断言6让k> 1.然后n个最大值(k个)(2k个)=k个+1.
证明考虑矩阵A类尺寸为2k个×(k个+1）是组合完备的有序k个。它是第一个k个列包含2k个不同的行。因此，矩阵的所有行的集合A类是所有长度的位字符串的集合k个+表格第1页{(α1, …, αk个, β(α1, …, αk个)):(α1, …, αk个)∈V（V）k个}.
我们声称矩阵A类按顺序组合完成k个当且仅当，对于任何我∈1, k个¯,
(1)β(α1, …, α我−1, 0, α我+1, …, αk个)Şβ(α1, …, α我−1, 1, α我+1, …, αk个)=1
的确，第一个k个列，共列A类包含所有可能的2k个排。我们拿其他的k个矩阵的列A类; 这相当于选择我∈1, k个¯考虑到数字为1、2、……的列。。。，我− 1,我+ 1, ...,k个,k个+ 1. 在so-chosen子矩阵中A类我我们考虑第一个k个−1列。我们表示这个子矩阵（大小为2k个× (k个−1））由A类′我.矩阵A类′我包含所有可能的长度向量k个−1，每个矢量正好出现两次。相应地，为了矩阵A类我包含所有长度为的矢量作为行k个，矩阵的相等行是必要的和充分的A类′我在矩阵中继续A类我通过不同的元素，但这意味着(1)满足。
我们现在考虑布尔立方体的图形G公司k个，其顶点集是集V（V）k个长度的二进制向量k个，如果相应的向量是相邻的，也就是说，如果它们只相差一个分量，则立方体的两个顶点是相邻的。众所周知，图G公司k个连接且二分：一个颜色类G公司k个由顶点构成(α1。。。，αk个)偶数权重，另一个颜色类由奇数权重的顶点组成。
我们注意到矩阵中最后一列的存在A类可以解释为标记每个顶点(α1。。。，αk个)图表的G公司k个通过标记β(α1, …, αk个)，即0或1。平等(1)也就是说，图中相邻顶点的标签不同，(1)相当于说对于每个顶点(α1。。。，αk个)偶数为1（在图形的第一个颜色类中G公司k个)标签β(α1, …, αk个)等于一些v（v）∈{0,1}，而对于每个顶点(α1。。。，αk个)奇数为1（第二类颜色G公司k个)标签β(α1, …, αk个)是v（v）¯。我们这样写：对于任何向量(α1。。。，αk个) ∈V（V）k个
(2)α1Ş…Şαk个Şv（v）=β(α1,…,αk个).
换句话说，矩阵的整个最后一列A类由以下值决定v（v）因此，此列只有两个可能的值，其中一个值是另一个值的倒置。
接下来我们假设存在一个组合完备矩阵B类订单的k个尺寸为2k个× (k个+ 2). 考虑子矩阵(B类1↓,…,B类k个↓,B类k个+1↓)和(B类1↓,…,B类k个↓,B类k个+2↓)，我们得到两个大小为2的矩阵k个×(k个+1），它们是组合完备的k个下一步，按上面的列B类k个+1↓和B类k个+2↓要么重合，要么一列是另一列的否定。在这两种情况下，我们都遇到了矛盾，因为考虑到最后两列，矩阵B类不是2阶的组合完成。
因此，组合完整的顺序矩阵中的最大列数k个是k个+1，这表明n个最大值(2k个) =k个+1.□
现在让我们检查一下这个案例米> 2k个.英寸[8]精确值n个最大值(2)(米)对于k个找到=2：
n个最大值(2)(米)={12⋅(2第页第页),米=2第页(2第页第页−1),米=2第页+1,米≥4
我们接下来考虑这个案子k个≥ 3.
断言7让k≥ 3和m≥ 2k个.然后
n个最大值(k个)(米)≤n个最大值(k个−1)([米2])+1
证明.让A类是一个组合完备的有序矩阵k个和尺寸米×n个,n个=n个最大值(k个)(米).组合完备的性质在矩阵的行和列重排下是不变的，因此我们可以假设在第一列中t吨条目为0，最后一个米−t吨1是1，其中2k个−1≤t吨≤米− 2k个−1.
