曲率界的紧性
我们在这里表明(1.4)在任何情况下都是尖锐的X（X），我们可以选择Y（Y）和Z从而达到界限。为了保持符号的可管理性，我们将自己限制在方阵的情况下。
我们考虑流形ℳ第页真实的N个×N个秩矩阵第页.让X（X）∈ℳ第页是流形上的任意矩阵，并构造其奇异值分解X（X）=U型S公司V（V）T型这样的话U型,V（V）∈ℝN个×第页具有正交柱u个我和v（v）我分别为和S公司∈ℝ第页×第页是带元素的对角矩阵秒我我=σ我>0按降序排列。接下来，选择Y（Y）∈ℳ第页这样的话Y（Y）=U型S公司V（V）~T型，其中还包括V（V）~∈ℝN个×第页具有正交列v（v）~我、和v（v）我=v（v）~我对于我=1,…,第页-1.然后
Y（Y）-X（X）=σ第页u个第页(v（v）~第页-v（v）第页)T型,
因此
（A.1）∥Y（Y）-X（X）∥2=tr公司((Y（Y）-X（X）)T型(Y（Y）-X（X）))=2σ第页2(1-v（v）~第页T型v（v）第页).
现在随便拿一个Z∈ℝN个×N个.自P（P）(X（X）)Z=U型U型T型Z+ZV（V）V（V）T型-U型U型T型ZV（V）V（V）T型（参见，例如[18，方程式（2.5）]），我们得到
(P（P）(Y（Y）)-P（P）(X（X）))Z=(我-U型U型T型)Z(V（V）~V（V）~T型-V（V）V（V）T型)=(我-U型U型T型)Z(v（v）~第页v（v）~第页T型-v（v）第页v（v）第页T型).
我们选择Z=u个~v（v）~第页T型，其中u个~归一化并与以下列正交U型.然后∥Z∥=1和
∥(P（P）(Y（Y）)-P（P）(X（X）))Z∥2=∥u个~(v（v）~第页T型-v（v）~第页T型v（v）第页v（v）第页T型)∥2=1-(v（v）~第页T型v（v）第页)2.
自v（v）第页和v（v）~第页是正常的，我们有|v（v）~第页T型v（v）第页|≤1。我们选择v（v）~第页这样的话0<v（v）~第页T型v（v）第页<1.然后
∥(P（P）(Y（Y）)-P（P）(X（X）))Z∥=1-(v（v）~第页T型v（v）第页)2≥1-v（v）~第页T型v（v）第页,
和依据(A.1)和∥Z∥=1，我们得到
∥(P（P）(Y（Y）)-P（P）(X（X）))Z∥≥12σ第页∥Y（Y）-X（X）∥∥Z∥,
这表明了(1.4)基本上是一个严格的估计。
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