二元网络中的社会协调与网络形成

附录A技术回顾

我们用表示秒模型的状态，指定如何M（M）-玩家和F类-玩家相互连接并在图中选择他们的动作克，我们用表示秒状态集。吸收状态是指没有替代状态的状态 秒 ′ 可以从以下位置联系秒没有突变。

我们将依赖于由埃里森（2000）.给定两个吸收集X（X）和Y（Y），表示 c（c） ( X（X） ,   Y（Y） ) 作为从X（X）到Y（Y），即从X（X）到Y（Y）该直接过渡不经过任何其他吸收集，并且 c（c） ( X（X） ,   Y（Y） ) > 0 。从定义路径X（X）到Y（Y）作为吸收集的有限序列 P（P） = { X（X） = 秒 0 ,   秒 1 ,   … 秒 L（左） ( P（P） ) = Y（Y） } ，其中 L（左） ( P（P） ) 是距离X（X）到Y（Y），即序列中元素的数量减去1。让 W公司 ( X（X） ,   Y（Y） ) 是所有路径的集合X（X）到Y（Y）。我们通过以下方式将成本函数扩展到路径 c（c） ( P（P） ) = ∑ k个 = 1 L（左） ( 第页 ) c（c） ( 秒 k个 − 1 ,   秒 k个 ) 那么，从X（X）到Y（Y）由以下人员提供：

的结果埃里森（2000）可以概括如下：吸收集的半径X（X）定义为 R（右） ( X（X） ) = 最小值 { C类 ( X（X） ,   Y（Y） ) | Y（Y） 是一个吸收集， Y（Y） ≠ X（X） } 即离开所需的最少错误数X（X）。

我们定义的珊瑚X（X）作为每个其他吸收集进入吸引域所需的最大错误数X（X），正式名称： C类 R（右） ( X（X） ) = 最大值 { C类 ( Y（Y） ,   X（X） ) | Y（Y） 是一个吸收集， Y（Y） ≠ X（X） } 。

埃里森（2000）提供了一个强大的结果，如果 R（右） ( X（X） ) > C类 R（右） ( X（X） ) 对于给定的吸收集X（X），然后X（X）是唯一的随机稳定集。

引理A1：(埃里森，2000)让X（X）是一个吸引人的集合，如果 R（右） ( X（X） ) > C类 R（右） ( X（X） ) ，则LRE是X（X）。

这是的Radius-Coradius定理埃里森（2000）。注意，如果只有两个吸收集，我们有 C类 ( X（X） ,   Y（Y） ) = R（右） ( X（X） ) = C类 R（右） ( Y（Y） ) 和 C类 ( Y（Y） ,   X（X） ) = R（右） ( Y（Y） ) = C类 R（右） ( X（X） ) ; 什么时候 C类 ( X（X） ,   Y（Y） ) = C类 ( Y（Y） ,   X（X） ) ，两个吸收集都是LRE。

中的切换阈值表1：取决于 ℓ ,（f）和 （f） A类 ，我们有四种情况：

1. （f） A类 ≥ ℓ 和 （f） − （f） A类 ≥ ℓ

在这种情况下A类-玩家和B类-玩家可以用F类-他们自己的类型。自 ( B类 ,   B类 ) 是收益主导均衡，M（M）-玩家通过采用B类，所以B类是这种情况下的最佳操作。

1. （f） A类 < ℓ 和 （f） − （f） A类 ≥ ℓ

在这种情况下，B类-玩家可以填写所有链接F类-他们的同类球员，但A类-玩家找不到足够多F类-他们自己的球员填补了所有的空缺。阿盖恩B类是这种情况下的最佳操作。

1. （f） A类 ≥ ℓ 和 （f） − （f） A类 < ℓ

在这种情况下，A类-玩家可以填写所有链接F类-他们的同类球员，但B类-玩家不能。安M（M）-玩家将选择A类如果 V（V） ( A类 ,   （f） A类 ) > V（V） ( B类 ,   （f） A类 ) ，这就变成了

