1引言
让Ω是ℝ的开放子集n个.我们考虑以下分数Geľfand方程
(负极Δ)秒u个=e（电子）u个英寸Ω⊂R（右）n个,n个≥1,
（1.1）
哪里秒∈（0，1），并且u个满足
e（电子）u个∈L（左）我o个c（c）1(Ω)一n个d日u个∈L（左）秒(R（右）n个).
这里是空间L（左）秒(ℝn个)由定义
L（左）秒(R（右）n个):=u个∈L（左）我o个c（c）1:∥u个∥L（左）秒(R（右）n个)<∞,∥u个∥L（左）秒(R（右）n个):=∫R（右）n个|u个(x个)|1+|x个|n个+2秒d日x个<∞.
非本地操作员（−δ)秒由定义
(负极Δ)秒φ(x个)=c（c）n个,秒P.V.公司。∫R（右）n个φ(x个)负极φ(年)|x个负极年|n个+2秒d日年,
具有
c（c）n个,秒:=22秒负极1πn个/2Γ(n个+2秒2)|Γ(负极秒)|
是一个归一化常数。
我们对解的正则性这一经典问题感兴趣（1.1）.更准确地说，我们旨在研究（1.1）。弱解的意思是u个满足（1.1）在分配的意义上，也就是
∫R（右）n个u个(负极Δ)秒ϕd日x个=∫Ωe（电子）u个ϕd日x个,∀ϕ∈C类c（c）∞(Ω).
我们记得一个解决方案u个到（1.1）称为稳定弱解，如果u个∈Ḣ秒(Ω)和
c（c）n个,秒2∫R（右）n个∫R（右）n个(ϕ(x个)负极ϕ(年))2|x个负极年|n个+2秒d日x个d日年≥∫R（右）n个e（电子）u个ϕ2d日x个,∀ϕ∈C类c（c）∞(Ω),
(1.2)
其中功能空间Ḣ秒(Ω)由定义
H（H）˙秒(Ω):=u个∈L（左）我o个c（c）2(Ω)∣∫Ω∫Ω|u个(x个)负极u个(年)|2|x个负极年|n个+2秒d日x个d日年<+∞.
对于等式（1.1）在整个空间ℝn个近几十年来，关于稳定解和有限Morse指数解分类的研究引起了人们的广泛关注。在经典情况下，这是秒=1，法里纳[11]和舞者-法里纳[三]确定不存在稳定的解决方案（1.1）对于2≤n个≤9且不存在（1.1）对于3≤n个≤ 9. 等式的对应问题（1.1）在有界域中分析极值解。首先让我们回顾一下极值解的定义。给定一个有界光滑域Ω⊂ ℝn个，考虑以下问题
Δu个+λ（f）(u个)=0我n个Ω,u个=0o个n个∂Ω,
(1.3)
哪里（f）：ℝ→为C类1、非负、非衰减和无穷远超线性。然后存在一个常数λ*>0，以便每个λ∈ [0,λ*)存在最小经典解u个λ(x个)，以及λ>λ*不存在解决方案，即使是在微弱的意义上[9，建议3.3.1]。家庭(u个λ)0<λ<λ*相对于参数单调递增λ和逐点极限u个λ*：=极限λ↑λ*u个λ是一个弱稳定的解决方案(1.3).解决方案u个λ*称为极值解。什么时候？（f）(u个)是指数非线性，证明了如果维数n个≤9，极值解总是光滑的，参见[9，定理4.2.1]。对于更一般的非线性（f）(u个)最近，Cabré等人[2]证明了当n个≤ 9. 尺寸限制n个<10在以下意义上是尖锐的：n个≥10，例如u个(x个)=log2(n个−2）−2日志x个提供了一种不规则的弱稳定溶液。
由于维中存在奇异稳定的弱解n个≥10，一个自然的问题是理解n个≥ 10. 在指数非线性的经典情况下，Wang研究了部分正则性结果[21,22]，并且他证明了弱稳定解的奇异集的Hausdorff维数至多为n个− 10. In维度n个=3，大理[5]结果表明，平稳解的奇异集维数最多可达1。我们建议读者参考[7,10]关于Liouville系统的极值解的结果[4]关于双调和Liouville方程的稳定解。
我们还要提到Lane-Emden方程解的部分正则性，即非线性由下式给出（f）(u个) =u个第页，已经在各种环境下进行了研究，例如，估计稳定解和稳定解的奇异集，参见[6,9,16,17,20].
