A附录
关于的固有平坦极限的下列定理具有不同度量的积分电流空间可能适用于其他设置。这个定理的Gromov–Hausdorff部分已经格罗莫夫在[8]但完全是公共度量空间的不同证明Z轴是不相交的结合。事实上，一个人也得到了一个内在的平面与Gromov–Hausdorff极限一致的极限是新的。
定理A.1。
修复预紧器n个-维积分电流空间(X（X）,d日0,T型)无边界（例如。∂T型=0)并修复λ>0。假设d日j个指标是否为X（X）这样的话
（A.1）λ≥d日j个(第页,q个)d日0(第页,q个)≥1λ.
然后存在一个子序列，也表示为d日j个,和长度度量d日∞令人满意的(A.1款)这样的话d日j个一致收敛于d日∞
（A.2）ϵj个=啜饮{|d日j个(第页,q个)-d日∞(第页,q个)|:第页,q个∈X（X）}→0.
此外，
（A.3）林j个→∞d日高((X（X）,d日j个),(X（X）,d日∞))=0
和
（A.4）林j个→∞d日ℱ((X（X）,d日j个,T型),(X（X）,d日∞,T型))=0.
特别地，(X（X）,d日∞,T型)是积分电流空间和设置(T型)=X（X）所以没有消失的序列点x个j个∈(X（X）,d日j个).
事实上，我们已经
（A.5）d日高((X（X）,d日j个),(X（X）,d日∞))≤2ϵj个
和
（A.6）d日ℱ((X（X）,d日j个,T型),(X（X）,d日∞,T型))≤2n个+12λn个+12ϵj个𝑴(X（X）,d日0)(T型).
为了证明这个定理，我们需要一系列引理：
引理A.2。
在定理假设下A.1款，存在一个子序列，也表示为d日j个,和长度度量d日∞令人满意的(A.1款)这样的话d日j个一致收敛于d日∞,
林j个→∞啜饮{|d日j个(第页,q个)-d日∞(第页,q个)|:第页,q个∈X（X）}→0,
和(X（X）,d日∞,T型)是一个积分电流空间。
证明。
观察功能d日j个可以扩展到度量完成
d日j个:X（X）¯×X（X）¯→[0,直径d日j个(X（X）)]⊂[0,λ直径d日0(X（X）)].
由(A.1款)它们是等连续的，因此由Arzela–Ascoli定理：它们具有一致收敛到函数的子序列
d日∞:X（X）¯×X（X）¯→[0,λ直径d日0(X（X）)].
取的极限(A.1款)我们看到了d日∞满足(A.1款)还有。特别地，d日∞是一个上的公制X（X）.
此外，安布罗西奥-基尔赫姆使用定义的质量度量d日0并使用定义d日j个可能与以下内容有关：
λn个∥T型∥0≥∥T型∥j个≥∥T型∥0λ-n个.
回想一下X（X）=设置0(T型)⊂X（X）¯因为(X（X）,d日0,T型)是一个积分电流空间（根据积分电流空间的定义）。一般来说，正密度集也取决于公制，就像质量度量一样完成。这里有
X（X）=设置0(T型)
={第页∈X（X）¯:lim信息第页→0∥T型∥0(B类第页(第页))第页n个>0}
={第页∈X（X）¯:有限元基础设施第页→0∥T型∥j个(B类第页(第页))第页n个>0}
=设置j个(T型)
等等(X（X）,d日j个,T型)也是一个积分电流空间。这是对所有人来说都是正确的j个=1,2,…,∞.∎
引理A.3。
给定两个度量空间(X（X）,d日j个)和(X（X）,d日∞)存在公共度量空间
Z轴j个=[-ϵj个,ϵj个]×X（X）,
哪里
（A.7）ϵj个=啜饮{|d日j个(第页,q个)-d日∞(第页,q个)|:第页,q个∈X（X）}
使用公制d日j个′在Z轴j个这样的话
（A.8）d日j个′((-ϵj个,第页),(-ϵj个,q个))=d日j个(第页,q个)
和
（A.9）d日j个′((ϵj个,第页),(ϵj个,q个))=d日∞(第页,q个).
