2准备工作
让G公司成为一个团队。这个亲-第页拓扑在G公司是其单位邻域基础由正规子群组成的拓扑N个属于G公司具有[G公司:N个]的力量第页.由于指数的正规子群的交集是第页再次具有指数的幂第页，索引的每个正规子群的幂第页包含索引a的幂的特征子群第页（即，所有自同构下的子群不变量G公司). 因此，指数为幂的特征子群第页也在身份上形成邻里基础；我们将在这两个专业的定义之间自由切换-第页拓扑结构。
一个子集S公司属于G公司是第页-可分离的在里面G公司如果S公司在专业版中关闭-第页拓扑结构；如果为每个克∈G公司∖S公司有N个◁第页G公司这样在商图下ϕ:G公司→G公司/N个，的图像S公司不包含的图像克.
对于子集S公司属于G公司假设每个克∈G公司不与的任何元素共轭S公司，存在一个有限第页-组对和一个回注ϕ:G公司→对这样的话ϕ(克)不与的任何元素共轭ϕ(S公司); 等价地假设S公司是第页-可分离。然后我们说S公司是变戏法第页-杰出的在里面G公司.如果克∈G公司，我们说克是魔法第页-区别于G公司如果{克}是魔法第页-与众不同。如果的所有元素G公司是魔法第页-区别开来，那么G公司被称为变戏法第页-可分离的.
对于H（H）的子群G公司，我们这么说G公司诱导完整的pro-第页上的拓扑H（H）或其他H（H）在拓扑上第页-嵌入G公司，如果上的诱导拓扑H（H）同意其亲-第页拓扑结构。也就是说，我们要求任何N个◁第页H（H）有N个′◁第页G公司这样的话N个′∩H（H）≤N个注意，如果H（H）是的正规子群G公司索引的幂为第页，然后G公司诱导全职业选手-第页上的拓扑H（H），因为的任何特征正规子群H（H）是的正规子群G公司.
我们需要专业的语言-第页亲职群体-第页树。本文不需要详细的知识；就目前的目的而言，我们只需要关注通过类比抽象Bass–Serre理论得出的一些定义。让𝒢=(X（X）,G公司∙)是具有有限基图的离散群图X（X）以及顶点和边组G公司v（v）,G公司e（电子）分别为；让G公司是这个群图的基本群，表示为π1(𝒢)或π1(X（X）,G公司∙).有一棵标准树吨=S公司(𝒢)在其中G公司acts，构造如下：顶点（分别是边）集吨由顶点（分别是边）群的陪集组成G公司x个在里面G公司; 也就是说，
V（V）(吨)=∐x个∈V（V）(X（X）)G公司/G公司x个,E类(吨)=∐e（电子）∈E类(X（X）)G公司/G公司e（电子）
夹杂物给出了明显的入射图克G公司e（电子）⊆克G公司x个什么时候x个是的终结点e（电子）.作用的顶点稳定器G公司在吨是G公司x个、和商图G公司\吨是X（X）.
类似地，给定一个pro图-第页组𝒢^(第页)=(X（X）,Γ∙)与基本群体Γ=Π1(𝒢^(第页))=Π1(X（X）,Γ∙)（定义为与抽象案例中相同的通用属性，在pro类别中-第页组），有一个标准树S公司(𝒢^(第页))具有与上述完全相同的形式定义。同样，商图是X（X）顶点稳定器具有预期的形式。
给出离散群的图(X（X）,G公司∙)可以形成pro图-第页组𝒢^(第页)=(X（X）,G公司∙^(第页))通过参加职业比赛-第页完成每组；人们可能会问什么关系Γ=Π1(𝒢^(第页))熊到G公司=π1(𝒢)以及标准树之间的关系。一般来说，这种关系可能很复杂。然而，有一系列条件可以确保行为得到良好控制。
定义2.1。
离散群图𝒢=(X（X）,G公司∙)是第页-有效率的如果G公司=π1(𝒢)是剩余的第页，每组G公司x个在专业版中关闭-第页上的拓扑G公司、和G公司诱导全职业选手-第页每个上的拓扑G公司x个.
如果我们的群图是第页-那么效率很高Γ=G公司^(第页)和抽象标准树S公司(𝒢)规范地嵌入S公司(𝒢^(第页)).
请注意，当G公司是一个免费产品，即𝒢都是微不足道的，G公司当然会诱导全职业选手-第页拓扑及其因子，以及命题中的论证3.2这些是第页-可分离；所以残差的自由积分解第页组总是第页-高效。
以下属性在共轭可分性结果中起作用。
定义2.2。
（profinite）组在（profinite）树上的操作吨被称为k个-非盲的如果任何路径的稳定器吨长度大于k个是微不足道的。
例如，“0-非lindrical”指的是具有平凡边稳定器的操作，而“1-acylindrical”表示边稳定器在顶点组中是异常的。
这个简短的草图足以使论文可读；有关更详细的讨论，请参阅[21，第9章][23]或[22].
关于Fuchsian群、orbifolds和Seifert纤维空间的背景，读者可以参考[25]也是瑟斯顿关于球形物体的笔记[28，第13章]。我们回顾了Seifert光纤空间组或Fuchsian组剩余的标准第页; 有关证据，请参阅[30，第9节]。
引理2.3。
让O（运行）是一个具有非正欧拉特征的可定向球体，因此每个圆锥体O（运行）拥有命令权第页.然后O（运行）有一个定期的学位封面第页这是一个曲面。因此π1球体O（运行）是剩余的第页.
主张2.4。
让第页做一个大人物。让M（M）是一个没有几何形状的赛弗特纤维空间S公司三或S公司2×R（右）.然后π1M（M）是剩余的第页当且仅当所有特殊纤维M（M）拥有命令权第页、和M（M）当具有可定向的底座或形状时第页≠2也就是说，M（M）剩余有第页当基部轨道折叠时的基群O（运行）是Z轴/第页-可定向且具有剩余第页基本组。
3虚拟第页-效率
提议3.1。
让我是可定向紧曲面∑上的本质简单闭曲线。那么对于任何第页，有一些第页-的群商G公司=π1Σ其中的图像我是第页第页-扭转。特别地，G公司诱导完整的pro-第页上的拓扑L（左）=π1我.