让A类0和A类1是分别由第一个t吨和最后一个米−t吨行和n个−矩阵的最后一列A类(图1).
自A类是一个组合完备的有序矩阵k个，特别是对于任何一组k个表单的列A类1↓,A类我1↓,…,A类我k个−1↓,1<我1<我2<…<我k个−1≤n个，这些列包含任何组合(一1。。。，一k个) ∈V（V）k个此外，形式（0，一2。。。，一k个)包含在第一个t吨行，而窗体（1，一2。。。，一k个)包含在带有数字的行中t吨+ 1, …,米.
这意味着，对于k个−表格的1列A类我1↓,…,A类我k个−1↓,1<我1<我2<…<我k个−1≤n个，在这些列中，任何组合(一2。。。，一k个) ∈V（V）k个−1至少发生两次：在第一次中的一次t吨行和最后一行中的一行米−t吨排。因此，这两个矩阵A类0和A类1在组合上是有序的k个− 1.
每个矩阵都有n个−1列，因此，n个−1≤n个最大值(k个−1)(t吨)和n个−1≤n个最大值(k个−1)(米−t吨); 也就是说，
n个≤最小值{n个最大值(k个−1)(t吨),n个最大值(k个−1)(米−t吨)}+1
如上所述n个最大值(k个)(米)没有减少，而且t吨≤[米2]或米−t吨≤[米2]，接下来是min{n个最大值(k个−1)(t吨), n个最大值(k个−1)(米−t吨)}≤n个最大值(k个−1)([米2])因此，我们得出了所需的不等式：
n个最大值(k个)(米)≤n个最大值(k个−1)([米2])+1
□
作为这个不等式的推论，我们有以下涉及函数的估计n个最大值(2)(米).
断言8让k≥ 3和m≥ 2k个.然后
n个最大值(k个)(米)≤n个最大值(2)([米2k个−2])+k个−2
证明.我们有[[米/2]2]=[米4]，因此断言7意味着
n个最大值(k个)(米)≤n个最大值(k个−2)([米4])+2
我们反复发现，对于任何第页= 1, 2, ...,k个− 2,
n个最大值(k个)(米)≤n个最大值(k个−第页)([米2第页])+第页.
因此，对于第页=k个−2我们有
n个最大值(k个)(米)≤n个最大值(2)([米2k个−2])+k个−2
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为了获得函数的渐近估计n个最大值(n个)(米)我们使用渐近公式n个最大值(2)(米).
断言9让k≥ 3是一个固定的数字。然后，作为m→ ∞,
n个最大值(k个)(米)≤2米2k个−2⋅2k个−三π米⋅(1+o（o）(1)).
证明.从推论4到定理1[8]if如下米→ ∞
(3)n个最大值(2)(米)=2米2π米(1+直径(米)), 林米→∞直径(米)=0
在估算中替换此关系断言8，我们发现
n个最大值(k个)(米)≤2[米2k个−2]2π[米2k个−2]⋅(1+直径(米))+k个−2
考虑到米2k个−2−1≤[米2k个−2]≤米2k个−2对于k个>0，我们获得
(4)n个最大值(k个)(米)≤2米2k个−22π(米2k个−2−1)⋅(1+直径(米))+k个−2≤≤2k个−三π⋅2米2k个−2米⋅((1+2k个−2米)−1/2⋅(1+直径(米))+(k个−2)⋅π2k个−三⋅米2米2k个−2).
自k个≥3，我们有22k个−2>1，因此，米(22k个−2) →米→∞ 0此外，2k个−2米 →米→∞ 0因此，不等式的右手边(4)是2米2k个−2⋅2k个−三π米(1+直径(米))=2米2k个−2⋅2k个−三π米(1+o（o）(1))作为米→ ∞. □
