引入了另一个与τ密切相关的映射。让我们定义偏序集的映射

τ~以下为：标准偏差⁡J型→𝒞H（H）⁢(V（V）)⁢ℐ⁢(V（V）)

通过发送链j1<j2<⋯<j秒偏序集中对象的数量J型给陪衬(j1)⁢〈j2-j1,j三-j1,…,j秒-j1〉在里面H（H）⁢(V（V）)。

引理6.5。

由表示的类τ~同伦群中π第页⁢C类H（H）⁢(V（V）)⁢我⁢(V（V）)是非平凡的。

证明。

我们首先展示τ~因素为

标准偏差⁡J型→τ¯ℐ⁢(V（V）′)∨H（H）⁢(x0⊥)→θ¯𝒞H（H）⁢(V（V）)⁢ℐ⁢(V（V）)

哪里V（V）′=〈x0,x¯0〉⊕V（V）是维辛向量空间2⁢(第页+1),x0⊥是中的正交补码V（V）′关于标准辛形式，以及θ¯是同构(5.5)相对于向量定义x0如下所示：

A类↦(((x¯0)-1⁢A类)∩H（H）⁢(x0⊥))/〈x0〉。

定义τ¯我们从Tits建筑中与服务提供商⁡(V（V）′)由偏序集映射定义

c（c）以下为：标准偏差⁡J型′→ℐ⁢(V（V）′)∘

哪里J型′={x0,x¯0}∗{x1,x¯1}∗⋯∗{x第页,x¯第页}和一连串的物体我1<我2<⋯<我t吨映射到子空间〈我1,我2,…,我t吨〉根据Solomon–Tits定理，该映射在同调中是非平凡的，因此给出了同伦中的非平凡映射。让克表示上的辛变换V（V）′由定义

x0↦∑j=0第页(xj+x¯j),x¯0↦x¯0,x我↦x我+x¯0,x¯我↦x¯我+x¯0,1≤我≤第页。

让克^表示偏序集的映射ℐ⁢(V（V）′)∘→ℐ⁢(V（V）′)∘由定义A类↦克⁢(A类)。合成物的图像克^⁢c（c）位于偏序集ℐ⁢(V（V）′)∨H（H）⁢(x0⊥)。我们定义τ¯=克^⁢c（c）⁢小时哪里小时是细分之间的同构标准偏差⁡J型→标准偏差⁡J型′偏序集映射诱导J型→J型′由定义x↦x0,x¯↦x¯0和其余的x我,x¯我对于1≤我≤第页都是固定的。注意，通过构造τ¯与常量映射不同伦。还有待检查τ~=θ¯⁢τ¯.让j1<j2<⋯<j秒成为…的对象标准偏差⁡J型.低于τ¯它映射到一个子组〈j1′,j2′,…,j秒′〉哪里j1′=j1+x0+x¯0如果j1=x或j1′=j1+x¯0如果j1≠x，其余生成器由jk个′=jk个+x¯0对于1<k个≤秒现在，图像中的元素θ¯来自表单元素α1⁢j1′+α2⁢j2′+⋯+α秒⁢j秒′哪里∑k个αk个选择1国防部第页.我们可以写

∑k个=1秒αk个⁢jk个′=j1+∑k个=2秒αk个⁢(jk个′-j1)

选择x¯0+j1+∑k个=2秒αk个⁢(jk个-j1)国防部〈x0〉

因此下面的图像θ¯是陪集吗(j1)⁢〈j2-j1,…,j秒-j1〉在里面H（H）⁢(V（V）)。∎

定理6.6。

假设第页≥2.同伦群中由τ表示的类π第页⁢B类⁢(2,E类)是非平凡的。特别是回拉束τ*⁢(E类⁢(2,E类))→J型是一个非平凡的过渡交换E类-捆绑在第页-球体。

证明。

识别J型利用它的神经，我们定义了单形集的映射

τ′以下为：J型→E类⁢(𝔟,V（V）)