在非本地案例中，Duong-Nguyen[8]研究了稳定解并证明了方程。（1.1）没有常规稳定的解决方案n个< 10秒之后，本文作者给出了以下最优条件n个,秒
n个≤2秒,或n个>2秒 和Γ(n个2)Γ(1+秒)Γ(n个负极2秒2)>Γ2(n个+2秒4)Γ2(n个负极2秒4),
（1.4）
其中方程式。（1.1）在整个空间中没有稳定的解n个，请参阅[14]. 此外，作者还表明，无论何时，弱稳定解都是光滑的n个< 10秒对于极值解的情况，Ros-Oton-Serra[18]证明了极值解是正则的n个< 10秒在随后的一篇论文中，在域的某些对称假设下，Ros-Oton[19]证明了极值解（指数非线性情况下）到最优维数的正则性，即，n个和秒满足(1.4)他的论点基于这样一个事实，即由于域上的对称假设，极值解最多可以有一个奇点。对于非局部系统极值解正则性的最新发展，我们参考[12]以及其中的参考文献。
定义1.1
A分x个0∈Ω被称为解的奇点u个到（1.1）如果u个在以下任何一个小区域都没有边界x个0.奇异集𝓢是所有奇异点的集合。
根据上述定义，奇异集𝓢是封闭的Ω此外，根据标准正则性理论可以得出u个在中是常规的Ω∖𝓢。
我们的主要结果如下：
定理1.1
让 u个 是的稳定弱解 （1.1）.那么奇异集的Hausdorff维数𝓢最多是 n个− 10秒.
尺寸估算n个−10秒在极限内是最优的秒↑ 1，因为存在奇异的弱稳定解秒=1。然而，由于Ros-Oton的规律性结果[19]对于极值解，人们预计奇异集的Hausdorff维数最多为n个负极n个*(秒)，其中n个*(秒) > 10秒由中的第二个条件隐式定义(1.4)平等对待。这仍然是一个悬而未决的问题。
为了证明定理1.1我们遵循王的方法[21,22]对于经典情况。更准确地说，王考虑了能量
F类(u个,x个0,第页):=第页2负极n个∫B类第页(x个0)e（电子）u个d日x个.
(1.5)
然后他表明存在ε0>0（独立于u个,x个0,第页)如果𝓕(u个,x个0,第页) ≤ε0然后u个经常出现在x个0这一点，以及e（电子）u个在中
L（左）我o个c（c）第页
对于每个第页<5，这要归功于Farina的估计[11]，意味着奇异集的Hausdorff维数最多为n个− 10.
与上述能量相反(1.5)，在我们的情况下，我们将考虑以下涉及内部和边界量的能量
E类(u个,x个0,第页):=第页2秒负极n个∫B类第页(x个0)e（电子）u个d日x个+第页4秒负极n个负极2∫B类第页n个+1(x个0)∩R（右）+n个+1t吨1负极2秒e（电子）u个¯d日x个d日t吨,
哪里u个Caffarelli-Silvestre是u个在里面
R（右）+n个+1
即。，
u个¯(X（X）)=∫R（右）n个P（P）(X（X）,年)u个(年)d日年,X（X）=(x个,t吨)∈R（右）n个×(0,+∞),
哪里
P（P）(X（X）,年)=d日n个,秒t吨2秒|(x个负极年,t吨)|n个+2秒,
和d日n个,秒>0是一个规范化常数，因此∫ℝn个P（P）(X（X）,年)迪=1，参见[1]. 功能u个满足
d日我v（v）(t吨1负极2秒∇u个¯)=0我n个R（右）+n个+1,负极林t吨→0t吨1负极2秒∂t吨u个¯=κ秒(负极Δ)秒u个=κ秒e（电子）u个,我n个Ω,
哪里
κ秒=Γ(1负极秒)22秒负极1Γ(秒).
