p-adic L-functions and the coniveau filtration on Chow groups

Massimo Bertolini; Henri Darmon; Kartik Prasanna; Brian Conrad

doi:10.1515/crelle-2014-0150

发布人：德古意特出版社 2015年4月21日

第页-阿迪奇L（左）-Chow群上的函数和锥凹过滤

马西莫·贝尔托里尼，亨利·达蒙，卡尔蒂克·普拉桑纳和布莱恩·康拉德

来自日志《弗迪雷恩·安格旺德·马塞马提克杂志》（克雷莱斯杂志）

https://doi.org/10.1515/crelle-2014-0150

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摘要

我们通过以下公式为Beilinson–Bloch猜想的改进版本提供了证据：研究几个无穷的CM动机族（由整数索引对≥1)不可约的霍奇类型(2⁢对+1，0)+(0，2⁢对+1)和谁的L（左）-函数在中心消失。在每种情况下，我们构造了一个相应的代数循环，它在顶级中同调平凡但不平凡用于圆锥窝过滤。因此，我们获得了新的显式示例Griffiths群中非扭转数域上变种的循环。主要结果的证明至关重要第页-adic Hodge理论方法，特别是关于同调平凡循环第页-adic Abel–Jacobi映射和第页-阿迪奇L（左）-功能。

资金来源：国家科学基金会

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A表格

让L（左）⁢(k个)以下为：=L（左）alg公司⁢(θψ2⁢k个+1)。下表列出了L（左）-值L（左）⁢(k个)1/2，对于的值范围k个。

表1

价值观L（左）⁢(k个)1/2对于D类=7，0≤k个≤8，k个甚至。

k个	0	2	4	6	8
L（左）⁢(k个)1/2	1	2	2	6	14

表2

价值观L（左）⁢(k个)1/2对于D类=11，19，43，67，1≤k个≤21，k个奇怪。

k个\D类	11	19
1	1	1
三	2	2⋅三
5	2三	24
7	2⋅7	2⋅三⋅31
9	24⋅19	24⋅三2⋅29
11	25⋅11	26⋅三2⋅59
13	2三⋅11⋅13⋅67	2三⋅三⋅13⋅1747
15	24⋅7⋅11⋅223	24⋅三2⋅23⋅83⋅149
17	28⋅11⋅172	29⋅三⋅203911
19	26⋅11⋅19⋅47⋅109	26⋅三三⋅19⋅29⋅179⋅223
21	28⋅7⋅11⋅317⋅347	28⋅三三⋅19⋅2318077
k个\D类	43	67
1	1	1
三	22⋅三2	2⋅三⋅19
5	2三⋅5⋅11	2三⋅5⋅173
7	2⋅三2⋅7⋅151	2⋅三⋅7⋅612
9	25⋅三2⋅29	24⋅三三⋅172⋅292
11	25⋅三6⋅5⋅172	25⋅三2⋅5⋅11⋅251969
13	2三⋅三⋅19⋅653⋅6967	2三⋅三⋅13⋅150044563
15	25⋅三三⋅5⋅7⋅11⋅191⋅751	24⋅三2⋅5⋅7⋅19⋅79⋅181⋅66359
17	28⋅三⋅5⋅1877273779	28⋅三⋅5⋅4639448759053
19	26⋅三4⋅19⋅29⋅37⋅7247281	26⋅三三⋅690894919089413
21	29⋅三三⋅5⋅7⋅127⋅257⋅10151899	28⋅三三⋅5⋅7⋅19⋅109⋅793960993361

表3

价值观L（左）⁢(k个)1/2对于D类=163，1≤k个≤41，k个奇怪。

k个\D类	163
1	1
三	22⋅三⋅181
5	2三⋅52⋅17569
7	2⋅三⋅7⋅523⋅152389
9	25⋅三2⋅829366883
11	25⋅三2⋅52⋅11⋅1213⋅1579⋅25981
13	2三⋅三⋅13⋅17⋅53⋅6775046888887
15	25⋅三2⋅5⋅7⋅61⋅28499⋅472933737329
17	28⋅三⋅54⋅17⋅1012119331⋅2184243869
19	26⋅三三⋅19⋅2347⋅122795513⋅235220529149
21	29⋅三三⋅5⋅7⋅43⋅701⋅685301⋅10549227661986929
23	29⋅三三⋅52⋅7⋅11⋅23⋅584359⋅17638423193⋅46435917679
25	27⋅三2⋅52⋅373⋅17747⋅11959219⋅61407268956238912073
27	29⋅三5⋅52⋅13⋅6551⋅16995477783287⋅510845704143990001
29	210⋅三4⋅5三⋅7⋅29⋅1907⋅602217754893611⋅4889245158810100367
31	28⋅三5⋅5⋅7⋅17⋅31⋅491⋅4345577⋅11642395177462816343370659054897
33	214⋅三5⋅5⋅11⋅14895653⋅7649341745993183353696263632853979211
35	214⋅三5⋅5三⋅7⋅11⋅17⋅233⋅281⋅1454839941553⋅9691613471414784647219053009
37	212⋅三4⋅5⋅7⋅37⋅67⋅199⋅51239⋅13274045931043226796915472627219738949574163
39	214⋅三5⋅5⋅7⋅13⋅19⋅43⋅53⋅79⋅1344250377771491844069374345645234060030577543203
41	216⋅三4⋅5三⋅13⋅2027⋅2197653300070968660189451708159964098498078082797912571

表4

价值观2-(三+三⁢k个)⋅我-1⋅δk个⁢（f）⁢(A类′′，ω，P（P），C类)对于0≤k个≤20，k个甚至，（f）∈S公司三⁢(Γ1⁢(16))，符号如第节所示5.2。

k个	2-(三+三⁢k个)⋅我-1⋅δk个⁢（f）⁢(A类′′，ω，P（P），C类)
0	-1
2	+1
4	+三
6	-三⋅17
8	-三2⋅17
10	-三三⋅37
12	+三2⋅7⋅37⋅113
14	+三2⋅7⋅43⋅97⋅113
16	-三4⋅43⋅97⋅3203
18	-三5⋅3203⋅16231
20	-三5⋅7⋅11⋅53⋅89⋅16231

表5

价值观α¯k个+2⋅δk个⁢（f）⁢(A类，A类⁢[𝔑]，ωA类)对于0≤k个≤21，（f）∈S公司4⁢(Γ0⁢(5)); 第节中的符号5.1。

k个	α¯k个+2⋅δk个⁢（f）⁢(A类，A类⁢[𝔑]，ωA类)
0	-11
1	-22⋅11
2	-22⋅5⋅11
三	+2⋅11⋅61
4	+2三⋅11⋅137
5	+25⋅72⋅11⋅13
6	-24⋅5⋅11⋅17⋅137
7	+25⋅7⋅11⋅5407
8	-26⋅112⋅31⋅7639
9	+26⋅112⋅295459
10	-27⋅5⋅112⋅1592281
11	+210⋅7⋅112⋅149⋅199⋅929
12	-26⋅112⋅61126101181
13	-210⋅7⋅112⋅13⋅41⋅151⋅52609
14	-210⋅52⋅7⋅112⋅10163⋅1317713
15	+29⋅7⋅112⋅23⋅17293⋅7958443
16	-213⋅112⋅365267262447743
17	+213⋅112⋅17⋅547⋅3491⋅374761997
18	+213⋅5⋅7⋅112⋅173⋅1213⋅103339254493
19	-215⋅7⋅11三⋅13⋅19⋅289837⋅788970227
20	-213⋅11三⋅141023⋅1727597⋅338696707
21	+214⋅72⋅11三⋅67⋅16427⋅36677⋅266115323

基于交集理论的模形式的可积性布莱恩·康拉德在斯坦福大学^[*]

B.1简介

B.1.1完整性和q个-扩张

让k个，N个≥1为整数，并且Γ=Γ0⁢(N个)。对于重量-k个模块化形式（f）∈M（M）k个⁢(Γ，𝐂)关于Γ，让（f）∞∈𝐂⁢[[q个]]表示其q个-膨胀，在∞.与模块无关的一般论点曲线（请参见(B.1.2.2节)和命题B.2.1.1节)确保对于任何数字字段K（K）⊂𝐂，的O（运行）K（K）-模块

M（M）k个⁢(Γ，O（运行）K（K）):={（f）∈M（M）k个⁢(Γ，𝐂)|（f）∞∈O（运行）K（K）⁢[[q个]]}

是有限生成的，并且是O（运行）K（K）-上的结构𝐂-向量空间M（M）k个⁢(Γ，𝐂)（在这个意义上𝐂⊗O（运行）K（K）M（M）k个⁢(Γ，O（运行）K（K）)→M（M）k个⁢(Γ，𝐂)是同构）。这个O（运行）K（K）-结构非常有用，因为M（M）k个⁢(Γ，O（运行）K（K）)可以通过计算足够的Riemann–Roch参数在实践中进行验证q个-膨胀系数。（第页-素数的完整性第页|N个依赖于不可约分量的几何∞在模堆栈中X（X）0⁢(N个)𝐅第页; 参见定义B.1.2.1.)

这个O（运行）K（K）-结构遭受严重技术缺陷如下。让E类是椭圆曲线K（K）具有良好的还原性O（运行）K（K）和Néron模型E类（最感兴趣的案例是CM椭圆曲线），并且让G公司⊂E类是循环的K（K）-序子群N个。选择非零ω∈Ω1⁢(E类)。对于模块化形式（f）∈M（M）k个⁢(Γ，O（运行）K（K）)和要点x个∈X（X）0⁢(N个)⁢(K（K）)产生于(E类，G公司)，评估（f）⁢(x个)位于Ω1⁢(E类)⊗k个但可能失败躺在O（运行）K（K）-线路Ω1⁢(E类)⊗k个（尽管如此（f）有q个-膨胀系数O（运行）K（K）); 我们只知道（f）⁢(x个)∈Ω1⁢(E类)⊗k个⁢[1/N个]。如果我们想严格证明（f）⁢(x个)/ω⊗k个∈K（K）在计算机上，那么我们需要一个关于的“分母”的理论乘法上限（f）⁢(x个)关于O（运行）K（K）-线路Ω1⁢(E类)⊗k个。这是一个关于素数幂的问题第页|N个。

如第节所述B.1.2节（请参见(B.1.2.1节))，我们可以使用合适的正则真模堆栈𝐙定义有限索引O（运行）K（K）-子模块M（M）k个，O（运行）K（K）⊆M（M）k个⁢(Γ，O（运行）K（K）)拥有（f）⁢(x个)∈Ω1⁢(E类)⊗k个对于任何（f）∈M（M）k个，O（运行）K（K）。该结构提供了兼容的等式

O（运行）K（K）⊗𝐙M（M）k个，𝐙=M（M）k个，O（运行）K（K），O（运行）K（K）⊗𝐙M（M）k个⁢(Γ，𝐙)=M（M）k个⁢(Γ，O（运行）K（K）)，

所以有限阿贝尔群的指数M（M）k个⁢(Γ，𝐙)/M（M）k个，𝐙相乘M（M）k个⁢(Γ，O（运行）K（K）)进入之内M（M）k个，O（运行）K（K）因此，在评估时限制了所有完整性失败的元素M（M）k个⁢(Γ，O（运行）K（K）)在CM点以上任何数字字段K（K）这促使了我们在本附录中的目标：计算显式非零倍数指数的M（M）k个⁢(Γ，𝐙)/M（M）k个，𝐙。

备注B.1.1.1。

的指数M（M）k个⁢(Γ，𝐙)/M（M）k个，𝐙可被所有素数整除第页|N个什么时候k个足够大且均匀；参见推论B.3.1.5节更具体地说，即使如此k个≫N个1存在一个（f）∈M（M）k个⁢(Γ，𝐙)这样，对于每个第页|N个有一个尖端q个-扩展（f）不是第页-积分。

案例字第页⁡(N个)=1具有k个=2在中进行了彻底分析[14，第2节]通过雅可比的Néron模型的几何学关于案件中引入的观点N个=第页对于任何k个英寸[12，第七章，第3.19-3.20节]。Deligne和Rapoport使用的技术基于正则真Deligne–Mumford堆栈上的交集理论X（X）0⁢(第页)结束𝐙(第页)，屈服于此第页⌈k个⁢第页/(第页-1)⌉在这种情况下是指数的倍数。中的参数[12，第七章，第3.19节]使用X（X）0⁢(第页)𝐅第页用两个不可约分量进行约简。

