具有不同势的临界指数增长的拟线性Schrödinger方程基态的存在性

1简介及主要成果

让 Ω 是一个光滑的有界域。经典的Sobolev嵌入定理表明 W公司 0 1 , 第页 ( Ω ) ⊂ L（左） q个 ( Ω ) 对于 1 ≤ q个 ≤ 第页 * 和 第页 < n个 ，其中 第页 * = n个 第页 n个 − 第页 称为Sobolev指数。然而，在极限情况下 第页 = n个 ，一些示例表明 W公司 0 1 , n个 ( Ω ) ⊈ L（左） ∞ ( Ω ) 在这种情况下，Trudinger不等式可以作为适当的替代。Trudinger不等式首先由Trudinger建立[1]. 更准确地说，他证明了 第页 = n个 存在一个常数 α > 0 如下不等式成立（另见Pohozaev[2]和尤多维奇[三]):

然而，最佳常数 α 在里面(1.1)未知。不平等的尖锐版本(1.1)由Moser提供[4].

哪里 ω n个 − 1 表示单位球表面的面积 R（右） n个 现在，不平等(1.2)被称为Trudinger–Moser公司不平等。Trudinger–Moser不等式有许多推广。其中一个重要的扩展是在整个欧氏空间中构造Trudinger–Moser不等式。曹在年考虑了整个欧几里德空间的相关不等式[5]在这种情况下 n个 = 2 对于任何维度，通过doó[6]还有阿达奇和田中[7]在次临界情况下，即 α < α n个 .当涉及到关键情况时 α = α n个 ，鲁夫[8]（在这种情况下 n个 = 2 )李和鲁夫[9] ( n个 ≥ 三 ) 表明如果Dirichlet范数被Sobolev范数取代，即。 ‖ u个 ‖ W公司 1 , n个 ( R（右） n个 ) = ∫ R（右） n个 | ∇ u个 | n个 + | u个 | n个 d日 x个 1 n个 ，然后是保持

哪里 Φ n个 ( t吨 ) ≔ e（电子） t吨 − ∑ j个 = 0 n个 − 2 t吨 j个 j个 ! .

上述所有证明都严格依赖于Pólya-Szegö不等式和对称化论证。Lam和Lu于年提出了一个无对称化的论点[10], [11]. 利用这个无对称化的论点，他们证明了以下关键的奇异Trudinger–Moser不等式 R（右） n个 :

Adimurthi和Yang的论文也考虑了整个欧几里德空间上的奇异Trudinger–Moser不等式[12]. 当有人在功能序列上限制Trudinger–Moser功能时 { u个 k个 } k个 ，与Trudinger–Moser不等式相关联的集中-压缩原则是有意义的，它首先由[13]. 与Trudinger–Moser不等式相关的集中-压缩原理(1.3)由do Oh、de Souza和de Medeiros于年成立[14]. 李、鲁、朱[15]通过应用无对称化参数，获得了与整个海森堡群上的Trudinger–Moser不等式相关联的浓度压缩原理。后来，陈和张[16]将与整个欧几里德空间上的Trudinger–Moser不等式相关的集中压缩原理推广到奇异情况：

如果 γ 被势函数取代 V（V） ( x个 ) ，我们可以很容易地推导出不等式(1.4)什么时候 V（V） ( x个 ) 具有正的常数下限。然而，如果 V（V） ( x个 ) 在某个开集上消失 R（右） 2 对称化或爆破分析等经典方法都失败了。因此，这个问题变得相当复杂，专门研究它的著作很少[26]发展了一种结合一个新的嵌入定理的方法，该嵌入定理涉及可能消失在某些开集上的简并势 R（右） 2 （引理2.1[26])得出以下结果：

此外，我们研究了与Trudinger–Moser不等式相关的集中压缩原理(1.6).

Trudinger–Moser不等式(1.1)以及相关的浓度-压缩原理在研究以下方程基态的存在性方面发挥了重要作用：

哪里 0 ≤ β < 2 和 V（V） ( x个 ) ≥ 0 是满足以下条件的退化势：

( V（V） 1 ) V（V） ( x个 ) = 0 在 B类 δ ( 0 ) 和 V（V） ( x个 ) ≥ V（V） 0 在里面 R（右） 2 \ B类 2 δ ( 0 ) 对于一些积极的 V（V） 0 和 δ .

( V（V） 2 ) 有个保持

非线性项 （f） ( t吨 ) 是连续的，并满足以下条件：

1. 存在一些 β 0 > 0 这样的话

   林 | t吨 | → ∞ （f） ( t吨 ) e（电子） α 1 − β 2 t吨 2 = 0 ,   的 α > β 0 , + ∞ ,   的 α < β 0 .

2. 存在 μ > 2 这样的话 0 < μ F类 ( t吨 ) = μ ∫ 0 t吨 （f） ( 秒 ) d日 秒 ≤ t吨 （f） ( t吨 ) 对于任何 t吨 ∈ R（右） 这是众所周知的（A-R）条件。

3. 存在正常数 t吨 0 和 M（M） 0 这样的话 F类 ( t吨 ) ≤ M（M） 0 | （f） ( t吨 ) | 什么时候 | t吨 | ≥ t吨 0 .

