引理3.1
对于每个吨 > 0，每
u个∈H（H）
和u个0 ∈ X（X）0，存在唯一的v（v）令人满意的
(3.1)
v（v）∈C类[0,吨],X（X）0∩C类1[0,吨],L（左）2(Ω),v（v）t吨∈L（左）2[0,吨],X（X）0,
它解决了线性问题
(3.2)
v（v）t吨+M（M）(∥u个∥W公司02)(−Δ)秒v（v）+(−Δ)秒v（v）t吨=|u个|q个−2u个,(x个,t吨)∈Ω×R（右）+v（v）(x个,0)=u个0,x个∈Ω,v（v）(x个,t吨)=0,(x个,t吨)∈(R（右）N个∖Ω)×R（右）0+,
证明该断言源自Galerkin方法的应用。由[36]，每小时=1让W小时=跨度{ω1, ···,ω小时}，其中{ωj个}是（−Δ）特征函数的正交完备系统秒在里面W公司0这样的话
∥ωj个∥W公司0=1
和ωj个∣∣2=1代表所有j个.然后{ωj个}是正交的并且在L（左）2（Ω）和W公司0; 表示为{λj个}相关特征值根据其多重性重复。让
u个 0 小时 = ∑ j个 = 1 小时 ∫ Ω u个 0 ω j个 ω j个 ,
以便
u个0小时∈W公司小时,u个0小时→u个0
在里面W公司0作为小时 → ∞. 对于所有人小时=1我们寻求小时功能
γ1小时,⋯,γ小时小时∈C类1[0,吨]
这样的话
(3.3)
v（v）小时(t吨)=∑j个=1小时γj个小时(t吨)ωj个,
解决问题
(3.4)
∫Ωv（v）˙小时(t吨)+M（M）(∥u个∥W公司02)(−Δ)秒v（v）小时+(−Δ)秒v（v）˙小时−|u个|q个−2u个ηd日x个=0,v（v）小时(0)=u个0小时,
对于每个η ∈ W公司小时和t吨=0.对于j个=1, ···,小时，采取η=ωj个在(3.4)给出了未知线性常微分方程的Kirchhoff分数阶Laplacian问题
γj个小时
(3.5)
γ˙j个小时(t吨)+M（M）([u个]秒2)λj个γj个小时(t吨)+λj个γ˙j个小时(t吨)=ψj个(t吨),γj个小时(0)=∫Ωu个0ωj个,
哪里ψj个(t吨)=∫Ω∣∣u个∣∣q个−2u个ωj个dx公司 ∈ C类[0,吨]. 对于所有人j个，上述基尔霍夫分数阶拉普拉斯问题产生了唯一的全局解
γj个小时∈C类1[0,吨]
反过来，这又为v（v）小时由定义(3.3)并且令人满意(5.5). 特别是(3.3)暗示着
v（v）˙小时(t吨)∈W公司0
对于每个t吨 ∈ [0,吨]，因此分数Sobolev不等式需要
(3.6)
V（V） ˙ 小时 ( t吨 ) q个 ≤ c（c） 1 V（V） ˙ 小时 ( t吨 ) W公司 0 .