对于一般级别（可被任意高的第页)我们必须克服还原的失败，尤其是Deligne–Mumford条件X（X）0⁢(N个)𝐅第页什么时候字第页⁡(N个)>1。这将通过常规正确Artin堆栈上的交集理论实现X（X）0⁢(N个)结束𝐙（见定义B.1.2.1节以下），即不Deligne–芒福德N个不是直角的。

似乎没有关于Artin堆栈交集理论的任何文献混合特征离散赋值环上的有限类型关于堆栈交集理论的文献仅限于Deligne–Mumford案例。（请参见[21]对于Artin在字段上通过K（K）-理论方法。）出现的Artin堆栈对我们来说有额外的特殊属性（例如有限的，有限的自同构方案几何点），使我们能够开发通过从方案案例中引导所需的交集理论。

B.1.2模数堆栈

为了以精确的形式表述我们的结果，我们需要定义O（运行）K（K）-结构M（M）k个，O（运行）K（K）上述内容。这取决于以下几点：

定义B.1.2.1。

让X（X）=X（X）0⁢(N个)是基上的模堆栈规格⁡(𝐙)对广义椭圆曲线进行分类E类→S公司（在任意基本方案上S公司)配备有Γ0⁢(N个)-结构：一个相对充分的有限局部自由闭子群格式G公司⊂E类平方米即“循环”在这个意义上，它接纳了Drinfeld𝐙/N个⁢𝐙-发电机fppf-lolly开启S公司。

请参见[11第2.3节]（尤其是其中的定义2.3.4），用于定义中的周期性概念B.1.2.1节。由于我们对模形式的完整性性质感兴趣，我们必须重新加工𝐙而不是刚刚结束𝐙⁢[1/N个].签署人[11，定理1.2.1]，X（X）是一个常规正确平坦的Artin堆叠𝐙具有几何连接纯尺寸为1的纤维，表面光滑𝐙⁢[1/N个]。

我们必须考虑模堆栈X（X）而不是其相关的粗糙空间，因为模块化形式对于Γ=Γ0⁢(N个)对应于上的线束段X（X）通常不会下降到粗糙的空间。堆栈X（X）从来不是一个计划，但它正是Deligne–Mumford在开放的子堆栈上对特性中（总是）存在的特定尖点进行补充第页对于其中第页2|N个([11，定理3.1.7]）。

让π:E类→X（X）是模堆栈上的泛广义椭圆曲线，且设ωE类/X（X）是它的相对二元化层，所以

ω以下为：=π∗⁢(ωE类/X（X）)

线束是否打开X（X）([12，第二章，第1.6节]）。对于k个≥1，无扭转𝐙-全局部分模块M（M）k个，𝐙:=H（H）0⁢(X（X），ω⊗k个)是有限生成的（通过拉回到𝐙-通过定义的平坦有限格式覆盖辅助层次结构，或由更高层次的直接连贯正确Artin堆栈的图像[30]). 这个𝐙-模块是一个𝐙-上的结构𝐂-向量空间M（M）k个⁢(Γ，𝐂)重量的-k个Γ的经典模形式自从H（H）0⁢(X（X）𝐂，ω⊗k个)=M（M）k个⁢(Γ，𝐂)（通过应用GAGA对于更高级别的模问题，它是“刚性”的，实际上由一个方案表示）。

自O（运行）K（K）是𝐙-平坦、清晰

（B.1.2.1）M（M）k个，O（运行）K（K）:=H（H）0⁢(X（X）O（运行）K（K），ω⊗k个)=O（运行）K（K）⊗𝐙M（M）k个，𝐙。

我们想联系M（M）k个，O（运行）K（K）到O（运行）K（K）-子模块M（M）k个⁢(Γ，O（运行）K（K）)⊆M（M）k个⁢(Γ，𝐂)定义见第节B.1.1节通过分析理论q个-扩张。为此，我们现在回忆一下q个-展开式是根据沿着适当的𝐙-堆栈点X（X）。

让X（X）∞⊂X（X）是封闭的尖顶子堆栈广义椭圆曲线的非光滑轨迹E类→X（X）[11，定义2.1.8，定理2.1.12]。这是一个相对有效的卡地亚除数在里面X（X）[11，定理4.1.1]。定义∞:规格⁡(𝐙)→X（X）是标准1-gon产生的态射配备有规范的包含μN个进入它平滑的轨迹𝐆米; 这个态射是连接的组件∞X（X）的尖顶亚叠层X（X）、和∞X（X）位于开放的Deligne–Mumford地点内X（X）（由[11，定理3.1.7]）。

对于同构小时:规格⁡(𝐙⁢[[q个]])→X（X）相应的到配备标准的Tate曲线μN个其光滑轨迹内的子群，诱导态射

规格⁡(𝐙⁢[q个]/(q个n个+1))→X（X）

与无限小邻里的双层覆盖兼容∞X（X）在里面X（X）.拉回沿着小时定义q个-中的扩展A类⊗𝐙𝐙⁢[[q个]]⊆A类⁢[[q个]]在M（M）A类:=H（H）0⁢(X（X）A类，ω⊗k个)对于任何戒指A类、和用于A类=𝐂这与q个-扩张。

要了解O（运行）K（K）-模块M（M）k个⁢(Γ，O（运行）K（K）)从几何角度来看，让U型⊂X（X）是通过移除获得的开放子堆栈腓骨不可约成分X（X）→规格⁡𝐙与…分离∞X（X），所以U型⁢[1/N个]=X（X）⁢[1/N个]和U型是一个𝐙-光滑与堆叠几何不可约的纤维。堆栈U型是Deligne–芒福德[11，定理3.1.7]，所以通过使用小时完成了一个关于∞X（X）我们看到代数的证明q个-scheme案例中的展开原理应用于Artin堆栈U型因此，包含

（B.1.2.2）H（H）0⁢(U型O（运行）K（K），ω⊗k个)⊂M（M）k个⁢(Γ，O（运行）K（K）)

是一种平等。特别是，因为O（运行）K（K）⊗𝐙H（H）0⁢(U型，ω⊗k个)→H（H）0⁢(U型O（运行）K（K），ω⊗k个)是同构（by𝐙-平面度O（运行）K（K）)，我们看到了自然地图O（运行）K（K）⊗𝐙M（M）k个⁢(Γ，𝐙)→M（M）k个⁢(Γ，O（运行）K（K）)是一种同构。因此，包含有限生成的O（运行）K（K）-模块

H（H）0⁢(X（X）O（运行）K（K），ω⊗k个)⊂M（M）k个⁢(Γ，O（运行）K（K）)

具有有限的索引（因为两边都是O（运行）K（K）-上的结构H（H）0⁢(X（X）K（K），ω⊗k个))它是通过沿着𝐙→O（运行）K（K）类似的夹杂物𝐙。我们得出结论：M（M）k个⁢(Γ，𝐙)/M（M）k个，𝐙乘数M（M）k个⁢(Γ，O（运行）K（K）)进入之内M（M）k个，O（运行）K（K）。

B.1.3结果

为了理解评估元素时的完整性失败M（M）k个⁢(Γ，O（运行）K（K）)在CM-点，它足以解决：

问题。

计算非零倍数米⁢(k个，N个)指数的

M（M）k个⁢(Γ0⁢(N个)，𝐙)/H（H）0⁢(X（X）0⁢(N个)，ω⊗k个)。

考虑其他模量问题是很自然的，例如Γ1⁢(N个)和Γ⁢(N个)。我们将重点关注上述问题Γ=Γ0⁢(N个)让感兴趣的读者考虑其他情况。由于的模堆栈Γ1⁢(N个⁢q个⁢ℓ)是任意两个不同素数的方案q个，ℓ≥5不分割N个，只需在指数上找到一些理论上的乘法界Γ0⁢(N个)考虑模量就足够了计划具有额外的层次结构。虽然这绕过了Artin堆栈的干预，但似乎会产生更糟糕的是边界在指数上。因此，我们倾向于始终使用𝐙-堆栈X（X）0⁢(N个)（及其交叉-理论性质）。的规律性X（X）0⁢(N个)及其自同构群格式的有限性几何点对于下面的交集理论论点至关重要。这种规律性通常会消失经过粗糙的空间。

以下定理是我们主要结果的特例，将结果归纳为[12]的Γ0⁢(第页)。

定理B.1.3.1。

对于任何整数k个≥1和数字字段K（K），如果对:=字第页⁡(N个)∈{1，2，三}和吨以下为：=(第页-1)-1，然后

第页⌈克⁢(第页，k个，对)⌉⁢M（M）k个⁢(Γ0⁢(N个)，O（运行）K（K）)⊆H（H）0⁢(X（X）0⁢(N个)O（运行）K（K），ω⊗k个)

对于克⁢(第页，k个，1)=k个⁢(1+吨)，克⁢(第页，k个，2)=三⁢k个⁢吨⁢(2⁢吨+1)、和克⁢(第页，k个，三)=2⁢k个⁢吨⁢(吨+1)⁢(吨+2)。

在定理中B.3.2.1节我们解决所有问题对>三（但没有明确的公式克⁢(第页，k个，对)对于这样的对).请注意，我们需要这样的边界来处理不属于U型第页-特征形式；例如。，F类∈S公司10⁢(Γ0⁢(45))在第节中5.1对于任何赫克算子来说，似乎都不是本征形式。

B.2交叉理论界限

B.2.1消除q个-扩张

定理证明的第一步B.1.3.1节它的概括是重新表述这个问题纯粹是几何术语，不涉及模曲线或q个-扩张。为了方便读者，我们首先记录了一个一般的几何图形包含模有限性的结果M（M）k个⁢(Γ，O（运行）K（K）)=O（运行）K（K）⊗𝐙M（M）k个⁢(Γ，𝐙)作为特殊情况。本地化M（M）k个⁢(Γ，𝐙)⁢[1/N个]=H（H）0⁢(X（X）𝐙⁢[1/N个]，ω⊗k个)是𝐙⁢[1/N个]-有限的，所以要证明M（M）k个⁢(Γ，𝐙)是𝐙-有限的检查一下就足够了𝐙(第页)-有限性M（M）k个⁢(Γ，𝐙)(第页)对于有限多个素数中的每一个第页|N个后一种有限性是通过将以下结果应用于开放子堆栈U型⊂X（X）0⁢(N个)上述定义(B.1.2.2节)和可逆层ω⊗k个在X（X）0⁢(N个)𝐙(第页):

建议B.2.1.1。

让(R（右），米)是具有分数域的一维noetherian局部域F类，并让X（X）做一个真正平的阿廷堆栈R（右）连接普通普通光纤。让U型⊂X（X）成为一个开放的子堆栈，以便U型F类=X（X）F类和U型→规格⁡(R（右）)是阴沉的。对于任何向量束F类在X（X），F类⁢(U型)是有限生成的R（右）。

证明。

自纳入以来U型↪X（X）在本地化后成为等式F类，一般的“扩散”原则提供了一个非零一∈R（右）这样的话U型R（右）⁢[1/一]=X（X）R（右）⁢[1/一]因此，F类⁢(U型)R（右）⁢[1/一]=F类⁢(U型R（右）⁢[1/一])=F类⁢(X（X）R（右）⁢[1/一])是R（右）⁢[1/一]-有限的，和R（右）-平面度F类意味着定位图F类⁢(X（X）)→F类⁢(X（X）)R（右）⁢[1/一]和F类⁢(U型)→F类⁢(U型)R（右）⁢[1/一]是内射的。因此，我们包含了R（右）-模块

F类⁢(X（X）)⊂F类⁢(U型)⊂F类⁢(X（X）R（右）⁢[1/一])，

只要找到一个n个≥0这样的话F类⁢(U型)⊂一-n个⁢F类⁢(X（X）)里面F类⁢(X（X）R（右）⁢[1/一])。我们可以假设一∉R（右）×，所以一∈𝔪。

对于米≥0，定义F类⁢(X（X）)米成为R（右）-元件模数（f）∈F类⁢(X（X）)这样的话（f）|U型中有消失的图像Γ⁢(U型，F类/(一米))。我们声称存在n个≥0以便F类⁢(X（X）)n个⊆一⁢F类⁢(X（X）)。承认这一点，让我们看看F类⁢(U型)⊂一-n个⁢F类⁢(X（X）)。拾取（f）∈F类⁢(U型)，所以平等

F类⁢(U型)R（右）⁢[1/一]=F类⁢(X（X）)R（右）⁢[1/一]