因此我们有公制等轴测嵌入φj个:(X（X）,d日j个)→(Z轴j个,d日j个′),φj个′:(X（X）,d日∞)→(Z轴j个,d日j个′)这样的话
φj个(第页)=(-ϵj个,第页) 𝑎𝑛𝑑 φj个′(第页)=(ϵj个,第页).
此外，如果d日0,d日j个满足(A.1款)，然后
（A.10）d日j个′(z（z）1,z（z）2)≤d日0′((t吨1,第页1),(t吨2,第页2)):=|t吨1-t吨2|+λd日0(第页1,第页2).
更准确地说，我们定义d日j个′通过
d日j个′(z（z）1,z（z）2):=最小值{d日,d日-,d日+,d日-+,d日+-}
哪里
d日=d日(z（z）1,z（z）2)=|t吨1-t吨2|+最大值{d日j个(第页1,第页2),d日∞(第页1,第页2)},
d日-=d日-(z（z）1,z（z）2)=|t吨1+ϵj个|+|t吨2+ϵj个|+d日j个(第页1,第页2),
d日+=d日+(z（z）1,z（z）2)=|t吨1-ϵj个|+|t吨2-ϵj个|+d日∞(第页1,第页2),
d日-+=d日-+(z（z）1,z（z）2)=inf公司{d日-(z（z）1,z（z）)+d日+(z（z）,z（z）2):z（z）∈Z轴j个},
d日+-=d日+-(z（z）1,z（z）2)=inf公司{d日+(z（z）1,z（z）)+d日-(z（z）,z（z）2):z（z）∈Z轴j个}.
请注意Z轴j个不必是完整的度量空间，即使X（X）在这两个指标方面都是完整的。参见示例A.4款然而，我们可能总是以公制完成Z轴j个如果我们需要一个完整的度量空间。
在证明这个引理之前，我们应用它来证明定理A.1款:
首先应用引理A.2款和答3并以公制完成Z轴j个如果不是的话但已完成。请注意
d日j个′((-ϵj个,第页),(ϵj个,第页))≤d日-((-ϵj个,第页),(ϵj个,第页))
=0+2ϵj个+d日j个(第页,第页)
=2ϵj个.
因此
d日H（H）Z轴j个(φj个(X（X）),φj个′(X（X）))≤2ϵj个
我们有(A.5)这意味着(答3).
为了获得(答6)，我们采取B类j个=我ϵ×T型为积积分电流在Z轴j个=我ϵ×X（X），其中我ϵ=[-ϵj个,ϵj个]（请参见[21]精确定义此类区间乘积电流）。什么时候？T型只是整合结束了光滑的流形M（M），那么我ϵ×T型只是整合结束了我ϵ×M（M）.
在[21]事实证明
∂(我ϵ×T型)=我ϵ×(∂T型)+(∂我ϵ)×T型.
自∂T型=0，我们有
∂B类j个=φj个#T型-φj个#′T型.
然后通过固有平坦距离的定义，
d日ℱ((X（X）,d日j个,T型),(X（X）,d日∞,T型))≤d日F类Z轴j个(φj个#T型,φj个#′T型)
≤𝐌(Z轴j个,d日j个′)(B类)+0.
所以我们只需要估计B类j个.
在[21]结果表明：
𝐌(Z轴j个,D类j个)([-ϵj个,ϵj个]×T型)=2ϵj个𝐌(X（X）,λd日0)(T型)
当距离D类j个是等距乘积度量在Z轴j个用定义d日0:
D类j个((t吨1,第页1),(t吨2,第页2))=|t吨1-t吨2|2+(λd日0(第页1,第页2))2.
自
d日j个′(z（z）1,z（z）2)≤d日0′((t吨1,第页1),(t吨2,第页2)):=|t吨1-t吨2|+λd日0(第页1,第页2)
≤2D类j个((t吨1,第页1),(t吨2,第页2)).
我们有
𝐌(Z轴j个,d日j个′)(B类)≤𝐌(Z轴j个,2D类)(B类)
≤2n个+12𝐌(Z轴j个,D类j个)(B类)
≤2n个+122ϵj个𝐌(X（X）,λd日0)(T型)
≤2n个+12λn个+12ϵj个𝐌(X（X）,d日0)(T型).
因此，我们有(答6)这意味着(A.4款).
