稳态空间中规定平均曲率的类空间图

1简介和结果陈述

稳态空间ℋn个+1是Bondi和Gold提出的宇宙模型[4]和Hoyle[12]它是均匀和各向同性的，也就是说，它不仅在所有点和所有方向上看起来都一样，而且在任何时候都一样[10，第5.2节]。如果ℝ1n个+2=(ℝn个+2，〈，〉=d日x个12+⋯+d日x个n个+12-d日x个n个+22)表示n个+2-维Minkowski空间，稳态空间ℋn个+1是德西特空间的一半𝕊1n个+1={对∈ℝ1n个+2:〈对，对〉=1}，由提供ℋn个+1={对∈𝕊1n个+1:〈对，一〉>0}，其中一∈ℝ1n个+1是零锥上半部分的非零零矢量。这个空间是一个由单参数全脐超曲面族叶状化的非完全流形{我τ:τ∈(0，∞)}，称为切片，其中我τ={对∈ℋn个+1:〈对，一〉=τ}，并且都具有恒定的平均曲率H（H）=-1.边界ℋn个+1是空超曲面我0={对∈𝕊1n个+1:〈对，一〉=0}代表过去的无穷大我∞={对∈𝕊1n个+1:〈对，一〉=∞}是代表未来无限的极限边界。

的等效模型ℋn个+1是(ℝ+n个+1，克)，其中ℝ+n个+1=ℝn个×ℝ+，是向量空间的上半空间ℝn个+1被赋予了度量标准

哪里x个=(x个1，…，x个n个+1)是的标准坐标ℝn个+1.通过度量的表达式克英寸(1.1)，稳态空间ℋn个+1是洛伦兹近似于双曲空间的上半空间模型，被视为(n个+1)-多维Lorentz–Minkowski空间ℝ1n个+1在这个模型中，切片是一个水平超平面我⁢(小时)={x个∈ℝn个+1:x个n个+1=小时}对于小时>0.

本文研究了切片域上给定平均曲率方程的Dirichlet问题：如果Ω⊂ℝn个是光滑有界域，给定φ∈C类0⁢(∂⁡Ω)和H（H）∈ℝ，找到解决方案单位∈C类2⁢(Ω)∩C类0⁢(Ω¯)属于

在这里div公司和D类是的欧几里德散度和梯度算子ℝn个分别是。如果单位是的解决方案(1.2)，其图形Σ单位={(x个1，…，x个n个，单位⁢(x个1，…，x个n个)):(x个1，…，x个n个)∈Ω}是一个类空间超曲面ℋn个+1恒定平均曲率H（H）相对于向上方向，其边界是φ的图形。例如，具有恒定平均曲率的类空超曲面在时空中很有趣ℋn个+1，因为它们被用作对应于爱因斯坦方程的柯西问题的方便初始超曲面[15]. 此外，由具有恒定平均曲率的超曲面进行时空的叶理也是有趣的，因为叶理的每个叶的所有点都是瞬时观测者（或法向观测者），并且超曲面的（类时间的）单位法向向量测量观测者如何相对于下一个离开。因此(1.2)可以被视为规定正常观察者行为的局部结果（在域Ω上）。在最简单的时空——洛伦兹-闵可夫斯基空间中，关于狄里克莱问题的第一个显著结果要归功于Bartnik和Simon[三]who证明了几乎任何域Ω和边值φ的可解性。

在文献中，Dirichlet问题的第一个存在性结果(1.2)出现在中[16]. 最近，中径向对称类空超曲面的存在性ℋn个+1具有恒定平均曲率的[7]. 其中使用的方法是经典的Schauder不动点定理，并且将结果扩展到更广泛的时空类，即Robertson–Walker空间。然而，我们的解决方法(1.2)是以下连续性方法[三，16]. 证明具有指定平均曲率和边界的图的存在性需要建立先验C类1估计，这些估计是通过使用双曲面作为屏障来完成的。关于解的唯一性问题(1.2)，椭圆PDE的标准参数不能提供完整的答案（参见备注2.2). 另一方面，在[17]. 最近，作者证明了平面圆盘和双曲帽是唯一具有常平均曲率的紧致类空曲面ℋ三跨越一个圆[13]。

Dirichlet问题的可解性(1.2)取决于是否H（H）小于或大于-1，即切片的平均曲率值。例如，对于φ=小时，图表Σ单位位于切片的一侧我⁢(小时)即，Σ单位高于我⁢(小时)（或单位>小时)如果H（H）<-1及以下我⁢(小时)（或单位<小时)如果H（H）>-1。请注意，空间相对于我⁢(小时)如果H（H）<-1或H（H）>-1; 另请参见备注中关于唯一性的差异2.2.在上述文件中[16]，Montiel证明了(1.2)的φ=小时和H（H）<-1，假设Ω是严格平均凸的。这个结果证明了边界在无穷远处的非紧类空超曲面的存在性。根据最大值原理H（H）对于这些超曲面，必须小于-1，并且小时→0以及适当的控制C类1估计，他成功地建立了边界在过去无穷远处的完备类空超曲面的存在性。本文的目的是考虑Dirichlet问题H（H）>-1，其中获得先验估计不是该情况的结果H（H）<-1技术难度大。事实上，我们将证明的存在结果适用于-1≤H（H）<0Ω满足更强的凸性假设。这里我们回顾一下，如果κ>0，一个域Ω⊂我⁢(小时)如果主曲率为κ-凸κ1，…，κn个-1属于∂⁡Ω关于向内法向量满足κ我≥κ我们证明的主要结果如下。