提供指数ν≥0这样的话一ν⁢（f）∈F类⁢(X（X）).如果ν>n个，然后一ν⁢（f）∈F类⁢(X（X）)n个⊆一⁢F类⁢(X（X）)，所以一ν-1⁢（f）∈F类⁢(X（X）).通过下降诱导继续，一n个⁢（f）∈F类⁢(X（X）)这个结论显然也适用于ν≤n个因此，（f）∈一-n个⁢F类⁢(X（X）)在所有情况下，或者换句话说

F类⁢(U型)⊂一-n个⁢F类⁢(X（X）)

根据需要。

仍然需要找到一个n个以便F类⁢(X（X）)n个⊆一⁢F类⁢(X（X）)。这足以证明在忠实的平面延伸之后也是一样R（右）→R（右）^直到完成R（右）（可能不是域如果R（右）不正常，但在哪儿一不是零维视器），因为

类比子模F类⁢(X（X）)n个′结束R（右）^（即（f）∈F类R（右）^⁢(X（X）R（右）^)这样的话（f）|U型R（右）^中有消失的图像Γ⁢(U型R（右）^，F类R（右）^/(一米)))等于R（右）^⊗R（右）F类⁢(X（X）)n个、和
R（右）^⊗R（右）F类⁢(X（X）)=F类′⁢(X（X）′)对于X（X）′:=X（X）R（右）^和F类′:=F类R（右）^。

考虑下降交点我=⋂米≥1F类⁢(X（X）)米′.我们将证明我=0。选择一个元素（f）∈我，所以限制（f）|U型′结束U型′=U型R（右）^沿着一-adic完成F类′在平滑的方案覆盖上U型′因此，（f）|U型′消失在封闭子堆栈的Zarisk-open附近U型′†==================================================================={一=0}那个含有特殊纤维U型′，所以（f）|U型消失在打开的子堆栈上V（V）⊂U型包含这个非空的特种纤维U型。由此可见V（V）不是空的，所以V（V）F类里面是一个非空的开放轨迹连接法线X（X）F类.正常noetherian上向量束全局部分的消失柄轨迹Artin堆栈是开放的和封闭的，因此通过X（X）F类全球部分（f）F类∈F类F类⁢(X（X）F类)消失，因此（f）=0（自X（X）是R（右）-扁平）。这证明了我=0。

Chevalley证明了递减序列子模块的{M（M）米}有限生成模块的M（M）完全局部noetherian环上B类是上max-adic拓扑的cofinalM（M）如果⋂M（M）米=0.（这已被证明适用于M（M）=B类英寸[27，练习8.7]，以及这里的证明适用于任何有限生成的模块。）自R（右）/一⁢R（右）是阿廷本地戒指，有一个e（电子）≥1这样的话𝔪e（电子）⊆一⁢R（右）。通过将Chevalley的结果应用于M（M）=F类⁢(X（X）)′和M（M）米:=F类⁢(X（X）)米′结束B类=R（右）^，有一个n个这样的话F类⁢(X（X）)n个′⊆𝔪e（电子）⁢F类⁢(X（X）)′⊆一⁢F类⁢(X（X）)′，所以F类⁢(X（X）)n个⊆一⁢F类⁢(X（X）)。∎

纳入M（M）k个，𝐙以下为：=H（H）0⁢(X（X），ω⊗k个)⊆H（H）0⁢(U型，ω⊗k个)=M（M）k个⁢(Γ，𝐙)在有限自由之间𝐙-模块反转后变为等式N个因此，为了在指数上构造显式乘法上界属于M（M）k个⁢(Γ，𝐙)/M（M）k个，𝐙，对于每个素数第页|N个我们寻求一个显式指数e（电子）第页≥0（取决于k个，第页、和N个)因此第页e（电子）第页⁢M（M）k个⁢(Γ，𝐙)(第页)⊆(M（M）k个，𝐙)(第页)。正如Deligne和Rapoport为Γ0⁢(第页)通过使用交集理论Deligne–芒福德堆栈X（X）0⁢(第页)，我们将使用交集理论Artin堆栈X（X）0⁢(N个)因此，我们现在偏离了发展方向特殊类上交理论的一般形式Dedekind域上的常规平坦Artin堆栈（适用于X（X）0⁢(N个)).

B.2.2除数和交集理论形式

让X（X）是一个正规的noetherian Artin堆栈，它在离散的估值环上是适当且平坦的R（右）带分数字段F类，残渣场k个和均化器π。假设以下三个属性：

X（X）is Deligne–Mumford远离了特殊纤维的现时闭合叠层X（X）0，
两种纤维X（X）→规格⁡(R（右）)具有纯维度1，和
存在正则有限平面覆盖小时:X（X）′→X（X）这样的话X（X）′也是常规的。

正则有限平面覆盖的存在性X（X）′可能看起来有限制性（当X（X）不是方案），但已满足通过X（X）0⁢(N个); 例如，我们可以X（X）′为对应于Γ1⁢(N个⁢q个⁢ℓ)对于两个不同的素数q个，ℓ≥5不分割N个，使用小时涉及尖端收缩的“健忘”地图。（此X（X）′是常规方案[11，定理4.1.1（2）和定理4.2.1（2小时是有限平面[11，引理4.2.3（2），（4）]。）自小时是一个有限平坦的满射，X（X）′具有纯尺寸1以上的纤维规格⁡(R（右）)因此，通常正则算术曲面的相交理论应用于X（X）′。

在本小节中，我们将使用小时-拉回定义交叉理论形式主义X（X）通过下拉关于X（X）′（并且由此产生的构造将独立于小时).通过将此应用于X（X）0⁢(N个)，我们将使用局部变形环的描述[24，第13章]计算交叉口数量和多重性X（X）0⁢(N个)没有来自辅助能级结构或各向同性群的任何干扰。

备注B.2.2.1。

假设X（X）和X（X）′连接。如果X（X）→规格⁡(R（右）)是它自己的Stein因式分解，那么它通常不遵循那个X（X）′→规格⁡(R（右）)是它自己的Stein因子分解（尽管X（X）=X（X）0⁢(N个)和X（X）′=X（X）1⁢(N个⁢q个⁢ℓ)每个具有结构图规格⁡(𝐙)这是它自己的Stein因式分解）。因此，在一开始就必须注意交叉口理论的发展X（X）′如中所示[9，第2–3节]不使用Stein因式分解，只使用X（X）′.自交叉理论开始X（X）′相对于底座规格⁡(R（右）)每当正则算术曲面出现时，“有意义”X（X）′仅仅是连接的，使用该理论来定义交叉理论是合理的X（X）。

在方案情况下，Stein分解对于证明具有一维缺陷空间的特殊纤维是负半定的[9，引理7.1（b）]。因此，我们需要关注Stein因子分解问题当我们分析与特殊光纤相关的相交矩阵的缺陷空间的维数时堆栈X（X）。

我们的任务本质上是利用血统理论对X（X）使用已知的形式主义X（X）′主要并发症有与连通性相关：X（X）0′可能具有比X（X）0，X（X）0可以在以下情况下断开X（X）已连接，和O（运行）⁢(X（X）′)可能大于O（运行）⁢(X（X）)（所以我们不能轻易地将X（X）和X（X）′结束规格⁡(R（右）)).为了稍后处理与Stein因子分解相关的问题，我们记录：

提案B.2.2.2。

让X（X）′是henselian离散赋值环上的连通正则算术曲面R（右）。与X（X）′→规格⁡(R（右）)具有一维缺陷空间的负半定。

证明。

让k个是…的残留场R（右），并让X（X）′→规格⁡(R（右）′)是的Stein因式分解X（X）′。在这里R（右）′=O（运行）⁢(X（X）′)没有非平凡幂等元X（X）′是连通的，但它是局部环的有限乘积因为它在henselian局部上是模有限的R（右）因此，R（右）′是本地的。常态X（X）′暗示那个R（右）′是正常的[18，第二章，第8.8.6.1节]，因此R（右）′是一个离散的估值环π′分别表示均匀化器R（右）和R（右）′、特殊纤维X（X）k个′和X（X）k个′′被识别为X（X）′国防部π和X（X）′国防部π′分别是。因此，X（X）k个′′=X（X）k个′国防部π¯′哪里π¯′以下为：=π′国防部π⁢R（右）′，所以X（X）k个′′和X（X）k个′具有相同的基本简化方案。

因此，（约化）不可约分量属于X（X）k个′′和X（X）k个′是相同的闭子模式X（X）′，所以任何一对不同的组件具有相同的交集方案，无论我们是否将基环视为R（右）或R（右）′。因此，对于这些不同的组件C类1和C类2、交集对C类1。C类2和C类1∗C类2相对于R（右）和R（右）′分别是

C类1。C类2=度k个(C类1∩C类2)=[k个′:k个]度k个′(C类1∩C类2)，C类1∗C类2=度k个′(C类1∩C类2)。

自相交数C类。C类和C类∗C类对于这些组件根据两个数据：

各自的配对C类1。C类2和C类1∗C类2对于C类1≠C类2，和
多重性μC类和μC类′沿着每个组件的特殊纤维C类。

但很明显字C类(π)=e（电子）(R（右）′|R（右）)字C类(π′)每C类，所以重数都按相同因素e（电子）(R（右）′|R（右）)在基环之间传递时R（右）和R（右）′因此，如果{C类我}是特殊纤维的常见（简化）不可简化组分和μ我:=μC类我，然后

C类我。C类我=∑j个≠我μj个μ我(C类j个。C类我)=∑j个≠我e（电子）(R（右）′|R（右）)μj个′e（电子）(R（右）′|R（右）)μ我′[k个′:k个](C类j个∗C类我)=[k个′:k个]C类我∗C类我。

总之，与X（X）′→规格⁡(R（右）)是[k个′:k个]乘以与X（X）′→规格⁡(R（右）′)。后一个矩阵是负半定的，具有一维缺陷空间[9，引理7.1（b）]，和缩放比例[k个′:k个]保留这些属性。∎

在开始时为适当的Artin堆栈定义一些概念是很方便的D类任意域上的纯维1k个（也可以是F类=压裂⁢(R（右）)如下文所述应用），忽略正则性和连通性条件。我们假设有一个有限平面覆盖q个:D类′→D类。请注意，对于任何z（z）∈D类⁢(k个)，的k个-同构z（z）:规格⁡(k个)→D类是有限的，因为它的q个-拉回是q个-1⁢(z（z）)→D类′（带有q个-1⁢(z（z）)有限的k个-方案）。因此，自同构群方案Aut（奥特）⁡(z（z）)在任何时候k个-点z（z）属于D类是k个-有限的，有限的因为它是纤维制品规格⁡(k个)×z（z），D类，z（z）规格⁡(k个)。对于每个z（z）∈D类⁢(k个)，我们让#⁢Aut（奥特）⁡(z（z）)表示有限的顺序k个-集团计划Aut（奥特）⁡(z（z）)。

每个连接的组件C类′属于D类′是唯一连接组件上的有限平面C类属于D类，相反，每个相连的组件C类属于D类是任何连接的图像成分C类′开放式和封闭式子主题的q个-1⁢(C类)属于D类′。对于这种情况C类和C类′，让q个C类′:C类′→C类是由q个; 它有常数腓骨程度。

引理B.2.2.3。

让L（左）是可逆层D类，并让Z轴⊂D类是一个无处密集的封闭子堆栈。让C类是…的连接组件D类。对于所有连接的组件C类′属于D类′、比率

度k个⁡(q个C类′∗⁢(L（左）|C类))度⁡(q个C类′)，度k个⁡(q个C类′-1⁢(Z轴∩C类))度⁡(q个C类′)

独立于C类′，也独立于D类′。

我们将这些比率表示为度k个⁡(L（左）|C类)和度k个⁡(Z轴∩C类)分别是。

证明。

这个问题是有限平面覆盖映射固有的q个C类′（允许变化C类′)，所以我们可以假设D类和D类′连接，只需检查比率度k个⁡(q个∗⁢(L（左）))/度⁡(q个)和度k个⁡(q个-1⁢(Z轴))/度⁡(q个)独立于选择q个:D类′→D类。