这就完成了定理的证明A.1款.∎
最后，我们证明了引理答3:
证明。
首先要注意的是
d日-+=|t吨1+ϵj个|+|t吨2-ϵj个|+2ϵj个+inf公司{d日j个(第页1,第页)+d日∞(第页,第页2):第页∈X（X）},
d日+-=|t吨1-ϵj个|+|t吨2+ϵj个|+2ϵj个+inf公司{d日∞(第页1,第页)+d日j个(第页,第页2):第页∈X（X）}.
请注意d日j个′立即对称且非负。它是正定的，因为
最小值{d日(z（z）1,z（z）2),d日-(z（z）1,z（z）2),d日+(z（z）1,z（z）2)}≥|t吨1-t吨2|+最小值{d日j个(第页1,第页2),d日∞(第页1,第页2)}
而且很清楚d日-+(z（z）1,z（z）2),d日+-(z（z）1,z（z）2)>2ϵj个对于distinctz（z）1,z（z）2.
在证明三角不等式之前，我们应用(答7)来证明(答8):
d日-((-ϵj个,第页1),(-ϵj个,第页2))=d日j个(第页1,第页2),
d日((-ϵj个,第页1),(-ϵj个,第页2))≥d日j个(第页1,第页2),
d日+((-ϵj个,第页1),(-ϵj个,第页2))=4ϵj个+d日∞(第页1,第页2)≥4ϵj个+d日j个(第页1,第页2)-ϵj个≥d日j个(第页1,第页2),
d日-+((-ϵj个,第页1),(-ϵj个,第页2))=0+2ϵj个+2ϵj个+inf公司{d日j个(第页1,第页)+d日∞(第页,第页2):第页∈X（X）}
≥4ϵj个+d日j个(第页1,第页2)-ϵj个≥d日j个(第页1,第页2),
d日+-((-ϵj个,第页1),(-ϵj个,第页2))=2ϵj个+0+2ϵj个+inf公司{d日∞(第页1,第页)+d日j个(第页,第页2):第页∈X（X）}
≥4ϵj个+d日j个(第页1,第页2)-ϵj个≥d日j个(第页1,第页2).
当然(答9)以类似的方式跟进。
现在证明三角形不等式就足够了。在(A.13节)–(A.16节)我们证明了三角形在以下情况下的不等式
（A.11）d日j个′(z（z）1,z（z）2)=最小值{d日(z（z）1,z（z）2),d日-(z（z）1,z（z）2),d日+(z（z）1,z（z）2)}
和
（A.12）d日j个′(z（z）2,z（z）三)=最小值{d日(z（z）2,z（z）三),d日-(z（z）2,z（z）三),d日+(z（z）2,z（z）三)}.
请注意
（A.13）d日j个′(z（z）1,z（z）三)≤d日(z（z）1,z（z）三)
=|t吨1-t吨三|+最大值{d日j个(第页1,第页三),d日∞(第页1,第页三)}
≤|t吨1-t吨2|+|t吨2-t吨三|
+最大值{d日j个(第页1,第页2)+d日j个(第页2,第页三),d日∞(第页1,第页2)+d日∞(第页2,第页三)}
≤|t吨1-t吨2|+最大值{d日j个(第页1,第页2),d日∞(第页1,第页2)}
+|t吨2-t吨三|+最大值{d日j个(第页2,第页三),d日∞(第页2,第页三)}
=d日(z（z）1,z（z）2)+d日(z（z）2,z（z）三),
d日j个′(z（z）1,z（z）三)≤d日-(z（z）1,z（z）三)
=|t吨1+ϵj个|+|t吨三+ϵj个|+d日j个(第页1,第页三)
≤|t吨1-t吨2|+|t吨2+ϵj个|+|t吨三+ϵj个|+d日j个(第页1,第页2)+d日j个(第页2,第页三)
≤|t吨1-t吨2|+最大值{d日j个(第页1,第页2),d日∞(第页1,第页2)}
+|t吨2+ϵj个|+|t吨三+ϵj个|+d日j个(第页2,第页三)
≤d日(z（z）1,z（z）2)+d日-(z（z）2,z（z）三),
和类似的
（A.14）d日j个′(z（z）1,z（z）三)≤d日(z（z）1,z（z）2)+d日+(z（z）2,z（z）三).
