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我们处理一些pcf（可能共终结性理论）调查主要是由阿贝尔群理论中的问题引起的。我们集中精力关于测试问题的应用，但我们希望组合学能够具有相当广泛的应用。主要的测试问题是“平凡对偶猜想”，它说存在一个相当自由的阿贝尔具有平凡对偶的群。“相当自由”的展台for“-免费”适合红衣主教，第一个打开的案例是。我们几乎总是积极回答，即证明存在-自由阿贝尔群具有平凡对偶，即整数没有非平凡同态。组合起来，我们证明“几乎总是“有哪些是相当免费，并有一个相关的黑盒。资格“几乎总是”意思是除非我们对红衣主教有严格限制算术，实际上是“无处不在”的限制。最好的组合结果可能是所谓的在ZFC中证明了“黑箱三分定理”。此外，我们还可以将阿贝尔群替换为R（右）-模块。我们的一部分动机（在处理模块时）是在某种意义上的改进在这种情况下，早期的结果变得更加清晰。
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