重新安排条款收益

相反，请注意，如果 （f） A类 < （f） − ( 一 − d日 ) ℓ b条 − d日 , V（V） ( B类 ,   （f） A类 ) > 最大值 V（V） ( A类 ,   （f） A类 ) = 一 ℓ ，即，如果B类-中的玩家F类-组大于 ( 一 − d日 ) ℓ b条 − d日 ，对于M（M）-要玩的玩家B类。我们表示为 ψ 1 = ( 一 − d日 ) ℓ b条 − d日 。

1. （f） A类 < ℓ 和 （f） − （f） A类 < ℓ

在这种情况下，两者都不是A类-也不是B类-中的玩家M（M）-组将用填充所有链接F类-他们自己类型的球员。这个M（M）-玩家将选择A类概率为1，如果

我们表示为 ψ 2 = （f） − ( b条 − d日 ) （f） − ( c（c） − d日 ) ℓ 一 + b条 − c（c） − d日 。

附录C证明

引理2的证明：首先，我们考虑从 A类 → 克 到 B类 → 克 通过以下州 一 M（M） = B类 → 。

我们从突变只发生在F类-玩家。让 米 A类 B类 是最小数量的F类-玩家从切换A类到B类，这样每M（M）-玩家将选择B类当给予修订机会时。根据表1，的M（M）-玩家将选择B类在以下三种情况下概率为1：

1. （f） − （f） A类 ≥ ℓ .当B类-中的玩家F类-组大于或等于 ℓ ，然后M（M）-玩家将选择B类结束A。在这种情况下，要达到某种状态，我们至少需要 ℓ F类-玩家从A类到B。所以，我们有 米 A类 B类 = ℓ ;

2. （f） A类 ≥ ℓ 和 ψ 1 < （f） − （f） A类 < ℓ 。我们至少有 ℓ A类-中的玩家F类-组，一个M（M）-玩家将切换到B类如果至少 ψ 1 F类-玩家正在选择B。在这种情况下，我们至少需要 ψ 1 F类-玩家从A类到B。那就是 米 A类 B类 = ⌈ ψ 1 ⌉ .回顾我们需要 （f） A类 ≥ ℓ 和 米 A类 B类 < ℓ 在这种情况下，这意味着F类-将编号分组A类-球员的水平高于或等于 ℓ ，以及B类-玩家小于 ℓ .那是 （f） − ⌈ ψ 1 ⌉ ≥ ℓ 和 ⌈ ψ 1 ⌉ < ℓ 第一个条件产生 ℓ ≤ b条 − d日 b条 + 一 − 2 d日 （f） 、和 ⌈ ψ 1 ⌉ < ℓ 在这种情况下总是正确的。

3. （f） A类 < ℓ 和 ⌈ ψ 2 ⌉ < （f） − （f） A类 < ℓ 。当两者A类-玩家和B类-玩家人数少于 ℓ 在里面F类-组，一个M（M）-玩家将切换到B类如果至少 ⌈ ψ 2 ⌉ F类-玩家正在选择B。所以我们有 米 A类 B类 = ⌈ ψ 2 ⌉ 在这种情况下。请注意，我们需要 （f） A类 ≥ ℓ 和 米 A类 B类 < ℓ 在这种情况下。第一个条件产生 b条 − d日 b条 + 一 − 2 d日 （f） < ℓ < （f） 、和 ⌈ ψ 2 ⌉ < ℓ 在这种情况下总是正确的。

总之，我们有：

现在我们知道有多少F类-玩家切换到B类将领导所有M（M）-玩家选择B类作为最佳响应。然后，我们想知道是否存在突变较少的过程路径。回想一下F类-具有传入链接的玩家根据其邻域中的动作分布选择动作。想想一个F类-玩家只有一个传入链接，她的动作选择只取决于唯一对手的动作。然后，特别考虑一组F类-玩家，这样每个人F类-玩家只有一个来自同一个链接的传入链接M（M）-玩家。如果是这样M（M）-播放器开关，所有F类-玩家链接到他，切换到他选择的相同动作，概率为正。这一观察将通过改变 ℓ F类-玩家的动作只有一个突变。