证明。
我们将发现，对于每个整数第页，有限第页-的群商G公司这样我是第页第页-扭转。如果我是不分离的，则表示H（H）1(Σ;ℤ)，所以一张合适的地图G公司↠ℤ/第页第页诱导贴图L（左）↠ℤ/第页第页.如果我正在分离，让我们G公司1,G公司2是两个组件的基本组Σ1,Σ2属于Σ∖我.如果Σ我有我作为其唯一的边界分量，那么G公司我是带有生成器的自由组一我,b条我(1≤我≤克)其中我是换向器的产物[一我,b条我]; 现在从定义映射G公司我到'mod-第页第页海森堡集团
ℋ三(ℤ/第页第页)={(1x个z（z）01年001):x个,年,z（z）∈ℤ/第页第页}
通过映射
一1↦(110010001),b条1↦(100011001)
并将其他生成器映射到单位矩阵，以便我是第页第页-扭转元件
(101010001).
如果Σ我有另一个边界分量，那么我也是同源的原始元素Σ我，因此需要一个合适的映射ℤ/第页第页引起满腹牢骚L（左）↠ℤ/第页第页。我们现在可以展示所需的商G公司，根据上述情况划分：当两者Σ我有另一个边界组件，mapG公司→ℤ/第页第页在这种情况下我在∑的同源性中是原始的。什么时候？Σ1除之外没有边界组件我，地图
G公司=G公司1∗L（左）G公司2→ℋ三(ℤ/第页第页)∗ℤ/第页第页ℤ/第页第页=ℋ三(ℤ/第页第页)
当两者同时存在时Σ我有这个属性，映射
G公司=G公司1∗L（左）G公司2→ℋ三(ℤ/第页第页)∗ℤ/第页第页ℋ三(ℤ/第页第页)→ℋ三(ℤ/第页第页)
其中最后的同态标识了海森堡群的两个副本。∎
接下来的一系列命题L（左）也是第页-可分离于G公司; 因为它会第页-可分开的G公司我被下一个命题和分裂我将第页-通过命题提高效率3.5和3.7.
提议3.2。
设∑是一个紧致的可定向曲面，其非空边界不是圆盘。让我成为边界组件。然后L（左）=π1我是第页-可分离于G公司=π1Σ.
证明。
如果∑只有一个边界分量，因此具有正亏格，则传递给正则阿贝尔算子第页-覆盖多个边界组件。然后我提升到这个封面，这足以证明L（左）是第页-当∑有多个边界分量时，可以分离。在这种情况下，L（左）是的自由因子G公司; 也就是说，G公司=L（左）∗F类对于一些自由群体F类.让克∈G公司∖L（左），然后写入克作为缩写词
克=我米1（f）1我米2（f）2…（f）n个,
其中米我∈ℤ,（f）我∈F类除了可能之外都是非平凡的（f）n个（当n个>1)和米1.然后有一个有限第页-群商F类↠对其中没有非平凡的（f）我映射到身份；拿第页大于所有米我，的图像克在商映射下
ϕ:G公司=L（左）∗F类→ℤ/第页第页∗对
是一个缩写词，里面有一些字母对∖{1}; 然后ϕ(克)∉ϕ(L（左）).自ℤ/第页第页∗对是剩余的第页，我们可以传递给有限第页-群商判别ϕ(克)从（有限多）元素ϕ(L（左）); 这个商数第页-组分隔符克从L（左）.因此L（左）是第页-可分离于G公司.∎
定义3.3。
让对是有限的第页-组。A类主要系列对于对是一个序列
1=对n个≤对n个-1≤⋯≤对2≤对1=对
的正规子群对这样每个商对我/对我+1要么微不足道，要么同构于ℤ/第页.
定理3.4（Higman[11]).
让A类,B类是有限的第页-具有公共子群的群A类∩B类=U型.然后A类∗U型B类是剩余的第页当且仅当存在主序列{A类我},{B类我}属于A类,B类这样的话{U型∩A类我}={U型∩B类我}特别是，A类∗U型B类是剩余的第页什么时候U型是循环的。
提案3.5。
设∑是一个紧可定向曲面我是∑上一条基本的分离简单闭曲线。让Σ1,Σ2是两个组件的闭包Σ∖我.让G公司=π1Σ,G公司我=π1Σ我、和L（左）=π1我.然后G公司=G公司1∗L（左）G公司2是一个第页-有效拆分。
证明。
让H（H）◁第页G公司1,对1=G公司1/H（H），并且假设L（左）H（H）/H（H）≅ℤ/第页第页.按命题3.1，有一个第页-群商G公司2↠对2这样L（左）再次与同构ℤ/第页第页.商对1∗ℤ/第页第页对2这样得到的是剩余的第页，所以承认第页-群商问区分对1; 所以合成映射的内核
G公司1→G公司=G公司1∗L（左）G公司2→对1∗ℤ/第页第页对2→问
是H（H）; 所以G公司诱导全职业选手-第页上的拓扑G公司1类似地G公司诱导全职业选手-第页上的拓扑G公司2.
现在如果克∈G公司∖G公司1，写入
克=一1b条1⋯一n个b条n个,
所有这些一我∈G公司1,b条我∈G公司2不在L（左）（可能除外b条n个=1如果n个>1，或者可能一1∈L（左）); 也就是说，写克作为合并自由产品中的简化词。请注意b条1≠1.按命题3.2我们可能会发现H（H）我◁第页G公司我这样每个非平凡的形象b条j个在里面对2=G公司2/H（H）2不存在于L（左）（和类似的对1=G公司1/H（H）1). 假设我在里面对我是第页第页我-扭转，然后取第页=最大值{第页1,第页2}.按命题3.1我们可能会发现K（K）我◁第页G公司我这样的话K（K）我∩L（左）=第页第页L（左）; 然后更换H（H）我由较深的子组H（H）我∩K（K）我。通过这种方式，我们确保L（左）是ℤ/第页第页在两者中对1和对2，我们可以形成合并的免费产品对1∗ℤ/第页第页对2.通过构建形象ϕ(克)属于克低于商ϕ:G公司=G公司1∗L（左）G公司2→对1∗ℤ/第页第页对2是一个带字母的减缩词对2，因此不存在对1.自对1∗ℤ/第页第页对2是剩余的第页通过定理3.4，我们可能会发现第页-群商对1∗ℤ/第页第页对2↠问区别ϕ(克)从对1; 因此G公司→问区分克从G公司1所以G公司1是第页-可分离于G公司.∎
定理3.6（Chatzidakis[6]).
让对是有限的第页-组，A类,B类的子组对、和（f）:A类→B类同构。假设对有一个主要系列{对我}这样的话（f）(A类∩对我)=B类∩对我为所有人我和诱导图
（f）我:A类对我∩对我-1/对我→B类对我∩对我-1/对我
是所有人的身份我.然后对嵌入有限第页-组吨在哪儿（f）是由共轭引起的。因此，HNN扩展对∗A类是剩余的第页.
