关于I.Meghea和C.S.Stamin评论文章“关于极小点定理和Ekeland变分原理的一些变体及其应用的评论”，Demonstration Mathematica 2022；55: 354–379

1引言

在论文的引言中[1]Meghea和Stamin说：“在本文中，作者从[16]和[17]第一部分[18]和[19]的一些结果开始第二部分旨在评论关于Ekeland变分原理向量变量的极小点的陈述以及一致空间中的类似断言，比较它们并讨论它们的联系、含义以及在从实际现象演化而来的模型中的应用。”^[1]

我们认为，所宣布的目标与一篇评论文章的目标相对应。

当然，即使是一篇综述文章也必须带来一些新的东西，作者认为这一目标已经实现，正如结论所示：“这项工作的新颖之处在于将这些结果并置，进行观察、评论和评论，最后突出适当的应用。”

不幸的是，在我们看来，所宣布的目标和已实现的目标之间存在着很大的差距，在涉及梅希亚和斯塔明文章的新颖性方面，至少在涉及第3节“极小点定理的一些变体”的内容方面，这与我们的论文有着深刻的联系[2]，即梅希亚和斯塔明文章中的参考文献[16][1]. 此外，Meghea和Stamin就[2]. 梅希亚和斯塔明的评论是说，断言“充满了错误”，然后在论文中重复断言以及没有任何新想法的证明是不可接受的。

2关于第3节的讨论[1]

考虑到[1]（如上所述），我们必须理解，这些声明称为“备注”（另见标题[1])，也许，那些不属于某些参考文献的陈述是原创的。

与中备注的独创性有关[1]，请注意以下事项：

1. [1，备注2]是对以下观察结果的重新表述[2第912页]：“定理1不能有效地保证极小点。在下一节中，我们将推导一个真正的极小点定理”；

2. 之后[1注2]作者说：“作为定理1的结果，我们将在Ekeland原理的以下两个向量变体中看到”；与文本“我们想应用前面的结果来获得两个矢量EVP”相比[2，第911页]，在证明结束后立即[2，第1]条。

3. [1，备注4]包含在以“传统上，在执行副总裁的声明中 ε > 0 以及对 天 ( x ¯ , x 0 ) “并且以”自“结尾 ( 天 ( x ¯ , x 0 ) − λ ) k个 0 + k个 ∈ K（K） \ { 0 } “上的[2第912页]；

4. [1，备注5]包含在[2第912页]；

5. [1，备注6]包含在证明[2《美国法典》第3章]；

6. [1，注意]：此备注主要包含在以下段落中[2第912页]：“注意 Y（Y） = R（右） 和 K（K） = R（右） + 从推论3可以得到不一定是下半连续函数的EVP。例如，函数 （f） : R（右） → R（右） , （f） ( x ) = 经验 ( − ∣ x ∣ ) 对于 x ≠ 0 和 （f） ( 0 ) = 2 ，满足推论3“的假设；

7. [1，备注7]：作者是对的。事实上[2（第914页）据说：“当然，定理1是推论5的直接结果”，在[2，Cor.5]，据说“上述定理的直接结果是以下较弱的结果。”因此，在[2]有人提到[2，Th.1]（即[1，定理1]）如下[2，Th.4]（即[1，定理4]）。更重要的是，我们在后面的段落中提到了以下内容[2例1]：“我们倾向于公式化并给出定理1的直接证明，因为它的优点是不包含对元素的任何引用 x ∗ ∈ K（K） + 我们认为，证据本身很有趣。”

8. [1，备注9]：这包含在[2，莱姆。7] 更准确地说，“（甚至 φ 是连续的，如果 整数 K（K） ≠ ∅ ，因为它在0的邻域上以1为界，即， k个 0 − K（K） ).”

“备注8。在[16],引理7的证明，这里是引理1，错误百出出于这个原因，作者在这里出示了恢复的证据。”

我们只成功检测到2个“错误”；它们是：“−”而不是“+”（位于[2（第916页）和“0的邻域”而不是“0的邻居”（参见上述评论中提到的引用文本[1，备注9]）。这两个“错误”都不会影响结果。

1. [1，备注11]：此备注是在证明[2，第8]条。

2. [1，备注12]：以下段落中进行了观察[2，p.919]：“上述推论表明，Tammer[14]的定理4.1在没有以下有界性的情况下是有效的 （f） ( X（X） ) 甚至是锥形 K（K） 内部为空。”^[2]