通过发送n个-单工j0→j2→⋯→jn个到n个-单工(j0,j1-j0,j2-j1,…,jn个-jn个-1)。观察存在一个交换图

其中θ引入(6.1)陪集偏序集之间的映射是泛覆盖映射。为了看到右边的正方形对易，我们将这些地图视为偏序集的地图。链条j0<j1<⋯<j秒已发送至j0+〈j1-j0,j2-j0,…,j秒-j0〉在τ~和覆盖图。另一方面在作文下θ⁢标准偏差⁡τ′它被发送到j0+〈j1-j0,j2-j1,…,j秒-j秒-1〉注意，得到的陪集是相等的。现在[τ′]是非平凡的，因为[τ~]根据引理是非平凡的6.5这里我们使用了最后一个顶点映射是弱等价的事实，并且J型是简单连接的。最后，从交换图

我们看到了τ以下为：J型→B类⁢(2,E类)表示同伦群中的一个非平凡类。∎

通过考虑自同构群的作用，可以得到非平凡丛的其他例子E类在空间上B类⁢(2,E类)等效地，可以考虑服务提供商⁡(V（V）)关于陪集偏序集𝒞H（H）⁢(V（V）)⁢ℐ⁢(V（V）)。代表服务提供商⁡(V（V）)在这个陪集的顶维同调上，偏序集可能是辛群的一个有趣的表示。

6.5群上同调

我们首先观察到定理的一个直接结果6.1然后我们考虑自然地图H（H）*⁢(G公司,𝔽第页)→H（H）*⁢(B类⁢(2,G公司),𝔽第页)关于Quillen的F类-同构定理。

推论6.7。

让R（右）表示交换环，并且E类特别的第页-组。然后是同构

H（H）我⁢(B类⁢(2,E类),R（右）)≅H（H）我⁢(B类⁢π,R（右）) 的⁢我<第页。

证明。

什么时候？第页=1，的通用封面B类⁢(2,E类)是收缩的，因为𝒞V（V）⁢ℐ⁢(V（V）)是一个楔形球体（截面4.2). 因此，我们对所有人都有同构我在这种情况下。如果第页≥2，则结果来自于定理中fibration的Serre谱序列6.1。∎

奎伦的F类-同构定理[16,17]意味着自然地图的核心

(6.2)H（H）*⁢(B类⁢G公司,𝔽第页)→林A类∈𝒜⁢(G公司)⁡H（H）*⁢(B类⁢A类,𝔽第页)

具有幂零核。该图通过上同调进行因子分析B类⁢(2,G公司)。因此，自然地图的核心

H（H）*⁢(B类⁢G公司,𝔽第页)→H（H）*⁢(B类⁢(2,G公司),𝔽第页)

是幂零的[1，建议3.2]。

有两种特殊的2组E类+和E类-（请参见[三, §23.14]). 小组E类+是二面体群的中心积D类8.的上同调E类+在基本阿贝尔子群上检测到，即(6.2)是内射的。这迫使自然地图

H（H）*⁢(B类⁢E类+,𝔽2)→H（H）*⁢(B类⁢(2,E类+),𝔽2)

也是内射的。但总的来说，情况并非如此。四元数组问8类型为E类-，我们将证明在这种情况下，该映射不是内射的。

的上同调环问8由提供

H（H）*⁢(B类⁢问8,𝔽2)=𝔽2⁢[x,z（z）]/(x2+x⁢z（z）+z（z）2,x⁢z（z）2+x2⁢z（z）)⊗𝔽2⁢[w个4]

哪里x,z（z）是中心商生成器的对偶，以及w个4是一个4维类。接下来我们计算的上同调环B类⁢(2,问8)一般来说B类⁢(2,问2q个)计算单位为[7].