让D类′′→D类是另一个连通的有限平面覆盖，所以D类′×D类D类′′是有限平面D类′和D类′′（特别是，这种纤维产品是一种方案）。的任何连接组件D类′×D类D类′′是一个有限的平面覆盖D类′和D类′′（作为D类′和D类′′连接），因此我们可以重命名这样一个连接组件作为D类′′减少到以下情况D类′′→D类是的组成q个带有限平面方案的满射q个′:D类′′→D类′.的连通性D类和D类′确保q个和q个′是常数，其乘积等于恒定度q个′∘q个因此，需要注意的是，在有限平坦满射下q个′:D类′′→D类′，这个k个-程度q个′-线束的回撤L（左）′在D类′（分别为0维闭合子模式Z轴′属于D类′)是度⁡(q个′)乘以k个-度L（左）′在D类′（分别是k个-程度Z轴′).∎

现在可以很好地定义

度k个⁡(L（左）):=∑C类度k个⁡(L（左）|C类)，度k个⁡(Z轴):=∑C类度k个⁡(Z轴∩C类)。

（我们没有定义度k个⁡(L（左）)通过上同调方法D类因为在正特性中相干上同调属于D类在任意高次中可能不为零。）这些度的形成很容易被检查为不受地面场任何延伸的影响，即使的连通分量集的形成D类通常不与这种基础变化通勤。

引理B.2.2.4。

如果Z轴是的示意图z（z）∈D类⁢(k个)，然后

度k个⁡(Z轴)=1#⁢Aut（奥特）⁡(z（z）)。

证明。

我们可以而且确实会更换D类其唯一的连接组件包含Z轴，所以D类已连接。选择有限平坦曲面q个:D类′→D类从一个计划D类′。我们可以并且确实假设D类′已连接。有限映射z（z）:规格⁡(k个)→D类具有示意图图像Z轴这是减少的，所以泛型平坦性适用于有限满射z（z）:规格⁡(k个)→Z轴.源代码的开放性对于任何fppf态射的平坦轨迹，意味着z（z）:规格⁡(k个)→Z轴是一个有限的平面覆盖，必然具有恒定的度d日>0自从Z轴已连接。因此，预测Aut（奥特）⁡(z（z）)=z（z）×D类z（z）=z（z）×Z轴z（z）⇉规格⁡(k个)具有度的有限平面d日，所以我们的问题是要证明度k个⁡(Z轴)=1/d日。

根据定义，度k个⁡(Z轴)=度k个⁡(q个-1⁢(Z轴))/度⁡(q个)。自q个-1⁢(Z轴)→Z轴是具有常数阶的有限平坦度⁡(q个)，投影公共关系2:q个-1⁢(Z轴)×Z轴，z（z）规格⁡(k个)→规格⁡(k个)是具有常数阶的有限平坦度⁡(q个)。但是q个-1⁢(Z轴)×Z轴，z（z）规格⁡(k个)是的基本变化z（z）因此是具有常数阶的有限平坦d日在有限的k个-方案q个-1⁢(Z轴)通过公共关系1因此，d日|度(q个)和q个-1⁢(Z轴)有k个-度度⁡(q个)/d日我们的结论是度k个⁡(q个-1⁢(Z轴))/度⁡(q个)=1/d日。∎

以下变体在使用Deligne–Mumford堆栈时非常有用X（X）0⁢(N个)𝐐。

引理B.2.2.5。

如果D类是Deligne–芒福德，然后是任何有效的卡地亚除数Z轴在D类学位度k个⁡(Z轴)等于度k个⁡(O（运行）D类⁢(Z轴))，哪里O（运行）D类⁢(Z轴)表示的可逆相干理想的逆Z轴在里面O（运行）D类。

证明。

我们可以假设D类连接并选择连接的有限平面方案覆盖q个:D类′→D类，所以q个纤维度恒定d日。自q个∗⁢(O（运行）D类⁢(Z轴))≃O（运行）D类′⁢(q个-1⁢(Z轴))，将两边乘以d日将问题减少到它在方案上的著名模拟D类′。∎

现在考虑一个合适的平面Artin堆栈X（X）纯相对尺寸大于1R（右）这样的存在有限平面覆盖小时:X（X）′→X（X）;我们推迟了关于X（X）和X（X）′直到我们介绍了更多的定义。

自从地图小时0:X（X）0′→X（X）0特殊纤维之间是的有限平面方案覆盖X（X）0，前面的注意事项是适用于X（X）0以及任何闭合子堆栈X（X）0纯尺寸为1。特别是，如果Z轴0是一种现在的感觉闭合子堆栈X（X）0如果L（左）0是可逆层在X（X）0，然后我们可以定义度k个⁡(Z轴0)和度k个⁡(L（左）0)通过前面的形式主义应用于X（X）0结束k个（例如，使用X（X）0′覆盖的连接组件X（X）0); 通用纤维也是如此X（X）F类在田野上F类。我们进一步定义了两个模拟算术曲面的情况：

定义B.2.2.6。

对于任何可逆捆L（左）在X（X）和有效的卡地亚除数D类⊂X（X）这是一个封闭的子堆栈X（X）0，我们定义

（B.2.2.1）L（左）。D类:=度k个⁡(L（左）|D类)。

对于有效的卡地亚除数D类1，D类2⊂X（X）具有D类2的封闭子堆栈X（X）0，我们定义

D类1。D类2:=O（运行）X（X）⁢(D类1)。D类2=度k个⁡(O（运行）X（X）⁢(D类1)|D类2)。

上述定义在局部扩展下是不变的R（右）→R（右）′离散的估值环。（注意：X（X）R（右）′即使是X（X）是常规的。）下一个结果使用正则性建立熟悉的属性。

提案B.2.2.7。

假设X（X）是常规的，而且它允许一个正则有限平面覆盖小时:X（X）′→X（X）.配对L（左）。D类是中的添加剂L（左），如果D类=D类′+D类′′对于有效的Cartier除数D类′和D类′′在X（X）（必须闭合的次堆栈X（X）0)，然后L（左）。D类=L（左）。D类′+L（左）。D类′′此外，度k个⁡(L（左）0)=度F类⁡(L（左）F类)对于任何可逆鞘L（左）在X（X）。

对于有效的卡地亚除数D类1，D类2⊂X（X）是的闭合子堆栈X（X）0，配对D类1。D类2对称，如果D类1和D类2共享编号的不可约分量X（X）0在他们的支持下D类1。D类2=度k个⁡(D类1∩D类2)。

证明。

我们可以扩展标量来R（右）严格地说是亨塞利式的，而不损害规律性假设，所以我们可以并且确实假设k个是可分离的。它还足以在不同的连接组件上单独工作X（X）和X（X）′，所以我们可以并且确实假设X（X）和X（X）′已连接。特别地，小时纤维度恒定。

我们声称X（X）0′已连接（因此X（X）0也已连接）。自X（X）′是连接的正规格式，它也是积分的。因此，有限平面R（右）-代数O（运行）⁢(X（X）′)是正常域([18第二章第8.8.6.1]节），因此它是Dedekind。由R（右）-有限性，O（运行）⁢(X（X）′)必须是半本地的。因此R（右）军队O（运行）⁢(X（X）′)是离散赋值环的直接乘积，所以O（运行）⁢(X（X）′)是一个离散的估值环，因为它是一个域。Stein因式分解（f）:X（X）′→规格⁡O（运行）⁢(X（X）′)具有（几何）连接的光纤和残渣场O（运行）⁢(X（X）′)是完全不可分割的k个（自k个=k个秒)，所以特种纤维X（X）0′属于X（X）′→规格⁡R（右）继承了的连通性特种纤维（f）。

有限平面小时0:X（X）0′→X（X）0具有恒定纤维度等于小时因此，通过X（X）0和X（X）0′，定义超过k个使用小时0屈服公式

L（左）。D类=小时∗⁢(L（左）)。小时-1⁢(D类)度⁡(小时)，D类1。D类2=小时-1⁢(D类1)。小时-1⁢(D类2)度⁡(小时)，度k个⁡(D类1∩D类2)=小时-1⁢(D类1)。小时-1⁢(D类2)度⁡(小时)。

的可加性L（左）。D类在里面L（左）和身份L（左）。D类=L（左）。D类1+L（左）。D类2对于有效的Cartier除数D类1，D类2令人满意的D类1+D类2=D类因此，遵循连通正则算术曲面上交集理论的类比X（X）′相对于规格⁡(R（右）)，同样对于对称性D类1。D类2对于D类1，D类2⊆X（X）0以及为了平等D类1。D类2=度k个⁡(D类1∩D类2)当这样的时候D类1和D类2分享无公共不可约分量X（X）0在他们的支持下。

最后，我们证明了等式度k个⁡(L（左）0)=度F类⁡(L（左）F类)。我们已经看到了X（X）0′和X（X）0已连接，和X（X）F类′从积分继承连通性X（X）′（所以X（X）F类也已连接）。显然，小时0和小时F类具有相同的恒定纤维度（即小时)，所以我们的问题减少了证明数字的相等性度k个⁡(小时0∗⁢L（左）0)=度k个⁡((小时∗⁢L（左）)0)和度F类⁡((小时∗⁢L（左）)F类).这种平等以下为X（X）′适当且平直R（右）。∎

现在我们假设X（X）是正则的（如前一个命题中所述），并且它允许正则有限平面方案覆盖小时:X（X）′→X（X）。我们还没有使用它X（X）是Deligne–Mumford远离了现在意义上的封闭子堆栈X（X）0，但是现在将使用此属性。

引理B.2.2.8。

每个一维约化和不可约化闭子堆栈D类⊂X（X）是卡地亚。对于的一般点ηD类，小时-1⁢(η)包含有限多个余维-1个点X（X）′。

证明。

让V（V）⊆X（X）是最大的开放子堆栈，即Deligne–Mumford，所以X（X）-V（V）中有preimageX（X）′包括中有限多个闭点的X（X）0′。由此可见D类↦D类∩V（V）是两人之间的双向通信一维约化和不可约闭子堆栈的集合X（X）和，共V（V），由“原理图闭包”给出反演。使用一个故事方案封面V（V），我们看到减少的闭合子堆栈D类∩V（V）属于V（V）是卡地亚。因此，通过计算平滑的方案覆盖X（X）由此得出结论D类卡地亚局部封闭叠层D类∩V（V）在常规比赛中X（X）也是卡地亚。

如果η是D类，然后是它的前映像小时-1⁢(η)在里面X（X）′由的一般点组成小时-1⁢(D类)自从小时是有限平面。但是小时-1⁢(D类)必须具有尺寸为1的所有不可约分量，因为D类维数1不可约，所以小时-1⁢(η)包含有限多个余维-1个点X（X）′。∎

考虑可逆有理函数（f）在X（X）。通过fppf下降X（X）′，最大开放子堆栈U型⊂X（X）在其中（f）是的一部分O（运行）X（X）×具有闭合补码D类如果D类≠∅，然后是不可约分量D类我属于D类都是一维的。特别地，如果没有不可约分量D类我（即。，U型=X（X）)，然后（f）是上的全局单位X（X）.每个D类我具有独特的通用点η我。自η我位于Deligne–MumfordX（X），有一个定义明确的严格的hesseli局部环O（运行）X（X），η我在η我，这是一个离散的估值环。因此，我们可以定义字η我⁡(（f）)∈𝐙，对于任何闭合子堆栈D类⊂X（X）具有维数为1的不可约分量我们定义泛型多重性字η⁡(D类)属于D类在一般点η处D类成为0维严格hesseli局部环的长度D类在余维-1点η处X（X）（位于开放的Deligne–Mumford位置D类).例如，如果η是X（X）0=X（X）国防部π，然后是D类是字η⁡(π)对于均化器πR（右）。

对于任何有效的卡地亚除数D类在里面X（X）具有通用点η我我们定义了相关的Weil除数

[D类]:=∑我字η我⁡(D类我)⁢[D类我]

在Weil因子的自由阿贝尔群中X（X）（带有[C类]表示与一个简化且不可约的封闭子堆栈相关的Weil除数C类⊂X（X）尺寸1）。我们还定义了Weil除数

div公司⁢(（f）)=∑我字η我⁡(（f）)⁢[D类我]

关于可逆有理函数（f）在X（X）。很明显div公司⁢(（f）1⁢（f）2)=div公司⁢(（f）1)+div公司⁢(（f）2)，如果div公司⁢(（f）)=0，然后（f）是上的全局单位X（X）。

对于每个不可约分量C类我属于X（X）0配备了简化结构（因此C类我卡地亚在吗X（X），通过引理B.2.2.8节)对于每个可逆层L（左）在X（X），我们使用定义B.2.2.6定义

L（左）。[C类我]:=L（左）。C类我=度k个⁡(L（左）|C类我);

这是在L（左）我们通过第二个变量中的可加性对其进行扩展，以定义L（左）。Δ任意Weil除数ΔX（X）支持于X（X）0。（我们不要求Δ在X（X）0在其支持范围内[X（X）0].)

