A附录A
在本节中，我们将给出一些技术引理的证明。
对于x个我x个j个,年∈ℝn个，定义
克我j个(年)=1(1+|年-x个我|)α(1+|年-x个j个|)β,
哪里x个我≠x个j个和α>0和β>0是两个常量。
我们首先证明一个引理，该引理稍有改进[49，引理B.1]。
引理A.1。
对于任何常数τ∈[0,最小值(α,β)]，我们有
克我j个(年)≤2τ(1+|x个我-x个j个|)τ(1(1+|年-x个我|)α+β-τ+1(1+|年-x个j个|)α+β-τ).
证明。
让d日=|x个我-x个j个|.如果年∈B类d日2(x个我)，然后
|年-x个j个|≥d日2,|年-x个j个|≥|年-x个我|,
这意味着
克我j个(年)≤1(1+12d日)τ1(1+|年-x个我|)α+β-τ,年∈B类12d日(x个我).
同样，我们有
克我j个(年)≤1(1+12d日)τ1(1+|年-x个j个|)α+β-τ,年∈B类12d日(x个j个).
现在我们考虑年∈ℝn个∖(B类12d日(x个我)∪B类12d日(x个j个)).那么我们有
|年-x个我|≥d日,|年-x个j个|≥d日.
我们还可以假设|年-x个我|≥|年-x个j个|。这就产生了
克我j个(年)≤1(1+d日)τ1(1+|年-x个j个|)α+β-τ.
引理的结果很容易从上述不等式得到。∎
引理A.2([49]).
对于任何常数0<τ具有τ≠n个-2，存在一个常量C类=C类(n个,τ)>1这样的话
1C类(1+|年|)最小值(τ,n个-2)≤∫ℝn个1|年-z（z）|n个-2(1+|z（z）|)2+τ𝑑z（z）≤C类(1+|年|)最小值(τ,n个-2).
什么时候？τ=n个-2，存在一个常量C类=C类(n个)>1这样的话
最大值(1,日志|年|)C类(1+|年|)n个-2≤∫ℝn个1|年-z（z）|n个-2(1+|z（z）|)n个𝑑z（z）≤C类最大值(1,日志|年|)(1+|年|)n个-2.
证明。
这源于中的一个简单修改[49，引理B.2]的证明。所以我们省略了细节。完
回忆一下X（X）我,米={X（X）我}我=1(米+1)k个,Ω我={年∈ℝn个:|年-X（X）我|≤|年-X（X）j个|的j个≠我},B类我=B类λ我(X（X）我)和B类我,米=B类最大值(米4,1)λ我(X（X）我).
以下引理提供了基本估计，并将在续集中频繁使用。
引理A.3。
对于任何θ>k个，存在一个常量C类(θ,k个,n个)>1，独立于米，如果年∈B类我∩Ω我,
（A.1）1(1+|年-X（X）我|)θ≤∑j个1(1+|年-X（X）j个|)θ≤C类(1+|年-X（X）我|)θ;
如果年∈B类我c（c）∩B类我,米∩Ω我,
（A.2）1C类(1+|年-X（X）我|)θ-k个(λ我)k个≤∑j个1(1+|年-X（X）j个|)θ
≤C类(1+|年-X（X）我|)θ-k个(λ我)k个;
如果年∈B类我,米c（c）∩Ω我,
（A.3）米k个C类(1+|年-X（X）我|)θ≤∑j个1(1+|年-X（X）j个|)θ≤C类米k个(1+|年-X（X）我|)θ
≤C类(1+|年-X（X）我|)θ-k个(λ我)k个.
证明。
对于任何年∈Ω我，自年最接近X（X）我根据三角形不等式，我们得到
三|年-X（X）j个|≥|年-X（X）我|+|X（X）我-X（X）j个|≥|年-X（X）j个|.
因此
（A.4）∑j个1(1+|年-X（X）j个|)θ
≤C类(1+|年-X（X）我|)θ∑j个1(1+|X（X）我-X（X）j个|(1+|年-X（X）我|))θ
≤C类(1+|年-X（X）我|)θ(1+∫[-米-1,米+1]k个1(1+λ我1+|年-X（X）我||z（z）|)θ𝑑z（z）)
≤C类(1+|年-X（X）我|)θ(1+(1+|年-X（X）我|)k个(λ我)k个∫|z（z）|≤(米+1)λ我(1+|年-X（X）我|)1(1+|z（z）|)θ𝑑z（z）)
≤C类(1+|年-X（X）我|)θ(1+(1+|年-X（X）我|)k个(λ我)k个) 如果θ>k个.
如果年∈B类我∩Ω我，中的不平等(A.1款)可以很容易地从上面得到。
如果年∈B类我c（c）∩Ω我，我们有
（A.5）∑j个1(1+|年-X（X）j个|)θ
≥C类(1+|年-X（X）我|)θ∑j个1(1+|X（X）我-X（X）j个|(1+|年-X（X）我|))θ
≥C类(1+|年-X（X）我|)θ(1+2-k个∫[0,[米2]+1]k个∖[0,1]k个1(1+λ我(1+|年-X（X）我|)|z（z）|)θ𝑑z（z）)
≥C类(1+|年-X（X）我|)θ
×(1+(1+|年-X（X）我|)k个(λ我)k个∫λ我(1+|年-X（X）我|)≤|z（z）|≤([米2]+1)λ我(1+|年-X（X）我|)1(1+|z（z）|)θ𝑑z（z）),
其中常量2-k个是因为在任何情况下X（X）j个∈X（X）我,米，积分区域始终包含[0,[米2]+1]k个∖[0,1]k个如果它不是空的。
现在什么时候年∈B类我c（c）∩B类我,米∩Ω我，我们可以假设米≥8，自1<[米4]≤[米2]+12，我们有
∫λ我(1+|年-X（X）我|)≤|z（z）|≤(米2]+1)λ我(1+|年-X（X）我|)1(1+|z（z）|)θ𝑑z（z）≥∫1≤|z（z）|≤21(1+|z（z）|)θ𝑑z（z）>0.
中的不平等(A.2款)从上述观察结果可以很容易地看出(A.4).