关于不属于某些参考文献的陈述，请注意以下几点：

1. [1，命题4]是对[2第910页]：“请注意，如果 一个 满足（H2）和 K（K） 已关闭以下部分 R（右） + k个 0 ，即。 K（K） ∩ ( 年 − R（右） + k个 0 ) 每关闭一次 年 ∈ K（K） ，则（H1）也满足“；

2. [1，命题5]：该结果包含在[2，莱姆。7];

3. [1，命题6]：该断言在[2第920页]，紧接着（H6）。

   另外，请注意，对于定理1、5和7[1]，其中一个提到了来自[2]（分别）；对于定理2、3、6和8，有人提到[2]，但不是来自的推论2、3、9和12[2]（分别与之等效）；定理4归因于[7]，即使[1，定理4]只是[2，第4]条。

与相关[1，备注8]，如上所述，我们询问了[1]（2022年8月29日）提供他们在证明中发现的错误的完整列表[2，莱姆。7]. 我们没有直接收到这样的名单。然而（2023年1月6日），我们从Demonstratio Mathematica的总编辑那里收到了以下信息作者之一的回应 [1]关于[1，备注8]：

“扩展备注-备注8详述（关于引理7的证明，见[16]第916页）

在[16]中， φ , K（K） 和 Λ 年 是 L（左） , C类 、和 M（M） 年 在我的论文中。

证明的第1-7行致力于证明我论文中作为命题5给出的一个性质。在第4行，最后一个符号是“−”，而不是“+”，可能是打字错误。

第8–10行：从第9行显示的属性中，得到了一些附加参数 φ 是l.s.c.何时 φ ( 年 ) < + ∞ ，但情况 φ ( 年 ) = + ∞ 未经治疗。

第10-12行：既没有证明也没有说 T型 − 1 ( K（K） ) ≠ ∅ 从那里就会产生这样的结果 φ 是正确的。

第13-14行：正确的断言——没有道理。这可能在其他地方（作品）得到证明，但没有引证。相应的证明并不是立即获得的。

第18行包含两个没有理由的断言。与上述考虑类似。

第20行包含一个没有正当理由的断言。与上述考虑类似。

第21行：第一个等式并不明显。它有确凿的证据。

第22-23行：最后一个断言的证明确实基于第22行的第二个关系，但它需要更多的参数。”^[3]

在讨论上述文本之前，必须澄清该词的含义错误; 根据牛津词典：https://www.oxfordlearnersdictionaries.com/definition/english/error（https://www.oxfordlearnersdictionaries.com/definition/english/error）

错误是指错误，尤其是导致问题或影响结果的错误。

关于前面引用的文本，让我们首先讨论以下文本，以证明[2，莱姆。7]:

1. “第8–10行：从第9行显示的属性中，会得到一些附加参数 φ 是l.s.c.，当 φ ( 年 ) < + ∞ ，但情况 φ ( 年 ) = + ∞ 未接受治疗”；

2. “第10-12行：既没有证据也没有说 T型 − 1 ( K（K） ) ≠ ∅ 从那里就会产生这样的结果 φ 是正确的。”

   关于“案件 φ ( 年 ) = + ∞ 不被处理”，注意没有必要考虑它，因为对于函数 （f） : ( T型 , τ ) → R（右） ¯ , （f） 是l.s.c.iff { t吨 ∈ T型 ∣ （f） ( t吨 ) ≤ λ } 每 λ ∈ R（右） , ( T型 , τ ) 是一个拓扑空间（参见。https://en.wikipedia.org/wiki/Semi-continuity网站用于快速参考）。关于“一些额外的论据 φ 是l.s.c.，当 φ ( 年 ) < + ∞ ，“让我们看看” φ 是l.s.c.，当 φ ( 年 ) < + ∞ “在证明中提供[1，引理1]。所以，证明以“让 年 武断地 Y（Y） .假设 L（左） ( 年 ) < + ∞ .那么对于任何 t吨 从 R（右） ，我们有 L（左） − 1 ( ( − ∞ , t吨 ] ) = t吨 k个 0 − C类 例如， L（左） ( 年 ) ≤ t吨 ⇒ 5 年 ∈ t吨 k个 0 − C类 .自 t吨 k个 0 − C类 有人得出结论 L（左） l.s.c.英寸 年 “必须根据之前已知的内容证明最后一个断言的正确性。换一种说法 L（左） ( 年 ) < + ∞ 使用了，并且[ L（左） − 1 ( ( − ∞ , t吨 ] ) = t吨 k个 0 − C类 对于每个 t吨 ∈ R（右） ]为了得到结论” L（左） l.s.c.英寸 年 ”?