本着这种精神，我们考虑以下交互结构M（M）-玩家可以发挥最大的影响力F类-玩家。让 ( 米 − 1 ) M（M）-玩家拥有指向以下子集的所有链接 ℓ F类-玩家。它会离开的 ( （f） − ℓ ) F类-剩下的球员M（M）-要连接的播放器。因此F类-只连接到此的玩家M（M）-玩家由 最小值 { ℓ ,   （f） − ℓ } 。我们将这种交互结构称为M-player影响结构.英寸图4，我们提供了一个示例，说明如何在M（M）-玩家影响结构发生了，为什么它需要更少的突变。

然后，我们计算过渡成本 A类 → 克 到 B类 → 克 通过以下州 一 M（M） = B类 → 在M（M）-玩家影响结构。我们已经知道，在M（M）-玩家影响结构，数量F类-有一个传入链接的玩家是 最小值 { ℓ ,   （f） − ℓ } 因此，我们考虑两种情况 （f） ≥ 2 ℓ 以及何时 2 ℓ > （f） > ℓ 。

首先，如果 （f） ≥ 2 ℓ ，在M（M）-玩家影响力结构，一M（M）-球员可以支持他所有的 ℓ 链接到F类-每个玩家都只有一个来自M（M）-玩家。因此，如果M（M）-播放器切换到B类，将会有 ℓ F类-玩家选择B类具有正概率。我们知道什么时候 （f） ≥ ℓ + ( 一 − d日 ) ℓ b条 − d日 ，我们需要 米 A类 B类 = ψ 1 F类-玩家可供选择B类以便B类是每个人的最佳回答M（M）-玩家。因为这一直是事实 ℓ > ψ 1 ，何时 （f） ≥ 2 ℓ ，我们能够达到这样的状态 一 M（M） = B类 → 只有一个突变，那就是 P（P） M（M） ( A类 , B类 ) = 1 。

其次，如果 2 ℓ > （f） > ℓ ，在M（M）-玩家影响力结构，一M（M）-玩家可以链接到 ( （f） − ℓ ) F类-玩家，每个玩家都有来自M（M）-玩家。我们知道 A类 → 克 到一个州 一 M（M） = B类 → 至少需要 米 A类 B类 F类-要切换的玩家A类到B类，因此我们区分了两个子类：i） 2 ℓ > （f） ≥ ℓ + ( 一 − d日 ) ℓ b条 − d日 和ii） ℓ + ( 一 − d日 ) ℓ b条 − d日 > （f） > ℓ 。

1. 什么时候？ 2 ℓ > （f） ≥ ℓ + ( 一 − d日 ) ℓ b条 − d日 ，我们需要 ⌈ ψ 1 ⌉ F类-玩家可供选择B类所以每M（M）-玩家会更喜欢B类结束A。考虑一个M（M）-玩家影响结构（as图3（a）)，在哪个下面M（M）-玩家连接的号码最多F类-玩家，每个玩家都有来自此的唯一传入链接M（M）-玩家。如果是这样M（M）-播放器切换到B类, ( （f） − ℓ ) F类-玩家将切换到B类具有正概率。因为这一直是事实 （f） − ℓ ≥ ⌈ ψ 1 ⌉ 在这种情况下，我们能够达到一种状态 一 M（M） = B类 → 只有一个突变，那就是 P（P） M（M） ( A类 , B类 ) = 1 。

2. 什么时候？ ℓ + ( 一 − d日 ) ℓ b条 − d日 > （f） > ℓ ，我们需要 ⌈ ψ 2 ⌉ F类-玩家可供选择B类所以每M（M）-玩家会更喜欢B类结束A。给定一个M（M）-玩家影响结构，如果有M（M）-播放器切换到B类, ( （f） − ℓ ) F类-玩家将切换到B类具有正概率。自 （f） − ℓ < ⌈ ψ 2 ⌉ 在这种情况下，除了M（M）-球员，我们仍然需要 [ ψ 2 ⌉ − ( （f） − ℓ ) ] F类-不仅与M（M）-玩家也要切换到B类由于错误。因此，当 ℓ + ( 一 − d日 ) ℓ b条 − d日 > （f） > ℓ ，我们发现 P（P） M（M） ( A类 , B类 ) = ψ 2 − ( （f） − ℓ ) + 1 。

