1简介
本文主要研究波动不等式整体弱解的存在性和不存在性
◻u个+λ|x个|2u个≥|u个|第页英寸(0,∞)×Ω.
(1.1)
这里，□：=∂tt公司−Δ是波算子，Ω= {x个∈ ℝN个: |x个| ≥ 1},N个≥ 2,第页>1，和λ≥ −
N个−222
。我们将调查(1.1)在非均匀边界条件下
α∂u个∂ν(t吨,x个)+βu个(t吨,x个)≥w个(x个)上的(0,∞)×∂Ω,
（1.2）
哪里α,β≥ 0, (α,β) ≠ (0, 0),w个∈L（左）1(⏴Ω)，以及ν表示上的外单位法向量∂ Ω相对于Ω。请注意(1.2)包括不同类型的非均匀边界条件。即Dirichlet型边界条件（在这种情况下(α,β) = (0, 1))
u个(t吨,x个)≥w个(x个)上的(0,∞)×∂Ω,
Neumann型边界条件（在这种情况下(α,β) = (1, 0))
∂u个∂ν(t吨,x个)≥w个(x个)上的(0,∞)×∂Ω,
和Robin型边界条件（在本例中α=1和β> 0)
∂u个∂ν(t吨,x个)+βu个(t吨,x个)≥w个(x个)上的(0,∞)×∂Ω.
让我们考虑半线性波动方程
◻u个+V（V）(x个)u个=|u个|第页英寸(0,∞)×对N个,(u个(0,x个),∂t吨u个(0,x个))=(u个0(x个),u个1(x个))英寸对N个,
(1.3)
哪里V（V）=V（V）(x个)是一种潜力，让第页c（c）(N个)是二次方程的正根
(N个−1)第页2−(N个+1)第页−2=0
在特殊情况下V（V）≡ 0,(1.3)已经有几位作者进行了调查。就是约翰[12]证明了，如果初始值是紧支集且非负的，那么对于N个=3和1<第页<第页c（c）(3) = 1 +
2
，非平凡解必须在有限时间内爆破，而如果第页>第页c（c）（3） ，存在针对较小初始值的全局解决方案。接下来，Glassey得出了类似的结果[6]在这种情况下N个=2。在[19]Shaffer在案件中证明了N个∈ {2, 3},第页c（c）(N个)属于爆炸案。Georgiev等人[5]（另请参见[15,21])证明了，如果第页>第页c（c）(N个)以及N个≥3，则对于较小的初值存在全局解。Sideris显示了放大结果[5]（另请参见[15,21])在案例1中<第页<第页c（c）(N个)以及N个≥ 4. 在[23]Yordanov和Zhang证明了这一点N个≥ 4,第页c（c）(N个)属于爆炸案。
在[22]，Yordanov和Zhang研究(1.3)什么时候N个≥3且V（V）是满足以下条件的非负电势：
“存在功能ϕ我∈C类2（ℝN个),我=0，1，这样
Δϕ0−V（V）ϕ0=0和Δϕ1−V（V）ϕ1=ϕ1,
哪里
C类0−1
≤ϕ0(x个) ≤C类0和0<ϕ1(x个) ≤
C类1(1+|x个|)−(N个−1)2e（电子）|x个|
具有正常数C类我,我= 0, 1”.
结果表明，如果初始值为非负且紧支撑，则当1<第页<第页c（c）(N个).
在[7]，Hamidi和Laptev考虑了形式的半线性演化不等式
∂k个u个∂t吨k个−Δu个+λ|x个|2u个≥|u个|第页英寸(0,∞)×对N个,
(1.4)
哪里k个≥1（整数），N个≥3且λ≥ −
N个−222
结果表明，当初始值为非负时，如果
λ≥0和1<第页≤1+2秒∗+2k个
或
−N个−222≤λ<0和1<第页≤1+2−秒∗+2k个,
哪里秒*<秒*是多项式的根
秒2+(N个−2)秒−λ=0,
然后(1.4)不承认任何重要的全局弱解。
许多作者考虑了外区域半线性波动方程的爆破现象研究（参见[8,10,11,13,14,24,25]以及其中的参考文献）。特别是张[24]研究半线性波动方程
◻u个=|u个|第页英寸(0,∞)×Ω
(1.5)
在非均匀Neumann边界条件下
∂u个∂ν(t吨,x个)=w个(x个)上的(0,∞)×∂Ω,
(1.6)
哪里N个≥ 3,w个∈L（左）1(∂Ω),w个≥0，并且w个≢ 0. 也就是说，它表明(1.5)–(1.6)将实数作为临界指数第页*= 1 +
2N个−2
，即如果1<第页<第页*，然后(1.5)–(1.6)不承认全球薄弱解决方案，而如果第页>第页*，对于某些w个> 0. 随后，获得了相同的临界指数(1.5)在非均匀Dirichlet边界条件下[10]
u个(t吨,x个)=w个(x个)上的(0,∞)×∂Ω,
(1.7)
和罗宾边界条件[8]
∂u个∂ν(t吨,x个)+u个=w个(x个)上的(0,∞)×∂Ω.