接下来，证据分为以下两种情况。
案例1:
M（M）(∥u个∥W公司02)≥米0>0
对于任何u个 ∈ W公司0，其中米0是一个常量。
拿
η=v（v）˙小时(t吨)
到(5.5)并在[0上进行积分，t吨]⊂[0,吨]，我们获得
(3.7)
12M（M）∥u个∥W公司02v（v）小时(t吨)W公司02+∫02v（v）˙小时(t吨)X（X）02d日τ=∫0t吨∫Ω|u个|q个−2u个v（v）˙小时(τ)d日x个d日τ+12M（M）u个0W公司02u个0小时W公司02+∫0t吨u个,u个t吨W公司0M（M）′∥u个∥W公司02v（v）小时(t吨)W公司02d日τ,
对于每个小时=1.自
u个∈H（H）
,
∥u个∥X（X）0
有界。由于Hölder和Young不等式，我们估计了右侧的最后一项
(3.8)
∫0t吨∫Ω|u个|q个−2u个v（v）˙小时(τ)d日x个d日τ≤∫0t吨∥u个∥2N个(q个−1)N个+2秒q个−1v（v）˙小时(τ)2N个N个−2秒d日τ≤∫0t吨c（c）∥u个∥W公司0q个−1v（v）˙小时W公司0d日τ≤c（c）吨+∫0t吨12v（v）˙小时(τ)X（X）02d日τ,
哪里c（c） > 0和表示不同行之间的不同常量。
通过组合(3.7), (3.8)和Hölder不等式，我们得到
12M（M）(∥u个∥W公司02)∥v（v）小时(t吨)∥W公司02+∫0t吨12∥v（v）˙小时(τ)∥X（X）02d日τ≤c（c）吨+M（M）(∥u个0∥W公司02)∥u个0小时∥W公司02+∫0t吨(u个,u个t吨)W公司0M（M）′(∥u个∥W公司02)∥v（v）小时∥W公司02d日τ≤c（c）吨+M（M）(∥u个0∥W公司02)∥u个0小时∥W公司02+∫0t吨∥u个∥W公司0∥u个t吨∥W公司0M（M）′(∥u个∥W公司02)∥v（v）小时∥W公司02d日τ≤L（左）+∫0t吨∥u个∥W公司0∥u个t吨∥W公司0M（M）′(∥u个∥W公司02)∥v（v）小时∥W公司02d日τ,
每小时=1，其中
L（左）:=c（c）吨+M（M）(∥u个0∥W公司02)∥u个0小时∥W公司02
是一个常量。进一步由
u个∈H（H）
，我们可以推断存在L（左）1这样的话
∥u个∥W公司0∥u个t吨∥W公司0M（M）′(∥u个∥W公司02)≤L（左）1
。因此自
M（M）(∥u个∥W公司02)≥米0>0
和(3.9)我们推导
米 0 2 ∥ v（v） 小时 ( t吨 ) ∥ W公司 0 2 ≤ L（左） + L（左） 1 ∫ 0 t吨 ∥ v（v） 小时 ∥ W公司 0 2 d日 τ .
通过Gronwall不等式，我们得到
(3.9)
∫ 0 t吨 ∥ v（v） 小时 ∥ W公司 0 2 d日 τ ≤ L（左） L（左） 1 ( e（电子） 2 L（左） 1 米 0 t吨 − 1 ) ,
然后(3.9)产生这样的结果
(3.10)
12M（M）∥u个∥W公司02v（v）小时(t吨)W公司02+∫0t吨12v（v）˙小时(τ)X（X）02d日τ≤L（左）+L（左）e（电子）2L（左）1米0吨−1:=C类吨,
哪里C类吨 > 0独立于小时.通过此一致估计，嵌入W公司0↪L（左）2（Ω）和使用(3.4)，我们有
{v（v）小时}以为界L（左）∞([0,吨],W公司0);
{v（v）˙小时}以为界L（左）2([0,吨],X（X）0).
情况2：至少有一个ũ∈W公司0这样的话M（M）(∣∣ũ∣∣W公司02)=0.
拿η=v（v）小时(t吨)到(3.4)并且在[0，t吨]⊂[0,吨]，我们获得
(3.11)
2∫0t吨M（M）∥u个˜∥W公司02v（v）小时W公司02d日τ+v（v）小时X（X）02=u个0小时X（X）02+2∫0t吨|u个˜|q个−2u个˜v（v）小时d日τ.
自
u个˜∈H（H）,∥u个˜∥X（X）0
有界。由于Hölder和Young不等式，我们估计了右侧的最后一项
(3.12)
2∫0t吨∫Ω|u个˜|q个−2u个˜v（v）小时(τ)d日x个d日τ≤∫0t吨c（c）∥u个˜∥W公司0q个−1v（v）小时W公司0d日τ≤c（c）吨+∫0t吨v（v）小时(τ)X（X）02d日τ.
替换(3.12)到(3.11)，我们有
(3.13)
2∫0t吨M（M）∥u个˜∥W公司02v（v）小时W公司02+v（v）小时X（X）02≤u个0小时X（X）02+c（c）吨+∫0t吨v（v）小时(τ)X（X）02d日τ=A类1+∫0t吨v（v）小时(τ)X（X）02d日τ,
哪里
A类1:=∥u个0小时∥X（X）02+c（c）吨
是一个常量。
再次使用Gronwall不等式，我们得到
∫ 0 t吨 ∥ v（v） 小时 ( τ ) ∥ X（X） 0 2 d日 τ ≤ A类 1 ( e（电子） t吨 − 1 ) ,
然后
(3.14)
v（v）小时X（X）02≤A类1+A类1e（电子）吨−1:=A类吨.