总之，从 A类 → 克 到 B类 → 克 通过以下州 一 M（M） = B类 → 由以下人员提供：

接下来，我们考虑从 B类 → 克 到 A类 → 克 通过以下州 一 M（M） = A类 → 。我们表示为 米 B类 A类 最小数量的F类-玩家从切换B类到A类，这样每M（M）-玩家将选择A类当给予修订机会时。根据表1，的M（M）-玩家将选择A类当B类-中的玩家F类-组大于或等于 ℓ 。 因此，在向 A类 → 克 ，我们需要 （f） − （f） A类 < ℓ 这是真的。此外，M（M）-玩家将选择A类在以下两种情况下概率为1：

1. （f） A类 ≥ ℓ 和 （f） − （f） A类 < ψ 1 当M（M）-玩家选择A类可以填充到的所有链接A类-中的玩家F类-组( （f） A类 ≥ ℓ )，我们可以从中推断表1那个 米 B类 A类 = （f） − ψ 1 在这种情况下。当F类-玩家选择A类大于或等于 ℓ ，或 （f） − ψ 1 ≥ ℓ ，如果 （f） − ψ 1 ≥ ℓ ，因此我们有 （f） ≥ ℓ + ( 一 − d日 ) ℓ b条 − d日 。

2. （f） A类 < ℓ 和 （f） − （f） A类 < ψ 2 当M（M）-玩家选择A类无法填充所有指向的链接A类-中的玩家F类-组( （f） A类 < ℓ )，根据表1，我们有 米 B类 A类 = （f） − ψ 2 在这种情况下。如果F类-玩家选择A类小于 ℓ ，这是 （f） − ψ 2 < ℓ ，如果 （f） − ψ 2 < ℓ 。我们可以将其转换为 （f） < ℓ + ( 一 − d日 ) ℓ b条 − d日 。

回想一下，在这两种情况下F类-玩家选择B类应小于 ℓ ，这是 （f） − 米 B类 A类 < ℓ .何时 （f） ≥ ℓ + ( 一 − d日 ) ℓ b条 − d日 ，一定是这样的 （f） − 米 B类 A类 < ℓ .何时 （f） < ℓ + ( 一 − d日 ) ℓ b条 − d日 ，我们需要它 （f） − （f） − ψ 2 < ℓ 从上面的分析中，我们知道 ψ 2 < ℓ 必须是真的，因此，我们总是 （f） − 米 B类 A类 < ℓ 什么时候 （f） < ℓ + ( 一 − d日 ) ℓ b条 − d日 因此，我们有：

要完成从 B类 → 克 到 A类 → 克 通过以下州 一 M（M） = A类 → 在突变数量最少的情况下，我们再次考虑M（M）-玩家影响力结构。在这种互动结构下，如果M（M）-播放器切换到A类, 最小值 { ℓ , （f） − ℓ } F类-玩家将选择A类具有正概率。我们区分两种情况 ℓ ≤ 1 2 （f） 以及何时 1 2 （f） < ℓ < （f） 。

首先，如果 ℓ ≤ 1 2 （f） ，在M（M）-玩家影响结构，一M（M）-球员可以支持他所有的 ℓ 链接到F类-玩家，每个人都只有来自M（M）-玩家。我们知道什么时候 ℓ ≤ b条 − d日 b条 + 一 − 2 d日 （f） ，我们需要 米 A类 B类 = （f） − ψ 1 F类-玩家可供选择A类以便A类是每个人的最佳回答M（M）-玩家。一旦M（M）-播放器切换到A类如果出错，就会有 ℓ F类-玩家选择A类具有正概率。既然一定是这样 （f） − ψ 1 > ℓ 什么时候 ℓ ≤ 1 2 （f） ，以制作A类每个人的最佳回复M（M）-玩家，除了M（M）-球员，我们需要 ( （f） − ψ 1 − ℓ ) F类-未连接到M（M）-要切换到的播放器A类因此，我们发现 P（P） M（M） ( B类 , A类 ) = （f） − ψ 1 − ℓ + 1 在这种情况下。