(1.8)
为了扩大对本文主题的文献综述，我们回顾了Mohammed等人对解的放大进行的研究[17]，对于完全非线性一致椭圆方程。此外，我们还提到了Bahrouni等人最近的工作[1]，其中作者处理了一类与跨声速流动研究有关的双相变分泛函，并建立了有用的积分不等式。在一系列令人瞩目的论文中，Crstea和Rdulescu[2,三,4]重点研究了一类特殊的半线性椭圆方程（即logistic方程），并将非线性在无穷远处的非正则变化与解的放大率联系起来。他们还建立了相关问题在齐次Dirichlet、Neumann或Robin边界条件下的存在唯一性结果。
据我们所知，在以前的工作中没有考虑在外部区域中具有Hardy势的波不等式的临界行为的研究。在本文中，我们研究了(1.1)在非均匀边界条件下(1.2)也就是说，我们将证明存在一个临界指数第页c（c）(N个,λ)∈（1，∞），其中，当1<第页<第页c（c）(N个,λ)和б∂Ω w个(x个)dσ> 0,(1.1)–(1.2)没有全局弱解；什么时候第页>第页c（c）(N个,λ)，这个问题为一些人提供了全球解决方案w个> 0.
在展示我们的结果之前，让我们先谈谈解决方案的意义(1.1)–(1.2)已考虑。让
哦=(0,∞)×Ω和∂哦=(0,∞)×∂Ω.
我们引入测试函数空间
Φα,β=φ∈C类c（c）2(哦):φ≥0,∂φ∂ν|∂哦≤0 如果α=0,α∂φ∂ν+βφ|∂哦=0,
哪里
C类c（c）2
（𝓞）表示C类2𝓞中紧密支持的函数。请注意Ω关闭，并且∂𝓞𝓞𝓞。
定义1.1
函数u∈
L（左）我o个c（c）第页
(𝓞)是全球薄弱的解决方案 （1.1）–(1.2),如果
∫哦|u个|第页φd日x个d日t吨+L（左）φ(w个)≤∫哦u个◻φ+λ|x个|2φd日x个d日t吨,
(1.9)
对于所有φ∈Φα,β,哪里
L（左）φ(w个)=1α∫∂哦w个(x个)φd日σd日t吨我（f）α>0,−1β∫∂哦w个(x个)∂φ∂νd日σd日t吨我（f）α=0
现在，我们准备陈述我们的主要成果。我们分别讨论案例λ= −
N个−222
和λ> −
N个−222
。对于λ≥ −
N个−222
，让
λN个=N个−222+λ.
定理1.1
让N≥ 2,α,β≥ 0, (α,β) ≠ (0, 0)和λ= −
N个−222
.
如果为N= 2,w个∈L（左）1(∂ Ω)和
∫∂Ωw个(x个)d日σ>0,
那么对于所有p> 1,(1.1)–(1.2) 不承认全球薄弱的解决方案.
如果为N≥ 3,w个∈L（左）1(∂ Ω)和
∫∂Ωw个(x个)d日σ>0,
那么就全部
1<第页<1+4N个−2,
(1.1)–(1.2) 不承认全球薄弱的解决方案.
如果为N≥ 3和
第页>1+4N个−2,
然后 (1.1)–(1.2) 允许一些w的全局解（平稳解）> 0.
定理1.2
让N≥ 2,α,β≥0时(α,β) ≠ (0, 0)和λ> −
N个−222
.
如果w∈L（左）1(∂ Ω)和
∫∂Ωw个(x个)d日σ>0,
那么就全部
1<第页<1+4N个−2+2λN个,
(1.1)–(1.2) 不承认全球薄弱的解决方案.
如果
第页>1+4N个−2+2λN个,
然后 (1.1)–(1.2) 承认某些w的全局解（平稳解）> 0.
