A.3.1引理1的证明
根据等式(7)–(8),θ∘是的解决方案E类[克我(θ)]=0小时×1。我们证明了这一点θ∘确实是唯一的解决方案。让θ~=(α~,γ~,β~′,σ~μ2,τ~′)满足E类[克我(θ~)]=0小时×1.
我们首先证明(γ~,β~′)=(γ∘,β∘′).让Z我(t吨,我)和Z~我(t吨,我)表示(t吨,我)-系数Z我和Z~我分别是。定义映射J型:{1,…,小时}→{1,…,T型−1}和J型~:{1,…,小时~}→{1,…,T型−2}这样的话
Z我(J型(我),我)≠0 和 Z~我(J型~(我),我)≠0
基本上，J型(我)（或J型~(我))提供包含列的非零元素的行数我属于Z我（或Z~我). 请注意，这两者J型(我)和J型~(我)定义为Z我和Z~我只包含一个非零系数。现在，对于给定的我=1,…,小时~，进一步定义(L（左）1(我),L（左）2(我))∈{1,…,小时}2这样的话
Z~我(J型~(我),我)=Z我(J型~(我),L（左）1(我))=Z我(J型~(我)+1,L（左）2(我)).
请注意L（左）1(我)和L（左）2(我)明确定义为Z~我是的子矩阵Z我以及每行Z我和Z~我不包含非零重复元素。此外，我们必须L（左）1(我)<L（左）2(我)通过建造Z我.然后，让D类一B类不草率行事小时~×小时其分量由以下公式给出的矩阵
[D类一B类](我~,我)={−1如果 我=L（左）1(我~),1如果 我=L（左）2(我~),0否则.
例如，当T型=3和k个=1，我们有
D类一B类三×10=(00−1100000000000−10100000000−1010).
通过施工，D类一B类必须满足
(15)D类一B类Z我′(年我−x个我κ)=Z~我′Δ年我−Z~我′Δx个我(γβ)
以及D类一B类Ψ(θ)=0小时~×1（参见等式(5)–(7)). 我们指的是Ahn和Schmidt(1995，附录A.2款)有关这些结果的进一步讨论和示例。请注意E类[D类一B类克我(θ~)]=D类一B类E类[克我(θ~)]=0小时~×1，所以等于(15)收益率阿雷拉诺和邦德的(1991)线性方程组：
(16)E类(Z~我′Δx个我)(γ~β~)=E类(Z~我′Δ年我).
自E类(Z~我Δx个我)具有完整等级(假设3)，这个（线性）方程组有一个唯一的解，因此，我们必须(γ~,β~′)=(γ∘,β∘′).
关于其他参数，使用系统的第一个方程E类[克我(θ~)]=0小时×1，我们获得
E类(年我2)−α~−γ~E类(年我1)−E类(x个我2′)β~=0
因此α~=E类(年我2)−γ~E类(年我1)−E类(x个我2′)β~=E类(年我2)−γ∘E类(年我1)−E类(x个我2′)β∘=α∘。还使用T型-第个方程E类[克我(θ~)]=0，因此
τ~1年=E类[年我1(年我2−α~−γ~年我1−x个我1′β~)]=E类[年我1(年我2−α∘−γ∘年我1−x个我1′β∘)]=E类(年我1u个我2)=E类(年我1μ我)=τ1∘年.
以类似的方式进行，我们可以证明τ~t吨x个=τt吨∘x个对于每个t吨= 1, …,T型最后，利用(T型+2）第个方程式E类[克我(θ~)]=0小时×1与表达式相关(三)，我们获得
E类[年我2(年我2−α~−γ~年我1−x个我1′β~)]−(γ~τ~1年+τ~2x个′β~+σ~μ2)=0
因此
σ~μ2=E类[年我2(年我2−α~−γ~年我1−x个我1′β~)]−(γ~τ~1年+τ~2x个′β~)=E类[年我2(年我2−α∘−γ∘年我1−x个我1′β∘)]−(γ∘τ~1∘年+τ2∘x个′β∘)=σμ∘2.
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A.3.4定理证明2
表示ΩD类=ΩD类(γ∘,β∘′)=E类[克我D类(θ∘)克我D类(θ∘)′]并考虑不可行估计
θ~=一第页克米我n个θ∈Θ 克¯D类(θ)′(ΩD类)−1克¯D类(θ).