与经典情形一样，非局部情形的Farina型估计也意味着如果u个那么是一个稳定的弱解e（电子）u个∈
L（左）我o个c（c）第页
对于每个第页<5，参见引理2.1.由于这种可积性限制，我们得到了维数估计n个−10秒在里面定理1.1。让我们在此强调，稳定性条件将仅用于获得Farina型估计引理2.1并得到空间中的一致边界L（左）秒(ℝn个)对于中的重标度解族引理2.3.
值得注意的是，能量𝓔中的每一项(u个,x个0,第页)以适当的方式控制另一个。更准确地说，由于稳定性假设，第二项控制L（左）2的规范e（电子）u个，请参阅(2.2)而根据Jensen不等式，第二项由第一项控制，参见引理3.1这种相互作用在证明能量衰减估计值方面非常关键（参见提案3.4和引理3.5精确陈述），即如果𝓔(u个,x个0,第页) ≤ε0对于一些足够小的ε0>0则存在θ∈（0，1），这样𝓔(u个,x个0,θr) ≤
12
𝓔(u个,x个0,第页).
我们注意到，如果我们只考虑𝓔中的两个术语中的一个，能量估计似乎不起作用(u个,x个0,第页). 例如，一方面，如果我们只考虑第一项（如局部情况），那么对于非负分数次谐波函数，我们就缺乏Harnack型不等式。然而，在分数形式的情况下，我们有一个涉及扩张函数的Harnack型不等式，参见引理3.3这建议在能量定义中考虑第二项。另一方面，如果我们只考虑能量中的第二项，那么L（左）1的规范v（v）（定义见ℝef{def-barv}）
E类
因为事实上ε当我们使用Hölder不等式时，这是不够好的（比较(3.5)和(3.7))为了证明中的能量衰减估计提案3.4.
文章结构如下：第2部分我们列出了一些初步结果，包括我们之前工作中的结论[14]以及将在当前文章中使用的一些已知结果。在第3节，我们证明定理1.1.
符号
表示中的点
R（右）+n个+1
= ℝn个×[0，∞）和ℝn个=∂
R（右）+n个+1
.
球的中心在x个带半径第页英寸n个,B类第页:=B类第页(0).
球的中心在x个带半径第页在里面
R（右）n个+1,B类第页n个+1:=B类第页n个+1(0).
十字路口
B类第页n个+1
(x个)和
R（右）+n个+1
即。，
B类第页n个+1(x个)∩R（右）+n个+1,D类第页:=D类第页(0).
表示的非负部分u个即。，u个+=最大值(u个, 0).
2初步结果
在本节中，我们将介绍几个结果，这些结果将在下一节中使用。首先，我们扩展了分数设置下的稳定性条件。请注意u个定义为u个∈L（左）秒(ℝn个). 此外，
t吨1负极2秒2∇u个¯∈L（左）我o个c（c）2(Ω×[0,∞))
无论何时u个∈Ḣ秒(Ω). 我们回忆起[14]稳定性条件（1.2）可以推广到扩展函数u个.准确地说，如果u个在中稳定Ω然后
∫R（右）+n个+1t吨1负极2秒|∇Φ|2d日x个d日t吨≥κ秒∫R（右）n个e（电子）u个ϕ2d日x个,
(2.1)
对于每个
Φ∈C类c（c）∞(R（右）+n个+1¯)
令人满意的
ϕ(⋅):=Φ(⋅,0)∈C类c（c）∞(Ω).