显然，
|t吨1+ϵj个|+|t吨三+ϵj个|≤|t吨1+ϵj个|+2|t吨2+ϵj个|+|t吨三+ϵj个|
所以
（A.15）d日j个′(z（z）1,z（z）三)≤d日-(z（z）1,z（z）2)+d日-(z（z）2,z（z）三),
d日j个′(z（z）1,z（z）三)≤d日+(z（z）1,z（z）2)+d日+(z（z）2,z（z）三).
根据我们的定义
（A.16）d日j个′(z（z）1,z（z）三)≤d日-+(z（z）1,z（z）三)≤d日-(z（z）1,z（z）2)+d日+(z（z）2,z（z）三),
d日j个′(z（z）1,z（z）三)≤d日+-(z（z）1,z（z）三)≤d日+(z（z）1,z（z）2)+d日-(z（z）2,z（z）三).
因此，我们证明了三角形不等式成立只要(A.11节)–(A.12节)保持。
我们只需要证明三角不等式所有五个案例中
d日j个′(z（z）1,z（z）2)=d日-+(z（z）1,z（z）2).
其余情况将遵循的定义d日-+和d日+-和在交换要点z（z）1,z（z）2具有z（z）三,z（z）2.我们有
d日j个′(z（z）1,z（z）三)≤d日-+(z（z）1,z（z）三)
=|t吨1+ϵj个|+|t吨三-ϵj个|+2ϵj个+inf公司{d日j个(第页1,第页)+d日∞(第页,第页三):第页∈X（X）}
≤|t吨1+ϵj个|+|t吨2-ϵj个|+2ϵj个+|t吨三-t吨2|
+inf公司{d日j个(第页1,第页)+d日∞(第页,第页2)+d日∞(第页2,第页三):第页∈X（X）}
≤d日-+(z（z）1,z（z）2)+d日(z（z）2,z（z）三),
d日j个′(z（z）1,z（z）三)≤d日-+(z（z）1,z（z）三)
=inf公司{d日-(z（z）1,z（z）)+d日+(z（z）,z（z）三):z（z）∈Z轴}
≤inf公司{d日-(z（z）1,z（z）)+d日+(z（z）,z（z）2)+d日+(z（z）2,z（z）三):z（z）∈Z轴j个}
=d日-+(z（z）1,z（z）2)+d日+(z（z）2,z（z）三).
下面我们将使用以下不等式，它来自(答7),
d日j个(第页1,第页2)≤inf公司{d日j个(第页1,第页)+d日∞(第页,第页2):第页∈X（X）}+ϵj个.
所以
d日j个′(z（z）1,z（z）三)≤d日-(z（z）1,z（z）三)
=|t吨1+ϵj个|+|t吨三+ϵj个|+d日j个(第页1,第页三)
≤|t吨1+ϵj个|+|t吨三+ϵj个|+d日j个(第页1,第页2)+d日j个(第页2,第页三)
≤|t吨1+ϵj个|+|t吨三+ϵj个|+inf公司{d日j个(第页1,第页)+d日∞(第页,第页2):第页∈X（X）}
+ϵj个+d日j个(第页2,第页三)
≤d日-+(z（z）1,z（z）2)+d日-(z（z）2,z（z）三)
和
d日j个′(z（z）1,z（z）三)≤d日-+(z（z）1,z（z）三)
=|t吨1+ϵj个|+|t吨三-ϵj个|+2ϵj个+inf公司{d日j个(第页1,第页)+d日∞(第页,第页三):第页∈X（X）}
≤|t吨1+ϵj个|+|t吨三-ϵj个|+2ϵj个+inf公司{d日j个(第页1,第页′)+d日j个(第页′,第页2):第页′∈X（X）}
+inf公司{d日j个(第页2,第页)+d日∞(第页,第页三):第页∈X（X）}
≤|t吨1+ϵj个|+|t吨三-ϵj个|+三ϵj个+inf公司{d日j个(第页1,第页′)+d日∞(第页′,第页2):第页′∈X（X）}
+inf公司{d日j个(第页2,第页)+d日∞(第页,第页三):第页∈X（X）}
≤d日-+(z（z）1,z（z）2)+d日-+(z（z）2,z（z）三),
d日j个′(z（z）1,z（z）三)≤d日-(z（z）1,z（z）三)
=|t吨1+ϵj个|+|t吨三+ϵj个|+d日j个(第页1,第页三)
≤|t吨1+ϵj个|+|t吨三+ϵj个|+d日j个(第页1,第页2)+d日j个(第页2,第页三)
≤|t吨1+ϵj个|+|t吨三+ϵj个|+2ϵj个+inf公司{d日j个(第页1,第页)+d日∞(第页,第页2):第页∈X（X）}
+inf公司{d日j个(第页2,第页)+d日∞(第页,第页三):第页∈X（X）}
≤d日-+(z（z）1,z（z）2)+d日+-(z（z）2,z（z）三).