什么时候？年∈B类我,米c（c）∩Ω我，自λ我1+|年-X（X）我|≤4米，我们有
∫[0,[米2]+1]k个∖[0,1]k个1(1+λ我(1+|年-X（X）我|)|z（z）|)θ𝑑z（z）≥∫[0,[米2]+1]k个∖[0,1]k个1(1+4米|z（z）|)θ𝑑z（z）≥C类米k个.
然后是(答3)跟随(A.4)和(答5).∎
引理A.4。
假设n个≥5,1≤k个<n个-22和0<C类1<C类2<∞。我们可以找到一个正常数τ0=τ0(n个,k个)∈(k个,n个-22]这样，对于任何k个≤τ<τ0，存在常量θ=θ(τ,n个,k个)>0和C类=C类(C类1,C类2,k个,n个)这样的话
∫ℝn个1|年-z（z）|n个-2周米4n个-2γ(z（z）)∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+τd日z（z）
≤C类γ(年)∑j个1(1+|年-X（X）j个|)n个-22+τ+θ+C类(λ我)4k个n个-2γ(年)∑j个1(1+|年-X（X）j个|)n个-22+τ.
证明。
自n个≥5和k个<n个-22，使用引理答3，我们为z（z）∈B类我∩Ω我,
周米4n个-2∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+τ≤C类1(1+|z（z）-X（X）我|)n个+22+2+τ
和用于z（z）∈B类我c（c）∩Ω我∩B类我,米
周米4n个-2∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+τ≤C类1(λ我)4n个-2k个∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+4+τ-4n个-2k个.
对于z（z）∈B类我,米c（c）∩Ω我，我们也有
周米4n个-2∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+τ≤C类米k个+4n个-2k个(1+|z（z）-X（X）我|)n个-22+τ+4
≤C类1(λ我)4n个-2k个∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+4+τ-4n个-2k个.
现在我们计算
∫Ω秒∩B类秒1|年-z（z）|n个-2周米4n个-2γ(z（z）)∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+τd日z（z）
≤∫Ω秒∩B类秒1|年-z（z）|n个-2(1+|z（z）-X（X）秒|λ)τ-1C类(1+|z（z）-X（X）秒|)2+n个+22+τ𝑑z（z）
≤C类λ1-τ(1+|年-X（X）秒|)最小值(n个-22+2+1,n个-2)
≤(1+|年-X（X）秒|λ)τ-1C类(1+|年-X（X）秒|)n个-22+τ+θ,
哪里0<θ<最小值(2,n个-22-1)=:θ1.同样，我们也有
∫Ω秒∩B类秒1|年-z（z）|n个-2周米4n个-2γ(z（z）)∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+τd日z（z）
≤∫Ω秒∩B类秒1|年-z（z）|n个-21(1+|z（z）-X（X）秒|)2+n个+22+τ𝑑z（z）
≤C类(1+|年-X（X）秒|)n个-22+τ+θ,
对于0<θ<最小值(2,n个-22-τ))=:θ2.
如果年∈Ω我∩B类我对一些人来说我，从上述两个不等式中，取aθ∈(0,最小值(θ1,θ2))，我们有
∫⋃秒Ω秒∩B类秒1|年-z（z）|n个-2周米4n个-2γ(z（z）)∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+τd日z（z）
≤C类γ(年)(1+|年-X（X）我|)n个-22+τ+θ
+C类最小值(1λτ-1∑秒≠我1(1+|年-X（X）秒|)n个-22+θ+1,∑秒≠我1(1+|年-X（X）秒|)n个-22+τ+θ)
≤C类γ(年)(1+|年-X（X）我|)n个-22+τ+θ （引理A.3）
≤C类γ(年)∑j个1(1+|年-X（X）j个|)n个-22+τ+θ.
如果年∈⋃我(Ω我∩B类我c（c）)，然后γ(年)=1很容易看出
∫⋃秒(Ω秒∩B类秒)1|年-z（z）|n个-2周米4n个-2γ(z（z）)∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+τd日z（z）
≤C类(λ我)4k个n个-2∫ℝn个1|年-z（z）|n个-2∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+τ+4-4k个n个-2
≤∑j个C类(1+|年-X（X）j个|)n个-22+τ+θ,
哪里0<θ<最小值(2-4k个n个-2,n个-22-τ)=:θ三.因此，我们得到
∫⋃我(Ω我∩B类我)1|年-z（z）|n个-2周米4n个-2γ(z（z）)∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+τd日z（z）
≤C类γ(年)∑j个1(1+|年-X（X）j个|)n个-22+τ+θ
对所有人来说0<θ<最小值(θ1,θ2,θ三).
什么时候？z（z）∈Ω我∩B类我c（c），我们估计如下：如果年∈⋃我(Ω我∩B类我c（c）)即。，γ(年)=1，我们有
∫⋃我(Ω我∩B类我c（c）)1|年-z（z）|n个-2周米4n个-2γ(z（z）)∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+τd日z（z）
≤C类1(λ我)4n个-2k个∫ℝn个1|年-z（z）|n个-2∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)4+n个-22+τ-4n个-2k个d日z（z）
≤C类∑j个1(1+|年-X（X）j个|)最小值(n个-22+2+τ-4n个-2k个,n个-2)1(λ我)4n个-2k个
≤C类{∑j个1(1+|年-X（X）j个|)n个-22+τ1(λ我)4k个n个-2何时n个≥6,∑j个1(1+|年-X（X）j个|)n个-21(λ我)4k个n个-2何时n个=5,k个=1,
≤C类γ(年)∑j个1(1+|年-X（X）j个|)n个-22+τ1(λ我)4k个n个-2.
在这个箱子里n个≥6，我们需要n个-22+2+τ-4n个-2k个<n个-2它给出了
τ<n个-22-2+4n个-2k个=τ0.
请注意，当k个<n个-22,k个<τ0<n个-22因此，当n个≥6.何时n个=5,k个=1自从k个<n个-22在这种情况下，
n个-2<n个-22+2+τ-4n个-2k个
我们可以选择k个≤τ<τ0=n个-22.