提案3.7。
设∑是一个紧可定向曲面我是∑上不可分离的简单闭合曲线。选择常规邻里我×[-1,1]属于我以∑为单位，让Σ1=Σ∖(我×(-1,1)).让G公司=π1Σ,H（H）=π1Σ1、和A类=π1(我×{-1}),B类=π1(我×{+1}).让（f）:A类→B类是自然同构。然后是HNN扩展G公司=H（H）∗A类是一个第页-有效拆分。
证明。
首先我们要证明G公司诱导全职业选手-第页上的拓扑H（H）.让对=H（H）/γn个(第页)(H（H）)是中低层之一第页-的商H（H）、和ϕ:H（H）→对商图。让一,b条表示的生成器ϕ(A类),ϕ(B类)注意，由于交换子子群和下中心项第页-级数是动词子群，有一个交换图
以便对ab公司=H（H）ab公司⊗ℤ/第页n个-1。的图像一在里面对因此至少有秩序第页n个-1; 根据下中心级数的定义对最多有订单第页n个-1因此A类在里面对注入对ab公司.自对是的特征商H（H）并且有一个自同构H（H）拿一到b条，的顺序b条也将是第页n个-1此外，一和b条映射到的同一元素对ab公司现在构建一个主要系列(对我)对于对谁的第一个n个术语是主要系列术语的前图像对ab公司它与对ab公司由的图像生成一.然后针对我≥n个，我们有ϕ(A类)∩对我=ϕ(B类)∩对我=1和用于我<n个定理的条件3.6由施工人员持有。因此对∗ϕ(A类)是剩余的第页，我们可以采取第页-群商对∗ϕ(A类)→问其中没有元素对被杀害；然后是合成映射的内核
H（H）→G公司=H（H）∗A类→对∗ϕ(A类)→问
是γn个(第页)(H（H）)根据需要。
为了证明这一点H（H）是第页-可分离于G公司，按照命题证明进行3.5; 即写入克∈G公司∖H（H）作为HNN扩展意义上的简化词，并取足够深的下中心第页-商对=H（H）/γn个(第页)(H（H）)因此克在里面对∗ϕ(A类)也是一个简化的单词，因此不在对如上所示，对∗ϕ(A类)剩余的第页，所以承认第页-群商问识别克从的图像对; 这个商数问属于G公司展示了H（H）是第页-可分离于G公司.∎
提议3.5和3.7综合得出以下更一般的结果：
第3.8号提案。
设∑是一个紧可定向曲面我1,…,我n个是∑中成对不相交、非同位素、基本简单闭合曲线的集合。然后沿着我我给出了一个第页-群分解的有效图π1Σ.
以下命题是[7，命题0.8，0.10]。
引理3.9。
让对是有限的第页-分组并假设ψ∈Aut（奥特）(对)对F类第页-向量空间H（H）1(对;Z轴/第页)那么ψ有第页-电力订单。
提醒读者，如果某些权力ψ-身份证件是零映射。引理3.9用于[14]证明某些半直积是剩余的第页。警告读者在arXiv版本中[13]那篇论文的引理3.9是在有限幂零群的上下文中声明的，其中它为假。
引理3.9让我们能够完整地描述pro-第页某些半直积上的拓扑。首先我们修正一些符号。让G公司,C类是有限生成群，并且让Φ:C类→Aut（奥特）(G公司)是同态。表示自同构Φ(c（c）)通过Φc（c）并定义半直积G公司⋊C类成为一组G公司×C类配备群组操作(克1,c（c）1)⋆(克2,c（c）2)=(克1Φc（c）1(克2),c（c）1c（c）2).确定G公司具有{(克,1):克∈G公司}和C类具有{(1,c（c）):c（c）∈C类}存在一个函数（当然不是同态）u个来自半直积G公司⋊C类直接产品G公司×C类“忘记地图Φ”，这是两组基础集上的恒等式。注意，如果N个是的特征正规子群G公司和D类是的子组C类，然后N个⋊D类是的子组G公司⋊C类和u个(N个⋊D类)=N个×D类.
建议3.10。
让G公司,C类是有限生成群，并且让Φ:C类→Aut（奥特）(G公司)是同态。假设每个自同构Φc（c）联合行动H（H）1(G公司;F类第页)然后是健忘功能u个:G公司⋊C类→G公司×C类是一个同胚，其中两个组都被赋予它们的pro-第页拓扑结构。
证明。
我们首先声称，这足以证明以下两种说法：
对于每个U型◁第页G公司⋊C类（即每个基本开放邻里为1）V（V）⊆G公司×C类打开，以便1∈V（V）⊆u个(U型).
对于每个U型◁第页G公司×C类一个1的基本开放邻域，存在一个集合V（V）⊆G公司⋊C类打开，以便1∈V（V）⊆u个-1(U型).
也就是说，邻里基地1对。对于左乘法(克,1)和右乘法(1,c（c）)作为地图都是连续的G公司×C类和上的G公司⋊C类和通勤u个因此，如果U型⊆G公司⋊C类是一个基本的开放社区(克,c（c）)，然后查找V（V）⊆G公司×C类这样的话1∈V（V）⊆(克-1,1)u个(U型)(1,c（c）-1)给出了一个(G公司×C类)-开式集合(克,1)V（V）(1,c（c）)展示出这一点u个(U型)是一个G公司×C类-邻里(克,c（c）)因此（i）意味着u个是一张开放的地图；类似地（ii）暗示u个是连续的。
让我们证明声明（i）。如果U型◁第页G公司⋊C类是1的基本开放邻域，那么U型∩G公司◁第页G公司和U型∩C类◁第页C类，所以V（V）=(U型∩G公司)×(U型∩C类)是正常的第页-幂指数子群G公司×C类，也是(G公司×C类)-打开。阿尔索1∈V（V）⊆u个(U型)因为如果(克,1),(1,c（c）)∈U型然后(克,c（c）)=u个((克,1)⋆(1,c（c）))∈U型因此（i）持有和u个是一个开放映射。
更困难的陈述是（ii）。让U型=N个×D类成为1英寸的基本开放社区G公司×C类，其中N个◁第页G公司,D类◁第页C类和N个具有以下特征G公司.然后N个⋊D类=u个-1(U型)是的子组G公司⋊C类索引的幂为第页; 然而，这不一定是正常的。我们将找到一个更深层的子群，它在G公司⋊C类，索引仍为幂第页.