让我们指出，在Ω域上需要某种小的假设，因为以下结果是作者在[13]。

这一结果的证明使用了一个论点，即将预期解的图形与具有屏障超曲面作用的单参数双曲平面族进行比较。的价值第页0英寸(1.4)意味着第页0>1这就是我们在定理中假设的原因1.1域Ω包含在半径为1的球中。另一方面，作为我⁢(小时)等距于方程的欧几里德超平面x个n个=小时，则Ω的κ-凸性意味着Ω也是κ/小时-凸作为欧氏超平面的子流形x个n个=小时.

本文的结构如下。在节中2我们回顾了稳态空间的一些基本知识，得到了规定的平均曲率方程。章节三致力于给出切片上的图的概念。连续性方法所需的高度和坡度估计值见第节4最后，在第节5我们证明了定理1.1根据前面章节中使用的方法6我们获得了Dirichlet问题解的先验梯度估计H（H）边界条件φ。

2准备工作

设∑是一个连通超曲面。平稳的浸入ψ:Σ→ℋn个+1如果通过ψ的诱导度量是∑上的黎曼度量，则称为类空超曲面。类空超曲面总是可定向的，因为环境空间的因果特性允许选择唯一的单位时间类法向量场N个，全局定义在∑上，∑是未来定向的。作为的度量ℋn个+1符合Minkowski度量，即ℋn个+1与被视为Minkowski空间的开集的上半空间相同ℝ1n个+1回想一下，存在一个显式等距Φ:ℋn个+1⊂𝕊1n个+1→ℋn个+1⊂ℝ+n个+1反转方向的两个模型之间[16]. 考虑到目标环境空间，我们还将使用欧几里德意义上的水平和垂直术语ℝ+n个+1。在此模型中ℋn个+1，等距是Minkowski空间的保角变换ℝ1n个+1保留上半部空间ℝ+n个+1例如，围绕垂直直线的旋转是等距的ℋn个+1以及从任何角度的水平翻译或同义词ℝn个-1×{0}.

如果∇代表∑上的Levi-Civita连接，平均曲率H（H）定义为

哪里W公司是形状操作符κ我是ψ的主曲率。什么时候？H（H）是常数，我们说∑是CMC超曲面或H（H）-超曲面，如果我们想强调平均曲率的值。我们指出，减号的选择(2.1)跟随[1，5]它与中采用的符号相反[16]. 根据(2.1)，一片我τ平均曲率恒定H（H）=-1关于未来单位法向量。

考虑到指标(1.1)，我们可以考虑∑Minkowski度量〈，〉和度量标准克.如果N个是的高斯地图ψ:Σ→ℋn个+1，然后N个′=N个/x个n个是浸没的高斯图ψ:Σ→ℝ1n个+1.自克和〈，〉保形度量是通过(1.1)，我们有κ我=x个n个⁢κ我′+(x个n个∘N个′)，其中κ我和κ我′是的主要曲率(Σ，克)和(Σ，〈，〉)分别是。从定义H（H）英寸(2.1)，我们得出结论

哪里H（H）和H（H）′是的平均曲率Σ⊂ℋn个+1和Σ⊂ℝ1n个+1分别为。

稳态空间中的3个图

Dirichlet问题的图的概念(1.2)与切片的域上的图一致ℋn个+1。我们需要在两个模型中链接此概念，以在第节中获得4，求解所需的高度和坡度估计(1.2). 让小时>0。给定一个域Ω⊂ℝn个，采取Ω×{小时}⊂我⁢(小时).如果（f）是Ω上的一个函数，我们将其与q个∈Ω×{小时}测地线的点ℋn个+1路过q个和正交于我⁢(小时)在远处（f）⁢(q个)从我⁢(小时)在上半空间模型中，这种测地线是一条垂直直线，因此Ω×{小时}是欧几里得图x个n个+1=单位⁢(x个1，…，x个n个)Ω上，其中单位=小时⁢e（电子）（f）.在模型中ℋn个+1作为的子集𝕊1n个+1，正交测地线Ω⊂我τ在q个∈Ω是

如果（f）是Ω上的函数，图Σ（f）属于（f）是

请注意

∑的切线空间X（X）⁢(q个)是

哪里∇是中的渐变操作符我τ.单位法向量场N个指向未来是

关于的计算𝕊1n个+1然后给出

通过等距Φ，让Σ单位表示域上对应的图Φ⁢(Ω)≡Ω⊂我⁢(小时)，我们在其中关联函数（f）和单位.如果我们允许对支持某一点𝕊1n个+1和Φ⁢(对)=x个∈ℝ+n个+1，然后从(3.1)由此可见

