理查德·梅尔罗斯（Richard Melrose）对一个迹公式的证明

2.1 Contact 3D sR歧管

在以下内容中， M（M） 是一个尺寸为3的封闭（紧凑无边界）连接歧管，具有光滑的体积形式 ∣ d日 q个 ∣ 我们还考虑了一个被全局定义为非零实值1形式核的定向接触分布 α 以便 α ∧ d日 α 是体积形式。让我们也 克 是分布的度量 D类 = 克尔 α .“co-metric” 克 ⋆ 由定义 克 ⋆ ( q个 , 第页 ) ≔ ‖ 第页 ∣ D类 q个 ‖ 2 ，其中范数是 克 ( q个 ) 。与这样一组数据关联

• 测地线流量表示为 克 t吨 , t吨 ∈ 对 ：哈密顿流 克 ⋆ 测地线是流体轨道的投影 M（M） 和处处相切 D类 。我们通常倾向于将测地线流视为对 克 ⋆ = 1 哈密顿流的 1 2 克 ⋆ .

• 局部给定的拉普拉斯算子 Δ = X（X） 1 ⋆ X（X） 1 + X（X） 2 ⋆ X（X） 2 ，其中 ( X（X） 1 , X（X） 2 ) 是的正交框架 D类 并根据度量值进行伴随 ∣ d日 q个 ∣ .

• 1-形式的标准选择 α 克 定义 D类 通过假设 d日 α 克 限制为 D类 是定向的 克 -卷表单位于 D类 .

从Hörmander的一个著名定理中，我们知道拉普拉斯算子是亚椭圆的，因此具有紧预解式和离散谱 λ 1 = 0 < λ 2 ≤ ⋯ 具有平滑的特征函数。它遵循sR-Weyl定律

那个

是一个定义明确的施瓦茨分布，通常被称为波浪轨迹（见附录A类与波动方程的联系）。我们的目标是将CDG公式扩展到这种情况。

表格 α 克 定义了Reeb矢量场 对 → 根据方程式 α 克 ( 对 → ) = 1 和 ι ( 对 → ) d日 α 克 = 0 。该向量场接受以下哈密顿解释：圆锥体 Σ = D类 ⊥ 是的辛子锥 T型 ⋆ M（M） ⧹ 0^[1].我们定义了哈密顿量 ρ : Σ → 对 通过 ρ ( α ) = α ∕ α 克 ，其中 α ∈ Σ 一个covector消失了吗 D类 .哈密顿向量场 ρ 同质度为0，并且该场的投影到 M（M） 是Reeb向量场 对 → （见第2.4节[10]).

2.2 3D海森堡小组 H（H） 三

对于本节，读者可以参阅[10]. 我们确认了海森堡集团 H（H） 三 具有 对 x个 , 年 , z（z） 三 用群律

李代数由 X（X） , 年 , Z轴 具有

我们选择 ( D类 , 克 ) 通过询问 ( X（X） , 年 ) 是的定向正交基 D类 对于 克 和 ∣ d日 q个 ∣ = ∣ d日 x个 d日 年 d日 z（z） ∣ .我们有 [ X（X） , 年 ] = 负极 Z轴 ，Reeb向量场为 Z轴 拉普拉斯人 Δ 三 = 负极 ( X（X） 2 + 年 2 ) 并且可以被重写如下：

关于核的补足 Z轴 。我们将其写成

哪里 Ω 是具有频谱的谐振子 { 2 我 + 1 ∣ 我 = 0 , 1 , ⋯ } （请参见[10]，道具。3.1).

我们需要以下“限制”结果（请参见[19]):

6.1经典范式

我们先用[21]（提案2.3）（或[11]（定理2.1））简化为 ρ 我 ，其中 ρ 是Reeb哈密顿量 我 ，是谐振子哈密顿量：这意味着存在齐次正则变换 χ 从圆锥邻域 σ 0 进入之内 Σ σ × 对 u个 , v（v） 2 以便 ρ 我 ∘ χ = 克 ⋆ 具有 我 = u个 2 + v（v） 2 。让我们用表示 ζ 的主要符号 Z轴 在方程式中(1). 然后我们使用Duistermaat和Hörmander的正规形式[13]（Prop.6.1.3）以减少 ρ 到 ∣ ζ ∣ 通过正则变换。然后我们得到正规形式 Ş ζ Ş 我 它是的正则分解 克 H（H） 三 ⋆ 在中使用[10]（见方程式中的主要符号(1)).

6.2量子范式

这是一个在某些圆锥形邻域中工作的三步简化 C类 一个点的 Σ .

1. 通过使用与 χ ，我们首先将拉普拉斯算子简化为形式为的伪微分算子 ∣ Z轴 ∣ Ω + 对 0 哪里 对 0 是度的伪微分算子 0 。该步骤在[10].

2. 我们可以改进以前的范式，以便 对 0 与…通勤 Ω ：上同调方程

   { ∣ ζ ∣ 我 , 一 } = b条

   （于 T型 ⋆ H（H） 三 )，其中 b条 ，消失在 Σ 度的均匀性 j个 可以按照附录所示进行求解D类这是对[10]. 因此，我们得到了一个正规形式 Δ 三 + 对 0 具有 对 0 与…通勤 Ω ：的完整符号 对 0 独立于 ( u个 , v（v） ) 变量。

3. 通过使用 Ω ，我们得到一个分解

   Δ ≡ ⊕ 我 = 0 ∞ ( 2 我 + 1 ) Δ 我 Π 我 ,

   其中 Δ 我 的是形式的伪微分算子

   Δ 我 = ∣ Z轴 ∣ + 1 2 我 + 1 对 0 ,

   和 Π 我 是特征值特征空间上的投影 2 我 + 1 属于 Ω 然后，我们可以使用伪微分算子的约化 ∣ Z轴 ∣ + 1 2 我 + 1 对 0 到 ∣ Z轴 ∣ 通过椭圆伪微分算子s的共轭 A类 我 取决于 ε = 1 / ( 2 我 + 1 ) 和通勤 Ω 如中所示[13]，建议6.1.4。我们有

   A类 我 负极 1 ∣ Z轴 ∣ + 1 2 我 + 1 对 0 A类 我 ≡ ∣ Z轴 ∣ ,

   哪里 ≡ 表示中的模平滑运算符 C类 .