现在H（H）1(G公司/N个;𝔽第页)是的商H（H）1(G公司;𝔽第页)，其中Φc（c）为每一个c（c）∈C类; 所以根据引理3.9，由Φc（c）在G公司/N个拥有命令权第页因此C类→Aut（奥特）(G公司/N个)拥有命令权第页; 所以图像是有限的第页-组。让K（K）◁第页C类成为这张地图的核心。每个元素D类∩K（K）行为琐碎G公司/N个，所以我们有一个商映射
G公司⋊C类→(G公司/N个)⋊C类→(G公司/N个)⋊(C类/D类∩K（K）)
其内核V（V）=N个⋊(D类∩K（K）)因此是G公司⋊C类索引的幂为第页、和1∈V（V）⊆u个-1(U型)因此（ii）按要求持有。∎
备注。
请注意，专业-第页组上的拓扑G公司×C类是专业的产品-第页的拓扑G公司和C类特别是，如果两者G公司,C类是剩余的第页，那么也是G公司×C类，因此在上述命题的条件下G公司⋊C类也是残差第页.
定理3.11。
让M（M）是一个紧凑的纤维3流形，具有纤维∑和单值⌀，其中∑是具有负Euler特性的曲面。让第页做一个大人物。然后M（M）有一个带有第页-高效的JSJ分解。
证明。
不失通用性M（M）和∑是可定向的。然后，可能在对单峰进行同位素分析之后M（M）不相交非同位素本质简单闭合曲线集合中的相交∑{我1,…,我n个}它们由单值⌀排列。这个我我将∑分为若干个子曲面Σ1,…,Σ米.单峰作用于Σj个。JSJ分解的每一部分都对应于此操作的一个轨道，并在该轨道的任何元素上分布。如果n个j个是轨道的大小Σj个，然后ϕn个j个作用于Σj个定期或作为伪阿诺索夫。单峰⌀也作用于H（H）1(Σ;𝔽第页); 让k个为中的顺序Sym公司({Σ1,…,Σ米})×Sym公司({我1,…,我n个}).最后，取一些倍数k个′属于k个这样的话ϕk个′根据每个人的身份行事H（H）1(Σj个;𝔽第页).让ψ=ϕk个′然后让M（M）~是指数为单值ψ的∑上的曲面束k个′封面M（M）然后ψ固定每个Σj个和我我，并对每个Σj个定期或作为伪阿诺索夫，以便JSJ toriM（M）~正是托里岛吗我我×𝕊1，JSJ分解的部分是映射toriM（M）~j个=Σj个⋊ψ𝕊1。我们声称M（M）~有第页-高效的JSJ分解。我们必须证明每个顶点（分别是边组）π1(Σj个⋊ψ𝕊1)（分别为边缘组π1(我我×𝕊1))是第页-可分离并继承完整的pro-第页拓扑来自π1M（M）~。我们证明了顶点群的这一说法，证明了边群是相似的。
选择基点x个∈Σj个还有一个环γM（M）~j个横穿纤维并穿过x个γ的同伦类给出了商映射的分裂ℤ来自纤维，因此给出了π1M（M）~具有π1Σ⋊ψℤ其中顶点组π1M（M）~j个嵌入为π1Σj个⋊ψℤ.健忘功能u个:π1Σ⋊ψℤ→π1Σ×ℤ现在发送π1Σj个⋊ψℤ到π1Σj个×ℤ.ψ对每个H（H）1(Σ我;𝔽第页)通过构造是唯一的，因此对H（H）1(Σ;𝔽第页).因此通过命题3.10,u个是成对的同胚
(π1M（M）~,π1M（M）~j个)=(π1Σ⋊ψℤ,π1Σj个⋊ψℤ)→(π1Σ×ℤ,π1Σj个×ℤ)
按命题3.8,π1Σj个是第页-可分离于π1Σ并继承了它的全部优点-第页拓扑结构。因此，同样适用于π1Σj个×ℤ在产品拓扑中；同胚u个现在产生结果。∎
4共轭第页-可分性
在[31]Wilton和Zalesskii证明了共轭可分性的组合定理。这一点的证明使用了作用于超限树的超限群理论。pro的并行理论-第页群产生以下定理：
定理4.1。
让G公司=(X（X）,G公司∙)是具有共轭性的群的图第页-可分离顶点群G公司v（v）.让G公司=π1(G公司)假设群图G公司是第页-高效，并且G公司^(第页)关于标准树G公司^(第页)=(X（X）,G公司∙^(第页))是2-非线形的。假设以下条件适用于任何顶点v（v）属于X（X）和任何入射边缘e（电子）,（f）属于v（v）在里面X（X）:
对于任何克∈G公司v（v）双陪集G公司e（电子）克G公司（f）是第页-可分离于G公司v（v）,
边缘组G公司e（电子）是夫妻关系第页-区别于G公司v（v）,
闭包的交点G公司e（电子）和G公司（f）在专业领域-第页完成等于专业-第页完成交叉口，即。G公司¯e（电子）∩G公司¯（f）=G公司e（电子）∩G公司（f）^(第页).
然后G公司是魔法第页-可分离。
证据在各个方面都是对[31]，我们不会在这里复制它。困难在于应用定理4.1在pro中不存在任何重锤性质，如子群可分性或双陪集可分性-第页世界。相反，我们必须针对特定应用程序中涉及的特定情况验证这些属性，并抵制试图证明结果过于广泛的诱惑。
因此，当边缘组上的所有条件都不重要时，我们有：
推论4.2。
共轭的自由产物第页-可分群是共轭群第页-可分离。
我们现在证明了一系列引理，旨在证明定理的条件4.1在富克斯集团和第页-有效的图流形。许多引理密切遵循profinite拓扑的类似结果；如果全部或部分是这种情况，结果将在括号中引用。
在[17]Niblo使用以下“加倍技巧”来推导双陪集可分性。证明对专业人士同样有效-第页拓扑，所以我们将使用它来检查定理的条件（1）4.1.
定理4.3（Niblo[17]).
让K（K）,L（左）是的子群G公司.让τ表示交换两个因子的对合G公司∗L（左）G公司.如果〈K（K）,K（K）τ〉是第页-可分离于G公司∗L（左）G公司然后是双陪衬斯里兰卡是第页-可分离于G公司.
我们顺便指出，上述结果也在[24]对于免费产品上更通用的profinite拓扑结构的情况。
引理4.4。
设∑是一个可定向曲面，G公司=π1Σ然后让D类1,D类2是的最大外周子群G公司然后是双陪衬D类1D类2是第页-可分离于G公司.
证明。
按命题3.2我们可以假设D类1≠D类2。假设D类1和D类2从边界组件产生∂1和∂2∑的（可能∂1=∂2). 选择基点x个在∂1; 进行共轭，我们可以假设D类1由循环的同伦类生成∂1基于x个.选择埋弧γ连接x个到某一点∂2这样的话D类2由基于at的循环的同伦类生成x个沿着γ向∂2，一次∂2，然后返回x个沿γ。在这种情况下∂2=∂1选择γ作为基于的循环x个.