提议6.8。

的上同调环B类⁢(2,问8)由提供

H（H）*⁢(B类⁢(2,问8),𝔽2)=𝔽2⁢[x,年,z（z）]/(x⁢年,x⁢z（z）,年⁢z（z）,x2+年2+z（z）2)⊗𝔽2⁢[w个2]

哪里x,年,z（z）属于一级w个2是二级学位。因此，自然地图

H（H）*⁢(B类⁢问8,𝔽2)→H（H）*⁢(B类⁢(2,问8),𝔽2)

不是内射的。

证明。

二次群问8有三个与同构的极大阿贝尔子群ℤ/4它们在中心相交，这是一个二阶循环群。空间B类⁢(2,问8)弱等价于分类空间

B类⁢(ℤ/4∗ℤ/2ℤ/4∗ℤ/2ℤ/4)

沿着中心的最大阿贝尔数的合并乘积。考虑中央扩展之间的映射

哪里x↦x,年↦x+z（z）、和z（z）↦z（z）.在这里x,年,z（z）是四阶循环群的生成器的图像，每个生成一个ℤ/2。在Serre谱序列下的下延微分d日2属于这个E类2-第页，w个映射到k个-不变量x2+x⁢z（z）+z（z）2，其中我们用同一个字母表示上同调环中的对偶生成器。商群的上同调环之间的映射由下式给出

ϵ以下为：𝔽2⁢[x,z（z）]→𝔽2⁢[x,年,z（z）]/(x⁢年,x⁢z（z）,年⁢z（z）)

哪里x↦x+年和z（z）↦z（z）+年然后在上延的谱序列中d日2班级w个映射到ϵ⁢(x2+x⁢z（z）+z（z）2)=x2+年2+z（z）2通过自然和

d日2⁢(平方米1⁡w个)=平方米1⁡d日2⁢(w个)=平方米1⁡(x2+年2+z（z）2)=0。

因此，谱序列在E类三-页面，我们获得了所需的结果。上同调环之间的映射可以明确描述为

𝔽2⁢[x,z（z）](x2+x⁢z（z）+z（z）2,x⁢z（z）2+x2⁢z（z）)⊗𝔽2⁢[w个4]→𝔽2⁢(x,年,z（z）)(x⁢年,年⁢z（z）,x⁢z（z）,x2+年2+z（z）2)⊗𝔽2⁢[w个2]

其中第一个因子上的映射由ϵ导出，并且w个4映射到w个22。请注意x2⁢z（z）映射到零。∎

对于奇数素数第页很容易问地图有多近

H（H）*⁢(B类⁢E类,𝔽第页)→H（H）*⁢(B类⁢(2,E类),𝔽第页)

是内射的吗？注意超特殊的上同调环第页-群体并不完全为人所知第页>2。

6.6几乎特别的2组

还有另一种特殊群体第页=2又称复合型超特殊群。它被定义为核心产品E类′=E类∘ℤ/4沿着ℤ/2。它位于中央延伸部分

0→ℤ/2→E类′→V（V）′→0

哪里V（V）′=V（V）⊕V（V）0与同构(ℤ/2)2⁢第页+1.换向器导出双线性形式𝔟′在V（V）′。我们有V（V）0=(V（V）′)⊥关于𝔟′.投影图q个以下为：V（V）′→V（V）诱导偏序集映射

q个^以下为：𝒞V（V）′⁢ℐ⁢(V（V）′)→𝒞V（V）⁢ℐ⁢(V（V）)

其中纤维q个≤v（v）+我是可收缩的。作为定理的结果2.1这个映射是弱等价的。因此B类⁢(2,E类′)是一个楔子第页-球体。类似地，我们可以定义B类⁢(𝔟′,V（V）′)关于𝔟′。有一个纤维化序列

B类⁢ℤ/2→B类⁢(2,E类′)→B类⁢(𝔟′,V（V）′)

由地图诱导E类′→V（V）′.自然地图

H（H）*⁢(B类⁢E类′,𝔽2)→H（H）*⁢(B类⁢(2,E类′),𝔽2)

可以使用中的Quillen计算显示为内射[15].

由Robert Guralnick传达

致谢

作者要感谢亚历杭德罗·阿德姆和埃尔根·亚利松的有益讨论。

工具书类

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[2]A.Adem和J.M.Gómez，李群交换性的分类空间，阿尔盖布。地理。白杨。15（2015），第1期，493–535。10.2140/agt.2015.493在谷歌学者中搜索

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收到：2017-02-22

修订过的：2018-02-28

在线发布：2018-03-28

印刷出版：2018年7月1日