以下Farina类型估计已在[14，引理3.4]：
引理2.1
([14]).让 u个∈Ḣ秒(Ω)是一个弱稳定的解决方案 （1.1）.给定一个函数 Φ 符合形式 Φ(x个,t吨) =ϕ(x个)η(t吨)对一些人来说 ϕ∈
C类c（c）∞
(Ω)和 η= 1在原产地附近,对于每个 α∈ (0, 2)我们有
(2负极α)κ秒∫R（右）n个e（电子）(1+2α)u个ϕ2d日x个≤2∫R（右）+n个+1t吨1负极2秒e（电子）2αu个¯|∇Φ|2d日x个d日t吨负极12∫R（右）+n个+1e（电子）2αu个¯∇⋅[t吨1负极2秒ŞΦ2]d日x个d日t吨.
(2.2)
尽管以下关于Morrey空间的正则性结果是众所周知的，但为了方便起见，我们给出了一个证明。我们记得一个函数（f）在莫里的空间里M（M）第页(Ω)如果（f）∈L（左）1(Ω)，它满足了
∫Ω∩B类第页(x个0)|（f）|d日x个≤C类第页n个(1负极1第页)对于每个B类第页(x个0)⊂R（右）n个.
规范‖（f）∥M（M）第页(Ω)定义为常数的下确界C类>上述不等式成立的0。
引理2.2
让
（f）∈M（M）n个2秒负极δ(B类三)
对一些人来说 δ> 0.我们设置了
R（右）秒（f）(x个):=∫B类11|x个负极年|n个负极2秒|（f）(年)|d日年.
那么我们有
∥R（右）秒（f）∥L（左）∞(B类1)≤C类(n个,秒,δ)∥（f）∥M（M）n个2秒负极δ(B类三).
证明
我们设置了
F类(第页)=∫B类第页(x个)|（f）(年)|d日年.
然后
R（右）秒（f）(x个)≤∫B类21|年|n个负极2秒|（f）(x个负极年)|d日年=∫02ρ2秒负极n个F类′(ρ)d日ρ,x个∈B类1,
（2.3）
哪里ρ= ∣年∣. 我们可以从（2.3）以及通过以下部分进行集成
|R（右）秒（f）|≤∫02ρ2秒负极n个F类′(ρ)d日ρ=22秒负极n个F类(2)+(n个负极2秒)∫02ρ2秒负极n个负极1F类(ρ)d日ρ≤∥（f）∥M（M）n个2秒负极δ(B类三)22秒负极n个2n个+δ负极2秒+(n个负极2秒)∥（f）∥M（M）n个2秒负极δ(B类2)∫02ρδ负极1d日ρ≤C类∥（f）∥M（M）n个2秒负极δ(B类三).
这样我们就完成了证明。□
对于任何x个0∈B类1，我们设置
u个λ(x个):=u个(x个0+λx个)+2秒日志λ.
（2.4）
以下引理对于证明引理3.5.
引理2.3
让 u个 是一个稳定的解决方案 （1.1） 具有 Ω=B类1.让 u个λ 定义如下 （2.4） 对一些人来说∣x个0∣ < 1和
0<λ<(1负极|x个0|)1+n个2秒.
然后
∥u个+λ∥L（左）秒(R（右）n个)≤C类(1+∥u个+∥L（左）秒(R（右）n个)),
对一些人来说 C类> 0独立于 u个.
证明
很容易看出这一点u个λ是一个稳定的解决方案（1.1）在B类R（右）具有
R（右）:=1λ(1负极|x个0|).
因此，通过(2.1)
∫B类ρe（电子）u个λd日x个≤C类ρn个负极2秒的0<ρ≤R（右）2.
这意味着
∫B类R（右）/2u个+λ(x个)1+|x个|n个+2秒d日x个≤∫B类R（右）/2e（电子）u个λ(x个)1+|x个|n个+2秒d日x个≤C类.
作为λ<1我们得到
u个+λ(x个)<u个+(x个0+λx个).
因此，更改变量x个0+λ x个↦年我们获得
∫B类R（右）/2c（c）u个+λ(x个)1+|x个|n个+2秒d日x个≤λ负极n个∫{|年|≤2}∩{|x个0负极年|≥12R（右）λ}+∫|年|>2u个+(年)1+|x个0负极年|λn个+2秒d日年≤C类λn个R（右）n个+2秒∫|年|≤2u个+(年)d日年+C类λ2秒∫|年|>2u个+(年)|年|n个+2秒d日年≤C类∥u个+∥L（左）秒(R（右）n个).