什么时候？年∈Ω我∩B类我对一些人来说我,
∫⋃j个(Ωj个∩B类j个c（c）)1|年-z（z）|n个-2周米4n个-2γ(z（z）)∑秒1(1+|z（z）-X（X）秒|)n个-22+τd日z（z）
≤C类1(λ我)4n个-2k个∫ℝn个1|年-z（z）|n个-21λτ-1∑j个1(1+|z（z）-X（X）秒|)4+n个-22+1-4n个-2k个d日z（z）
≤C类1λτ-1∑j个1(1+|年-X（X）j个|)最小值(n个-22+2+1-4n个-2k个,n个-2)1(λ我)4n个-2k个
≤C类λτ-11(1+|年-X（X）我|)最小值(n个-22+2+1-4n个-2k个,n个-2)1(λ我)4n个-2k个 （由于年∈Ω我∩B类我)
≤C类(λ我)4k个n个-2{γ(年)(1+|年-X（X）我|)n个-22+τ如果n个-2>n个-22+三-4n个-2,γ(年)(1+|年-X（X）我|)n个-2+τ-1≤γ(年)(1+|年-X（X）我|)n个-22+τ如果n个-2<n个-22+三-4n个-2,
≤C类γ(年)∑j个1(1+|年-X（X）j个|)n个-22+τ1(λ我)4n个-2k个.
什么时候？n个-22+2+1-4n个-2k个=n个-2，的日志|年|应用引理得到的项A.2款只要我们愿意τ<τ0≤n个-22.事实上2>4k个n个-2也用于上述。将上述内容结合在一起，用于0<θ<最小值(θ1,θ2,θ三)，我们得出结论
∫ℝn个1|年-z（z）|n个-2周米4n个-2γ(z（z）)∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+τd日z（z）
≤∑j个C类γ(年)(1+|年-X（X）j个|)n个-22+θ+τ+C类γ(年)(λ我)4n个-2k个∑j个1(1+|年-X（X）j个|)n个-22+τ.∎
引理A.5。
假设n个≥4和0<τ<n个+22.如果
∥ϕ∥*≤C类λn个+22-τ,
那么对于任何c（c）>0，存在一个常量λ0=λ0(n个,k个,τ,C类,c（c）)>0这样，对于任何λ>λ0,
ϕ(年)≤c（c）周米(年)
在里面⋃我(B类我∩Ω我).
证明。
我们用矛盾来证明。在不失一般性的情况下，我们可以假设ϕ(年)≥c（c）周米(年)对一些人来说年∈B类1∩Ω1。请注意γ(年)≤1.通过引理答3，我们有
ϕ(年)≥c（c）C类∑j个1(1+|年-X（X）j个|)n个-2≥C类1(1+|年-X（X）1|)n个-2≥C类1(1+|年-X（X）1|)n个-22+τ1(1+|年-X（X）1|)n个-22-τ≥C类γ(年)∑j个1(1+|年-X（X）j个|)n个-22+τ1(1+|年-X（X）1|)n个-22-τ.
什么时候？n个≥4和0<τ<n个-22，我们有
C类λn个+22-τ≥∥ϕ∥*≥1(λ我)n个-22-τ.
当λ较大时，这会产生矛盾n个≥4和n个+22>τ≥n个-22注意到以下事实
1(1+|年-X（X）1|)n个-22-τ≥1 为所有人年∈B类1,
我们得到
C类λn个+22-τ≥∥ϕ∥*≥C类,
当λ较大时，这是不可能的。∎
引理A.6。
对于任何ϕ∈M（M）~，我们有，对一些人来说C类>0，独立于米和我,
|∫ℝn个K（K）λ(z（z）)周米4n个-2ϕZ轴秒,t吨𝑑z（z）|≤C类∥ϕ∥*λn个-22+τ
和
|∫ℝn个K（K）λ(z（z）)周米4n个-2ϕσ我𝑑z（z）|≤C类∥ϕ∥*λn个-22+τ.
证明。
根据正交条件，
∫ℝn个K（K）λ(z（z）)周米4n个-2ϕZ轴秒,t吨𝑑z（z）=∫ℝn个(K（K）λ(z（z）)-1)σ秒4n个-2Z轴秒,t吨ϕ𝑑z（z）
+O（运行）(1)|∫ℝn个周^米,秒4n个-2Z轴秒,t吨ϕ𝑑z（z）|
+O（运行）(1)|∫ℝn个周^米σ秒4n个-2-1Z轴秒,t吨ϕ𝑑z（z）|.
使用引理答3和引理的证明A.4在里面Ω我具有我≠秒，我们得到
|∫Ω我∩B类我周^米,秒4n个-2Z轴秒,t吨ϕ𝑑z（z）|≤C类∥ϕ∥*∫Ω我∩B类我∑j个γ(z（z）)(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+τ1(1+|z（z）-X（X）秒|)n个-2
×(∑k个≠秒1(1+|z（z）-X（X）k个|)n个-2)4n个-2d日z（z）
≤C类∥ϕ∥*λτ-1∫Ω我∩B类我1(1+|z（z）-X（X）我|)n个-22+51(1+|z（z）-X（X）秒|)n个-2𝑑z（z）
≤C类∥ϕ∥*λτ-1|X（X）我-X（X）秒|n个2.
什么时候？z（z）∈⋃我(Ω我∩B类我c（c）)，我们使用了与引理证明中相同的想法A.4得到
|∫⋃我(Ω我∩B类我c（c）)周^米,秒4n个-2Z轴秒,t吨ϕ𝑑z（z）|≤C类∥ϕ∥*(λ我)4n个-2k个∫⋃我(Ω我∩B类我c（c）)∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+τ+4-4n个-2k个1(1+|z（z）-X（X）秒|)n个-2d日z（z）≤C类∥ϕ∥*(λ我)4n个-2k个(∑j个≠秒1(1+|X（X）j个-X（X）秒|)最小值(n个-2,n个-22+τ+2-4n个-2k个)+1(λ我)2+n个-22+τ-4n个-2k个)≤C类∥ϕ∥*λτ-1(λ我)n个2.