所以
{v（v）小时} 以为界 L（左）∞([0,吨],X（X）0).
因此，在下一个序列中，我们可以传递到(3.4)得到弱解v（v）第页，共页(3.4)具有上述规律性。然后由v（v） ∈ L（左）∞([0,吨],X（X）0)我们推断v（v） ∈ L（左）2([0,吨],X（X）0)，其中包括
v（v）˙∈L（左）2([0,吨],X（X）0)
给出了那个
v（v）∈W公司1,2([0,吨],X（X）0)
，在这里
W公司1,2
表示包含所有函数的Sobolev空间v（v） ∈ L（左）2([0,吨],X（X）0)这样的话
v（v）˙∈L（左）2([0,吨],X（X）0)
.根据中的定理2[8第五章]埃文斯，我们可以得出v（v） ∈ C类([0,吨],X（X）0). 当然，这是必然的v（v） ∈ C类([0,吨],X（X）0)和v（v） ∈ C类([0,吨],L（左）2(Ω)). 最后，从(3.2)我们有
v（v）˙∈C类1([0,吨],L（左）2(Ω))
.存在v（v）解决(3.2)并且令人满意(3.1)事实证明了这一点。
独特性伴随着矛盾的争论：如果v（v）和ω是两种解决方案(3.2)它们共享相同的初始数据，通过减去方程式并用v（v）t吨−ωt吨，而不是(3.7)我们可以得到
12M（M）([u个]秒2)∥v（v）(t吨)−ω(t吨)∥W公司02+∫0t吨∥v（v）t吨(τ)−ωt吨(τ)∥X（X）02d日τ=0,
它立即产生ω≡v（v）.该引理的证明现已完成。□
接下来，我们建立了(1.1).
定理3.1
让你来吧0 ∈ X（X）0,则存在T > 0和独特的本地解决方案(1.1)超过[0，T].
证明.让
R（右）2:=2米0(M（M）(∥u个0∥W公司02)∥u个0∥W公司02)
以及任何吨 > 0我们考虑
M（M）吨:={u个∈H（H）:u个(0)=u个0 和 ∥u个∥H（H）2≤R（右）2}.
由引理3.1，对于任何
u个∈M（M）吨
，我们可以定义v（v）≔ Φ(u个)，正在v（v）问题的唯一解决方案(3.2). 我们声称，对于吨 > 0和给定
u个∈M（M）吨
，Φ是满足的压缩映射
Φ(M（M）吨)⊆M（M）吨
此外，相应的解决方案v（v）=Φ(u个)让所有人都满意t吨 ∈ (0,吨]能量恒等式
(3.15)
12M（M）∥u个∥W公司02∥v（v）∥W公司02+∫0t吨v（v）t吨(τ)X（X）02d日τ=12M（M）u个0W公司02u个0W公司02+∫0t吨u个,u个t吨W公司0M（M）′∥u个∥W公司02∥v（v）∥W公司02d日τ+∫0t吨∫Ω|u个(τ)|q个−2u个(τ)v（v）t吨(τ)d日x个d日τ.
接下来，我们仍然将证明分为两个案例，对应于引理3.1.
案例1：
M（M）(∥u个∥W公司02)≥米0>0
对于任何u个 ∈ W公司0，其中米0是一个常量。
对于右侧的最后一个学期(3.15)，我们的辩论精神与(3.8)然后我们得到
(3.16)
∫0t吨∫Ω|u个(τ)|q个−2u个(τ)v（v）t吨(τ)d日x个d日τ≤c（c）∫0t吨∥u个(τ)∥2n个(q个−1)n个+2秒q个−1v（v）t吨(τ)2n个n个−2秒d日τ≤c（c）∫0t吨∥u个(τ)∥W公司0q个−1v（v）t吨(τ)W公司0d日τ≤c（c）吨R（右）2(q个−1)+∫0t吨v（v）t吨X（X）02d日τ
为所有人t吨 ∈ (0,吨]. 组合(3.15)带有(3.16)我们可以得到
(3.17)
12M（M）∥u个∥W公司02∥v（v）∥W公司02≤c（c）吨R（右）2(q个−1)+12M（M）u个0W公司02u个0W公司02+∫0t吨u个,u个t吨W公司0M（M）′∥u个∥W公司02∥v（v）∥W公司02d日τ≤L（左）2+L（左）1∫0t吨∥v（v）∥W公司02d日τ,
哪里
L（左）2:=c（c）吨R（右）2(q个−1)+12M（M）(∥u个0∥W公司02)∥u个0∥W公司02
是一个常量。通过使用Gronwall不等式，它给出了
∥v（v）∥W公司02≤2L（左）2米0e（电子）2L（左）1米0t吨,
所以
∫0t吨∥v（v）∥W公司02d日τ≤L（左）22L（左）1(e（电子）L（左）1米0t吨−1).