我们得出引理的结论。□
我们从以下优化版本开始[14，引理3.3]：
引理3.1
让 e（电子）αu∈L（左）1(B类1).然后 t吨1−2秒e（电子）αu个∈
L（左）我o个c（c）1
(B类1× [0, ∞)).此外,
存在 δ=δ(n个,秒)>0和 C类=C类(n个,秒,∥u个+∥L（左）秒(ℝn个)) > 0这样的话
∥t吨1负极2秒e（电子）αu个¯∥L（左）1(D类1/2)≤C类∥e（电子）αu个∥L（左）1(B类1)+∥e（电子）αu个∥L（左）1(B类1)δ,
对于每个 δ0> 0小的存在 第页0=第页0(n个,秒,δ0) > 0小到这样
∫0第页0∫B类1/2t吨1负极2秒e（电子）αu个¯d日x个d日t吨≤C类∥e（电子）αu个∥L（左）1(B类1)+∥e（电子）αu个∥L（左）1(B类1)1负极δ0.
证明
对于X（X）= (x个,t吨) ∈D类1/2我们有
u个¯(x个,t吨)≤C类∥u个+∥L（左）秒(R（右）n个)+∫B类1u个(年)P（P）(X（X）,年)d日年=C类+∫B类1克(x个,t吨)u个(年)P（P）(X（X）,年)克(x个,t吨)d日年,
哪里
1>克(x个,t吨):=∫B类1P（P）(X（X）,年)d日年≥δ,
(3.1)
对于某些正常数δ取决于n个和秒只有。最后一个不等式很容易从
林t吨↓0∫B类1P（P）(X（X）,年)d日年=1
因此，根据Jensen不等式
∫B类1/2e（电子）αu个¯(x个,t吨)d日x个≤C类∫B类1/2∫B类1e（电子）α克(x个,t吨)u个(年)P（P）(X（X）,年)d日年d日x个≤C类∫B类1最大值e（电子）αu个(年),e（电子）αδu个(年)∫B类1/2P（P）(X（X）,年)d日x个d日年≤C类∫B类1e（电子）δαu个(年)+∫B类1e（电子）αu个(年)d日年≤C类∥e（电子）αu个∥L（左）1(B类1)+∥e（电子）αu个∥L（左）1(B类1)δ,
其中最后一个不等式来自Hölder不等式。将上述不等式与t吨关于区间
[0,12]
我们获得我).
为了证明ii（ii）)，我们注意到对于给定的δ0>0小号我们可以选择第页0>0足够小，使得(3.1)与保持δ= 1−δ0对于每个x个∈B类1/2和0<t吨≤第页0.然后ii（ii）)以类似的方式跟进。□
直至域的平移和扩张Ω，我们可以简单地假设B类1⊂Ω。对于固定0<第页<1我们分解
u个¯=v（v）¯+w个¯,
哪里
v（v）¯(x个,t吨):=C类(n个,秒)∫B类第页1(|x个负极年|2+t吨2)n个负极2秒2e（电子）u个(年)d日年,x个∈R（右）n个,
(3.2)
哪里C类(n个,秒)>0是一个尺寸常数，因此
负极极限t吨→0t吨1负极2秒∂t吨v（v）¯=κ秒e（电子）u个上的B类第页.
然后w个满足
d日我v（v）(t吨1负极2秒∇w个¯)=0在里面R（右）+n个+1,林t吨→0t吨1负极2秒∂t吨w个¯=0在里面B类第页.
(3.3)
请注意w个一直延伸到边界B类第页.
现在我们证明了函数的一些基本性质v（v）和w个.
引理3.2
设置 v（v）:=v（v）(x个, 0)我们有
∥t吨1负极2秒2v（v）¯∥L（左）2(D类第页)+∥v（v）∥L（左）2(B类第页)≤C类∥e（电子）u个∥L（左）1(B类第页)γ∥e（电子）u个∥L（左）2(B类第页)1负极γ,0<第页≤1,
对一些人来说 γ∈ (0, 1)和 C类> 0独立于 u个.