对于我=秒，请注意，对于任何z（z）∈Ω秒，采取X（X）j个是最接近的点X（X）我,米到X（X）秒（最多有2k个这样的点X（X）我,米)，我们有
周^米,秒4n个-2≤C类(1+|z（z）-X（X）j个|)4-4n个-2k个(λ我)4n个-2k个.
按引理A.1款我们也得到
|∫Ω秒∩B类秒周^米,秒4n个-2Z轴秒,t吨ϕ𝑑z（z）|≤C类∥ϕ∥*(λ我)n个2λτ-1.
因此我们推断
|∫ℝn个周^米,秒4n个-2Z轴秒,t吨ϕ𝑑z（z）|≤C类∥ϕ∥*(λ我)n个2λτ-1
对所有人来说n个≥5和k个≤τ<τ0.同样，我们有
|∫ℝn个周^米,秒σ秒4n个-2-1Z轴秒,t吨ϕ𝑑z（z）|≤C类∫ℝn个周^米,秒σ秒4n个-2|ϕ|𝑑z（z）≤C类∥ϕ∥*(λ我)n个2λτ-1
和
|∫ℝn个(K（K）λ(z（z）)-1)σ秒4n个-2Z轴秒,t吨ϕ𝑑z（z）|≤C类∥ϕ∥*∫ℝn个|K（K）λ(z（z）)-1|γ(z（z）)(1+|z（z）-X（X）秒|)n个+2∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+τd日z（z）.
由引理很容易看出A.1款以及两者之间的关系X（X）我那个
|∫ℝn个|K（K）λ(z（z）)-1|γ(z（z）)(1+|z（z）-X（X）秒|)n个+2∑j个≠秒1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个-22+τd日z（z）|≤C类(λ我)n个-22+τ.
所以我们只需要在以下情况下估计积分j个=秒.让Ω={z（z）∈ℝn个:|z（z）-X（X）秒|≤λ.通过引理答3和集成，不难获得
∫Ω|K（K）λ(z（z）)-1|γ(z（z）)(1+|z（z）-X（X）秒|)n个+21(1+|z（z）-X（X）秒|)n个-22+τ𝑑z（z）
≤C类λβ+τ-1∫Ω|z（z）-X（X）秒|β+τ-1(1+|z（z）-X（X）秒|)n个+2+n个-22+τ𝑑z（z）
≤C类{1λn个+22+τ如果β>n个2+2,1λβ+τ-1≤1λn个-22+τ如果β≤n个2+2,
和
∫Ωc（c）|K（K）λ(z（z）)-1|γ(z（z）)(1+|z（z）-X（X）秒|)n个+21(1+|z（z）-X（X）秒|)n个-22+τ𝑑z（z）
≤C类∫Ωc（c）1(1+|z（z）-X（X）秒|)n个+2+n个-22+τ𝑑z（z）
≤C类λn个+22+τ
自从β>n个-2>n个2什么时候n个≥5.
因此，第一个不等式可以很容易地导出，第二个不等式可以得到类似的证明。∎
引理A.7。
在引理的假设下A.4，对于任何小时∈D类~和ϕ∈M（M）~，让
ϕ~=P（P）ℰ(-Δ)-1(小时+K（K）λ周米4n个-2ϕ).
那么存在一个整数我0和一个常数C类>0，仅取决于K（K）,n个, β, τ,C类1和C类2，对于任何我≥我0，我们有
∥ϕ~∥*≤C类(∥小时∥**+∥ϕ∥*).
证明。
通过对ξ的假设，ξ满足方程
ϕ~(年)=1n个(n个-2)ωn个∫ℝn个小时+K（K）λ周米4n个-2ϕ|年-z（z）|n个-2𝑑z（z）+∑我,j个c（c）我,j个Z轴我,j个+∑我b条我σ我,
对于某些常数c（c）我,j个,b条我.
我们首先声明，对于某些常数C类，独立于米和我,
（A.6）|c（c）我,j个|,|b条我|≤(C类∥小时∥**+C类λn个2∥ϕ∥*)1λτ-1.
事实上，乘法σ秒4n个-2Z轴秒,t吨在方程和积分的两边，我们得到
（A.7）∑我,j个c（c）我,j个〈Z轴我,j个,Z轴秒,t吨〉=∫ℝn个(-小时-K（K）λ周米4n个-2ϕ-∑j个b条我σ我n个+2n个-2)Z轴秒,t吨𝑑z（z）
和
|∫ℝn个小时(z（z）)Z轴秒,t吨𝑑z（z）|≤C类∥小时∥**∫ℝn个1(1+|z（z）-X（X）秒|)n个-2γ(z（z）)∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个+22+τd日z（z）
≤C类∥小时∥**(∫ℝn个γ(z（z）)(1+|z（z）-X（X）秒|)n个-2+n个+22+τd日z（z）
+∑j个≠秒∫ℝn个γ(z（z）)(1+|z（z）-X（X）秒|)n个-21(1+|z（z）-X（X）j个|)n个+22+τd日z（z）),
哪里
∫ℝn个γ(z（z）)(1+|z（z）-X（X）秒|)n个-2+n个+22+τ𝑑z（z）≤∫B类秒1λτ-11(1+|z（z）-X（X）秒|)n个-2+n个+22+1𝑑z（z）
+∫B类秒c（c）1(1+|z（z）-X（X）秒|)n个-2+n个+22+τ𝑑z（z）
≤C类λτ-1+C类(λ我)n个-22+τ
≤C类λτ-1
和
∑j个≠秒∫ℝn个γ(z（z）)(1+|z（z）-X（X）秒|)n个-21(1+|z（z）-X（X）j个|)n个+22+τ𝑑z（z）
≤1λτ-1∑j个≠秒∫ℝn个1(1+|z（z）-X（X）秒|)n个-2-τ+11(1+|z（z）-X（X）j个|)n个+22+τ𝑑z（z）
≤1λτ-1∑j个≠秒1|X（X）秒-X（X）j个|n个-22(∫ℝn个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个+1+1(1+|z（z）-X（X）秒|)n个+1d日z（z）)
≤C类λτ-1.