其他评论是对某些主张没有充分理由的抱怨。

那么，“键入错误”是否证明了断言的正确性在[16]中，引理7的证明，这里引理1，错误百出“来自[1，备注8]？或者，也许这是一个错误？

在目前的背景下，请注意，细节是否琐碎取决于作者和读者。我们[2]，考虑到我们在结果的证明中给出了足够的细节。

在同样的背景下，一个自然的问题是[1]; 在我们最关心的部分，我们发现了三个错误的断言。更准确地说，有人断言：

1. “让 电子 是一个实向量空间。（i） 如果 电子 是预先排序的，然后是集合 C类 = { x ∈ 电子 : x ≥ 0 } 是带顶点的凸锥“；参见[1，提案3]。

2. “ M（M） 我 ⊂ M（M） , M（M） 凸的 ⇒ M（M） ⊂ M（M） 一 ”; 参见[1第361页第15行]。

3. “ R（右） k个 0 − C类 自以下日期起关闭 R（右） k个 0 具有有限尺寸”；参见[1，第362页，第5行]（即[1，引理1]）。回忆一下“这里是凸锥 C类 假设with顶点是闭合的。所以 k个 0 ∈ C类 \ ( − C类 ) “（参见[1第361页）。

3其他备注

现在，我们可以比较（至少部分地）[1]，在引言中回顾，以及已实现的。

（1） Meghea和Stamin表示，“作者从[16]和[17]中第一部分的一系列结果开始，[18]和[19]中第二部分的结果[…]。”^[4]事实上，除了[2，Cor.11]，所有结果[2]出现在这篇评论文章中（来自[4]以及[5]，但其中一个是指[三]仅适用于第3.4节的初步部分（未提及[三])).

（2） Meghea和Stamin说：“[…]旨在评论与Ekeland变分原理向量变量和一致空间中类似断言相关的极小点声明，比较它们并讨论它们的联系[…]。”事实上，我们在验证后确定，在第三节的结果中，除了我们的文章中的结果外，没有“关于与Ekeland变分原理向量变量有关的极小点的陈述的备注”[2]; 此外，没有对第3节和第4节中提到的结果的联系进行比较或讨论。

（3） 在“5应用”一节中，关于“[…]含义和在从真实现象演变而来的模型中的应用”，没有提到第3节或第4节中应用于特定“从真实现象演化而来的模式”的任何结果其中包括以下关键词：“均衡问题，位置问题，多准则控制问题，多指标分式规划问题，随机效率。”

（4） 请注意，在[1注3]据说：“从定理2中，它确实可以得到埃克兰原理的一种形式“事实上，来自[1，定理2]（即[2，Th.2]）可以精确地得到“Ekeland原理[1,20]”^[5]从第2.2节Ekeland原则的序言开始[1].

确实，应用[1，定理2]（即[2，Th.2]）用于 x 0 ≔ u个 具有 φ ( u个 ) ≤ inf公司 φ + ε , λ > 0 和 k个 0 ≔ ε λ − 1 ，一个获得 v（v） ε 验证（19）和（20）[1]. 因此( φ ( v（v） ε ) ≤ ) φ ( v（v） ε ) + ε λ − 1 天 ( v（v） ε , u个 ) ≤ φ ( u个 ) ≤ φ ( v（v） ε ) + ε （19），如此 φ ( v（v） ε ) ≤ φ ( u个 ) , 天 ( v（v） ε , u个 ) ≤ λ ; 通过（20）获得 φ ( x ) + ε λ − 1 天 ( v（v） ε , x ) ≤ φ ( v（v） ε ) ⇒ x = v（v） ε ; 因此 φ ( v（v） ε ) < φ ( x ) + ε λ − 1 天 ( v（v） ε , x ) 对于每个 x ∈ X（X） \ { v（v） ε } 等等 v（v） ε 验证（13）–（15）来自[1，埃克兰原理[1，20]，第357]页。

因此，从[1定理2]得到了“Ekeland原理[1,20]”中给出的EVP的版本，而不仅仅是“Ekeland原理的一种形式”

（5） 值得注意的是，除了第1节引言、第5节应用和第6节结论外[1]，所有文本（包括[1（《埃克兰原理》[1,20]，第357页]）几乎可以逐字地在梅希亚的书中找到[10].