备注1.1
让
第页c（c）(N个,λ)=∞我（f）N个−2+2λN个=0,1+4N个−2+2λN个我（f）N个−2+2λN个>0
发件人定理1.1和1.2有人推断,
如果1个<第页<第页c（c）(N个,λ)和
∫∂Ωw个(x个)d日σ>0,
然后 (1.1)–(1.2) 没有全局弱解决方案;
如果p>第页c（c）(N个,λ),然后 (1.1)–(1.2) 承认某些w的全局解决方案> 0.
上述语句表明指数pc（c）(N个,λ)对于 (1.1)–(1.2).
注意，在λ的情况下= 0,一个有
第页c（c）(N个,0)=∞我（f）N个=2,1+2N个−2我（f）N个≥三,
这与半线性波动方程得到的临界指数相同 (1.5) 在非均匀Neumann边界条件下 (1.6)（请参见[24]),非齐次Dirichlet边界条件 （1.7）（请参见[10]),和非齐次Robin边界条件 (1.8)（请参见[8]).
备注1.2
发件人定理1.1和1.2，我们推断pc（c）(N个,λ)对于外部问题也至关重要
−Δu个+λ|x个|2u个≥|u个|第页我n个 Ω,α∂u个∂ν+βu个≥w个o个n个 ∂Ω.
(1.10)
即，如果1个<第页<第页c（c）(N个,λ)和
∫∂Ωw个(x个)d日σ>0,
然后 (1.10) 不允许弱解，而如果p>第页c（c）(N个,λ),然后 (1.10) 承认某些w的解决方案> 0.
备注1.3
此时，如果N− 2 + 2λN个> 0,我们不知道p=第页c（c）(N个,λ)是否属于不存在的情况。这个问题是公开的.
备注1.4
本文中，非齐次项w仅依赖于变量空间。研究 (1.1)–(1.2) 当w=w个(t吨,x个).
论文的其余部分组织如下。在第2节，我们建立了一些引理，并提供了一些估计，这些估计将用于我们主要结果的证明。第3节致力于证明定理1.1和1.2也就是说，我们首先证明了不存在的结果（第（i）和（ii）部分定理1.1和第（i）部分定理1.2)，接下来我们证明了存在性结果（第三部分定理1.1和第（ii）部分定理1.2).
2准备工作
对于λ≥ −
N个−222
，让Δλ是微分算子，定义为
Δλ:=Δ−λ|x个|2.
对于α,β≥0且(α,β)≠（0，0），我们引入函数小时α,β定义于Ω通过
小时α,β(x个)=小时α,β(1)(x个)如果λ=−N个−222,小时α,β(2)(x个)如果λ>−N个−222,
哪里
小时α,β(1)(x个)=|x个|2−N个2α+β+(N个−2)α2自然对数|x个|
和
小时α,β(2)(x个)=|x个|2−N个2+λN个β+N个−22+λN个α+2−N个2+λN个α−β|x个|−2λN个.
人们可以很容易地检查小时α,β是外部问题的非负解
−Δλ小时α,β=0英寸Ω,α∂小时α,β∂ν+β小时α,β=0上的∂Ω.
我们还需要引入两个截止函数。让η,ξ∈C类∞（ℝ）是这样的
η≥0,η≢0,支持(η)⊂(0,1)
和
0≤ξ≤1,ξ(秒)=1 如果|秒|≤1,ξ(秒)=0 如果|秒|≥2
对于0<T型<∞，让
小时T型(x个)=小时α,β(x个)ξ|x个|2T型2θℓ,x个∈Ω
和
ηT型(t吨)=ηt吨T型ℓ,t吨>0,
哪里ℓ≥2且θ>0是稍后选择的常数。
引理2.1
适用于所有≥2时，θ> 0,和足够大的T,函数
φT型(t吨,x个):=ηT型(t吨)小时T型(x个),(t吨,x个)∈哦
属于测试函数空间Φα,β.
证明
很容易看出φT型≥0，且足够大T型,φT型∈
C类c（c）2
（𝓞）。另一方面，对于1<|x个| < 1 +ϵ(ϵ>0足够小），一个有
∇小时T型(x个)=ξ|x个|2T型2θℓ∇小时α,β(x个)+2ℓT型−2θ|x个|小时α,β(x个)ξ|x个|2T型2θℓ−1∇ξ|x个|2T型2θ.
根据截止函数的定义ξ，自T型应该足够大
∇小时T型(x个)=∇小时α,β(x个),1<|x个|<1+ϵ.
类似地，一个人有
小时T型(x个)=小时α,β(x个)ξ|x个|2T型2θℓ=小时α,β(x个),1<|x个|<1+ϵ.
