证明
系统方程的求和(2.1)，我们有
d日
t吨
(
S公司
+
我
+
A类
)
=
{
-
∂
[
S公司
(
t吨
,
一
)
+
我
(
t吨
,
一
)
+
A类
(
t吨
,
一
)
]
∂
一
-
μ
(
t吨
)
[
S公司
(
t吨
,
一
)
+
我
(
t吨
,
一
)
+
A类
(
t吨
,
一
)
]
-
μ
2
(
t吨
,
一
)
A类
(
t吨
,
一
)
}
d日
t吨
-
σ
(
t吨
)
[
S公司
(
t吨
,
一
)
+
我
(
t吨
,
一
)
+
A类
(
t吨
,
一
)
]
d日
B类
t吨
≤
{
-
∂
[
S公司
(
t吨
,
一
)
+
我
(
t吨
,
一
)
+
A类
(
t吨
,
一
)
]
∂
一
-
μ
(
t吨
)
[
S公司
(
t吨
,
一
)
+
我
(
t吨
,
一
)
+
A类
(
t吨
,
一
)
]
}
d日
t吨
-
σ
(
t吨
)
[
S公司
(
t吨
,
一
)
+
我
(
t吨
,
一
)
+
A类
(
t吨
,
一
)
]
d日
B类
t吨
.
让
U型
(
t吨
,
一
)
:=
S公司
(
t吨
,
一
)
+
我
(
t吨
,
一
)
+
A类
(
t吨
,
一
)
.根据比较定理，系统的有界性问题(2.1)将其转化为以下带乘性噪声的线性年龄结构模型的相应问题：
（A.1）
{
d日
t吨
U型
=
[
-
∂
U型
(
t吨
,
一
)
∂
一
-
μ
(
t吨
)
U型
(
t吨
,
一
)
]
d日
t吨
-
σ
(
t吨
)
U型
(
t吨
,
一
)
d日
B类
t吨
在里面
问
,
U型
(
t吨
,
0
)
=
∫
0
一
¯
β
(
t吨
)
U型
(
t吨
,
一
)
d日
一
,
t吨
∈
[
0
,
T型
]
,
U型
(
0
,
一
)
=
U型
0
(
一
)
,
一
∈
[
0
,
一
¯
]
,
哪里
d日
t吨
U型
:=
∂
U型
(
t吨
,
一
)
∂
t吨
d日
t吨
.通过沿特征线积分并利用常数变化公式，方程的显式解(A.1款)如下所示（参见[36])以下为：
（A.2）
U型
(
t吨
,
一
)
=
{
U型
0
(
一
-
t吨
)
e（电子）
∫
0
t吨
-
μ
(
秒
)
d日
秒
-
∫
0
t吨
σ
(
秒
)
e（电子）
∫
秒
t吨
-
μ
(
τ
)
d日
τ
U型
(
秒
,
秒
+
一
-
t吨
)
d日
B类
秒
,
0
≤
t吨
≤
一
,
U型
(
t吨
-
一
,
0
)
e（电子）
∫
0
一
-
μ
(
秒
+
t吨
-
一
)
d日
秒
-
∫
t吨
-
一
t吨
σ
(
秒
+
一
-
t吨
)
e（电子）
∫
秒
t吨
-
μ
(
τ
)
d日
τ
U型
(
秒
,
秒
+
一
-
t吨
)
d日
B类
秒
,
0
≤
一
<
t吨
.
自
U型
(
t吨
,
0
)
=
∫
0
一
¯
β
(
t吨
)
U型
(
t吨
,
一
)
d日
一
，来自(A.2)，我们得到
（A.3）
U型
(
t吨
,
0
)
=
∫
0
一
¯
β
(
t吨
)
U型
(
t吨
,
一
)
d日
一
=
∫
0
t吨
β
(
t吨
)
U型
(
t吨
,
一
)
d日
一
+
∫
t吨
t吨
¯
β
(
t吨
)
U型
(
t吨
,
一
)
d日
一
=
J型
(
t吨
)
+
∫
0
t吨
β
(
t吨
)
U型
(
t吨
-
一
,
0
)
e（电子）
∫
0
一
-
μ
(
秒
+
t吨
-
一
)
d日
秒
d日
一
,
哪里
J型
(
t吨
)
=
∫
t吨
一
¯
β
(
一
)
U型
0
(
一
-
t吨
)
e（电子）
∫
0
t吨
-
μ
(
秒
)
d日
秒
d日
一
-
∫
0
t吨
β
(
t吨
)
∫
t吨
-
一
t吨
σ
(
秒
+
一
-
t吨
)
e（电子）
∫
秒
t吨
-
μ
(
τ
)
d日
τ
U型
(
秒
,
秒
+
一
-
t吨
)
d日
B类
秒
d日
一
-
∫
t吨
一
¯
β
(
t吨
)
∫
0
t吨
σ
(
秒
)
e（电子）
∫
秒
t吨
-
μ
(
τ
)
d日
τ
U型
(
秒
,
秒
+
一
-
t吨
)
d日
B类
秒
d日
一
,
0
≤
t吨
≤
一
¯
,
和
（A.4）
K（K）
(
t吨
,
一
)
=
β
(
t吨
)
e（电子）
∫
0
一
-
μ
(
秒
+
t吨
-
一
)
d日
秒
.