提议B.2.2.7节应用于有效的卡地亚除数D类在X（X）这是一个封闭的子堆栈X（X）0说明了这一点

L（左）。D类=L（左）。D类′+L（左）。D类′′

什么时候D类=D类′+D类′′对于有效的Cartier除数D类′和D类′′在X（X），所以（通过通道到达不可约部件C类我)我们看到了L（左）。D类=L（左）。[D类]对于这样的D类。如果Δ1和Δ2Weil除数开了吗X（X）具有Δ2支持于X（X）0，然后我们可以定义Δ1。Δ2在这种情况下是双重的Δ1和Δ2并与O（运行）X（X）⁢(Δ1)。Δ2什么时候Δ2≤[X（X）0];这恢复了定义B.2.2.6节对于有效的Cartier除数，它是的闭子堆栈X（X）0什么时候Δ2=[D类2]对于闭合子堆栈D类2属于X（X）0卡地亚在X（X）。特别地，

div公司⁢(（f）)。Δ=0

对于任何可逆有理函数（f）在X（X）以及任意Weil除数ΔX（X）支持于X（X）0。

推论B.2.2.9。

选择Weil除数Δ1和Δ2在X（X）内部支撑X（X）0.配对Δ1。Δ2是对称的。如果Δ1和Δ2不要共用一个不可简化的组件和Δ我是与有效卡地亚除数相关联的威尔除数D类我在里面X（X）那是一个闭合子堆栈X（X）0，然后

（B.2.2.2）Δ1。Δ2=度k个⁡(D类1†=============================================================D类2)。

如果{C类1，…，C类n个}是（约化）不可约分量的集合X（X）0，然后是对称交集矩阵(C类我。C类j个)是负半定的，其缺陷空间是一维的X（X）→规格⁡(R（右）)是它自己的Stein因子分解。

证明。

偏加性降低了Δ1。Δ2当每一个都是X（X）0（配备了结构）。这些对应于的闭合子堆栈X（X）0，所以主张B.2.2.7节提供了对称性。这个身份(B.2.2.2节)也来自命题B.2.2.7节。

还有待证明(C类我。C类j个)是负半定的，当X（X）→规格⁡(R（右）)是它自己的Stein因子分解。负半确定性意味着Δ。Δ≤0对于由除数生成的所有Weil除数Δ[C类我]。为了证明这种不等式，我们可以假设R（右）严格来说是henselian的，当X（X）已连接（所以X（X）0也已连接）。因此，我们可以选择一个连通的正则有限平面覆盖小时:X（X）′→X（X）和X（X）0′也已连接。地图小时具有恒定度，且已知交集理论X（X）′相对于规格⁡(R（右）)（见提案B.2.2.2节)给出了那个

Δ。Δ=小时-1⁢(Δ)。小时-1⁢(Δ)度⁡(小时)≤0

等式当且仅当小时-1⁢(Δ)是一个𝐐-的倍数div公司X（X）′⁢(π)=小时-1⁢(div公司X（X）⁢(π))。自小时-回调在Weil除数上是内射的，因此Δ。Δ=0当且仅当Δ为𝐐-的倍数div公司X（X）⁢(π)。∎

我们在本小节中讨论的最后一个主题是Weil除数的定义div公司L（左）⁢(秒)对于可逆层L（左）在X（X）和全球部分秒∈L（左）⁢(X（X）)它在的每个连接分量上都是非零的X（X）。为此，我们暂时转移到可逆层的设置N个在任意Artin堆栈上Y（Y），和全球部分吨∈N个⁢(Y（Y）)这在任何地方都不是零维N个。通过计算光滑方案覆盖Y（Y）我们看到了歼灭者的理想我Y（Y），N个，秒=安O（运行）Y（Y）⁢(N个/(秒))在上可逆Y（Y）.在我们常规的环境中X（X）配备(L（左），秒)，我们定义有效Weil除数

div公司L（左）⁢(秒)=[我X（X），L（左），秒-1]。

显然，小时-1⁢(div公司L（左）⁢(秒))=div公司小时∗⁢(L（左）)⁢(小时∗⁢(秒))作为上的有效Weil除数X（X）′。此外，通过从（必然正常的）平滑方案下降，覆盖X（X），包含秒:O（运行）X（X）↪L（左）唯一地推广到可逆带轮的同构O（运行）X（X）⁢(div公司L（左）⁢(秒))≃L（左）。

建议B.2.2.10。

让C类是…的不可约组成部分X（X）0.设备C类通过减小的结构，

度k个⁡(L（左）|C类)=div公司L（左）⁢(秒)。[C类]。

在这个命题中，左边的定义是使用C类是一个正确的Artin堆栈吗k个允许有限平面覆盖。

证明。

自L（左）≃O（运行）X（X）⁢(Δ)Weil除数Δ=div公司L（左）⁢(秒)，可以更普遍地证明度k个⁡(O（运行）X（X）⁢(Δ)|C类)=Δ。[C类]对于任何Weil除数ΔonX（X）主体Δ的情况很清楚，因为两边都消失了。一般来说，Δ中的两边都是可加的，所以我们可以假设Δ是一个约化的不可约Weil因子。让D类是中的有效卡地亚除数X（X）令人满意的[D类]=Δ（参见引理B.2.2.8节).

案例Δ=[C类]简化为案例Δ≠[C类]由于已建立适用于的主要案例Δ=div公司⁢(π)（其支架包含[C类]). 因此，我们可以假设Δ≠[C类]，所以Δ。[C类]=度k个⁡(D类∩C类)因此，如果C类是的封闭子堆栈X（X）0卡地亚在X（X）如果D类是上的有效卡地亚除数X（X），然后是可逆层O（运行）X（X）⁢(D类)|C类在C类有k个-度度k个⁡(D类∩C类).传给严格的汉塞莱人R（右）和已连接X（X）（因此连接X（X）0)，我们可以使用小时-拉回和小时0-一个连接规则的回调有限平面覆盖小时:X（X）′→X（X）将问题简化为正则算术曲面上已知的类似问题X（X）′。∎

自X（X）是Deligne–Mumford远离0维闭合子堆栈X（X）0，通过引理B.2.2.8节现在，在中识别有效卡地亚除数和有效威尔除数的概念是无害的X（X）。因此，对于本附录的其余部分，我们将滥用术语和符号，确定有效的概念上的Weil除数和有效Cartier除数X（X）没有评论。特别是对于一个有效的卡地亚除数D类在里面X（X）我们现在写“D类“甚至是我们应该写的地方”[D类]”.

现在让我们回到最初的激励问题这是常规正确的平面Artin堆栈所固有的X（X）第页:=X（X）0⁢(N个)𝐙(第页)结束𝐙(第页)及其开放子堆栈U型𝐙(第页)对于U型如上所述(B.1.2.2节). 对于非零截面（f）∈H（H）0⁢(X（X）𝐐，ω⊗k个)这样的话Weil除数div公司ω⊗k个⁢(（f）)在X（X）第页具有多重性≥0沿着不可约分量特殊纤维的U型国防部第页，我们将显示它在任何其他组件上的多重性属于X（X）国防部第页以下边界为-e（电子）第页对于显式整数e（电子）第页≥0仅取决于k个，第页、和N个; 然后第页e（电子）第页⁢（f）具有所有多重性≥0也就在于H（H）0⁢(X（X）第页，ω⊗k个)由于X（X）第页。

为了以更几何的方式表述我们的任务，我们引入了一些符号。让{C类1，…，C类n个}是（约化的）不可约分量的集合X（X）国防部第页，然后写入

div公司O（运行）X（X）⁢(第页)=∑j个μj个⁢C类j个

（带有μj个≥1的泛型多样性C类j个在X（X）). 对于任意非零（f）∈H（H）0⁢(X（X）𝐐，ω⊗k个)，在Weil除数群中X（X）第页我们可以写

div公司ω⊗k个⁢(（f）)=D类+∑j个νj个⁢C类j个

对于整数νj个和一个有效的“水平”除数D类在X（X）第页.更换（f）具有第页e（电子）⁢（f）对于e（电子）∈𝐙替换νj个具有νj个+e（电子）⁢μj个，所以每个μ我⁢νj个-μj个⁢ν我不受影响第页-功率缩放（f）。

在定理中B.3.1.3节，我们将给出显式公式对于多重性μ我仅取决于第页字第页⁡(N个)（在使用不可约成分的固有标签时C类我).因此，为了证明定理B.1.3.1节这足以表明绝对差异|μ我⁢νj个-μj个⁢ν我|是唯一有界的就k个，第页、和字第页⁡(N个)，作为下限ν我0≥0对一些人来说我0暗示每个的负下界νj个仅取决于k个，第页、和字第页⁡(N个)，根据需要。的不变性μ我⁢νj个-μj个⁢ν我在下面第页-功率缩放（f）允许我们将注意力限制在非零（f）∈H（H）0⁢(X（X）第页，ω⊗k个)（而不是（f）∈H（H）0⁢(X（X）𝐐，ω⊗k个))为了这个目的限定绝对差异|μ我⁢νj个-μj个⁢ν我|。

在节中B.2.3节我们将把每一个|μ我0⁢νj个0-μj个0⁢ν我0|就

度X（X）𝐐⁡(ω⊗k个)=k个⁢度X（X）𝐐⁡(ω)，
交叉口多重性C类我。C类j个、和
多重性μ我。

这些参数都允许使用显式公式属于k个，第页、和N个，我们将在第节中看到B.3节。由此，我们将获得如定理中所示的明确界限B.1.3.1节这取决于N个仅通过字第页⁡(N个)。

B.2.3几何计算

我们使用与第节中相同的一般设置B.2.2在引理之后B.2.2.5节，但我们也假设X（X）F类光滑且几何连接（所以特殊纤维X（X）0几何连接）。特别是，有一个规则的有限平面覆盖X（X）′→X（X）和堆栈X（X）是Deligne–芒福德远离尺寸为0英寸的闭合子堆栈X（X）0.我们假设特殊纤维X（X）0是可约的。

让{C类1，…，C类n个}是（约化的）不可约分量的集合X（X）0（所以n个≥2); 每个C类我卡地亚在吗X（X）通过引理B.2.2.8节。让μj个是的通用多重性C类j个也就是说

div公司O（运行）X（X）⁢(π)=∑j个μj个⁢C类j个。

让L（左）是一束线X（X）这样的话度k个⁡(L（左）|C类j个)≥0为所有人j个，并让秒∈L（左）⁢(X（X）)是一个非零全局节，所以

div公司L（左）⁢(秒)=D类+∑j个νj个⁢C类j个

对于整数νj个≥0和一个有效的水平除数D类。在这种一般情况下，我们声称|μ我0⁢νj个0-μj个0⁢μ我0|都受一个普遍性的约束公式

度F类⁡(L（左）F类)，
交叉口编号C类我。C类j个、和
多重性μ我。

自

（B.2.3.1）μ我⁢νj个-μj个⁢ν我=μ我μ1⁢(μ1⁢νj个-μj个⁢ν1)-μj个μ1⁢(μ1⁢ν我-μ我⁢ν1)，

把注意力限制在边界上就足够了|μ1⁢νj个-μj个⁢ν1|对于每个j个≠1。

自秒是的非零部分L（左），所以L（左）≃O（运行）X（X）⁢(div公司L（左）⁢(秒))，我们有

度k个(L（左）|C类j个)=div公司L（左）(秒)。C类j个=D类。C类j个+∑我ν我(C类我。C类j个)。

让M（M）表示对称负半定交矩阵(C类我。C类j个)并定义

ν→:=(ν1，…，νn个)，

交集理论X（X）确保M（M）:𝐐n个→𝐐n个是负半定的内核等于跨越的线μ→=(μ1，…，μn个)(∑j个μj个⁢C类j个=div公司O（运行）X（X）⁢(π)是负责人）。因此，的图像超平面M（M）是

H（H）={一→∈𝐐n个:∑我μ我⁢一我=0}

因为任何b条→∈𝐐n个和一我:=∑j个(C类我。C类j个)b条j个我们有

∑我μ我一我=∑j个b条j个∑我μ我(C类我。C类j个)=∑j个b条j个(div公司(π)。C类j个)=0。

备注B.2.3.1。

对于ν→=(ν1，…，νn个)如上所述，以及

一→以下为：=M（M）⁢(ν→)

我们有

一j个=度k个⁡(L（左）|C类j个)-D类。C类j个。

身份∑我μ我⁢一我=0以上同样来自于这对恒等式

度F类⁡(div公司L（左）F类⁢(秒F类))=度F类⁡L（左）F类=度k个⁡L（左）0=∑j个μj个⁢度k个⁡(L（左）|C类j个)

和

度F类(div公司L（左）F类(秒F类))=度F类(D类F类)=度k个(D类0)=D类。div公司(π)=∑j个μj个(D类。C类j个)。

自度k个⁡(L（左）|C类j个)≥0为所有人j个，我们有

|μ我⁢一我|≤度F类⁡L（左）F类

为所有人我因为μ我一我=μ我度k个(L（左）|C类我)-μ我(D类。C类j个)是两者的区别每个非负整数的上界为度F类⁡L（左）F类。

一般来说，对于任何一→这样的话∑我μ我⁢一我=0，的b条→∈𝐐n个这样的话M（M）⁢(b条→)=一→决定添加一𝐐-的倍数μ→，所以差异μ我⁢b条j个-μj个⁢b条我是独立的属于这样的选择b条→。我们的目标是为这些提供一个公式完全不同于一→，μ→和交叉点编号C类我′。C类我′′（待申请一→=M（M）⁢(ν→)按备注计算B.2.3.1节).我们将重点关注这个案件我=1（所以j个>1)，因为这已经足够了(B.2.3.1节).