然后，因为小时α,β满足边界条件
α∂小时α,β∂ν+β小时α,β=0上的∂Ω,
有人推断
α∂φT型∂ν+βφT型|∂哦=η(t吨)α∂小时α,β∂ν+β小时α,β|∂Ω=0
接下来，我们采取α= 0. 如果λ= −
N个−222
，用于第页= |x个|，一个有
∂小时T型∂ν|∂Ω=∂小时α,β∂ν|∂Ω=−∂小时α,β(1)∂第页|第页=1=−β<0
(2.1)
如果λ> −
N个−222
，一个有
∂小时T型∂ν|∂Ω=∂小时α,β∂ν|∂Ω=−∂小时α,β(2)∂第页|第页=1=−2λN个β<0
(2.2)
因此，如果α=0，在这两种情况下，我们都有
∂小时T型∂ν|∂Ω<0,
其产量（自η≥0）
∂φT型∂ν|∂哦≤0,
并证明了引理。□
在本文中，C类表示正常数（独立于T型)其值可能会随行变化。
引理2.2
对于所有人0 <T型< ∞和▽≥ 2,我们有
∫0∞ηT型(t吨)d日t吨=C类T型.
证明
根据函数的定义ηT型，并使用截止函数的属性η，一个获得
∫0∞ηT型(t吨)d日t吨=∫0∞ηt吨T型ℓd日t吨=∫0T型ηt吨T型ℓd日t吨=T型∫01η(秒)ℓd日秒,
并证明了引理。□
引理2.3
让我来> 1.对于所有人0 <T型< ∞和▽≥
2米米−1
,我们有
∫0∞ηT型(t吨)−1米−1|ηT型″(t吨)|米米−1d日t吨≤C类T型1−2米米−1.
证明
很容易看出
|ηT型″(t吨)|≤C类T型−2ηt吨T型ℓ−2,0<t吨<T型.
因此，我们得到
∫0∞ηT型(t吨)−1米−1|ηT型″(t吨)|米米−1d日t吨=∫0T型ηT型(t吨)−1米−1|ηT型″(t吨)|米米−1d日t吨≤C类T型−2米米−1∫0T型ηT型(t吨)ℓ−2米米−1d日t吨=C类T型1−2米米−1∫01η(秒)ℓ−2米米−1d日秒,
从而得出所需的估计值。□
引理2.4
设λ= −
N个−222
.对于所有θ> 0,ℓ≥ 2,和足够大的T,我们有
∫Ω小时T型(x个)d日x个≤C类T型θ(N个+2)2自然对数T型.
证明
根据函数的定义小时T型（以及功能小时α,β)，以及截止函数的属性ξ，对于足够大的T型，一个有
∫Ω小时T型(x个)d日x个=∫Ω小时α,β(1)(x个)ξ|x个|2T型2θℓd日x个=∫|x个|>1|x个|2−N个2α+β+(N个−2)α2自然对数|x个|ξ|x个|2T型2θℓd日x个≤T型θ(N个+2)2∫T型−θ<|年|<2|年|2−N个2α+β+(N个−2)α2自然对数T型θ|年|d日年.
请注意
β+(N个−2)α2=0⟺β=0 和N个=2
所以，如果β=0和N个=2，1得
∫Ω小时T型(x个)d日x个≤αT型θ(N个+2)2∫T型−θ<|年|<2|年|2−N个2d日年≤αT型θ(N个+2)2∫0<|年|<2|年|2−N个2d日年≤C类T型θ(N个+2)2∫ρ=02ρN个2d日ρ,
也就是说，
∫Ω小时T型(x个)d日x个≤C类T型θ(N个+2)2.
(2.3)
如果β>0或N个≥3，即可获得β+
(N个−2)α2
>0和
∫Ω小时T型(x个)d日x个≤C类T型θ(N个+2)2自然对数T型∫T型−θ<|年|<2|年|2−N个2d日年≤C类T型θ(N个+2)2自然对数T型∫ρ=02ρN个2d日ρ,
也就是说，
∫Ω小时T型(x个)d日x个≤C类T型θ(N个+2)2自然对数T型.
(2.4)
因此，（2.3）和(2.4)生成所需的估计值。□
引理2.5
设λ> −
N个−222
.对于所有θ> 0,ℓ≥ 2,和足够大的T,我们有
∫Ω小时T型(x个)d日x个≤C类T型θN个+22+λN个.