所以小时=1/τ.我们还表示N个，定义于Σ⊂𝕊1n个+1，使用高斯地图N个′在中给出(2.4). 通过两个模型之间的等距Φ，我们发现〈N个，一〉=(x个n个+1∘N个′)/x个n个+1，因此

从N个′英寸(2.4)，我们有

图的两个例子是切片和双曲平面。对于切片我⁢(小时)，我们有单位=小时，N个′=𝐞n个+1和〈N个′，𝐞n个+1〉=-1.对于双曲平面ℍn个⁢(第页;t吨)，t吨∈ℝ，我们有

和

功能的控制〈对，一〉和〈N个，一〉在中给出(3.2)和(3.3)分别对定理的证明起决定性作用1.1当我们建立先验C类1解决方案的估计单位这些估计将基于拉普拉斯公式〈对，一〉和〈N个，一〉.对于函数〈对，一〉，我们正在确认对带着它的图像ψ⁢(对)通过浸入ψ:Σ→𝕊1n个+1关于∑viaψ上的诱导度量〈对，一〉（或〈ψ⁢(对)，一〉)是

如果我们现在假设平均曲率是常数，那么〈N个，一〉是

其中σ是ψ的第二基本形式，参见[16]。

4连续性方法

定理证明中使用的技术1.1是连续性的方法[9]，在规定的平均曲率方程中，参见，例如[2，6，14]. 在等距之后ℋn个+1，我们假设小时=1也就是说，Ω包含在切片中我⁢(1)在这个切片中，曲率∂⁡Ω与欧几里得一致，作为ℝn个.连续性方法考虑Dirichlet问题族

哪里H（H）⁢(t吨)=t吨⁢(1+H（H）)-1和t吨∈[0，1]。我们证明了[0，1]由定义

非空，在中关闭和打开[0，1]在这种情况下，1∈一个，证明解决方案的存在性单位∈C类2，α⁢(Ω¯).作为H（H）恒定且Ω平滑，任何C类2，α解决方案将是平滑的Ω¯（请参见[9，定理6.17]），证明定理1.1.

让我们观察一下，如果H（H）=-1然后解决(1.2)的φ=1是常数函数单位=1此外，由于相切原理比较，此解决方案是唯一的Σ单位用切片我⁢(c（c）)对于c（c）>0.

证明一个一旦我们建立了先验C类1对未来解决方案的估计(1.2)也就是说，每个解决方案的高度和梯度估计单位第页，共页(1.2)，请参阅[9]. 凸性条件(1.3)首先需要获得C类0比较图与双曲平面类型解的范数ℍn个⁢(第页;c（c）)此外，这些双曲平面将提供边界梯度估计。建立梯度估计，|D类⁢单位|为了防止这种情况|D类⁢单位|→1在某一点Ω¯或者，用马斯登和蒂普勒的术语来说，超曲面不能“归零”[15，第页。 124]. 这是定理证明的难点1.1，这将在下一小节中得到证明。

4.1高度估算

我们引入下一个符号。对于每个t吨≥0，带顶点的光锥ξ=(0，…，0，t吨)由定义𝒞t吨={x个∈ℝ+n个+1:〈x个-ξ，x个-ξ〉=0}.顶点ξ将圆锥体分为两个半圆锥体。让𝒞t吨+表示上半锥，并让整数⁡(𝒞t吨+)是的凸域ℝ+n个+1由限定𝒞t吨+.

让-1<H（H）<0然后让单位是…的解决方案(1.2)的单位=1沿着∂⁡Ω.根据相切原理，与切片进行比较我⁢(小时)对于的值小时从……开始小时=∞到小时=1，我们有单位<1单位为Ω。对于任何t吨∈[0，1)，让𝒞t吨+是上面的光锥。表示方式Ωρ⊂ℝn个半径球ρ>0以原点为中心O（运行）然后假设Ω⊂Ω1.自纳入以来Ω⊂Ω1很严格，让ρ0<1是这样一个数字Ω¯⊂Ωρ0.作为单位=1在∂⁡Ω，类似太空的条件|D类⁢单位|<1Ω的凸性意味着|单位⁢(q个)-单位⁢(q个′)|<|q个-q个′|无论何时q个，q个′∈Ω对于q个≠q个′.这种不平等以及以下事实∂⁡Σ单位⊂Ωρ0×{1}意味着Σ单位⊂整数⁡(𝒞1-ρ0+)，见图1.因为𝒞1-ρ0+是(1-ρ0)⁢对0，其中对0=(0，0，1)，我们发现

(4.2) 1 - ρ 0 < x个 n个 + 1 ⁢ ( 对 ) ≤ 1

为所有人对∈Σ单位，获得统一的高度估计值单位.

图1

定理中边界梯度估计的证明1.1.