其次，如果 1 2 （f） < ℓ < （f） ，在M（M）-玩家影响结构，一M（M）-玩家可以链接到 ( （f） − ℓ ) F类-每个玩家只有一个来自M（M）-玩家。我们知道 B类 → 克 到了这样一个状态 一 M（M） = A类 → 至少需要 米 B类 A类 F类-玩家可供选择A类，因此我们区分了两个子集i） 1 2 （f） < ℓ ≤ b条 − d日 b条 + 一 − 2 d日 （f） 和ii） b条 − d日 b条 + 一 − 2 d日 （f） < ℓ < （f） 。

1. 什么时候？ 1 2 （f） < ℓ ≤ b条 − d日 b条 + 一 − 2 d日 （f） ，每M（M）-玩家会更喜欢A类结束B类如果有 （f） − ψ 1 F类-玩家选择A。一旦M（M）-播放器切换到A类如果出错，就会有 ( （f） − ℓ ) F类-玩家选择A类具有正概率。既然一定是这样 （f） − ψ 1 > （f） − ℓ 什么时候 1 2 （f） < ℓ ≤ b条 − d日 b条 + 一 − 2 d日 （f） ，以制作A类每个人的最佳回复M（M）-玩家，除了M（M）-球员，我们需要 [ （f） − ψ 1 − ( （f） − ℓ ) ] F类-不仅与M（M）-要切换到的播放器A。所以我们有 P（P） M（M） ( B类 ,   A类 ) = （f） − ψ 1 − ( （f） − ℓ ) + 1 在这种情况下。

2. 什么时候？ b条 − d日 b条 + 一 − 2 d日 （f） < ℓ < （f） ，每M（M）-玩家会更喜欢A类结束B类如果有 （f） − ψ 2 F类-玩家选择A。一旦M（M）-播放器切换到A类如果出错，就会有 ( （f） − ℓ ) F类-玩家选择A类具有正概率。既然一定是这样 （f） − ψ 2 > （f） − ℓ 什么时候 b条 − d日 b条 + 一 − 2 d日 （f） < ℓ < （f） ，除了M（M）-球员，我们需要 [ （f） − ψ 2 − ( （f） − ℓ ) ] F类-不仅与M（M）-要切换到的播放器A类，所以每M（M）-玩家偏好A类结束B。因此，我们有 P（P） M（M） ( B类 ,   A类 ) = （f） − ψ 2 − ( （f） − ℓ ) + 1 在这种情况下。

总之，从 B类 → 克 到 A类 → 克 通过以下州 一 M（M） = B类 → 由以下公式给出：

引理3的证明：首先，我们考虑从 A类 → 克 到 B类 → 克 通过以下州 一 F类 = B类 → 这就是突变发生在M（M）-玩家。我们表示为 （f） A类 B类 最小数量的M（M）-玩家从切换A类到B类，这样每F类-玩家将选择B类当给予修订机会时。我们声称，在本案中， （f） A类 B类 ≥ 米 ( 1 − q个 ∗ ) 并通过矛盾证明。

假设 （f） A类 B类 = γ 和 γ < 米 ( 1 − q个 ∗ ) ，那是当γM-玩家切换到B类每一个错误F类-玩家将选择B类具有正概率。记住，如果F类-播放器我至少有一个传入链接 ( ∑ j个 ∈ M（M） 克 j个 我 > 0 ) ，她将切换到B类至少在 ( 1 − q个 ∗ ) 她的邻居选择B类; 如果她没有传入链接 ( ∑ j个 ∈ M（M） 克 j个 我 = 0 ) ，她将切换到B类至少在什么时候 ( 1 − q个 ∗ ) 属于M（M）-玩家选择B类.自 γ < 米 ( 1 − q个 ∗ ) ，一个F类-没有传入链接的玩家将无法切换到B类什么时候 （f） A类 B类 = γ 因此，我们考虑一个交互结构，其中F类-玩家至少有一个传入链接。在这种互动结构下，来自M（M）-团体支持 米 ℓ 全部链接，以及 γ ℓ 这些链接中的B类-玩家。确保每F类-玩家更喜欢B类结束A类，我们每个人都需要F类-至少是玩家 ( 1 − q个 ∗ ) 她的邻居选择B类，这是我们需要的 n个 我 B类 ≥ n个 我 ( 1 − q个 ∗ ) 对于 ∀ 我 ∈ F类 .总结所有F类-球员，我们需要