证明
在这种情况下
小时α,β(x个)=小时α,β(2)(x个)=哦|x个|2−N个2+λN个, 作为|x个|→∞.
因此，对于足够大的T型，我们获得
∫Ω小时T型(x个)d日x个=∫|x个|>1小时α,β(2)(x个)ξ|x个|2T型2θℓd日x个=T型N个θ∫T型−θ<|年|<2小时α,β(2)(T型θ年)ξ(|年|2)ℓd日年≤C类T型θN个+22+λN个∫0<|年|<2|年|2−N个2+λN个d日年=C类T型θN个+22+λN个∫ρ=02ρN个2+λN个d日ρ,
从而得出所需的估计值。□
引理2.6
设λ= −
N个−222
和m> 1.对于所有θ> 0,ℓ≥
2米米−1
,和足够大的T,我们有
∫Ω小时T型(x个)−1米−1|Δλ小时T型|米米−1d日x个≤C类T型θN个+22−2米米−1自然对数T型.
证明
对于所有人x个∈Ω，一个有
−Δλ小时T型(x个)=−Δ+λ|x个|2小时α,β(1)(x个)ξ|x个|2T型2θℓ=−Δ小时α,β(1)ξ|x个|2T型2θℓ+λ|x个|2小时α,β(1)ξ|x个|2T型2θℓ=−ξ|x个|2T型2θℓΔ小时α,β(1)(x个)−小时α,β(1)Δξ|x个|2T型2θℓ−2∇小时α,β(1)⋅∇ξ|x个|2T型2θℓ+λ|x个|2小时α,β(1)(x个)ξ|x个|2T型2θℓ=−ξ|x个|2T型2θℓΔλ小时α,β(1)(x个)−小时α,β(1)(x个)Δξ|x个|2T型2θℓ−2∇小时α,β(1)(x个)⋅∇ξ|x个|2T型2θℓ,
其中“●”表示ℝ中的内积N个.自
Δλ小时α,β(1)=0,
它认为
−Δλ小时T型(x个)=−小时α,β(1)(x个)Δξ|x个|2T型2θℓ−2∇小时α,β(1)(x个)⋅∇ξ|x个|2T型2θℓ,
这就产生了
|Δλ小时T型(x个)|米米−1≤小时α,β(1)(x个)Δξ|x个|2T型2θℓ+2|∇小时α,β(1)(x个)|∇ξ|x个|2T型2θℓ米米−1≤C类小时α,β(1)(x个)米米−1Δξ|x个|2T型2θℓ米米−1+|∇小时α,β(1)(x个)|米米−1∇ξ|x个|2T型2θℓ米米−1
和
小时T型(x个)−1米−1|Δλ小时T型(x个)|米米−1≤C类小时α,β(1)(x个)ξ|x个|2T型2θ−ℓ米−1Δξ|x个|2T型2θℓ米米−1+C类小时α,β(1)(x个)−1米−1|∇小时α,β(1)(x个)|米米−1ξ|x个|2T型2θ−ℓ米−1∇ξ|x个|2T型2θℓ米米−1.
因此，它认为
∫Ω小时T型(x个)−1米−1|Δλ小时T型(x个)|米米−1d日x个≤C类我1(T型)+我2(T型),
(2.5)
哪里
我1(T型)=∫Ω小时α,β(1)(x个)ξ|x个|2T型2θ−ℓ米−1Δξ|x个|2T型2θℓ米米−1d日x个
和
我2(T型)=∫Ω小时α,β(1)(x个)−1米−1|∇小时α,β(1)(x个)|米米−1ξ|x个|2T型2θ−ℓ米−1∇ξ|x个|2T型2θℓ米米−1d日x个.
现在，让我们估计一下我我(T型),我= 1, 2. 使用截止函数的特性ξ，对于足够大的T型，一个有
我1(T型)=∫T型θ<|x个|<2T型θ小时α,β(1)(x个)ξ|x个|2T型2θ−ℓ米−1Δξ|x个|2T型2θℓ米米−1d日x个=T型θN个−2米米−1∫1<|年|<2小时α,β(1)(T型θ年)ξ(|年|2)−ℓ米−1|Δξ(|年|2)ℓ|米米−1d日年.
另一方面，很容易看出，对于1<|年| <
2
，一个有
|Δξ(|年|2)ℓ|≤C类ξ(|年|2)ℓ−2.
因此，它认为
我1(T型)≤C类T型θN个−2米米−1∫1<|年|<2小时α,β(1)(T型θ年)ξ(|年|2)ℓ−2米米−1d日年≤C类T型θN个−2米米−1∫1<|年|<2小时α,β(1)(T型θ年)d日年.