自
电子
(
∫
0
t吨
σ
(
秒
)
e（电子）
∫
秒
t吨
-
μ
(
τ
)
d日
τ
U型
(
秒
,
秒
+
一
-
t吨
)
d日
B类
秒
)
=
电子
(
∫
t吨
-
一
t吨
σ
(
秒
+
一
-
t吨
)
e（电子）
∫
秒
t吨
-
μ
(
τ
)
d日
τ
U型
(
秒
,
秒
+
一
-
t吨
)
d日
B类
秒
)
=
0
,
来自(A.2)，我们知道方程解的第一矩(A.1款)是
（A.5）
电子
[
U型
(
t吨
,
一
)
]
=
{
U型
0
(
一
-
t吨
)
e（电子）
∫
0
t吨
-
μ
(
秒
+
t吨
-
一
)
d日
秒
,
0
≤
t吨
≤
一
,
电子
[
U型
(
t吨
-
一
,
0
)
]
e（电子）
∫
0
一
-
μ
(
秒
+
t吨
-
一
)
d日
秒
,
0
≤
一
<
t吨
.
由(答3)，我们有
电子
[
U型
(
t吨
,
0
)
]
=
电子
[
J型
(
t吨
)
]
+
∫
0
t吨
K（K）
(
t吨
,
一
)
电子
U型
(
t吨
-
一
,
0
)
d日
一
=
电子
[
J型
(
t吨
)
]
+
∫
0
t吨
K（K）
(
t吨
,
t吨
-
秒
)
电子
U型
(
秒
,
0
)
d日
秒
,
哪里
（A.6）
电子
[
J型
(
t吨
)
]
=
∫
t吨
一
¯
β
(
t吨
)
U型
0
(
一
-
t吨
)
e（电子）
∫
0
t吨
-
μ
(
秒
)
d日
秒
d日
一
.
根据方程式(A.4款), (答6)和假设1,2，因此
0
≤
K（K）
(
t吨
,
一
)
≤
K（K）
¯
,
(
t吨
,
一
)
∈
问
;
0
≤
电子
[
J型
(
t吨
)
]
≤
J型
¯
,
t吨
∈
(
0
,
T型
)
,
使用类似于的方法[2，定理2.1.1]，我们可以推断
电子
[
U型
(
t吨
,
一
)
]
≤
C
1
，其中
C
1
是一个正常数。
我们现在讨论
U型
(
t吨
,
一
)
.根据(A.2)和(答5)，我们得到
（A.7）
U型
(
t吨
,
一
)
-
电子
[
U型
(
t吨
,
一
)
]
=
{
-
∫
0
t吨
σ
(
秒
)
e（电子）
∫
秒
t吨
-
μ
(
τ
)
d日
τ
U型
(
秒
,
秒
+
一
-
t吨
)
d日
B类
秒
,
0
≤
t吨
≤
一
,
(
U型
(
t吨
-
一
,
0
)
-
电子
[
U型
(
t吨
-
一
,
0
)
]
)
e（电子）
∫
0
一
-
μ
(
秒
+
t吨
-
一
)
d日
秒
-
∫
t吨
-
一
t吨
σ
(
秒
+
一
-
t吨
)
e（电子）
∫
秒
t吨
-
μ
(
τ
)
d日
τ
U型
(
秒
,
秒
+
一
-
t吨
)
d日
B类
秒
,
0
≤
一
<
t吨
.
什么时候？
0
≤
t吨
≤
一
，第二个时刻
U型
(
t吨
,
一
)
是
M（M）
(
t吨
,
一
)
≜
电子
(
U型
(
t吨
,
一
)
-
电子
[
U型
(
t吨
,
一
)
]
)
2
=
电子
∫
0
t吨
(
σ
(
秒
)
e（电子）
∫
秒
t吨
-
μ
(
τ
)
d日
τ
U型
(
秒
,
秒
+
一
-
t吨
)
)
2
d日
秒
≤
σ
¯
2
∫
0
t吨
电子
|
U型
(
秒
,
一
)
|
2
d日
秒
.