对于不等式的右边，根据上限函数的性质， x个 + 年 ≥ x个 + 年 ，我们有 ∑ 我 ∈ F类 n个 我 ( 1 − q个 ∗ ) ≥ ( 1 − q个 ∗ ) ∑ 我 ∈ F类 n个 我 = ( 1 − q个 ∗ ) 米 ℓ 。我们还知道，不等式的左侧表示支持的链接总数B类-球员，所以我们有 ∑ 我 ∈ F类 n个 我 B类 = γ ℓ 因此，不平等意味着 γ ℓ ≥ 米 ℓ ( 1 − q个 ∗ ) ，这与 γ < 米 ( 1 − q个 ∗ ) 所以我们证明了 （f） A类 B类 ≥ 米 ( 1 − q个 ∗ ) 。

如中所示引理2，我们需要找到一个交互结构，在这个结构下我们可以达到一个状态 一 F类 = B类 → 具有最少数量的突变。我们考虑以下交互结构：所有M（M）-玩家支持他们的 ℓ 链接到同一组F类-玩家，以及其他F类-玩家未链接（请参阅图3（b）例如）。我们将这种交互结构称为F类-玩家影响结构。给定这种交互结构F类-玩家 ℓ 传入链接将选择B类当至少 米 ( 1 − q个 ∗ ) M（M）-玩家切换到B类由于错误。而且每一次F类-没有传入链接的玩家也会选择B类作为对行动分配的最佳回应M（M）-组。因此，从 A类 → 克 到 B类 → 克 通过以下状态 一 F类 = B类 → 是 米 ( 1 − q个 ∗ ) ，确立了这一点 P（P） F类 ( A类 ,   B类 ) = 米 ( 1 − q个 ∗ ) 。

接下来，我们考虑从 B类 → 克 到 A类 → 克 通过以下州 一 F类 = A类 → 。达到这样的状态 一 F类 = A类 → 在突变数量最少的情况下，我们仍然考虑F类-玩家影响结构图2（b）。与之前的分析类似，每个F类-玩家将选择A类如果至少 米 q个 ∗ M（M）-玩家切换到A类因此，我们可以得到 P（P） F类 ( B类 ,   A类 ) = 米 q个 ∗ . □

命题1的证明：我们已经知道了 C类 R（右） ( B类 → 克 ) = R（右） ( A类 → 克 ) = 最小值 { 米 ,   （f） } ( 1 − q个 ∗ ) 和 C类 R（右） ( A类 → 克 ) = R（右） ( B类 → 克 ) = 最小值 { 米 ,   （f） } q个 ∗ 什么时候 （f） = ℓ 通过风险控制，我们知道 q个 ∗ < 1 2 ，所以我们有 最小值 { 米 ,   （f） } q个 ∗ < 最小值 { 米 ,   （f） } ( 1 − q个 ∗ ) ，这意味着 最小值 { 米 ,   （f） } q个 ∗ ≤ 最小值 { 米 ,   （f） } ( 1 − q个 ∗ ) 因此，根据引理A1，当 （f） = ℓ ，模型的LRE集由下式给出 秒 = A类 → 克 如果 最小值 { 米 ,   （f） } q个 ∗ < 最小值 { 米 ,   （f） } ( 1 − q个 ∗ ) ; 秒 = A类 → 克 ∪ B类 → 克 如果 最小值 { 米 ,   （f） } q个 ∗ = 最小值 { 米 ,   （f） } ( 1 − q个 ∗ ) .□

