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得到许可的 未经许可 需要身份验证 发布人:德古意特出版社 2023年10月4日

无界域上一类超定椭圆问题的符号变换解

  • 戴国伟 电子邮件徽标 张勇(音)

摘要

我们证明了中无界域的两个光滑族的存在性 N个 + 1 具有 N个 1 这样的话

{ - Δ u个 = λ u个 英寸 Ω u个 = 0 上的 Ω ν u个 = 常数 上的 Ω

承认一个改变符号的解决方案。域从直筒 B类 1 × ,其中 B类 1 单位球进了吗 N个 这些结果可以看作是无界域上Berenstein猜想的反例。与以往大多数这方面的论文不同,这里的一个非常微妙的问题是,在某个分岔点可能存在二维核空间。为此,还从高维核空间建立了Crandall–Rabinowitz型分岔定理。

奖励标识/授予编号:12371110

奖励标识/授予编号:12301133

资金报表:研究得到了国家自然科学基金(12371110号和12301133号)的资助。

A附录

在[30]Schlenk和Sicbaldi提出了以下主张。

权利要求1。

一个有 J型 ν 2 ( ) > J型 ν - 1 ( ) J型 ν + 1 ( ) 为所有人 ( 0 j个 ν 1 )

这一主张发挥了关键作用 σ ' ( T型 ) 0 这是验证横向条件的最重要步骤。不幸的是,它在争论中包含了一个小缺口。他们使用了以下关系:

(A.1) j个 ν - 1 1 < j个 ν 1 < j个 ν + 1 1 j个 ν 1 < j个 ν - 1 2

这就是零的交错特性。然而,当 ν - 1 < 0 ,此属性可能不再保持。例如,在 N个 = 2 ,我们有 ν - 1 = - 1 J型 - 1 ( ) = - J型 1 ( ) 通过零点的交错特性,我们知道 j个 0 1 < j个 1 1 < j个 0 2 < j个 1 2 所以, j个 - 1 1 = j个 1 1 ( j个 0 1 j个 0 2 ) j个 - 1 2 = j个 1 2 > j个 0 2 ,这表明关系(A.1款)不正确。在这里,我们通过填补上述空白来重新调查这一主张。

索赔证明1

什么时候? N个 4 ,我们看到了 ν - 1 0 ,interrace属性保持不变。因此[30]对有效 N个 4 还有待证明 N个 = 2

我们首先考虑 N个 = 2 在这种情况下, ν = 0 J型 - 1 ( ) = - J型 1 ( ) 由此可见 J型 ν - 1 ( ) J型 ν + 1 ( ) = - J型 1 2 ( ) 0 因此我们有了

J型 ν 2 ( ) - J型 ν - 1 ( ) J型 ν + 1 ( ) > 0

在里面 ( 0 j个 ν 1 )

接下来我们假设 N个 = 在这种情况下,通过引理1 j个 ν 1 = π j个 ν 2 = 2 π 具有 ν = 1 2 我们已经知道 J型 - 1 2 ( ) 在中为正 ( 0 π 2 ) 第一个正零是 π 2 通过零的交错特性,我们得到了 j个 ν + 1 1 > π 因此 J型 - 1 2 ( ) J型 2 ( ) 对面登录 ( π 2 π ) 由此可见 J型 ν 2 ( ) - J型 ν - 1 ( ) J型 ν + 1 ( ) > 0 在里面 ( π 2 π ) = π 2 J型 ν + 1 ( ) > 0 J型 ν ( ) > 0 J型 ν - 1 ( ) = 0 因此,

J型 ν 2 ( π 2 ) - J型 ν - 1 ( π 2 ) J型 ν + 1 ( π 2 ) > 0

研究以下情况就足够了 ( 0 π 2 ) 在这段时间里, J型 - 1 2 ( ) J型 2 ( ) 都是积极的。命题推理2我们可以证明 J型 ν 2 ( ) - J型 ν - 1 ( ) J型 ν + 1 ( ) 严格来说是在增加 ( 0 π 2 ) 我们已经证明了这一点 J型 ν 2 ( ) - J型 ν - 1 ( ) J型 ν + 1 ( ) > 0 在右端点 π 2 根据渐近公式(2.12),我们有

0 ( J型 ν 2 ( ) - J型 ν - 1 ( ) J型 ν + 1 ( ) ) = 0

因此,我们可以获得

J型 ν 2 ( ) - J型 ν - 1 ( ) J型 ν + 1 ( ) > 0

在里面 ( 0 j个 ν 1 )

致谢

作者对匿名裁判的谨慎表示感谢阅读作品并提出许多宝贵的意见和建议。作者还想对托比亚斯·科尔丁教授认真负责地处理手稿表示感谢。

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收到:2023-04-17
修订过的:2023-08-22
在线发布:2023-10-04
印刷出版:2023-10-01

©2023 Walter de Gruyter GmbH,柏林/波士顿

于24年6月6日从下载https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crelle-2023-0059/html
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