计算F类(一,θ)
等式中的关系(25)可以写为：
(27)F类(一,θ)=∫−1+1d日年e（电子）一余弦θ年我0一罪θ1−年2=2π一我12(一) ,
基于我我(x个)来自等式(5). 我们使用参考文献中的等式（10.25.2）扩展了出现在积分符号内的第一类修正贝塞尔函数。25上面写着：
(28)我ν(z（z）)=z（z）2ν∑k个=0∞z（z）24k个k个!Γ(ν+k个+1) ,
哪里Γ表示伽马函数。对于ν=0其中一个具有：
(29)我0(z（z）)=∑k个=0∞z（z）2k个22k个(k个!)2 .
我们用等式代替结果(29)转化为等式(27)以及交换求和和积分：
(30)F类(一,θ)=∑k个=0∞一2k个罪2k个θ22k个(k个!)2∫−1+1d日年e（电子）一余弦θ年(1−年2)k个d日年 .
我们现在依赖于参考文献的等式（10.32.2）。25其内容如下：
(31)我ν(z（z）)=z（z）2νπΓ(ν+12)∫−1+1(1−t吨2)ν−1/2e（电子）±z（z）t吨d日t吨 .
对于ν=k个+1/2这样的公式将导致：
(32)∫−1+1(1−t吨2)k个e（电子）±z（z）t吨d日t吨=πk个!z（z）2k个+12我k个+12(z（z）) .
在eq的帮助下(32)，一个变换方程(30)到：
(33)F类(一,θ)=2π一余弦θ∑k个=0∞1k个![一罪2θ2余弦θ]k个我k个+12(一余弦θ) .
我们现在使用参考文献中的等式5.7.6.（1）。22（第660页）给出：
(34)∑k个=0∞t吨k个k个!J型k个+ν(z（z）)=z（z）ν/2(z（z）−2t吨)−ν/2J型ν(z（z）2−2t吨z（z）) ,
哪里J型k个+ν(z（z）)是第一类贝塞尔函数。这个公式表明ν=1/2我们应该有：
(35)∑k个=0∞t吨k个k个!J型k个+12(z（z）)=(z（z）z（z）−2t吨)1/4J型12(z（z）(z（z）−2t吨)) .
参考文献中等式（10.27.6）中的公式。25解释了具有虚参数的第一类贝塞尔函数如何与第一类修正贝塞尔函数相关：
(36)我ν(z（z）)=e（电子）−νπ2我J型νz（z）e（电子）π2我 .
这意味着，对于我们的具体情况，我们有：
(37)J型ν(我z（z）)=e（电子）νπ2我我ν(z（z）) .
下一步是写z（z）=我ξ,t吨=−我τ并使用等式(37)转换等式(35)根据第一类修正贝塞尔函数。在对方程式进行了一些仔细的代数运算之后(35)（注意一个因素e（电子）π4我出现在等式的两边，因此抵消），可以得到：
(38)∑k个=0∞τk个k个!我k个+12(ξ)=(ξξ+2τ)1/4我12(ξ(ξ+2τ)) .
方程式中的公式(38)可以立即应用于等式(33)理解为：
(39)τ=一罪2θ2余弦θ ; ξ=一余弦θ .
因此，人们获得F类(一,θ)=2π一我12(一)如等式(27).