命题2的证明：第（1）部分：在本部分中，我们将在以下情况下确定LRE集 （f） > ℓ > b条 − d日 b条 + 一 − 2 d日 （f） .签署人引理2和引理3，我们有 P（P） F类 ( A类 ,   B类 ) = 米 ( 1 − q个 ∗ ) , P（P） M（M） ( A类 ,   B类 ) = ψ 2 − ( （f） − ℓ ) + 1 , P（P） F类 ( B类 ,   A类 ) = 米 q个 ∗ 、和 P（P） M（M） ( B类 ,   A类 ) = （f） − ψ 2 − ( （f） − ℓ ) + 1 根据引理A1， C类 ( A类 ,   B类 ) = 最小值 { P（P） M（M） ( A类 ,   B类 ) ,   P（P） F类 ( A类 ,   B类 ) } 和 C类 ( B类 ,   A类 ) = 最小值 { P（P） M（M） ( B类 ,   A类 ) ,   P（P） F类 ( B类 ,   A类 ) } ，LRE集是要离开的转移成本最小的状态集。因此，我们需要比较四种不同路径的过渡成本。请注意，通过风险控制，我们总是 P（P） F类 ( A类 ,   B类 ) ≥ P（P） F类 ( B类 ,   A类 ) .签署人引理3，我们知道如果F类-群体选择相同的行动首先需要较少的突变，过渡成本仅由以下因素决定米然后，当 米 < 米 ̲ ，或米足够小，我们比较 P（P） F类 ( A类 ,   B类 ) 和 P（P） F类 ( B类 ,   A类 ) 和b）何时 米 > 米 ̲ ，或米足够大，我们比较 P（P） M（M） ( A类 ,   B类 ) 和 P（P） M（M） ( B类 ,   A类 ) 。

1. 让 米 ̲ = 最小值 { ψ 2 − （f） + ℓ + 1 1 − q个 ∗ ,   ℓ − ψ 2 + 1 q个 ∗ } .何时 米 < 米 ̲ ，我们总是 P（P） F类 ( A类 ,   B类 ) < P（P） M（M） ( A类 ,   B类 ) 和 P（P） F类 ( B类 ,   A类 ) < P（P） M（M） ( B类 ,   A类 ) ，这意味着通过每个F类-玩家选择相同的动作需要更少的错误才能完成转换。因此，吸收集的半径和coradius由下式给出： C类 R（右） ( B类 → 克 ) = R（右） ( A类 → 克 ) = P（P） F类 ( A类 ,   B类 ) = 米 ( 1 − q个 ∗ ) 和 C类 R（右） ( A类 → 克 ) = R（右） ( B类 → 克 ) = P（P） F类 ( B类 ,   A类 ) = 米 q个 ∗ .通过风险控制，我们总是 米 q个 ∗ ≤ 米 ( 1 − q个 ∗ ) 因此，LRE集合为 秒 = A类 → 克 如果 米 q个 ∗ < 米 ( 1 − q个 ∗ ) ; 秒 = A类 → 克 ∪ B类 → 克 如果 米 q个 ∗ = 米 ( 1 − q个 ∗ ) 。

2. 让 米 ¯ = 最大值 { ψ 2 − （f） + ℓ + 1 1 − q个 ∗ ,   ℓ − ψ 2 + 1 q个 ∗ } .何时 米 > 米 ¯ ，我们总是 P（P） F类 ( A类 ,   B类 ) > P（P） M（M） ( A类 ,   B类 ) 和 P（P） F类 ( B类 ,   A类 ) > P（P） M（M） ( B类 ,   A类 ) ，这意味着通过每个M（M）-玩家选择相同的动作需要更少的错误才能完成转换。因此，吸收集的半径和coradius由下式给出： C类 R（右） ( B类 → 克 ) = R（右） ( A类 → 克 ) = ψ 2 − ( （f） − ℓ ) + 1 和 R（右） ( B类 → 克 ) = C类 R（右） ( A类 → 克 ) = （f） − ψ 2 − ( （f） − ℓ ) + 1 。为了确定LRE集，我们比较 C类 R（右） ( B类 → 克 ) （或 R（右） ( A类 → 克 ) )和 C类 R（右） ( A类 → 克 ) （或 R（右） ( B类 → 克 ) )，通过比较可以确定 ψ 2 和 （f） − ψ 2 。