4. （f） ( 0 ) = 0 和 （f） ( t吨 ) = o个 ( t吨 ) 对于 t吨 足够接近0。

5. （f） ( t吨 ) 是一个 C类 1 ( R（右） ) 功能和 （f） ( t吨 ) t吨 严格来说是在增加 ( 0 , + ∞ ) ，并在中减少 ( − ∞ , 0 ) .

为了研究基态的存在性(1.7)，我们首先关注(1.7):

我们的第三个主要结果是

通过应用浓度-紧凑性原则定理1.2和定理1.3，我们可以推导

据我们所知，有许多工作致力于研究基态解的存在性(1.7).如果 β = 0 和 V（V） ( x个 ) 是强制性的，即。

人们很容易得到 E类 = u个 ∈ H（H） 1 ( R（右） 2 ) : ∫ R（右） 2 V（V） ( x个 ) | u个 | 2 d日 x个 < + ∞ 可以紧密嵌入 L（左） 第页 ( R（右） 2 ) ( 第页 ≥ 1 ). 然后可以通过Mountain-Pass引理得到非平凡弱解的存在性，可以看出[15], [27], [28]详细信息。在这种情况下 V（V） ( x个 ) 是一个常量， H（H） 1 ( R（右） 2 ) 不断嵌入 L（左） 2 ( R（右） 2 ) 但嵌入并不紧凑。鲁夫和萨尼[29]表明(1.7)在增长假设下，利用Pohozaev流形上的约束极小化方法得到一个非平凡的基态解

后来，马斯穆迪和萨尼[30]通过将Pohozaev流形和Trudinger–Moser不等式与 R（右） 2 有关非平凡解存在性的更多结果，可以参考[14], [15], [16], [18], [31], [32], [33]以及其中的参考文献。

什么时候？ V（V） ( x个 ) 是Rabinowitz型电位：

和非线性 （f） ( t吨 ) 是指数增长的，Alves和Figueiredo得到了半经典状态解的存在性[34]如果 ε 足够小并且 − Δ 被替换为 − ε 2 Δ 最近，陈、陆和朱[35]删除了关于 ε 并确定了基态解的存在性(1.7).

最近，陈、陆、朱[26], [36]得到了含有简并势的拟线性方程基态解的存在性 ( C类 0 = 0 ) 以及临界指数增长，当 β = 0 通过使用具有退化势的尖锐Trudinger–Moser不等式 R（右） 2 。我们的工作重点是存在基态解(1.7)在这种情况下 β > 0 .由于奇异权重的出现，基于Pohozaev流形的约束极小化方法很难得到存在性结果，我们不能遵循与[26], [29], [30], [36]. 为了克服这个困难，我们首先使用Moser函数序列 { M（M） n个 } n个 为了建立最小能量的阈值，我们将嵌入定理应用于[16]得到的收敛性 ∫ R（右） 2 F类 ( u个 k个 ) | x个 | β d日 x个 通过管理结合最小能量阈值的方法 ∫ R（右） 2 F类 ( u个 k个 ) | x个 | β d日 x个 和Nehari流形，我们可以得到理想的结果。

论文组织如下。第2节建立了涉及退化势的临界奇异Trudinger–Moser不等式和相关的浓度压缩原理。在第3节，重点讨论了极限方程基态的存在性，并给出了定理1.3.英寸第4节，我们向薛定谔证明了基态的存在方程式（1.7）通过使用定理1.2和定理1.3.

2涉及简并势的奇异Trudinger–Moser不等式及相关的浓度压缩原理

本节致力于研究涉及简并势的奇异Trudinger–Moser不等式和相关的浓度压缩原理。也就是说，为定理1.1和定理1.2。在开始证明之前，我们需要一个重要的嵌入引理，它是在[26].

现在，我们准备开始定理证明1.1.

案例1。如果

因此，可以获得支持 u个 ⊆ B类 2 δ ( 0 ) 有界域上的经典奇异Trudinger–Moser不等式（参见[37])给出了那个

案例2.如果

现在，我们应用了年开发的无重排方法[10], [11]并设置

和

很容易知道 一 ( u个 ) < 1 现在，我们声称

哪里 | Ω ( u个 ) | 表示 Ω ( u个 ) 借助于（V1），可以得出

接下来就是

通过将积分分为两部分，我们得到

对于 我 2 ，直接计算得出

在的帮助下定理A，可以得到

哪里 C类 是独立于 u个 综上所述，可以应用引理2.1推导出

至于 我 1 ，我们表示两个函数 v（v） 和 w个 在里面 Ω ( u个 ) 通过

然后 v（v） , w个 ∈ H（H） 0 1 ( Ω ( u个 ) ) 直接计算得出

因此，我们得到

因此，可以在有界域上应用经典的奇异Trudinger–Moser不等式来推导