(2.6)
根据函数的定义
小时α,β(1),
一个有
小时α,β(1)(T型θ年)=T型θ(2−N个)2|年|2−N个2α+β+(N个−2)α2自然对数T型θ|年|,1<|年|<2.
请注意
β+(N个−2)α2=0⟺β=0 和N个=2
因此，如果β=0和N个=2，1得
∫1<|年|<2小时α,β(1)(T型θ年)d日年=αT型θ(2−N个)2∫1<|年|<2|年|2−N个2d日年=C类T型θ(2−N个)2.
如果β>0或N个≥3，对于足够大的T型，一个获得
∫1<|年|<2小时α,β(1)(T型θ年)d日年=C类T型θ(2−N个)2自然对数T型∫1<|年|<2|年|2−N个2d日年=C类T型θ(2−N个)2自然对数T型.
因此，在这两种情况下(2.6)，对于足够大的T型有人推断
我1(T型)≤C类T型θN个+22−2米米−1自然对数T型.
(2.7)
下一个是
我2(T型)=∫T型θ<|x个|<2T型θ小时α,β(1)(x个)−1米−1|∇小时α,β(1)(x个)|米米−1ξ|x个|2T型2θ−ℓ米−1∇ξ|x个|2T型2θℓ米米−1d日x个=T型θN个−米米−1∫1<|年|<2小时α,β(1)(T型θ年)−1米−1|∇小时α,β(1)(T型θ年)|米米−1ξ(|年|2)−ℓ米−1|∇ξ(|年|2)ℓ|米米−1d日年.
很容易看出，对于1<|年| <
2
，一个有
|∇ξ(|年|2)ℓ|≤C类ξ(|年|2)ℓ−1.
因此，它认为
我2(T型)≤C类T型θN个−米米−1∫1<|年|<2小时α,β(1)(T型θ年)−1米−1|∇小时α,β(1)(T型θ年)|米米−1ξ(|年|2)ℓ−米米−1d日年≤C类T型θN个−米米−1∫1<|年|<2小时α,β(1)(T型θ年)−1米−1|∇小时α,β(1)(T型θ年)|米米−1d日年.
(2.8)
初步计算表明，对于足够大的T型和1<|年| <
2
，我们得到
小时α,β(1)(T型θ年)−1米−1|∇小时α,β(1)(T型θ年)|米米−1≤C类T型−θN个2+1米−1如果N个=2 和β=0
和
小时α,β(1)(T型θ年)−1米−1|Ş小时α,β(1)(T型θ年)|米米−1≤C类T型−θN个2+1米−1自然对数T型如果N个≥三 或β>0
因此，在这两种情况下，对于足够大的T型，一个有
小时α,β(1)(T型θ年)−1米−1|∇小时α,β(1)(T型θ年)|米米−1≤C类T型−θN个2+1米−1自然对数T型,1<|年|<2.
然后，通过(2.8)，一个获得
我2(T型)≤C类T型θN个+22−2米米−1自然对数T型.
(2.9)
最后，(2.5),(2.7)和(2.9)生成所需的估计值。□
引理2.7
设λ> −
N个−222
和m> 1.对于所有θ> 0,ℓ≥
2米米−1
,和足够大的T,我们有
∫Ω小时T型(x个)−1米−1|Δλ小时T型|米米−1d日x个≤C类T型θλN个+N个+22−2米米−1.
证明
根据以下证明引理2.6，对于足够大的T型，一个有
∫Ω小时T型(x个)−1米−1|Δλ小时T型|米米−1d日x个≤C类J型1(T型)+J型2(T型),
(2.10)
哪里
J型1(T型)≤C类T型θN个−2米米−1∫1<|年|<2小时α,β(2)(T型θ年)d日年
(2.11)
和
J型2(T型)≤C类T型θN个−米米−1∫1<|年|<2小时α,β(2)(T型θ年)−1米−1|∇小时α,β(2)(T型θ年)|米米−1d日年.
(2.12)
初步计算表明，对于足够大的T型和1<|年| <
2
，一个有
小时α,β(2)(T型θ年)≤C类T型θ2−N个2+λN个
(2.13)
和
小时α,β(2)(T型θ年)−1米−1|∇小时α,β(2)(T型θ年)|米米−1≤C类T型θλN个−N个2−1米−1.
(2.14)
因此，(2.10),(2.11),(2.12),(2.13)和(2.14)生成所需的估计值。□