   首先，当 ψ 2 > （f） − ψ 2 ，我们有 R（右） ( A类 → 克 ) > C类 R（右） ( A类 → 克 ) ，确立了这一点 秒 = A类 → 克 .如果 ψ 2 ∈ ℤ ，条件成立，如果 ψ 2 > （f） − ψ 2 ，它转换为 ℓ > ( b条 − 一 + c（c） − d日 ) （f） 2 ( c（c） − d日 ) .如果 ψ 2 ∉ ℤ ，条件成立，如果 ψ 2 > 1 2 ( （f） − 1 ) ，它产生 ℓ > ( b条 − 一 + c（c） − d日 ) （f） − ( 一 + b条 − c（c） − d日 ) 2 ( c（c） − d日 ) 回忆一下，我们需要 （f） > ℓ > b条 − d日 b条 + 一 − 2 d日 （f） 在这种情况下。事实证明，如果 ψ 2 ∈ ℤ 、和 （f） > ℓ > ( b条 − 一 + c（c） − d日 ) （f） 2 ( c（c） − d日 ) ，或 ψ 2 ∉ ℤ 、和 （f） > ℓ > ( b条 − 一 + c（c） − d日 ) （f） − ( 一 + b条 − c（c） − d日 ) 2 ( c（c） − d日 ) ，LRE组为 秒 = A类 → 克 。

   接下来，当 ψ 2 < （f） − ψ 2 ，我们有 R（右） ( B类 → 克 ) > C类 R（右） ( B类 → 克 ) ，确立了这一点 秒 = B类 → 克 在这种情况下。如果 ψ 2 ∈ ℤ ，条件成立，如果 ψ 2 < （f） − ψ 2 ，它转换为 ℓ < ( b条 − 一 + c（c） − d日 ) （f） 2 ( c（c） − d日 ) .如果 ψ 2 ∉ ℤ ，条件成立，如果 ψ 2 < 1 2 ( （f） + 1 ) ，产生 ℓ < ( b条 − 一 + c（c） − d日 ) （f） + ( 一 + b条 − c（c） − d日 ) 2 ( c（c） − d日 ) 回忆一下，我们需要 （f） > ℓ > b条 − d日 b条 + 一 − 2 d日 （f） 在这种情况下。事实证明，如果 ψ 2 ∈ ℤ 、和 ( b条 − 一 + c（c） − d日 ) （f） 2 ( c（c） − d日 ) > ℓ > b条 − d日 b条 + 一 − 2 d日 （f） ，或 ψ 2 ∉ ℤ 、和 ( b条 − 一 + c（c） − d日 ) （f） + ( 一 + b条 − c（c） − d日 ) 2 ( c（c） − d日 ) > ℓ > b条 − d日 b条 + 一 − 2 d日 （f） ，LRE组为 秒 = B类 → 克 。

   最后，当 ψ 2 = （f） − ψ 2 ，我们有 秒 = A类 → 克 ∪ B类 → 克 .如果 ψ 2 ∈ ℤ ，条件在以下情况下保持 ψ 2 = 1 2 （f） ，它产生 （f） = 2 ( c（c） − d日 ) ℓ b条 + c（c） − 一 − d日 .如果 ψ 2 ∉ ℤ ，条件仅在以下情况下有效（f）很奇怪并且 ψ 2 = 1 2 ( （f） + 1 ) ，我们可以将方程式转换为 ( b条 − 一 + c（c） − d日 ) （f） + ( 一 + b条 − c（c） − d日 ) 2 ( c（c） − d日 ) > ℓ ≥ ( b条 − 一 + c（c） − d日 ) （f） − ( 一 + b条 − c（c） − d日 ) 2 ( c（c） − d日 ) 因此，LRE集为 秒 = A类 → 克 ∪ B类 → 克 什么时候 ψ 2 ∈ ℤ 和 我 = ( b条 − 一 + c（c） − d日 ) （f） 2 ( c（c） − d日 ) ∈ ℤ ，或 ψ 2 ∉ ℤ 和 ( b条 − 一 + c（c） − d日 ) （f） + ( 一 + b条 − c（c） − d日 ) 2 ( c（c） − d日 ) > ℓ ≥ ( b条 − 一 + c（c） − d日 ) （f） − ( 一 + b条 − c（c） − d日 ) 2 ( c（c） − d日 ) 。