让W公司⊂𝐐n个是初始坐标为零的向量的子空间，因此自然投影公共关系:𝐐n个→W公司远离初始坐标限制超平面上的同构H（H）（自μ1≠0).自从超平面H（H）是的图像M（M）:𝐐n个→𝐐n个，和子空间W公司是对线路的补充克尔⁡M（M）（自μ1≠0),对…的限制M（M）到W公司是同构W公司≃H（H）因此，我们可以定义复合线性自同构

T型:W公司⁢≃M（M）|W公司⁢H（H）⁢≃公共关系⁢W公司。

通过明显的同构W公司≃𝐐n个-1，矩阵T型右下方是吗(n个-1)×(n个-1)对称交集矩阵定义中的块M（M）。所需的差异公式μ1⁢b条j个-μj个⁢b条1(j个≥2)由以下人员提供：

建议B.2.3.2。

对于任何一→∈H（H）和任何向量b条→∈问n个这样的话M（M）⁢(b条→)=一→，重点T型-1⁢(公共关系⁢(一→))∈W公司有j个第th坐标(μ1⁢b条j个-μj个⁢b条1)/μ1对于2≤j个≤n个; 也就是说，

b条→-b条1μ1⋅μ→=T型-1⁢(公共关系⁢(一→))。

证明。

自一→=M（M）⁢(b条→)，鉴于定义T型我们只需要观察矢量b条→-(b条1/μ1)⁢μ→位于W公司所以这是一个独特的地方W公司满足的同余类b条→对内核进行模运算𝐐⁢μ→属于M（M）。∎

通过设置b条→=ν→和一j个=度k个⁡(L（左）|C类j个)-D类。C类j个为所有人j个≥2，命题B.2.3.2节给出了一个公式对于(μ1⁢νj个-μj个⁢ν1)/μ1就交叉口数量而言C类我。C类我′和数字一2，…，一n个。为了使这个公式显式，我们必须将(n个-1)×(n个-1)矩阵对于线性自同构T型属于W公司=𝐐n个-1。

示例B.2.3.3。

假设n个=2在这种情况下，

μ1⁢ν2-μ2⁢ν1μ1=一2C类2。C类2=μ2⁢一2(μ2⁢C类2)。C类2=-μ2⁢一2μ1(C类1。C类2)

（命题的第一个等式B.2.3.2条)自Weil除数μ1⁢C类1+μ2⁢C类2=div公司O（运行）X（X）⁢(π)对中支持的任何Weil除数具有消失交集对X（X）0，所以

μ1⁢ν2-μ2⁢ν1=-μ2⁢一2C类1。C类2，

哪里一2=度k个⁡(L（左）|C类2)-D类。C类2.通过备注B.2.3.1节，我们有

|μ2⁢一2|≤度F类⁡(L（左）F类)

因此

（B.2.3.2）|μ1⁢ν2-μ2⁢ν1|≤度F类⁡(L（左）F类)C类1。C类2。

备注B.2.3.4。

在示例设置中假设B.2.3.3节那个μ1=μ2=1，所以我们使用上限度F类⁡(L（左）F类)在度k个⁡(L（左）|C类j个)例如，如果X（X）=X（X）0⁢(第页)，C类1是与“乘法”级别结构一般对应的组件（所以C类1≃X（X）⁢(1))、和L（左）=ω⊗k个对于k个≥0ω，如第节所示B.3.1节下面，则相当于替换度⁡(ω⊗k个|C类1)=k个/24具有上限度⁡(ω⊗k个)=k个⁢(第页+1)/24。

因此，在这种特殊情况下使用(B.2.3.2节)没有恢复到Deligne和Rapoport在[12，第七章，第3.19–3.20节]，其中度⁡(ω⊗k个|C类1)=k个/24使用。然而，在这种情况下，我们可以修改计算（以特定的方式到n个=2)以便我们恢复Deligne和Rapoport的界限。这需要显式截面中某些交集对的确定B.3.1节，所以我们推迟到定理B.3.2.1节（带有米=1那里）。

示例B.2.3.5。

假设n个=三。我们确定W公司具有𝐐2通过公共关系23，所以的矩阵T型:W公司≃W公司是

[T型]=(C类2。C类2C类2。C类三C类2。C类三C类三。C类三)。

设置

一j个=度k个⁡(L（左）|C类j个)-D类。C类j个

对于j个=2，三（所以|一j个|≤度F类⁡(L（左）F类)/μj个，如示例所示B.2.3.3节),我们有

μ1-1⋅(μ1⁢ν2-μ2⁢ν1μ1⁢ν三-μ三⁢ν1)=(C类2。C类2C类2。C类三C类2。C类三C类三。C类三)-1⁢(一2一三)。

这就产生了上界|μ1⁢νj个-μj个⁢ν1|就交叉口编号C类我。C类我′，μ→、和度F类⁡(L（左）F类)。请注意

C类2。C类2=μ2-1(μ1(C类1。C类2)+μ三(C类三。C类2))

和

C类三。C类三=μ三-1(μ1(C类1。C类三)+μ2(C类2。C类三))。

B.3显式公式

B.3.1数字X（X）0⁢(N个)

上述注意事项适用于堆栈X（X）0⁢(N个)(N个≥1)那就是Deligne–Mumford，在特征上远离了尖顶的次级堆栈第页对于其中第页2|N个([11，第3.2.7节]）。特别是，这个堆栈是Deligne–Mumford，围绕任何正特征中的超奇异几何点。

考虑线路束L（左）=ω⊗k个在X（X）=X（X）0⁢(N个)，其中ω=ωΓ0⁢(N个)是上泛广义椭圆曲线相对对偶层的可逆前推X（X）0⁢(N个)。学位度𝐅第页⁡(L（左）𝐅第页)等于度𝐐⁡(L（左）𝐐)=k个⁢度𝐐⁡(ω𝐐)对于任何素数第页，所以要计算L（左）关于X（X）0⁢(N个)结束规格⁡(𝐙)我们只是需要计算度数度𝐐⁡(ω𝐐)。

容易忘记的堆栈图X（X）0⁢(N个)→X（X）⁢(1)是适当的，准有限的，平坦的，但甚至超过𝐐它不是有限的（更具体地说，在方案中不具有相对代表性）N个不是无平方的。问题是如果我们选择d日|N个这样的话gcd公司⁡(d日，N个/d日)>1，然后针对标准d日-贡E类d日结束𝐐¯和循环子群G公司订单的N个由生成这对(ζ，1国防部d日)∈𝐆米×𝐙/d日⁢𝐙带有基元N个单位ζ的th根，非平凡群自同构μd日∩μN个/d日属于(E类d日，G公司)诱导收缩的同一性c（c）⁢(E类d日)≃E类1远离身份组件。

因此，地图的拉回X（X）0⁢(N个)→X（X）⁢(1)沿着∞:规格⁡(𝐐)→X（X）⁢(1)不是一个方案。尽管如此，ω的度表现为X（X）0⁢(N个)→X（X）⁢(1)是有限平面：

引理B.3.1.1。

对于任何N个≥1，

度𝐐(ωΓ0⁢(N个))=[Γ(1):Γ0(N个)]度𝐐(ωΓ⁢(1))。

证明。

健忘的地图X（X）1⁢(N个)→X（X）⁢(1)是有限平坦的[11，定理4.1.1（1）]，以及映射X（X）1⁢(N个)→X（X）0⁢(N个)是有限平坦的[11，引理4.2.3]。这些映射是通过收缩操作从理论上定义的模量对广义椭圆曲线光滑轨迹的相对恒等式分量没有影响，通过计算𝐙⁢[1/N个]远离尖端我们看到他们恒定纤维度为[Γ⁢(1):Γ1⁢(N个)]和[Γ0⁢(N个):Γ1⁢(N个)]分别是。

对于任何广义椭圆曲线（f）:E类→S公司，捆（f）∗⁢(ωE类/S公司)自然地与e（电子）∗⁢(ωE类/S公司)因此，ωΓ1⁢(N个)在X（X）1⁢(N个)被认为是两者的拉回ωΓ0⁢(N个)和ωΓ⁢(1)在下面健忘的地图X（X）1⁢(N个)⇉X（X）0⁢(N个)，X（X）⁢(1)因此，

[Γ0(N个):Γ1(N个)]度𝐐(ωΓ0⁢(N个))=度𝐐(ωΓ1⁢(N个))=[Γ(1):Γ1(N个)]度𝐐(ωΓ⁢(1))。

除以[Γ0⁢(N个):Γ1⁢(N个)]产生结果。∎

线路束ωΓ⁢(1)⊗12结束X（X）⁢(1)𝐐允许发电部分远离∞即Ramanujan的尖点形状Δ，以及

div公司ωΓ⁢(1)⊗12⁢(Δ)=∞

通过q个-扩展注意事项。但是度𝐐⁡(∞)=1/2由于引理B.2.2.4节（因为标准1-gon有自同构群𝐙/(2))，所以同构ωΓ⁢(1)⊗12≃O（运行）X（X）⁢(1)⁢(∞)意味着

12⁢度𝐐⁡(ωΓ⁢(1))=度𝐐⁡(∞)=12。

因此，我们得到了以下推论。

推论B.3.1.2。

对于所有人k个，N个≥1，

度𝐐⁡(ωΓ0⁢(N个)⊗k个)=k个[Γ(1):Γ0(N个)]24。

选择一个素数第页|N个然后让对=字第页⁡(N个)≥1，所以N个=第页对⁢N个′具有第页∤N个′。的几何形状X（X）0⁢(N个)国防部第页在年完成[24，第13章]除外那里没有使用堆栈语言：prime-to-第页水平结构连接在一起，形成一个“刚性”模问题由一个方案表示，而尖点在理论上不是模的。通过使用模理论方法与[11]（它确实包含了牙尖）和中的方法[24]对于具有“足够”级别结构的情况（例如Γ1⁢(N个⁢q个⁢ℓ)对于不同的素数q个，ℓ≥5不分割N个)，我们可以获得：

定理B.3.1.3。

堆栈X（X）0⁢(N个)F类第页有对+1不可约分量{C类一}0≤一≤对哪里C类一对对象进行分类为此第页-级别结构的一部分是(一，对-一)-子群的意义[24，定义13.4.1]（所以远离超奇异轨迹，C类对对乘法类型级别结构进行分类和C类0分类故事级结构）。配备每个C类一对于简化的结构，每一个都是光滑的，并且在几何上是不可约的

度𝐅第页⁡(ω|C类一)>0

为所有人一。

任何两个这样不同的组件正好在超奇异点相遇，并且在的任何超奇异点ξX（X）0⁢(N个)F类¯第页完成的局部环与同构

𝐅¯第页⁢[[u个，v（v）]]/((u个-v（v）第页对)⁢(v（v）-u个第页对)⁢∏1≤一≤对-1(u个第页一-v（v）第页对-一)第页-1)