这里我们使用了这样一个事实∑j个≠秒|X（X）j个-X（X）秒|-n个-22在以下情况下收敛1≤k个<n个-22因此，我们推导出
|∫ℝn个小时(z（z）)Z轴秒,t吨𝑑z（z）|≤C类λτ-1∥小时∥**.
按引理A.6,
|∫ℝn个K（K）λ(z（z）)周米4n个-2ϕZ轴秒,t吨𝑑z（z）|≤C类∥ϕ∥*λn个-22+τ.
按引理A.1款和对称性σ我，很容易检查
〈Z轴我,j个,Z轴秒,t吨〉=0如果我=秒和j个≠t吨,
〈Z轴我,j个,Z轴我,j个〉=C类,
|〈Z轴我,j个,Z轴秒,t吨〉|≤C类|X（X）我-X（X）秒|n个-2如果我≠秒,
∫ℝn个σ我n个+2n个-2Z轴秒,t吨=0如果我=秒,
|∫ℝn个σ我n个+2n个-2Z轴秒,t吨|≤C类|X（X）我-X（X）秒|n个-2如果我≠秒.
请注意(答7)可以看作是一个具有变量的线性系统c（c）我,j个属于(米+1)k个(n个+1)的维数和系数矩阵(米+1)k个(n个+1)×(米+1)k个(n个+1)带条目〈Z轴我,j个,Z轴秒,t吨〉。通过表示此矩阵
G公司=(〈Z轴我,j个,Z轴秒,t吨〉)=(一我,j个秒,t吨)
然后让X（X）=(x个秒,t吨)在ℝ(米+1)k个(n个+1)最大范数表示为
|X（X）|=最大值秒,t吨|x个秒,t吨|.
然后
C类|x个我,j个|+c（c）(n个+1)(λ我)n个-2|X（X）|≥|∑秒,t吨一我,j个秒,t吨x个秒,t吨|=|C类x个我,j个+∑(秒,t吨)≠(我,j个)一我,j个秒,t吨x个秒,t吨|≥C类|x个我,j个|-c（c）(n个+1)(λ我)n个-2|X（X）|,
哪里c（c）由控制∫ℝk个11+|z（z）|n个-2𝑑z（z）并且不依赖于米。这意味着
2C类|X（X）|≥|G公司X（X）|≥C类2|X（X）|
具有C类独立于米当λ足够大时。因此，我们得出
|c（c）我,j个|≤(C类∥小时∥**+C类λn个2∥ϕ∥*)1λτ-1+C类最大值|b条我|1(λ我)n个-2.
哪里C类是一个不依赖于米和我.
类似的估计b条我可以通过与c（c）我,j个，我们跳过了细节。因此，我们已经证明(A.6).
它来自引理A.2款那个
|∫ℝn个1|年-z（z）|n个-2小时(z（z）)𝑑z（z）|≤C类∥小时∥**∫ℝn个γ(z（z）)|年-z（z）|n个-2∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个+22+τd日z（z）
≤C类∥小时∥**γ(年)∑j个1(1+|年-X（X）j个|)n个-22+τ
和
|∫ℝn个1|年-z（z）|n个-2σ我4n个-2Z轴我,j个𝑑z（z）|≤C类∫ℝn个1|年-z（z）|n个-21(1+|z（z）-X（X）我|)n个+2𝑑z（z）
≤C类(1+|年-X（X）我|)n个-22+τ 为所有人k个≤τ<τ0.
同样，
|∫ℝn个1|年-z（z）|n个-2σ我n个+2n个-2𝑑z（z）|≤C类(1+|年-X（X）我|)n个-22+τ
什么时候k个≤τ<τ0.
这个，结合引理A.4和(A.6)，给出了结论。这样就完成了引理的证明。∎
引理A.8。
在相同的引理假设下A.4，存在一个整数我0和一个常数C类≥1，仅取决于K（K）,n个, β, τ,C类1和C类2，这样对于任何ϕ∈E类~，我们有
（A.8）∥ϕ-n个+2n个-2P（P）ℰ(-Δ)-1(K（K）λ周米4n个-2ϕ)∥*≥∥ϕ∥*C类.
证明。
请注意(A.第8条)等于
（A.9）ϕ(年)=小时+n个+2n个(n个-2)2ωn个∫ℝn个1|z（z）-年|n个-2K（K）λ(z（z）)周米4n个-2(z（z）)ϕ(z（z）)𝑑z（z）
+∑我b条我σ我+∑我,j个c（c）我,j个Z轴我,j个,
对一些人来说小时∈ℰ~和常量b条我,c（c）我,j个.然后通过引理A.4和引理的证明答7，我们得到
（A.10）(γ(年)∑X（X）我∈X（X）我,米1(1+|年-X（X）我|)n个-22+τ)-1|ϕ(年)|
≤∥小时∥*+C类∥ϕ∥*λn个-22+τ
+C类∥ϕ∥*(1(λ我)4k个n个-2+∑X（X）j个∈X（X）我,米1(1+|年-X（X）j个|)n个-22+τ+θ∑X（X）j个∈X（X）我,米1(1+|年-X（X）j个|)n个-22+τ).
我们证明了这一点∥ϕ∥*≤C类∥小时∥*对于我足够大。如果没有，我们可以找到序列我→∞,米我≥1,Λ我,我∈[C类1,C类2],P（P）我,我∈B类12(X（X）我),b条我,我,c（c）我,j个,我和ϕ我具有∥ϕ我∥*=1，因此(答9)满足于∥小时我∥*→0。我们可以假设∥ϕ我∥*=1因此，对于一些年我∈ℝn个，我们从(A.10节)那个
（A.11）1=∥ϕ我∥*≤C类(∥小时我∥*+∑X（X）j个∈X（X）我,米1(1+|年我-X（X）j个|)n个-22+τ+θ∑X（X）j个∈X（X）我,米1(1+|年我-X（X）j个|)n个-22+τ).