γ与其自身的有限多个自相交给出了∑中无基环的有限集合；传给普通人第页-功率度盖π:Σ~→Σ这样就不会出现任何循环；这种掩护存在于π1Σ是剩余的第页此外，如果∂1=∂2，我们可以使用第页-可分性D类1=π1(∂1,x个)选择Σ~使得γ与D类1模数π1Σ~.让H（H）◁第页G公司是的相应子组G公司.选择电梯x个~属于x个到Σ~作为一个新的基点。然后通过构造γ提升至嵌入的弧γ~在里面Σ~开始于x个~.让组件π-1(∂1)包含x个~表示~∂1，以及的组件π-1(∂2)包含的另一个端点γ~是~∂2。请注意~∂1≠~∂2因为如果γ是一个环，Σ~被构造为使得γ既不会上升到回路，也不会上升到两个端点都在上的弧~∂1（因为这样的提升意味着γ与D类1模数H（H）). 然后D类1∩H（H）由循环生成~∂1基于x个~、和D类2∩H（H）由基于at的循环的同伦类生成x个~它沿着γ~到~∂2，一次~∂2，然后返回x个~沿着γ~.
请注意第页-可分性(D类1∩H（H）)(D类2∩H（H）)在里面H（H）暗示第页-可分性D类1D类2在里面G公司; 对于后者，双陪集是前者的有限多个平移的并集。我们现在可以应用“加倍技巧”。粘贴两份副本Σ~,Σ~τ属于Σ~沿着~∂1获取曲面F类.子组〈(D类2∩H（H）),(D类2∩H（H）)τ〉属于π1(F类,x个~)=H（H）∗D类1∩H（H）H（H）现在是某个地下的基本群F类′属于F类其边界是F类; 具体来说，采取F类′成为一个正常的邻居
𝒩(γ∪~∂2∪γτ∪~∂2τ).
现在〈(D类2∩H（H）),(D类2∩H（H）)τ〉=π1(F类′,x个~)是第页-可分离于H（H）按命题3.5，所以根据定理4.3双陪集(D类1∩H（H）)(D类2∩H（H）)是第页-可分离的H（H）并且证明是完整的。∎
推论4.5。
让G公司是2-orbifold的基本群O（运行）; 假定G公司是剩余的第页还有那个O（运行）是可定向的，如果第页≠2.让D类1,D类2是的最大外周子群G公司然后是双陪衬D类1D类2是第页-可分离于G公司.
证明。
作为G公司是剩余的第页，有一个常规索引第页封面O（运行）这是一个可定向曲面∑。如果H（H）=π1Σ，然后(D类1∩H（H）)(D类2∩H（H）)是第页-可分离于H（H）如上所述，这意味着D类1D类2是第页-可分离于G公司.∎
推论4.6。
让G公司是Seifert光纤空间的基本组M（M）具有非空边界；假定G公司是剩余的第页然后让D类1,D类2是的最大外周子群G公司然后是双陪衬D类1D类2是第页-可分离于G公司.
证明。
同样，它足够传递给常规第页-覆盖；因为G公司是剩余的第页,G公司接纳一个普通人第页-表格封面Σ×𝕊1，其中∑是一个可定向曲面。如果π:Σ×𝕊1→Σ是投影，那么
D类1D类2=π∗(D类1)π∗(D类2)×ℤ
因此结果如下。∎
回想一下，2轨道的边界不一定与边界相同∂顶部下面的表面。通过群作用，将具有边界的球曲面局部建模为上半平面开子集的商，球曲面的边界点来自上半平面的边界点。的某些部分∂顶部可能确实是球形边界的一部分；然而，其中一些∂顶部可以作为“反射器”曲线包含在奇异轨迹中。反射器曲线内点的各向同性组为ℤ/2反射器曲线的端点可能具有各向同性子群为二面体的“角反射器”点。或者，反射器曲线的端点可以再次具有各向同性组ℤ/2，该点的局部模型是上半平面模量年-轴。由于反射为2阶，当第页≠2反射器曲线不会出现在带有残差的圆形中第页基本组。当它们出现时，有一个标准的“无反射器”指数2覆盖的球体，没有反射器曲线；角反射器在本封面中成为锥形点。如果球体的下表面是可定向的，则称其为可定向的。
引理4.7（参见[30，引理6.3]）。
让O（运行）是一个双曲2-球面，具有非空边界和无反射曲线。让∂1,∂2是表示组件的曲线∂O（运行）.假设π1球体O（运行）是剩余的第页.让Γ=π1球体O（运行）^(第页)，并让Δ我是Γ中的闭包π1∂我.然后针对γ我∈Γ，或者Δ1γ1∩Δ2γ2=1或∂1=∂2和γ2γ1-1∈Δ1.
证明。
通过共轭γ1-1我们可以假设γ1=1; 去掉下标γ2=γ。请注意Δ1∩Δ2γ无扭转，因此传递给有限指数子群就足够了Γ′并证明这一点Δ1∩Δ2γ∩Γ′=1假设这个交点是非平凡的。
因为O（运行）是双曲线π1球体O（运行）是剩余的第页，有一些固定的封面O（运行）′属于O（运行）以程度的力量第页具有两个以上边界分量；那么给定任意一对边界分量，π1球体O（运行）′具有作为循环群的自由积的分解，其中有两个边界分量。让Γ′是Γ的相应有限指数正规子群。请注意，对于某些集合{小时我}陪集的代表Γ′∩π1球体O（运行）在里面π1球体O（运行）（给陪衬代表Γ′单位：Γ），每个Δ2小时我是组件的基本群的闭包∂O（运行）′; 这样设置Δ三=Δ2小时我哪里γ=小时我γ′对一些人来说γ′∈Γ′此外，如果O（运行）被相同的边界组件覆盖O（运行）′，则它们必须是相同的边界组件O（运行）; 也就是说，如果Δ1∩Γ′=Δ三∩Γ′，然后Δ1=Δ三.
现在的十字路口Δ1,Δ三具有Γ′是自由因素；也就是说，
Γ′=(Δ1∩Γ′)∐(Δ三∩Γ′)∐Φ,
其中Φ是自由职业选手-第页循环群的乘积（除非Δ1=Δ三，何时Γ′=(Δ1∩Γ′)∐F类). 让吨是此自由积分解的标准图Γ′.然后Δ1∩Γ′=Γv（v）′,Δ三∩Γ′=Γw个′对于顶点v（v）,w个∈吨。上的操作吨是0-非线性的，因为所有的边稳定器都是平凡的；所以对于γ′∈Γ′，十字路口
Δ1∩Δ三γ′∩Γ′=Γv（v）′∩Γγ′-1⋅w个′
只有当v（v）=γ′-1⋅w个，所以
Δ1∩Γ′=Δ三∩Γ′
（因此Δ1=Δ三)和γ′∈Δ1.