因此d日j个′是一个度量。∎
公制空间Z轴j个在引理中构造答3不一定完整，即使X（X）充满敬意到两者d日j个和d日∞:
示例A.4。
让X（X）={0,12,14,…}∪{1}.让
d日j个(第页1,第页2)=|第页1-第页2|.
让F类:X（X）→X（X）成为身份映射于X（X）∖{0,1}和F类(0)=1和F类(1)=0.让
d日∞(第页1,第页2)=|F类(第页1)-F类(第页2)|.
两者都有(X（X）,d日j个)和(X（X）,d日∞)是完整的，但具有不同的限制序列{12,14,…}:
d日j个(1我,0)→0 和 d日∞(1我,1)→0 作为我→∞.
请注意ϵj个=1因为
1≥ϵj个≥林我→∞|d日j个(1我,1)-d日∞(1我,1)|=1.
所以
Z轴j个=[-1,1]×X（X）.
按照点的顺序z（z）我=(0,1我).此序列柯西在吗Z轴j个因为
d日j个′(z（z）我,z（z）k个)≤d日(z（z）我,z（z）k个)=0+|1我-1k个| 为所有人我,k个>1.
相反，假设该点序列收敛到某一点
z（z）∞=(t吨∞,第页∞)∈Z轴j个.
观察任何情况z（z）∈Z轴j个,
d日+(z（z）我,z（z）)≥|0-1|+|t吨-1|≥1,
d日-(z（z）我,z（z）)≥|0+1|+|t吨+1|≥1,
d日-+(z（z）我,z（z）∞)=inf公司{d日-(z（z）我,z（z）)+d日+(z（z）,z（z）∞):z（z）∈Z轴j个}≥1,
d日+-(z（z）我,z（z）∞)=inf公司{d日+(z（z）我,z（z）)+d日-(z（z）,z（z）∞):z（z）∈Z轴j个}≥1.
因此，对于我足够大，
d日j个′(z（z）我,z（z）∞)=d日(z（z）我,z（z）∞)=|0-t吨∞|+最大值{d日j个(1我,第页∞),d日∞(1我,第页∞)}→0.
因此第页∞是序列的极限{1我}关于这两个指标d日j个,d日∞，这是一个矛盾。因此Z轴j个不完整。
的度量完成Z轴j个是
Z轴¯j个=[-1,1]×(X（X）∪{第页∞})|∼,
哪里(-1,第页∞)∼(-1,0)和(1,第页∞)∼(1,1).对于t吨我∈[-1,1]和第页我∈X（X）我们有
d日j个′((t吨1,第页1),(t吨2,第页2))=如引理A.3所示,
d日j个′((t吨1,第页1),(t吨2,第页∞))=林k个→∞d日j个′((t吨1,第页1),(t吨2,1k个)),
d日j个′((t吨1,第页∞),(t吨2,第页∞))=林k个→∞d日j个′((t吨1,1k个),(t吨2,1k个)).
注意这个距离
d日j个′((-1,0),(-1,第页∞))=林k个→∞d日j个′((-1,0),(-1,1k个))
=林k个→∞d日j个(0,1k个)=d日j个(0,0)=0,
d日j个′((1,1),(1,第页∞))=林k个→∞d日j个′((1,1),(1,1k个))
=林k个→∞d日∞(1,1k个)=d日j个(0,1k个)=0,
这就是为什么(-1,第页∞)∼(-1,0)和(1,第页∞)∼(1,1).