证明
功能v（v）可以写成卷积，事实上，
v（v）χB类第页≤(ΓχB类2第页)∗(e（电子）u个χB类第页),Γ(x个):=C类(n个,秒)|x个|n个负极2秒,
哪里χA类表示集合的特征函数A类一方面，通过Young不等式，我们得到
∥v（v）∥L（左）第页(B类第页)≤∥Γ∥L（左）q个(B类2第页)∥e（电子）u个∥L（左）2(B类第页),
(3.4)
哪里第页,q个验证以下条件
1+1第页=1q个+12,1<q个<n个n个负极2秒.
另一方面，很容易看出
∥v（v）∥L（左）1(B类第页)≤∥Γ∥L（左）1(B类2第页)∥e（电子）u个∥L（左）1(B类第页).
(3.5)
因此，加上插值不等式
∥v（v）∥L（左）2(B类第页)≤∥v（v）∥L（左）1(B类第页)γ∥v（v）∥L（左）第页(B类第页)1负极γ,
具有γ,第页令人满意的
12=γ+1负极γ第页,0<γ<1,
我们获得
∥v（v）∥L（左）2(B类第页)≤C类∥e（电子）u个∥L（左）1(B类第页)γ∥e（电子）u个∥L（左）2(B类第页)1负极γ,∀第页∈(0,1].
我们在这里选择第页略大于2英寸(3.4)，并利用L（左）q个和L（左）1的规范Γ一致限定在B类第页如果第页保持有界。引理如下v（v）(x个,t吨) ≤v（v）(x个).□
引理3.3
设置 w个=w个(x个0, 0)我们每个人都有0 <ρ<R（右）:= (第页− ∣x个0∣)
c（c）秒e（电子）w个(x个0)≤ρ2秒负极n个负极2∫D类ρ(x个0)t吨1负极2秒e（电子）w个¯d日x个d日t吨≤R（右）2秒负极n个负极2∫D类R（右）(x个0)t吨1负极2秒e（电子）u个¯d日x个d日t吨,x个0∈B类第页,
哪里
c（c）秒=∫D类1t吨1负极2秒d日x个d日t吨.
证明
我们只证明了引理x个0= 0. 发件人(3.3)我们有这个
d日我v（v）(t吨1负极2秒Şe（电子）w个¯)=t吨1负极2秒e（电子）w个¯|∇w个¯|2≥0英寸R（右）+n个+1,林t吨→0t吨1负极2秒∂t吨e（电子）w个¯=0英寸B类第页.
因此，对于0<ρ<第页
0≤∫D类ρd日我v（v）(t吨1负极2秒∇e（电子）w个¯(x个,t吨))d日x个d日t吨=∫∂D类ρ∖B类ρt吨1负极2秒∂νe（电子）w个¯(x个,t吨)d日σ(X（X）)=ρn个+1负极2秒∂ρ∫∂D类1∖B类1t吨1负极2秒e（电子）w个¯(ρx个,ρt吨)d日σ.
这意味着ρ2秒负极n个−1 ∫∂D类ρ∖B类ρ t吨1−2秒e（电子）w个d日σ单调性相对于ρ.因此，我们有ρ2秒负极n个−2∫D类ρ t吨1−2个秒e（电子）w个dxdt公司在中增加ρ因此，使用w个<u个和w个一直延伸到边界B类第页其中，前一个结论来自以下事实v（v）>0，我们得到
c（c）秒e（电子）w个¯(0)≤ρ2秒负极n个负极2∫D类ρt吨1负极2秒e（电子）w个¯d日x个d日t吨≤ρ2秒负极n个负极2∫D类ρt吨1负极2秒e（电子）u个¯d日x个d日t吨.