然后有一个常数R（右）>0，独立于米，因此对一些人来说我(我),年我∈B类R（右）(X（X）我(我))对所有人来说我大型。（如果年我离一切都很远X（X）我，右侧(A.11节)正在接近零我→∞.）因此我们得到了
最大值𝔹R（右）(x个我(我))|λτ-1ϕ我(年)|≥一>0.
从引理的证明答3，对于任何固定R（右）>0，很容易看出
周米(x个-P（P）我(我))→σ0,Λ
对一些人来说Λ∈[C类1,C类2]在里面B类R（右）作为我→∞独立于米.乘法λτ-1在方程的两边(答9)并使用估计值(A.6)的b条我,我和c（c）我,j个,我事实上∥小时我∥*→0，我们可以看到
ϕ~我(年):=λτ-1ϕ(年-P（P）我(我))
在任何紧集上一致收敛到非零解ϕ~属于
（A.12）-Δϕ~-n个+2n个-2σ0,Λ4n个-2ϕ~=0
对一些人来说Λ∈[C类1,C类2]。我们将展示这一点ϕ~垂直于核(A.12节)因此ϕ~=0，这是一个矛盾。
为此，通过引理答3，我们得到
λτ-1ϕ(年)≤Φ(年)=C类{1(1+|年-X（X）j个|)n个-22+1,年∈B类j个∩Ωj个,λτ-1(λ我)k个1(1+|年-X（X）j个|)n个-22+τ-k个,年∈B类j个c（c）∩Ωj个.
自
σ我(年),|∂σ我∂P（P）我j个(年)|,|∂σ我∂Λ我(年)|≤C类(1+|年-X（X）我|)n个-2,
从支配收敛定理和
〈Φ,σ我〉=0,〈Φ,∂σ我∂P（P）我j个〉=0,〈Φ,∂σ我∂Λ我〉=0,
我们获得
〈ϕ~,σ0,Λ〉=〈ϕ~,∂σ0,Λ∂x个j个〉=〈ϕ~,∂σ0,Λ∂Λ〉=0.
因此，我们证明了这一结论。∎
引理A.9。
对于j个=1,…,n个,我=1,…,(米+1)k个,0<C类1≤Λ我≤C类2<∞和P（P）我∈B类12(X（X）我)，我们有
∫ℝn个K（K）λ(年)σ我n个+2n个-2∂σ我∂P（P）我j个=D类n个,β一j个Λ我β-2λβ(P（P）我j个-X（X）我j个)+O（运行）(|P（P）我-X（X）我|2λβ)+o个(1λβ),
哪里
D类n个,β=(n个(n个-2))n个2(n个-2)β∫ℝn个|x个j个|β(1+|x个|2)n个+1𝑑x个,
和o个λ(1)仅取决于函数的条件R（右）(年λ)近的X（X）我和o个(1)→0作为我→∞（或与λ→∞)（参见备注A.1款（见下文）。
证明。
让δ=λβ-n个2n个.我们有
∫ℝn个K（K）λ(年)σ我n个+2n个-2∂σ我∂P（P）我j个
=(n个-2)∫ℝn个K（K）λ(年)σ我2n个n个-2Λ我2(年j个-P（P）我j个)1+Λ我2|年-P（P）我|2𝑑年
=(n个-2)∫|年-X（X）我|≤δλK（K）λ(年)σ我2n个n个-2Λ我2(年j个-P（P）我j个)1+Λ我2|年-P（P）我|2𝑑年+O（运行）(1(δλ)n个+1)
=n个-2λβ∫|年-X（X）我|≤δλ(∑小时一小时|年小时-X（X）我小时|β+o个(1)|年-X（X）我|β)σ我2n个n个-2Λ我2(年j个-P（P）我j个)1+Λ我2|年-P（P）我|2𝑑年
+O（运行）(1(δλ)n个+1)
=n个-2λβ∫|年-X（X）我|≤δλ∑小时一小时|年小时-X（X）我小时|βσ我2n个n个-2Λ我2(年j个-P（P）我j个)1+Λ我2|年-P（P）我|2d日年
+o个(1λβ)+o个(|P（P）我-X（X）我|βλβ)
=(n个(n个-2))n个2n个-2λβ∫ℝn个∑小时一小时(|x个小时|β+β|x个小时|β-2x个小时(P（P）我-X（X）我)小时+O（运行）(|P（P）我-X（X）我|2))
×Λ我n个(1+Λ我2|x个|2)n个Λ我2x个j个(1+Λ我2|x个|2)d日x个
+o个(1λβ)+o个(|P（P）我-X（X）我|βλβ)
=(n个(n个-2))n个2(n个-2)β一j个Λ我β-2λβ∫ℝn个|x个j个|β(1+|x个|2)n个+1𝑑x个⋅(P（P）我j个-X（X）我j个)
+o个(1λβ)+O（运行）(|P（P）我-X（X）我|2λβ)+o个(|P（P）我-X（X）我|βλβ).
如果我们允许
D类n个,β=(n个(n个-2))n个2(n个-2)∫ℝn个|x个j个|β(1+|x个|2)n个+1𝑑x个,
我们完成了证明。∎
备注A.1。
这个o个λ(1)只取决于R（右）(年λ)近的X（X）我，估计值不取决于P（P）我只要|P（P）我-X（X）我|≤12如果我们知道更多，请说|∇R（右）(x个)≤C类|x个|β-1+秒一些小的接近0秒>0，然后o个λ(1)=C类λ秒.
引理A.10。
我们有
∫ℝn个K（K）λ(年)σ我n个+2n个-2∂σ我∂Λ我=C类三Λ我β+1λβ+O（运行）(|P（P）我-X（X）我|β-1λβ)+o个(1λβ),
哪里o个(1)与引理中的相同答9和
C类三=-β[n个(n个-2)]n个2(n个-2)2n个(∑我一我)∫ℝn个|年1|β(1+|年|2)𝑑年>0.