我们已简化到以下情况Δ2小时我=Δ1必须证明这一点D类1=D类2和小时我∈D类2，因为我们的原始元素小时我γ′=γ∈Γ在中Δ2两个不同的外围子群的交集π1球体O（运行）是平凡的，并且外围子群与它们的正规化子一致π1球体O（运行）。假设D类2小时我≠D类2.我们可以传给普通球员第页-的封面O（运行）到哪个小时我不起重，且具有两个以上的边界构件；所以电梯D类2小时我和D类2是不同的自由因子，因此它们在pro中的闭包-第页完成有琐碎的交集。但是Δ1∩Δ2≠1通过假设，所以实际上D类2小时我=D类2因此小时我∈Δ2=Δ1根据需要。∎
引理4.8([31，建议5.4]）。
让L（左）是具有双曲基或双曲形非空边界的Seifert纤维空间O（运行）。假设π1L（左）是剩余的第页.让Λ=π1L（左）^(第页)、和Z轴是的子组π1L（左）由普通纤维生成。让Δ1,Δ2是的外围子群H（H）; 也就是说，在H（H）外周子群的闭包π1L（左）.然后Δ1∩Δ2=Z轴¯除非Δ1=Δ2，其中Z轴¯是的结束Z轴单位为∧。
证明。
给定引理4.7，这与引用论文中的证明完全相同。∎
对于接下来的两个命题，我们使用以下符号。让G公司是a的基本组第页-具有群分解图的有效图流形(X（X）,G公司∙).让Γ=Π1(𝒢^(第页))成为专业人士-第页完成G公司.让S公司(𝒢^(第页))是这个pro图形的标准图形-第页组。对于顶点组G公司v（v）属于𝒢，让Z轴v（v）是由其正则纤维生成的子群（“正则纤维子群”）。让Z轴¯v（v）结束Γv（v）=G公司v（v）^(第页)并将此符号扩展到S公司(𝒢^(第页))通过共轭作用。
引理4.9。
让e（电子）=[v（v）,w个]是…的边缘S公司(G公司^(第页)).让Z轴v（v）和Z轴w个是的标准纤维子群G公司v（v）和G公司w个分别是。然后〈Z轴¯v（v）,Z轴¯w个〉◁第页Γe（电子）等等Z轴¯v（v）∩Z轴¯w个=1.
证明。
在Γ中进行共轭后，我们可以假设e（电子）是抽象基本群的标准图中的边G公司，即。Γe（电子）是某个外周子群Γ中的闭包G公司v（v）基本计算表明，如果ℤ2生成索引子组第页第页米的子组ℤ2，其中米是互质的第页，然后生成任意第页-的群商ℤ2分度的第页第页; 因此生成索引第页第页的子群ℤ第页2结果如下。∎
建议4.10（参见[30，提议6.8][31，引理5.5]）。
让M（M）成为第页-所有Seifert纤维空间都具有双曲基或双曲形的有效图流形。然后Γ=π1M（M）^(第页)关于标准图S公司(G公司^(第页))是2-非线形的。
备注。
当第页≠2; 一般来说，它可以通过传递到索引2封面来实现。
证明。
选择长度为3英寸的路径S公司(𝒢^(第页))由边组成e（电子）0,…,e（电子）2连接顶点v（v）0,…,v（v）三.通过引理4.8,Γe（电子）0∩Γe（电子）1=Z轴¯v（v）1和Γe（电子）1∩Γe（电子）2=Z轴¯v（v）2; 但是Z轴¯v（v）1∩Z轴¯v（v）2根据前面的引理是微不足道的。所以⋂我=02Γe（电子）我根据需要是微不足道的。∎
建议4.11。
让O（运行）是一个双曲2-球面，具有非空边界和无反射曲线。让G公司=π1球体O（运行）然后假设G公司是剩余的第页.让D类=〈我〉是边界分量的基本群O（运行）.然后D类是魔法第页-杰出的G公司.
证明。
首先假设D类是的自由因子G公司，说吧G公司=D类∗G公司′。假设克∈G公司在中不是共轭的G公司任何权力我.写入克作为缩写词
克=克1d日1克2…克n个d日n个,
哪里克我∈G公司′,d日我∈D类都是非平凡的，除了可能克1,d日n个.我们可以确保克1≠1通过共轭d日1.自克不是共轭成D类，至少发生以下情况之一：
对一些人来说我≠n个/2,d日我≠d日n个-我-1,
既然上述所有都失败了，我们就表示克作为的共轭d日n个/2.通过约化形式的唯一性，任何约化形式具有上述任何性质的元素都不能共轭成D类; 用于编写任何小时∈G公司作为一个简化的单词，小时-1d日小时已被写为简写单词，没有上述属性。
现在G公司是剩余的第页，所以我们可能会发现有限第页-群商D类→对1,G公司′→对2这样就没有非平凡的d日我或克我在商映射下消失，因此上述列表中的任何属性都保留在商中；也就是说，如果ϕ:G公司→对1∗对2是商映射，ϕ(克)是中的缩写词对1∗对2，具有上述属性之一，因此不共轭为对1.自对1是有限的，并且对1∗对2是魔法第页-可分离，有一个第页-群商ψ:对1∗对2→问这样的话ψϕ(克)不是共轭成ψϕ(D类)=ψ(对1); 因此D类是夫妻关系第页-杰出的G公司.
我们现在处理一般情况。为此，让克∈G公司假设是这样γ-1克γ=我α∈D类¯对一些人来说γ∈G公司^(第页),α∈ℤ第页。请注意克是无限级的。让F类◁第页G公司代表一个普通人第页-功率等级覆盖O（运行）具有多个边界分量，因此D类∩F类是的自由因子F类。请注意γ=小时δ对一些人来说小时∈G公司,δ∈F类¯.对于一些n个=第页第页，我们有克n个∈F类; 和
δ-1(小时-1克n个小时)δ=γ-1克n个γ=我n个α∈F类∩D类¯.
第一部分，因为F类∩D类是魔法第页-区别于F类和δ∈F类¯，存在一些（f）∈F类这样的话（f）-1(小时-1克n个小时)（f）∈F类∩D类.因此克′=(小时（f）)-1克(小时（f）)是抛物线元素G公司其中的一些力量在于D类; 由于Fuchsian群的抛物子群要么平凡相交，要么相等，因此可以得出如下结论克′∈D类以便克共轭成D类根据需要。∎
引理4.12。
让O（运行）是剩余2个基本群的双曲2-球面G公司设ρ为O（运行）具有各向同性群Z轴/2=〈τ〉然后τ是在中识别的共轭2G公司.