然后取最大值[0，吨]给予
(3.18)
米0∥v（v）∥W公司02≤M（M）∥u个∥W公司02∥v（v）∥W公司02≤c（c）吨R（右）2(q个−1)+M（M）u个0W公司02u个0W公司02+L（左）2e（电子）L（左）1米0吨−1.
选择吨足够小，我们得到
∥v（v）∥H（H）2≤R（右）2
.
情况2：至少有一个ũ∈X（X）0这样的话M（M）(∣∣ũ∣∣W公司02)=0.
在这方面，让
R（右）2=∥u个0∥X（X）02
以及任何吨 > 0考虑
M（M）吨={u个∈H（H）:u个(0)=u个0 和 ∥u个∥H（H）2≤R（右）2}.
类似于(3.11)英寸引理3.1，相应的解决方案v（v）=Φ(u个)让所有人都满意t吨 ∈ (0,吨]能量恒等式
(3.19)
2∫0t吨M（M）∥u个˜∥W公司02∥v（v）∥W公司02d日τ+∥v（v）∥X（X）02=u个0X（X）02+2∫0t吨|u个˜|q个−2u个˜v（v）(τ)d日τ,
通过
(3.20)
2∫0t吨∫Ω|u个˜|q个−2u个˜v（v）(τ)d日x个d日τ≤c（c）吨R（右）2(q个−1)+∫0t吨∥v（v）(τ)∥X（X）02d日τ,
然后
(3.21)
∫0t吨M（M）∥u个˜∥W公司02∥v（v）∥W公司02+∥v（v）∥X（X）02≤u个0X（X）02+c（c）吨R（右）2(q个−1)+∫0t吨∥v（v）(τ)∥X（X）02d日τ=A类2+∫0t吨∥v（v）(τ)∥X（X）02d日τ,
哪里
A类2:=∥u个0∥X（X）02+c（c）吨R（右）2(q个−1)
是一个常量。格朗沃尔不等式
∫0t吨∥v（v）(τ)∥X（X）02d日τ≤A类2(e（电子）t吨−1).
所以
(3.22)
∥v（v）∥X（X）02≤u个0X（X）02+c（c）吨R（右）2(q个−1)+A类2e（电子）吨−1.
选择吨足够小，我们得到
∥v（v）∥H（H）2≤R（右）2
.
结合案例1和案例2，我们表明
Φ(M（M）吨)⊆M（M）吨
接下来我们证明Φ是一个收缩。现在采取行动ω1和ω2在里面
M（M）吨
，减去两个方程式(3.2)的v（v）1=Φ(ω1)和v（v）2=Φ(ω2)、和设置v（v）=v（v）1−v（v）2我们为所有人获得η ∈ W公司0以及其他。t吨 ∈ [0,吨]
(3.23)
v（v） t吨 , η + M（M） [ u个 ] 秒 2 ( − Δ ) 秒 v（v） , η + ( − Δ ) 秒 v（v） t吨 , η = ∫ Ω ω 1 ( t吨 ) q个 − 2 ω 1 ( t吨 ) − ω 2 ( t吨 ) q个 − 2 ω 2 ( t吨 ) η = ∫ Ω ζ ( t吨 ) ω 1 ( t吨 ) − ω 2 ( t吨 ) η ,
哪里ς=ς(x个,t吨)=0由拉格朗日定理给出，因此ς(t吨) ⩽ (q个−1)(∣∣ω1(t吨)∣∣+∣∣ω2(t吨)∣∣)q个−2因此，通过采取η=v（v）t吨在(3.23)如上所述，我们得到
∥Φ(ω1)−Φ(ω2)∥M（M）吨2=∥v（v）∥M（M）吨2≤ζ∥ω1−ω2∥M（M）吨2
对于一些0<ζ<1提供吨足够小。这证明了这一说法。根据压缩映射原理，问题存在唯一的弱解(1.1)定义于[0，T]。的主要声明定理3.1由此证明。□