它完成了证明。□
我们现在证明了对𝓔的以下能量衰减估计(u个,x个0,第页). 为了简单起见，我们写了𝓔(u个,x个0,第页)作者：𝓔(x个0,第页)，并考虑x个0=0和第页在以下命题中=1。
提案3.4
让 u个 是一个稳定的解决方案 （1.1） 具有 Ω=B类1 对一些人来说 u个∈L（左）秒(ℝn个).然后就有了 ε0∈ (0, 1)和 θ∈ (0, 1)仅取决于 n个,秒 和∥u个+∥L（左）秒(ℝn个) 如果
ε:=E类(0,1)=∫B类1e（电子）u个d日x个+∫D类1t吨1负极2秒e（电子）u个¯d日x个d日t吨≤ε0
然后
E类(0,θ)≤12E类(0,1).
证明
它源自(2.2)那个
∫B类1/2e（电子）2u个d日x个≤C类∫D类1t吨1负极2秒e（电子）u个¯d日x个d日t吨≤C类ε.
（3.6）
然后写u个=v（v）+w个，其中v（v）由提供(3.2)具有第页=
12
，我们从引理3.2那个
∥v（v）∥L（左）2(B类1/2)+∥t吨1负极2秒2v（v）¯∥L（左）2(D类1/2)≤C类ε1+γ2.
(3.7)
我们将对合适的𝓔（0，r）进行估计第页.使用引理3.1人们可以找到第页1=第页1(n个,秒,γ) ∈ (0,
12
)这样，对于每0<第页≤第页1
∫D类第页t吨1负极2秒e（电子）2u个¯(x个,t吨)d日x个d日t吨≤C类ε1负极γ2,
哪里C类>0取决于n个,秒和‖u个+∥L（左）秒(ℝn个).连同（3.6）,(3.7)和Hölder不等式
∫B类第页v（v）e（电子）u个d日x个+∫D类第页t吨1负极2秒v（v）¯e（电子）u个¯d日x个d日t吨≤C类ε1+γ4.
这反过来意味着
第页4秒负极n个负极2∫D类第页∩{v（v）¯≥1}t吨1负极2秒e（电子）u个¯d日x个d日t吨≤C类第页4秒负极n个负极2ε1+γ4.
此外，通过引理3.3
第页4秒负极n个负极2∫D类第页∩{v（v）¯≤1}t吨1负极2秒e（电子）u个¯d日x个d日t吨≤C类第页4秒负极n个负极2∫D类第页t吨1负极2秒e（电子）w个¯d日x个d日t吨≤C类第页2秒ε.
将上述两种估计结合起来
第页4秒负极n个负极2∫D类第页t吨1负极2秒e（电子）u个¯d日x个d日t吨≤C类(第页2秒ε+第页4秒负极n个负极2ε1+γ4).
以类似的方式，通过引理3.3我们还可以获得，
第页2秒负极n个∫B类第页e（电子）u个d日x个≤C类第页2秒负极n个∫B类第页∩{v（v）≤1}e（电子）w个d日x个+第页2秒负极n个∫B类第页∩{v（v）≥1}v（v）e（电子）u个d日x个≤C类第页2秒负极n个第页n个∫D类1t吨1负极2秒e（电子）u个¯d日x个d日t吨+C类第页2秒负极n个ε1+γ4≤C类(第页2秒ε+第页2秒负极n个ε1+γ4).
因此，对于0<第页≤第页1,
E类(0,第页)≤C类(第页2秒ε+第页4秒负极n个负极2ε1+γ4),
对一些人来说C类=C类(n个,秒,∥u个+∥L（左）秒(ℝn个))>0，我们使用秒<1和第页1≤
12
.
最后，我们首先选择θ>0足够小，因此
C类θ2秒=14,
然后选择ε0>0小，这样
C类θ4秒负极n个负极2ε0γ4=14.
然后针对ε≤ε0我们获得
E类(0,θ)≤12ε=12E类(0,1).
因此，我们完成了证明。□
尽管以下引理的证明是相当标准的，这要归功于提案3.4和引理2.3为了完整起见，我们给出了证明的草图。
引理3.5
让 u个∈L（左）秒(ℝn个)是一个稳定的解决方案 （1.1） 具有 Ω=B类1.然后就有了 ε̂0> 0仅取决于 n个,秒 和∥u个+∥L（左）秒（ℝn个) 如果
0<E类(u个,0,1)≤ε^0,
然后 u个 在中连续 B类1/6.