证明。
首先考虑无反射器2级盖O（运行）′属于O（运行）通过沿反射器曲线加倍获得，以及相应的指数2子群G公司′属于G公司。的2个元素的顺序G公司不在G公司′正是反射器元件的共轭；圆锥体点O（运行）提升至O（运行）′，以及角反射器的每个各向同性组与G公司′正是其旋转子组。因此，将τ与其他反射器元件区分开来就足够了。所以让我们ρ′是不同的反射曲线O（运行），具有各向同性组〈τ′〉.取圆形的商O（运行）通过塌陷边界分量邻域的补码∂顶部(O（运行）)包含ρ。如果此组件不包含ρ′，那么在这个商组中τ′变得微不足道；所以这个商orbifold的标准无反射覆盖产生一个商ℤ/2区分τ和τ′。通过使每个角反射器的各向同性组发生倾斜，以获得ℤ/2⊕ℤ/2，其中两个入射反射器曲线生成两个因子。我们剩下的是一个直角Coxeter群，其中τ,τ′构成标准发电机组的一部分；因此，它们在一开始就有不同的图像ℤ/2-同调，因此在这个商中不是共轭的G公司这就完成了证明。∎
定义4.13。
A类等级制度（2-）orbifold指不在以下列表中的任何2-orbifold:
一个圆盘或Möbius乐队，带有∂顶部完全由反射器曲线组成，并且具有最多一个锥点和最多三个角反射器。
请注意，在上述定义中，任何层次化的圆形封盖的无反射器封盖也是层次化的。
这个定义的原因是所有等级的圆形O（运行）接受以下类型的“层次结构”。如果orbifold有任何真正的边界曲线或圆弧，则沿圆弧切割，两个端点位于真正的边界线/圆弧上（即沿具有平凡基本群的区间）或沿着一条弧，其一端位于真实边界曲线/弧上，另一端位于反射曲线上（即沿反射的区间商，具有基本群的1-球面ℤ/2)允许我们将orbifold基本组分解为ℤ,ℤ/2∗ℤ/2、和第页-沿着的副本粘贴的组ℤ/2或琐碎的群体。注意，在这种情况下，无反射器指数2子组相应地分解为ℤ和一系列第页-组。
当∂顶部由反射器曲线组成，以及O（运行）不在上述列表中，仍可以获取层次结构。事实上，我们不会在续集中使用这种层次结构，但它使“层次结构”的定义更加一致。层次结构中的第一阶段如下所示。如果O（运行）是一个圆盘或Möbius带，带有反射器边界和至少四个角反射器，让我是一个嵌入的1-球面，其端点位于反射器曲线上，以便至少有两个角反射器位于我; 注意orbifold基本群我是的副本ℤ/2∗ℤ/2沿着它G公司拆分。如果O（运行）是一个有反射面边界的圆柱体，选择一个嵌入的1-圆形我每个反射器曲线上有一个端点；再一次G公司分裂ℤ/2∗ℤ/2=π1球体我。否则，选择一条基本的简单闭合曲线我在O（运行）其不通过任何锥点；除了上述列表中出现的那些外，任何orbifold都存在这样的曲线。
定理4.14。
让G公司=π1球体O（运行）是残差第页品红组，其中O（运行）是双曲线2-球面，当第页≠2进一步假设O（运行）是分层的。然后G公司是魔法第页-可分离。
证明。
我们注意到G公司由上述层次给出的满足定理的条件4.1。首先考虑以下情况O（运行）没有反射器曲线；这涵盖了以下所有情况第页≠2.何时O（运行）有（真正的）边界，结果来自推论4.2从那时起，我们可能会分解G公司作为自由基和第页-组。否则，我们有一个分裂G公司沿着一条简单的闭合曲线，作为具有（真）边界的Fuchsian群的合并自由积或HNN扩张，这是共轭的第页-可分离。传到定期封面O（运行）这是一个表面，沿着我是第页-通过命题有效3.8; 因此G公司是第页-高效。关于标准职业球员的行动-第页根据引理，分裂树是1-非线性的4.7.定理中的其余条件（1）、（2）、（3）4.1由推论持有4.5，命题4.11、和引理4.7分别是。因此我们可以应用定理4.1得出结论G公司是夫妻关系第页-可分离。
现在让我们第页=2假设是这样O（运行）具有反射器曲线。让O（运行）′是标准的无反射器2级覆盖O（运行）通过加倍获得O（运行）沿其反射器曲线并用圆锥体点替换任何角反射器。让G公司′=π1球体O（运行）′。请注意O（运行）′是一个层次化的圆形。让克1,克2∈G公司在pro-2完成中共轭G公司^(2).如果克1∈G公司′，然后克1夫妻关系在G公司′，因此在G公司通过引理4.15下面，我们就完成了。所以假设克1（因此克2)在中G公司∖G公司′.如果克1具有顺序2，那么由于G公司∖G公司′在各向同性反射曲线组中，我们通过引理完成4.12.
所以假设克1是无限级的。让γ∈G公司^(2)是这样的克1=克2γ.共轭克2通过元素τ∈G公司′，我们可以假设γ位于群中G公司′^(2).然后克12共轭于G公司′^(2)到克22; 自从G公司′是共轭2-可分的，它们是共轭的G公司′.由元素共轭后G公司′因此我们可以假设克12=克22.
我们声称，富克斯群的任何无穷级元素最多有两个平方根，不同的是反射。对于if克=小时2那么是双曲线小时双曲线的不动点与克，因此轴相同。的翻译长度小时沿着这个轴是克，决定小时直到轴上的反射。如果克=小时2又是抛物线克,小时具有相同的固定点和小时是抛物线。将此不动点置于双曲平面上半空间模型的无穷远处，克和小时由它们在x个-轴和平移x个↦x个+一正好有一个平方根x个↦x个+一/2.
因此，要么克1=克2根据需要或其中之一克1,克2方向保持和方向反转。在后一种情况下克1和克2方向同态下有不同的图像G公司→ℤ/2，因此不能在中共轭G公司^(2)证明到此结束。∎
由于共轭可分性不是一个可公度不变量（参见[8,5,16]). 在接下来的内容中，我们提醒读者“打开子组”H（H）≤第页G公司'这些是G公司索引的幂为第页这样的话H（H）包含的一些正规子群G公司索引的幂为第页。请注意G公司诱导完整的pro-第页这样的拓扑H（H），并注意，并非所有子组的索引都是幂第页必须是开放的（例如对称组S公司第页-1≤第页S公司第页对于第页≥5).