用它的商O（运行）^C类一，ξ由方程的根定义u个第页一=v（v）第页对-一。特别是C类一由提供μ0=1，μ对=1、和μ一=第页最小值⁡(一，对-一)⁢(第页-1)对于0<一<对，和用于0≤一<b条≤米0维交集堆栈C类一∩C类b条减少了如果一≤对/2≤b条反之，它的每个点都有多重性

米一，b条={第页对-2⁢b条，一<b条<对2，第页2⁢一-米，对2<一<b条。

特别地，米一，b条=米对-b条，对-一。

证明。

这是[24，定理13.4.7]除了不等式度𝐅第页⁡(ω|C类一)>0为所有人一。为了证明这种积极性，我们可以与之合作ω⊗12，这是O（运行）⁢(∞)在X（X）⁢(1)沿准有限平面的真遗忘映射X（X）0⁢(N个)𝐅第页→X（X）⁢(1)𝐅第页。当第页2|N个，同样适用对于每个C类一→X（X）⁢(1)𝐅第页尽管如此，在这种拉回下对度的影响确实表现为它是有限平坦的，正如引理中所示B.3.1.1 第页。，所以ω|C类一有积极的𝐅第页-每个的学位一。∎

推论B.3.1.4。

让C类，C类′是的两个不同的不可约分量X（X）0⁢(N个)国防部第页.然后

C类。C类′≥[Γ(1):Γ0(N个′)]⋅∑ξ1#⁢Aut（奥特）⁡(ξ)=[Γ(1):Γ0(N个′)]⋅第页-124，

其中和覆盖超奇异椭圆曲线的所有同构类F类¯第页。

证明。

由于交叉口数量可以通过𝐅¯第页，我们可以和𝒳:=X（X）0⁢(N个)𝐅¯第页.根据定理B.3.1.3节，

𝒞:=C类𝐅¯第页和 𝒞′:=C类𝐅¯第页′

是的不可约组成部分𝒳结构简化𝒞∩𝒞′是一个封闭的子堆栈，其支持恰好由超奇异组成𝐅¯第页-每个这样的点具有共同的多重性（取决于在C类和C类′).

任意超奇异椭圆曲线E类结束𝐅¯第页承认唯一的Drinfeld循环子群方案秩序第页对，即对-折叠相对Frobenius态射（Drinfeld生成器由0给出）。因此，如果N个=第页对（即。，N个′=1)，然后是引理B.2.2.4节和命题B.2.2.7节给那个

𝒞。𝒞′≥∑ξ1#⁢Aut（奥特）⁡(ξ)=第页-124

（确切地说C类和C类′横向相遇）。一般来说，考虑一下地图小时:X（X）0⁢(N个)→X（X）0⁢(第页对)那个“忘记”N个′-级别结构的一部分。这张一般意义上的地图通常不具有相对的代表性接近尖角但为常数阶的有限阶度(小时)以下为：=[Γ0(第页对):Γ0(N个)]=[Γ(1):Γ0(N个′)]远离尖端。此外，拉回操作Y（Y）↝小时-1⁢(Y（Y）)定义集合之间的双射的不可约分量X（X）0⁢(第页对)𝐅第页和X（X）0⁢(N个)𝐅第页。

让D类和D类′是的两个不可约组成部分X（X）0⁢(第页对)𝐅第页让人满意的C类=小时-1⁢(D类)和C类′=小时-1⁢(D类′)，所以通过使用有限平面方案覆盖X（X）0⁢(N个)也就是有限平面结束X（X）0⁢(第页对)（例如通过相邻合适的辅助层结构）我们看到了吗

C类。C类′=度(小时)D类。D类′=[Γ(1):Γ0(N个′)]D类。D类′。

自D类。D类′≥(第页-1)/24，我们完成了。∎

推论B.3.1.5。

选择素数第页|N个.对于足够大的偶数k个，这个第页-有限阿贝尔群的挠子群M（M）k个⁢(Γ0⁢(N个)，Z轴)/M（M）k个，Z轴不平凡。

自M（M）k个⁢(Γ0⁢(N个)，𝐂)=0对于奇数k个，奇偶校验条件k个无法删除。在特殊情况下k个=4和N个=第页=5，（f）在第节中5.1表示一个重要的类。

证明。

通过平底变化的考虑，这足以表明M（M）k个⁢(Γ，R（右）)/M（M）k个，R（右）≠0对于严格的母鸡化R（右）=𝐙(第页)第页.设κ为R（右），然后让D类是正则堆栈上的约化有效卡地亚除数X（X）R（右）这样D类是特种纤维独特的不可约组分X（X）κ通过∞。最后，让我们[x个0]是的0维闭合子堆栈X（X）κ这是一个非尖点非CM点x个0:规格⁡κ→X（X）κ远离D类然后让j个:[x个0]→X（X）R（右）是典型的封闭浸没。

这个非随意性确保了[x个0]是Deligne–芒福德，所以地图

x个0:规格⁡κ→[x个0]

是有限的，因为它是来自Deligne–Mumford堆栈的方案。根据结构DM-堆栈点的数量，x个0标识[x个0]使用商堆栈[规格⁡(κ)/G公司0]对于有限常数群G公司0=规格⁡(κ)×x个0，X（X）κ，x个0规格⁡(κ)这是上面对象的自同构群κ=κ¯分类依据x个0。自x个0显然是非癫痫和非CMG公司0=𝐙/2⁢𝐙。因此，照片⁢([x个0])由一维同构类组成κ-向量空间L（左）装备有动作G公司0=𝐙/2⁢𝐙，所以这个G公司0-上的操作L（左）⊗2微不足道。因此，j个∗⁢(ωR（右）)⊗k个≃O（运行）[x个0]对于任何即使k个。

选择素数ℓ≥5不分割无，并让第页一表示第页-有限平面映射的度的一部分q个:X（X）1⁢(N个⁢ℓ)→X（X）0⁢(N个)=X（X）具有X（X）1⁢(N个⁢ℓ)一方案结束𝐙⁢[1/ℓ]（因此结束𝐙(第页)).对于任何相干层G公司在X（X）R（右）我们要求如果k个足够大（没有奇偶校验约束），则H（H）1⁢(X（X）R（右），ω⊗k个⊗G公司)被杀了第页一。（没有有限平面方案覆盖X（X）=X（X）0⁢(N个)κ素数为第页什么时候字第页⁡(N个)>1，由于特征尖端的程度考虑第页谁的自同构方案的阶可被整除第页.)承认这一点，考虑一下O（运行）X（X）R（右）↠j个∗⁢(O（运行）[x个0])由可逆理想层O（运行）X（X）R（右）⁢(-(一+1)⁢D类)（这是微不足道的[x个0]); 这个扭曲是满溢

φ:O（运行）X（X）R（右）⁢(-(一+1)⁢D类)→j个∗⁢(O（运行）[x个0])。

让我表示它的相干核，所以ωR（右）⊗k个⊗我是自然满射的核心

ωR（右）⊗k个⁢(-(一+1)⁢D类)→j个∗⁢(j个∗⁢(ωR（右）⊗k个))

通过将回注φ扭曲为ωR（右）⊗k个。对于即使k个线路束j个∗⁢(ωR（右）⊗k个)在[x个0]是微不足道的，并且是提升全球部分的障碍将此行绑定到全局节（f）属于ωR（右）⊗k个⁢(-(一+1)⁢D类)位于上同调群H（H）1⁢(X（X）R（右），ωR（右）⊗k个⊗我)被杀的人第页一因此，存在一个（f）∈M（M）k个，R（右）生成第页一⁢ωR（右）⊗k个近的[x个0]至少消失在秩序中一+1沿着X（X）κ近的∞κ。显然，（f）有q个-模消失的展开第页一+1，所以(1/第页一+1)⁢（f）代表中的一个重要类M（M）k个⁢(Γ，R（右）)/M（M）k个，R（右）。

对于任何相干层，仍然需要证明G公司在X（X）R（右），H（H）1⁢(X（X）R（右），ωR（右）⊗k个⊗G公司)被杀了第页一对于所有足够大的k个（没有奇偶校验约束）。自q个:X（X）1⁢(N个⁢ℓ)→X（X）0⁢(N个)是度为有第页-部分第页一通过跟踪论证，足以证明对于任何相干层F类在X（X）1⁢(N个)R（右）（例如q个∗⁢G公司)如果k个足够大，那么H（H）1⁢(X（X）1⁢(N个⁢ℓ)R（右），q个∗⁢(ω)R（右）⊗k个⊗F类)=0。根据格式上相干上同调的标准基变换定理，只要证明在特殊纤维上类似的消失就足够了X（X）κ，所以它足以显示电线束q个∗⁢(ω)κ在X（X）1⁢(N个⁢ℓ)κ足够了。

作为C类通过stacky曲线的不可约分量变化X（X）0⁢(N个)κ（给予C类减少的结构），拉回q个-1⁢(C类)通过的不可约分量X（X）1⁢(N个⁢ℓ)κ（配备可能非简化的方案结构）。对于每个此类C类有理数度κ⁡(ωκ|C类)根据定理为正B.3.1.3节，所以q个∗⁢(ω)κ在不可约的一维真κ-格式上具有正度q个-1⁢(C类)因此，q个∗⁢(ω)κ|q个-1⁢(C类)对所有这些都足够了C类，所以q个∗⁢(ω)κ足够了。∎

感兴趣的读者可以很容易地查看推论B.3.1.5节与保持正确用尖点形式代替模形式时的同样证明：只需引入可逆理想的扭曲在一些层理论计算中，定义了尖点的卡地亚闭子层。

B.3.2的倍数界限Γ0⁢(N个)

考虑一个素数第页|N个然后让对:=字第页⁡(N个)，所以N个=第页对⁢N个′具有第页∤N个′。我们寻求e（电子）=e（电子）⁢(第页，k个，N个)以便

第页e（电子）⁢M（M）k个⁢(Γ0⁢(N个)，𝐙(第页))⊆H（H）0⁢(X（X）0⁢(N个)𝐙(第页)，ω⊗k个)。

定理B.3.2.1。

我们可以选择指数e（电子）⁢(第页，k个，N个)依赖N个仅通过对:=字第页⁡(N个)>0。对于对=1，2，三和吨=(第页-1)-1有效的选择是⌈k个⁢(1+吨)⌉，⌈三⁢k个⁢吨⁢(2⁢吨+1)⌉，⌈2⁢k个⁢吨⁢(吨+1)⁢(吨+2)⌉分别是。

查找的显式公式e（电子）⁢(第页，k个，N个)通过我们的方法需要理解对×对交叉数矩阵，因此，不清楚如何为所有人提供一个干净的通用公式对>三。

证明。

我们可以假设存在一个非零秒∈M（M）k个⁢(Γ0⁢(N个)，𝐙(第页))（或其他我们可以接受e（电子）⁢(k个，第页，N个)为0），所以秒是可逆的有理截面秒属于ωΓ0⁢(N个)⊗k个我们把它的除数写成

D类+∑我=0对ν我⁢C类我

具有有效水平D类.根据的有效性D类和“stacky算术曲线”的正规性X（X）0⁢(N个)，关于的必要和充分条件e（电子）≥0以确保

第页e（电子）⁢秒∈H（H）0⁢(X（X）0⁢(N个)𝐙(第页)，ω⊗k个)

是这样吗e（电子）⋅字C类我⁢(第页)+ν我≥0为所有人我，也就是说e（电子）≥-ν我/μ我为所有人我。但是ν对≥0因为q个-膨胀是在尖端计算的∞对应于乘法层级结构，所以我们寻求一个统一的上界e（电子）⁢(第页，k个，N个)在最大值0≤我<对⁡(-ν我/μ我)（独立于这样的秒).

案例对=1需要特别小心（相对于有效的论点对于对>1)，所以我们首先假设对=1并调整论点[12，第七章，第3.19–3.20节]来证明这一点|ν2-ν1|≤k个⁢第页/(第页-1)（不考虑主打-第页的一部分N个).

考虑示例B.2.3.3节具有C类1等于组件X（X）0⁢(N个′)𝐅第页属于X（X）0⁢(N个)𝐅第页对应于乘法第页-水平结构中的一部分（远离超奇异轨迹）和C类0等于另一个分量（对应于étale第页-中的一部分远离超奇异点的水平结构）。这就产生了等式

(ν1-ν0)(C类0。C类1)=D类。C类1-度𝐅第页(ω⊗k个|C类1)=D类。C类1-k个[Γ(1):Γ0(N个′)]24

（使用推论B.3.1.2节对于Γ0⁢(N个′)超过特性-第页指向属于规格⁡(𝐙⁢[1/N个′])).