因此
电子
|
U型
(
t吨
,
一
)
|
2
≤
(
电子
|
U型
(
t吨
,
一
)
|
)
2
+
σ
¯
2
∫
0
t吨
电子
|
U型
(
秒
,
一
)
|
2
d日
秒
.
根据Gronwall引理，我们有
电子
|
U型
(
t吨
,
一
)
|
2
≤
(
电子
|
U型
(
t吨
,
一
)
|
)
2
e（电子）
σ
¯
2
T型
≤
C
2
e（电子）
σ
¯
2
T型
.
什么时候？
0
≤
一
<
t吨
，第二个时刻
U型
(
t吨
,
一
)
是
M（M）
(
t吨
,
一
)
≜
电子
(
U型
(
t吨
,
一
)
-
电子
[
U型
(
t吨
,
一
)
]
)
2
=
M（M）
(
t吨
-
一
,
0
)
e（电子）
∫
0
一
-
2
μ
(
秒
+
t吨
-
一
)
d日
秒
+
∫
t吨
-
一
t吨
σ
2
(
秒
+
一
-
t吨
)
e（电子）
∫
秒
t吨
-
2
μ
(
τ
)
d日
τ
|
U型
(
秒
,
秒
+
一
-
t吨
)
|
2
d日
秒
-
2
电子
[
(
U型
(
t吨
-
一
,
0
)
-
电子
[
U型
(
t吨
-
一
,
0
)
]
)
e（电子）
∫
0
一
-
μ
(
秒
+
t吨
-
一
)
d日
秒
⋅
∫
t吨
-
一
t吨
σ
(
秒
+
一
-
t吨
)
e（电子）
∫
秒
t吨
-
μ
(
τ
)
d日
τ
U型
(
秒
,
秒
+
一
-
t吨
)
d日
B类
秒
]
,
哪里
M（M）
(
t吨
,
0
)
≜
电子
(
U型
(
t吨
,
0
)
-
电子
[
U型
(
t吨
,
0
)
]
)
2
.有必要研究
M（M）
(
t吨
,
0
)
.发件人(A.2)，我们有
（A.8）
U型
(
t吨
,
0
)
-
电子
[
U型
(
t吨
,
0
)
]
=
G公司
(
t吨
)
+
∫
0
t吨
K（K）
(
t吨
,
一
)
[
U型
(
t吨
-
一
,
0
)
-
电子
U型
(
t吨
-
一
,
0
)
]
d日
一
,
哪里
K（K）
(
t吨
,
一
)
=
β
(
t吨
)
e（电子）
∫
0
一
-
μ
(
秒
+
t吨
-
一
)
d日
秒
、和
G公司
(
t吨
)
=
-
∫
0
t吨
β
(
t吨
)
∫
t吨
-
秒
t吨
σ
(
秒
+
一
-
t吨
)
e（电子）
∫
秒
t吨
-
μ
(
τ
)
d日
τ
U型
(
秒
,
秒
+
一
-
t吨
)
d日
一
d日
B类
秒
-
∫
0
t吨
β
(
t吨
)
∫
t吨
一
¯
σ
(
秒
)
e（电子）
∫
秒
t吨
-
μ
(
τ
)
d日
τ
U型
(
秒
,
秒
+
一
-
t吨
)
d日
一
d日
B类
秒
.
然后
M（M）
(
t吨
,
0
)
≤
2
电子
{
[
G公司
(
t吨
)
]
2
+
(
∫
0
t吨
K（K）
(
t吨
,
t吨
-
秒
)
[
U型
(
秒
,
0
)
-
电子
U型
(
秒
,
0
)
]
d日
一
)
2
}
.
在假设条件下1,2根据Gronwall引理，我们可以推断出
M（M）
(
t吨
,
0
)
≤
C
2
为所有人
(
t吨
,
一
)
∈
问
，其中
C
2
是一个正常数。组合(答7)和(答8)，我们可能已经
电子
(
U型
(
t吨
,
一
)
-
电子
[
U型
(
t吨
,
一
)
]
)
2
≤
C
三
为所有人
(
t吨
,
一
)
∈
问
，其中
C
三
是一个正常数。由于的有界性
电子
[
U型
(
t吨
,
一
)
]
，我们可以推断
电子
|
S公司
(
t吨
,
一
)
+
我
(
t吨
,
一
)
+
A类
(
t吨
,
一
)
|
2
=
电子
|
U型
(
t吨
,
一
)
|
2
≤
C
4
为所有人
(
t吨
,
一
)
∈
问
,
哪里
C
4
是一个正常数。由于系统解的非负性(2.1)，我们有
电子
(
|
S公司
(
t吨
,
一
)
|
2
+
|
我
(
t吨
,
一
)
|
2
+
|
A类
(
t吨
,
一
)
|
2
)
≤
C
.
证据是完整的。∎