证明。
请注意
∫K（K）λ(年)σ我n个+2n个-2∂σ我∂Λ我=n个-22n个∂∂Λ我∫K（K）λ(年)σ我2n个n个-2
=-1Λ我[n个(n个-2)]n个2(n个-2)2n个
×∫|年|≤δλ(∇K（K）(年λΛ我+P（P）我λ)⋅年λΛ我)1(1+|年|2)n个𝑑年
+O（运行）(1(δλ)n个)
=-βΛ我[n个(n个-2)]n个2(n个-2)2n个∫ℝn个∑一小时|年小时|β(Λ我λ)β1(1+|年|2)n个d日年
+o个(1λβ)+O（运行）(|P（P）我-X（X）我|β-1λβ)
=C类三Λ我β+1λβ+o个(1λβ)+O（运行）(|P（P）我-X（X）我|β-1λβ).∎
引理A.11。
对于j个=1,…,n个，我们有
∫ℝn个K（K）λ(年)(周¯米+ϕ)n个+2n个-2Z轴我,j个𝑑年
=∫ℝn个K（K）λ(年)σ我n个+2n个-2Z轴我,j个𝑑年
+C类(|ϵ|2+∥ϕ∥*n个+2n个-21(λ我)n个2+τn个+2n个-2+∥ϕ∥*21λ2τ-2+1λβ+1+o个(1λn个)).
证明。
我们从开始
|(周¯米+ϕ)n个+2n个-2-周米n个+2n个-2-n个+2n个-2周米4n个-2(ϵ周米+ϕ)|≤C类{|ϕ+ϵ周米|n个+2n个-2如果|ϕ|≥周米,周米6-n个n个-2|ϵ周米+ϕ|2如果|ϕ|≤周米.
按引理答5，当λ较大时，如果|ϕ|≥周米，然后
年∈(⋃j个(B类j个∩Ωj个))c（c）=:Ω.
所以
∫ℝn个K（K）λ(年)(周¯米+ϕ)n个+2n个-2Z轴我,j个𝑑年
=∫ℝn个K（K）λ(年)(周米n个+2n个-2+n个+2n个-2周米4n个-2(ϵ周米+ϕ))Z轴我,j个𝑑年
+O（运行）(1)∫Ω|ϕ+ϵ周米|n个+2n个-2|Z轴我,j个|+O（运行）(1)∫ℝn个周米6-n个n个-2|ϵ周米+ϕ|2|Z轴我,j个|.
按引理A.1款，引理A.2款和引理证明中的类似论点A.4，我们很容易做到
∫Ω|ϕ+ϵ周米|n个+2n个-2|Z轴我,j个|≤C类∫Ω|ϕ|n个+2n个-2|Z轴我,j个|𝑑年
≤C类∥ϕ∥*n个+2n个-2(λ我)4n个-2k个∫Ω∑j个1(1+|z（z）-X（X）j个|)n个+22+n个+2n个-2τ-4n个-2k个
×1(1+|z（z）-X（X）我|)n个-1d日z（z）
≤C类∥ϕ∥*n个+2n个-2(λ我)n个2+τn个+2n个-2 （引理A.1）.
使用引理A.1款，引理A.2款和引理答3，我们可以推断
∫ℝn个周米6-n个n个-2|ϵ周米+ϕ|2|Z轴我,j个|𝑑年≤C类∫ℝn个(|ϵ|2周米n个+2n个-2+周米6-n个n个-2|ϕ|2)|Z轴我,j个|𝑑年
≤C类(|ϵ|2+(∥ϕ∥*λτ-1)2)
和
|周米4n个-2-σ我4n个-2|≤C类{周^米,我4n个-2如果周^米,我>σ我,σ我4n个-2-1周^米,我如果周^米,我≤σ我.
按引理答3，我们知道周^米,我≤σ我在里面B类我（我们可能需要将球缩小一点）和周^米,我≥σ我在每个B类j个具有j个≠我.自〈ϕ,Z轴我,j个〉=0，我们可以
∫ℝn个K（K）λ(年)周米4n个-2ϕZ轴我,j个𝑑年=∫ℝn个K（K）λ(年)σ我4n个-2ϕZ轴我,j个𝑑年+o个(1)1λn个
=∫ℝn个(K（K）λ(年)-1)σ我4n个-2ϕZ轴我,j个𝑑年+o个(1λn个)
≤C类λβ+1+o个(1λn个).
同样，
∫ℝn个K（K）λ(年)周米4n个-2ϵ周米Z轴我,j个𝑑年=∫ℝn个(K（K）λ(年)-1)ϵ我σ我n个+2n个-2Z轴我,j个𝑑年+C类|ϵ|(λ我)n个-2≤o个(1λn个).
对于n个≥5它认为
|周米n个+2n个-2-σ我n个+2n个-2-n个+2n个-2σ我4n个-2周^米,我|≤C类{周^米,我n个+2n个-2如果周^米,我≥σ我,周^米,我2σ我4n个-2-1≤周^米,我n个n个-2σ我n个n个-2-1如果周^米,我≤σ我.
使用引理A.1款，我们推断
∫ℝn个|K（K）λ(年)周^米,我n个+2n个-2Z轴我,j个|𝑑年≤C类(λ我)n个-1
和
∫ℝn个|K（K）λ(年)周^米,我n个n个-2σ我n个n个-1-1Z轴我,j个|𝑑年≤C类(λ我)n个-1.
对于秒≠我，通过变量的更改秒≠我,
n个+2n个-2∫ℝn个K（K）λ(年)σ我4n个-2σ秒Z轴我,j个𝑑年=∂∂P（P）我j个∫ℝn个K（K）λ(年)σ我n个+2n个-2σ秒𝑑年
=∂∂P（P）我j个∫ℝn个K（K）(t吨+P（P）我λ)σ0,Λ我n个+2n个-2σP（P）秒-P（P）我,Λ秒𝑑t吨
=1λ∫ℝn个∂K（K）(t吨+P（P）我λ)∂t吨j个σ0,Λ我n个+2n个-2σP（P）秒-P（P）我,Λ秒𝑑t吨
-∫ℝn个K（K）(t吨+P（P）我λ)σ0,Λ我n个+2n个-2∂σP（P）秒-P（P）我,Λ秒∂P（P）秒j个𝑑t吨.