考虑这样一个估计器的原因是，通过表达式(12)，它的渐近方差与θ^; 看见霍尔(2005，第3.7节）。分区后
ΩD类=(Ω11D类Ω12D类(小时~′+T型−2)×(k个T型+三)Ω12D类′(k个T型+三)×(小时~′+T型−2)Ω22D类(k个T型+三)×(k个T型+三)),
θ~可以通过求解以下线性方程组进行计算：
(▽(γ,β′)克¯1D类(γ,β′)′▽(γ,β′)克¯2D类(γ,β′;θ∖γβ)′▽θ∖γβ克¯1D类(γ,β′)′▽θ∖γβ克¯2D类(γ,β′;θ∖γβ)′)(Ω11D类Ω12D类Ω12D类′Ω22D类)−1(克¯1D类(γ,β′)克¯2D类(γ,β′;θ∖γβ))=0[k个(T型+1)+4]×1,
哪里▽(γ,β′)克¯1D类(γ,β′)=(1/N个)∑我=1N个▽(γ,β′)克我,1D类(γ,β′),
▽(γ,β′)克我,1D类(γ,β′)=(∂克我,1D类(γ,β′)∂γ∂克我,1D类(γ,β′)∂β′),
其余术语以类似的方式定义。从对称分块矩阵的逆公式(泰尔1983，等式3.2）及之后克我,1D类(γ,β′)不依赖于θ∖γβ，即。▽θ∖γβ克¯1D类(γ,β′)=0(小时~′+T型−2)×(k个T型+三)，我们的不可行估计(γ~,β~′)可以通过求解（线性）方程组得到
▽(γ,β′)克¯1D类(γ,β′)′(Ω11D类)−1克¯1D类(γ,β′)=0(k个+1)×1
或者，等效地，通过解决以下优化问题：
(17)(γ~,β~′)=一第页克米我n个(γ,β′) 克¯1D类(γ,β′)′(Ω11D类)−1克¯1D类(γ,β′).
从这些表达式可以看出，我们可以忽略θ∖γβ，以及Ω12D类和Ω22D类，计算时(γ~,β~′).
遵循证明中的论点定理1.2，可以证明(γ~,β~′)由提供[G公司1D类′(Ω11D类)−1G公司1D类′]−1，其中
G公司1D类=E类[▽(γ,β′)克我,1D类(γ∘,β∘′)].
自(γ~,β~′)和(γ^,β^′)是渐近等价的，紧接着Σγβ=[G公司1D类′(Ω11D类)−1G公司1D类′]−1.分区
G公司1D类(小时~′+T型−2)×(k个+1)=(G公司一S公司小时~′×(k个+1)G公司1,2D类(T型−2)×(k个+1)),
请注意G公司1,2D类=E类(Δx个~我)，并写入
(Ω11D类)−1=((Ω一S公司)−1+(Ω一S公司)−1Ω11,12D类ΥΩ11,12D类′(Ω一S公司)−1−(Ω一S公司)−1Ω11,12D类Υ−ΥΩ11,12D类′(Ω一S公司)−1Υ).
该逆矩阵通过应用式（3.2）获得泰尔（1983）我们认为γ是正定的，因为ΩD类=D类ΩD类′是正定的(假设4)反之亦然。最后，可以得出以下结论
Σγβ−1=(G公司一S公司′G公司1,2D类′)(Ω11D类)−1(G公司一S公司G公司1,2D类)=G公司一S公司′[(Ω一S公司)−1+(Ω一S公司)−1Ω11,12D类ΥΩ11,12D类′(Ω一S公司)−1]G公司一S公司−G公司1,2D类′ΥΩ11,12D类′(Ω一S公司)−1G公司一S公司−G公司一S公司′(Ω一S公司)−1Ω11,12D类ΥG公司1,2D类+G公司1,2D类′ΥG公司~1,2D类=(Σγβ一S公司)−1+G公司一S公司′(Ω一S公司)−1Ω11,12D类ΥΩ11,12D类′(Ω一S公司)−1G公司一S公司−G公司1,2D类′ΥΩ11,12D类′(Ω一S公司)−1G公司一S公司−G公司一S公司′(Ω一S公司)−1Ω11,12D类ΥG公司1,2D类+G公司1,2D类′ΥG公司~1,2D类
因此
Σγβ−1−(Σγβ一S公司)−1=[G公司一S公司′(Ω一S公司)−1Ω11,12D类−G公司1,2D类′]Υ[G公司一S公司′(Ω一S公司)−1Ω11,12D类−G公司1,2D类′]′.
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