引理4.15（参见[26，引理1]）。
让克∈G公司，并假设H（H）≤第页G公司在中打开G公司和包含克.如果克是魔法第页-区别于H（H）那就是魔法第页-区别于G公司.
证明。
如果{克1,…,克n个}是右陪集的完整集合H（H）在里面G公司，然后
克G公司=⋃我=1n个(克H（H）)克我
其中上标表示共轭。根据假设克H（H）在中关闭H（H），因此在G公司; 因此，自克G公司是翻译的有限并集克H（H），魔法课克G公司在中关闭G公司和克是魔法第页-区别于G公司.∎
建议4.16([27，定理3.9]）。
让G公司是包含自由群或曲面群的群F类◁第页G公司。然后是无限阶的元素G公司是魔法第页-与众不同。
证明。
证明与[27]，注意在那里构造的所有有限索引子群都是开放的，并且索引的幂为第页在目前的情况下。∎
引理4.17([27，引理3.8]）。
让G公司成为一个团队，A类◁第页G公司。假设A类是残差第页阿贝尔群。然后G公司是魔法第页-可分离。
定理4.18。
让O（运行）是一个2圆形，假设G公司=π1球体O（运行）剩余的第页还有那个O（运行）当第页≠2.然后G公司是魔法第页-可分离。
证明。
如果O（运行）那就不是双曲线了G公司有一个阿贝尔子群A类◁第页G公司，所以我们是由引理完成的4.17.根据定理4.14我们简化为定理陈述中出现的那些球形4.14.接受克∈G公司; 我们必须证明这一点克是夫妻关系第页-与众不同。按命题4.16，不失通用性克比如说是有限阶第页n个.自G公司是剩余的第页，有任意大的第页-群商ϕ:G公司→对其中〈克〉注射。选择|对|足够大H（H）=ϕ-1(〈ϕ(克)〉)最多具有理性欧拉特征-3。考虑定义4.13，我们看到所有的非层次2-orbifold都具有严格大于-3的Euler特征。所以H（H）是层次2 orbifold的基本群。然后H（H）是魔法第页-通过定理可分离4.14，所以克是魔法第页-区别于H（H）。请注意H（H）≤第页G公司是的开放子组G公司包含克，因此克魔术的区别在于G公司通过引理4.15。所以G公司是夫妻关系第页-可分离。∎
给定定理4.18接下来的两个定理来自于[15]通过简单地检查所构造的所有有限指数子群可以被选为指数的正态幂第页.
定理4.19([15，定理3.7]）。
让G公司包含可定向曲面子组π1Σ◁第页G公司.然后G公司是第页-可分离的结合。
引理4.20([15，引理4.2]）。
让H（H）是一个包含正常值的组第页-幂指数定向曲面子群。假设G公司是H（H）由有限第页-组。然后G公司包含指数为幂的法向可定向曲面子群第页所以才是魔法第页-可分离。
定理4.21（参见Martino[15]).
让G公司是具有双曲基或双曲形的Seifert纤维空间的基本群。假设G公司是剩余的第页.然后G公司是魔法第页-可分离。
证明。
首先假设第页≠2然后让克,克′是该组的非共轭元素G公司=π1M（M）.让小时表示的正则纤维的同伦类M（M）然后让O（运行）是的商的球形M（M），这样我们就有了一个中心分机
1→〈小时〉→G公司→π1球体O（运行）→1
如果克,克′在里面π1球体O（运行）不是共轭的，我们是通过定理完成的4.18.所以假设克,克′共轭于π1球体O（运行）; 在变戏法之后，我们可以假设克′=克小时n个对一些人来说n个。选择一些k个这样的话第页k个>|n个|并考虑商ϕ:G公司→G公司′=G公司/〈小时第页k个〉注意，富克斯组中的集中器是循环的，因此克在里面π1球体O（运行）是的副本ℤ2; 所以如果x个∈G公司′共轭物ϕ(克)到ϕ(克小时米)对一些人来说米那么事实上x个与…通勤ϕ(克)在里面G公司′，因此ϕ(克′)不与共轭ϕ(克)在里面G公司′.通过引理4.20,G公司′是魔法第页-分开，我们就完了。
现在让我们第页=2; 这里的区别是O（运行）可能是不可定向的。让G公司+是的索引2子组G公司由集中的元素组成小时.如果克∈G公司+，然后克是魔法第页-区别于G公司+，因此在G公司通过引理4.15.所以假设克∈G公司∖G公司+然后让克′∈G公司是非共轭的克同样，处理这个案子就足够了克′=克小时n个现在，从克-1小时克=小时-1,克共轭于克小时2k个为所有人k个; 所以n个很奇怪。考虑商ϕ:G公司→G公司′=G公司/〈小时2〉，它是共轭2-可分的。假设x个∈G公司′共轭物ϕ(克)到ϕ(克′)再次成为G公司在里面π1球体O（运行）是循环的，该组的前映像是ℤ×ℤ/2包含x个.因此ϕ(克),ϕ(克′)不是共轭的，我们完成了。∎
如以下示例所示，为了排除几何Nil的问题，必须在上述定理中限制双曲基或曲面。请注意，剩下的三个Seifert光纤几何(𝕊三,𝕊2×ℝ、和𝔼三)没有这样的问题，因为所有这些群都是有限的或实际上是阿贝尔的，并且很容易处理。
例4.22。
我们声称海森堡集团G公司=ℋ三(ℤ)不是夫妻关系第页-对任何素数都是可分离的第页.假设第页≠2，的第页=2情况类似。我们有一个演示文稿
G公司=〈x个,年,小时∣[x个,年]=小时中央〉.
通过直接计算，x个2不与共轭x个2小时; 然而，对于任何n个,
年-n个x个2年n个=x个2小时2n个.
在任何第页-群商ϕ:G公司→对，我们有ϕ(x个2小时)=ϕ(x个2小时2n个)对一些人来说n个，因此x个2小时总是与x个2，证明了这一主张。注意，同余商表明ℋ三(ℤ)确实是残差第页。请参阅[12]用于描述魔法第页-可分幂零群。
定理4.23。
让G公司是a的基本组第页-所有Seifert纤维空间都具有双曲基或双曲形的有效图流形。然后G公司是魔法第页-可分离。
证明。
顶点群是共轭的第页-可被之前的结果分开。按命题4.10标准职业选手的动作-第页这种分裂的树是2-非线形的。定理的条件（1）4.1由推论持有4.6.条件（2）通过命题成立4.11因为顶点群的元素共轭到边界，当且仅当其在富商中的图像共轭到边界。引理成立的条件（3）4.8.因此定理4.1适用和G公司是魔法第页-可分离。∎
自[2，第5.1节]，任何图流形都有上述类型的有限片覆盖，定理B类立即跟进。