从上面开始，使用引理A.1款，很容易看出
|∫ℝn个K（K）λ(年)σ我4n个-2周^米,我Z轴我,j个𝑑年|≤C类λ(λ我)n个-2+C类(λ我)n个-1.
同样，
|∑秒≠我(1+ϵ秒)〈∂σ我∂P（P）我j个,σ秒〉|≤C类(1+|ϵ|)(λ我)n个-1.
上述估计给出了结论。∎
引理A.12。
对于一些常量C类>0独立于我,j个和米,
|∫ℝn个K（K）λ(x个)σ我n个+2n个-2∂σj个∂Λj个𝑑x个-∫ℝn个σ我n个+2n个-2∂σj个∂Λj个|≤C类|P（P）我-P（P）j个|n个-2λ2.
证明。
采取δ>0足够小，因此
|K（K）(x个)-1|≤c（c）|x个|β
对一些人来说c（c）>0和x个∈B类δ(0).自K（K）(X（X）我)=1，我们得到
∫ℝn个K（K）λ(x个)σ我n个+2n个-2∂σj个∂Λj个𝑑x个=∫ℝn个σ我n个+2n个-2∂σj个∂Λj个+∫B类δλ(X（X）我)∪B类δλ(X（X）j个)∪(B类δλc（c）(X（X）我)∩B类δλc（c）(X（X）j个))(K（K）λ(x个)-1)σ我n个+2n个-2∂σj个∂Λj个𝑑x个,
还有
|∫B类δλ(X（X）我)(K（K）λ(x个)-1)σ我n个+2n个-2∂σj个∂Λj个𝑑x个|≤C类∫B类δλ(X（X）我)|x个-X（X）我|βλβσ我n个+2n个-2σj个𝑑x个≤C类∫B类δλ(0)(|x个|βλβ+|P（P）我-X（X）我|βλβ)1(1+|x个|2)n个+221(1+|x个-P（P）j个+P（P）我|2)n个-22𝑑x个≤C类|P（P）我-P（P）j个|n个-2∫B类δλ(0)(|x个|βλβ+|P（P）我-X（X）我|βλβ)1(1+|x个|2)n个+22𝑑x个≤C类|P（P）我-P（P）j个|n个-2(1λ2+1λβ)≤C类|P（P）我-P（P）j个|n个-2λ2.
同样，
|∫B类δλ(X（X）j个)(K（K）λ(x个)-1)σ我n个+2n个-2∂σj个∂Λj个𝑑x个|≤C类|P（P）我-P（P）j个|n个+2(λ2+λ三-β)≤C类|P（P）我-P（P）j个|n个-2λ2.
最后，
（A.13）|∫B类δλc（c）(X（X）我)∩B类δλc（c）(X（X）j个)(K（K）λ(x个)-1)σ我n个+2n个-2∂σj个∂Λj个𝑑x个|
≤C类∫B类δλc（c）(X（X）我)∩B类δλc（c）(X（X）j个)σ我n个+2n个-2σj个𝑑x个
≤C类∫B类δλc（c）(0)∩B类δλc（c）(X（X）j个-X（X）我)1(1+|x个|2)n个+22(1+|x个-P（P）j个+P（P）我|2)n个-22𝑑x个.
让z（z）=P（P）j个-P（P）我和2d日=|z（z）|.估计(A.13节)，我们将使用Wei–Yan在[49]. 自d日>δλ什么时候我很大，我们可以分开
B类δλc（c）(0)∩B类δλc（c）(X（X）j个-X（X）我)=A类1∪A类2∪A类三,
哪里A类1=B类d日(0)∖B类δλ(0),A类2=B类d日(X（X）j个-X（X）我)∖B类δλ(X（X）j个-X（X）我),A类三=B类d日c（c）(0)∩B类d日c（c）(X（X）j个-X（X）我).我们有
∫A类11(1+|x个|2)n个+22(1+|x个-z（z）|2)n个-22𝑑x个≤C类d日n个-2∫A类11(1+|x个|2)n个+22𝑑x个≤C类|P（P）我-P（P）j个|n个-2λ2.
同样，它认为
∫A类21(1+|x个|2)n个+22(1+|x个-z（z）|2)n个-22𝑑x个≤C类|P（P）我-P（P）j个|n个.
打开A类三，来自[49],
1(1+|x个|2)n个+22(1+|x个-z（z）|2)n个-22≤C类|x个|n个-2(1+|x个|)n个+2≤C类|x个|2n个,
因此，我们推断
∫A类三1(1+|x个|2)n个+22(1+|x个-z（z）|2)n个-22𝑑x个≤C类|P（P）我-P（P）j个|n个,
它给出了
|∫B类δλc（c）(X（X）我)∩B类δλc（c）(X（X）j个)(K（K）λ(x个)-1)σ我n个+2n个-2∂σj个∂Λj个𝑑x个|≤C类|P（P）我-P（P）j个|n个-2λ2.
引理的结论很容易得出。∎
引理A.13。
对于一些常量C类>0，独立于我,j个,米,
|∫ℝn个K（K）λ(x个)σj个4n个-2σ我∂σj个∂Λj个𝑑x个-n个-2n个+2∫ℝn个σ我n个+2n个-2∂σj个∂Λj个𝑑x个|≤C类|P（P）我-P（P）j个|n个-2λ2.
证明。
我们有
∫ℝn个K（K）λ(x个)σj个4n个-2σ我∂σj个∂Λj个𝑑x个=n个-2n个+2∫ℝn个K（K）λ(x个)∂σj个n个+2n个-2∂Λj个σ我𝑑x个=n个-2n个+2∫ℝn个∂σj个n个+2n个-2∂Λj个σ我𝑑x个+n个-2n个+2∫ℝn个(K（K）λ(x个)-1)∂σj个n个+2n个-2∂Λj个σ我𝑑x个=n个-2n个+2∫ℝn个σ我n个+2n个-2∂σj个∂Λj个𝑑x个+n个-2n个+2∫ℝn个(K（K）λ(x个)-1)∂σj个n个+2n个-2∂Λj个σ我𝑑x个.
上面的第二个误差项可以像引理中一样进行估计A.12节证明就这样完成了。∎
