感谢Lemma5.3我们可以使用定理5.1具有N个V（V）=∞.因此，所有的断言而不是（c）和关于功能第页→β我2(第页)-第页2,我≥1，都是真的。
让第页>0使用Courant–Fischer最小-最大原则，我们写道
β我2(第页)=最小值V（V）我⊂V（V）~最大值v（v）∈V（V）我\{0}对(第页,v（v）),对(第页,v（v）):=一(第页,v（v）,v（v）)b条(v（v）,v（v）).
因此，
（A.1）β我2(第页)-第页2=最小值V（V）我⊂V（V）~最大值v（v）∈V（V）我\{0}对~(第页,v（v）),对~(第页,v（v）):=对(第页,v（v）)-第页2.
很容易看出这一点
对~(第页,v（v）)=1b条(v（v）,v（v）)(∫Ω(|∇v（v）|2+第页2v（v）2)𝑑x个+秒∞(第页,v（v）,v（v）)).
现在它从(A.1款)功能第页→β我2(第页)-第页2,我≥1,非负增长。
（c）中的第一条陈述如下(β我(第页),第页)∈K（K）（参见备注1).现在我们将证明第二个断言。由B类第页我们用一个小圆表示这个圆半径第页和该点的中心x个+∈Ω¯我这样的话
ε+=ε(x个+)=最大值x个∈Ω¯我ε(x个),δ第页:=最大值x个∈B类¯第页ε+-ε(x个)ε∞.
让V（V）第页是空间中所有功能的集合V（V）在外等于零的B类第页。我们注意到秒∞(第页,u个,u个)=0在V（V）第页;σ(x个):=ε(x个)ε∞≤ε+ε∞在B类第页,
σ(x个)-1=ε+ε∞-1-ε+-ε(x个)ε∞≥ε+-ε∞-ε∞δ第页ε∞=:d日第页ε∞.
任何人都很容易看到这一点v（v）∈V（V）第页下一个估计是正确的：
对(第页,v（v）)≤ε∞d日第页(∫B类第页|∇v（v）|2𝑑x个)(∫B类第页v（v）2𝑑x个)-1+ε+第页2d日第页.
由(λ第页我,u个我)我们表示圆上拉普拉斯算子的本征对B类第页使用Dirichlet边界条件（我们扩展了函数u个我外部属于B类第页乘以零）。自λ第页我=第页-2λ1我，我们看到了
β我2(第页)=最小值V（V）我⊂V（V）~最大值v（v）∈V（V）我\{0}对(第页,v（v）)≤ε∞λ1我第页2d日第页+ε+第页2d日第页.
因此，
k个02≤β我2(第页)第页2≤ε∞λ1我第页2第页2d日第页+ε+d日第页.
将限额视为第页→0和第页→∞这样的话第页第页→∞，我们得到（c）中的第二个断言，因为δ第页→0,ε+d日第页→k个02.
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