关键技巧是观察

D类。C类1=12⁢D类。(C类1+C类0)+12⁢D类。(C类1-C类0)，

Weil除数C类1+C类0=div公司X（X）0⁢(N个)⁢(第页)正在消失mod中任意垂直除数的配对-第页纤维。因此，

D类。(C类0+C类1)=(D类+ν0⁢C类0+ν1⁢C类1)。(C类0+C类1)=度𝐅第页⁡(ωΓ0⁢(N个)⊗k个)=度𝐐⁡(ωΓ0⁢(N个)⊗k个)=k个[Γ(1):Γ0(N个)]24。

自N个=第页⁢N个′具有第页∤N个′，我们有

[Γ(1):Γ0(N个)]=[Γ(1):Γ0(N个′)][Γ(1):Γ0(第页)]=(第页+1)[Γ(1):Γ0(N个′)]。

因此，

(ν1-ν0)(C类0。C类1)=k个[Γ(1):Γ0(N个′)](-124+12第页+124)+12D类。(C类1-C类0)

=k个2⁢[Γ(1):Γ0(N个′)](第页-1)24+12⁢D类。(C类1-C类0)。

水平度D类意味着

|D类。(C类1-C类0)|≤D类。(C类1+C类0)，

和推论B.3.1.4节，

C类1。C类0≥[Γ(1):Γ0(N个′)](第页-1)24。

通过取消[Γ(1):Γ0(N个′)](第页-1)/24自始至终，我们得出的结论是

|ν1-ν0-k个2|≤k个2⁢第页+1第页-1=k个2⁢(1+2第页-1)，

所以

|ν1-ν0|≤k个+k个第页-1。

自ν1≥0通过设计和μ0=1，我们得到

-ν0μ0≤k个⁢(1+1第页-1)，

提供所需的统一上限。

现在假设对=2对于三个不可约分量C类0，C类1，C类2属于X（X）0⁢(N个)国防部第页各自的多重性是μ0=μ2=1和μ1=第页⁢(第页-1)通过定理B.3.1.3节。因此，我们在最大值⁡(-ν0，-ν1/第页⁢(第页-1))（使用这个ν2≥0).因为有三个不可约分量C类0，C类1，C类2，我们从示例中获得B.2.3.5节旋转C类2（带有μ2=1)那个

（B.3.2.1）(ν0-ν2ν1-第页⁢(第页-1)⁢ν2)=(C类0。C类0C类0。C类1C类0。C类1C类1。C类1)-1⁢(一0一1)，

和

（B.3.2.2）|μj个⁢一j个|≤度𝐐⁡(ω⊗k个)=k个第页(第页+1)[Γ(1):Γ0(N个′)]24

按备注B.2.3.1节和推论B.3.1.2节。完成的局部环的描述定理中的几何超奇异点B.3.1.3给出（通过引理B.2.2.4节具有米=2)那个C类我满足C类j个每当我≠j个，所以

C类0。C类2=C类1。C类2=C类0。C类1=∑(E类，G公司)1#⁢Aut（奥特）⁡(E类，G公司)=:我，

其中总金额占全部𝐅¯第页-对的同构类由超奇异椭圆曲线组成E类配备子组方案G公司订单的N个这在Drinfeld意义上是循环的。此外，div公司⁢(第页)=C类0+第页⁢(第页-1)⁢C类1+C类2，所以

C类0。C类0=-(第页(第页-1)C类0。C类1+C类0。C类2)=-(第页(第页-1)+1)我，

第页(第页-1)C类1。C类1=-(C类0。C类1+C类2。C类1)=-2我，

所以

(C类0。C类0C类0。C类1C类0。C类1C类1。C类1)-1=我-1⁢(-(第页⁢(第页-1)+1)11-2/第页⁢(第页-1))-1=1我⁢(1+2/第页⁢(第页-1))⁢(-2/第页⁢(第页-1)-1-1-(第页⁢(第页-1)+1))。

由(B.3.2.1节)我们的结论是

|ν0-ν2|≤|一1|+2⁢|一0|/第页⁢(第页-1)我⁢(1+2/第页⁢(第页-1))，

|ν1-第页⁢(第页-1)⁢ν2|≤(第页⁢(第页-1)+1)⁢|一1|+|一0|我⁢(1+2/第页⁢(第页-1))。

此外，

我≥[Γ(1):Γ0(N个′)](第页-1)24

通过推论B.3.1.4节和上限(B.3.2.2节)说

|一0|，第页⁢(第页-1)⁢|一1|≤k个第页(第页+1)[Γ(1):Γ0(N个′)]24。

因此，在取消[Γ(1):Γ0(N个′)]/24我们到达了

|ν0-ν2|≤三1+2/第页⁢(第页-1)⋅第页+1(第页-1)2⋅k个，

|ν1-第页⁢(第页-1)⁢ν2|≤2+1/第页⁢(第页-1)1+2/第页⁢(第页-1)⋅第页+1第页-1⋅k个⁢第页。

将第二个不等式除以μ1=第页⁢(第页-1)给予

|ν1/μ1-ν2|≤2+1/第页⁢(第页-1)1+2/第页⁢(第页-1)⋅第页+1(第页-1)2⋅k个。

使用它ν2≥0，这些上限|ν0-ν2|和|ν1/μ1-ν2|各自的上限是-ν0/μ0=-ν0和-ν1/μ1，所以从那以后2+1/第页⁢(第页-1)<三我们的结论是，当字第页⁡(N个)=2统一上限由以下公式提供

三⁢k个第页-1⋅第页+1第页-1+2/第页<三⁢k个/(第页-1)1-2/(第页+1)=三⁢k个第页-1⋅(1+2第页-1)，

当字第页⁡(N个)=2。

最后，我们调整了对该案例的处理对=2处理一般事务对>1.让C类0，…，C类对如定理所示B.3.1.3节，并让T型成为对×对矩阵谁的ij公司-条目(0≤我，j个≤对-1)是C类我。C类j个.如果0≤我<j个≤对，然后C类我。C类j个=C类j个。C类我=米我，j个⁢我，其中

我:=∑(E类，G公司)1#⁢Aut（奥特）⁡(E类，G公司)≥[Γ(1):Γ0(N个′)]⋅第页-124

和米我，j个=1除非在以下情况下我<j个<对/2或对/2<我<j个，在这种情况下米我，j个=第页对-2⁢j个或米我，j个=第页2⁢我-对分别是。为了便于记法，我们定义米j个，我=米我，j个什么时候j个>我。

对于我≥0，自我联系C类我。C类我满足

μ我C类我。C类我=-∑小时≠我(μ小时C类小时。C类我)=-我⋅∑小时≠我米小时，我μ小时

（其中金额包括小时=对，使用μ对=1).换句话说，

C类我。C类我=-我⋅∑小时≠我米小时，我⁢μ小时μ我，

所以T型-1=(1/我)⁢B类-1，其中矩阵B类=(b条我⁢j个)具有0≤我，j个≤对-1有个条目b条我⁢j个=米我，j个对于我≠j个和b条我⁢我=-∑小时≠我米小时，我⁢μ小时/μ我（包括小时=对).每个b条我⁢j个仅取决于第页对（不在prime-to上-第页部分N个′属于N个)因为多重性也是如此μ我的C类我在里面X（X）0⁢(N个)𝐅第页通过定理B.3.1.3节（明确地说，μ0=1和μ我=第页最小值⁡(我，对-我)⁢(第页-1)对于1≤我≤对-1.)特别要注意的是b条我⁢我=b条对-我，对-我自从米一，b条=米对-一，对-b条和μ小时=μ对-小时。

定义ν→=(ν0，…，ν对-1)和μ→=(μ0，…，μ对-1)在里面𝐐对，设Δ为对角线对×对矩阵，其我第个对角线入口是μ我(0≤我≤对-1).自μ对=1，应用命题B.2.3.2节（至C类0，…，C类对)给出了那个

（第B.3.2.3节）ν→-ν对⋅μ→=1我⁢(b条我⁢j个)-1⁢一→，

哪里

|μj个⁢一j个|≤k个第页对-1(第页+1)[Γ(1):Γ0(N个′)]24。

让w个→=(w个0，…，w个对-1)∈𝐐对具有w个j个:=μj个⁢一j个显然，

|w个j个我|=|μj个⁢一j个我|≤k个⁢第页对-1⁢(第页+1)第页-1，

所以插入琐碎的身份一→=Δ-1⁢w个→到(第B.3.2.3节)给出了那个

|ν我-μ我⁢ν对|≤k个⁢第页对-1⁢(第页+1)第页-1⋅∑j个|c（c）我⁢j个|，

哪里(c（c）我⁢j个)是矩阵的逆矩阵

(c（c）我⁢j个):=Δ⋅B类

具有c（c）我⁢j个=μ我⁢米我，j个如果j个≠我和c（c）我⁢我=-∑小时≠我米小时，我⁢μ小时（包括小时=对).自ν对≥0，我们得到

-ν我μ我≤k个⁢第页对-1⁢(第页+1)μ我⁢(第页-1)⋅∑j个=0对-1|c（c）我⁢j个|，

哪里μ0=1和μ我=第页最小值⁡(我，对-我)⁢(第页-1)对于1≤我≤对-1，所以e（电子）⁢(第页，k个，N个)可以选择为大于或等于的最小整数

（B.3.2.4）k个⁢第页对-1⋅第页+1第页-1⁢最大值0≤我<对⁡1μ我⋅∑j个=0对-1|c（c）我⁢j个|。

这个界限明显取决于N个只有通过它第页-部分第页对。

如果对=三，然后(c（c）我⁢j个)=Δ⋅B类等于

(1000第页⁢(第页-1)000第页⁢(第页-1))⁢(b条00第页1第页b条11111b条22)

具有

b条00=-∑小时≠0米小时，0⁢μ小时=-(第页⁢(第页-1)⁢(第页+1)+1)=-第页三+第页-1，b条11=b条22=-1第页⁢(第页-1)⁢∑小时≠2米小时，2⁢μ小时=-第页2-1第页⁢(第页-1)，

所以

(c（c）我⁢j个)=(-第页三+第页-1第页1第页2⁢(第页-1)-第页2-1第页⁢(第页-1)第页⁢(第页-1)第页⁢(第页-1)-第页2-1)。

这有决定因素δ⁢(第页)=-(第页三+1)2，而显式计算给出了相反的结果

(c（c）我⁢j个)=-1(第页三+1)2⁢((第页+1)⁢(2⁢第页2-第页+1)第页三+第页2第页三+1第页三⁢(第页2-1)第页5+1第页⁢(第页三+1)⁢(第页-1)第页⁢(第页三+1)⁢(第页-1)第页⁢(第页三+1)⁢(第页-1)第页5-第页4+第页三+第页2-第页+1)。

通过使用条目的明确确定c（c）我⁢j个，这个我第个术语

小时我⁢(第页):=1μ我⁢∑0≤j个<对|c（c）我⁢j个|

在最大值内(B.3.2.4节)的对=三被视为有理函数第页等级为3且小时我⁢(第页)/第页三由以下公式给出各自的表达方式x个=1/第页∈(0，1/2]:

2⁢(1+x个)⁢(x个2-x个+2)，(1+x个)⁢(x个5-2⁢x个4+三⁢x个2-4⁢x个+三)1-x个，(1+x个)⁢(x个5-4⁢x个4+7⁢x个2-6⁢x个+三)1-x个。

由此可见小时0⁢(第页)>小时1⁢(第页)>小时2⁢(第页)，所以什么时候字第页⁡(N个)=三，我们可以接受e（电子）⁢(第页，k个，N个)为最大的最小整数大于或等于

2⁢k个⁢第页2⁢(第页+1)2⁢(2⁢第页2-第页+1)(第页-1)⁢(第页三+1)2=2⁢k个第页-1⋅11-(x个-x个2)⋅(1+11-(x个-x个2))<2⁢k个第页-1⋅11-x个⋅(1+11-x个)

对于x个=1/第页因此，通过替换第页/(第页-1)对于1/(1-x个)我们可以使用

e（电子）⁢(第页，k个，N个)=⌈2⁢k个⁢第页⁢(2⁢第页-1)(第页-1)三⌉。

写这篇文章的时候吨=1/(第页-1)然后给出⌈2⁢k个⁢吨⁢(吨+1)⁢(吨+2)⌉根据需要。∎

工具书类

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收到：2013-9-10

修订过的：2014-12-5

在线发布：2015-4-21

印刷出版：2017-10-1