证明
对于
x个0∈B类12 和0<λ≤λ0:=2负极2负极n个2秒
我们设置了
u个λ(x个)=u个(x个0+λx个)+2秒日志λ.
然后由引理2.3我们看到了
∥u个+λ∥L（左）秒(R（右）n个)≤C类1对于每个x个0∈B类12,0<λ≤λ0,
对一些人来说C类1>0独立于
x个0∈B类12
和0<λ≤λ0因此，由提案3.4，我们可以找到ε0>0和θ∈（0，1）（仅取决于n个,秒和C类1)这样的话
E类(u个λ,0,1)≤ε0⇒E类(u个λ,0,θ)≤12E类(u个λ,0,1).
(3.8)
根据能量的定义
E类(u个λ,0,1)=E类(u个,x个0,λ),E类(u个,x个0,λ0)≤C类(λ0)E类(u个,0,1).
因此，如果我们选择
0<ε^0<ε0C类(λ0),
然后从(3.8)我们得到
E类(u个,x个0,λ0θ)=E类(u个λ0,0,θ)≤12E类(u个λ0,0,1)=12E类(u个,x个0,λ0)≤12ε0.
通过迭代论证，我们得到
E类(u个,x个0,λ0θk个)≤12k个E类(u个,x个0,λ0)≤ε02k个,k个=1,2,三,….
特别是，设置
α:=负极日志2日志θ>0
我们得到
E类(u个,x个0,第页)≤C类第页αE类(u个,0,1)每x个0∈B类12和0<第页≤14,
它给出了
∫B类第页(x个)e（电子）u个(年)d日年≤C类第页n个负极2秒+α对于每个x个∈B类12一n个d日0<第页≤14.
(3.9)
现在我们分解u个=u个1+u个2，使用
u个1(x个)=c（c）(n个,秒)∫B类1/三1|x个负极年|n个负极2秒e（电子）u个(年)d日年,x个∈R（右）n个,
哪里c（c）(n个,秒)是这样选择的
c（c）(n个,秒)(负极Δ)秒1|x个负极年|n个负极2秒=δ(x个负极年).
由(3.9)和引理2.2我们的结论是u个1以为界B类1/3.同时u个2满足（−Δ)秒 u个2=0英寸B类1/3，这意味着u个2是光滑的B类1/6。因此，我们明白了u个在中连续B类1/6.□
我们记得，如果u个在中稳定Ω，然后e（电子）u个∈
L（左）我o个c（c）第页
(Ω)对于每个第页∈[1,5）由引理2.1因此，小能量规律性结果可表述如下：
引理3.6
对于每个1 ≤第页< 5存在 ε第页> 0仅取决于 n个,秒 和∥u个∥L（左）秒(ℝn个) 如果
∫B类1e（电子）第页u个d日x个≤ε第页,
然后 u个 持续打开 B类1/12.
证明
通过Hölder不等式我们可以得到
∫B类1e（电子）u个d日x个≤C类ε第页1第页.
因此，通过引理3.1
∫D类1/2t吨1负极2秒e（电子）u个¯d日x个d日t吨≤C类ε第页δ第页,
对一些人来说δ> 0. 这表明
E类(0,12)≤C类ε第页δ第页.
然后由引理3.5我们明白了u个在中连续B类2012年1月假如
C类ε第页δ/第页
足够小。□
证明
的证明 定理1.1.问题（1.1）在缩放下不变
u个λ(x个):=u个(x个0+λx个)+2秒日志λ.
因此，如果
第页2第页秒负极n个∫B类第页(x个0)e（电子）第页u个d日x个≤ε第页,
对一些人来说第页∈[1,5），则u个在中连续B类第页/12(x个0)，多亏了引理3.6因此，如果x个0∈𝓢（𝓢是奇异集），我们看到对于第页>0小
第页2第页秒负极n个∫B类第页(x个0)e（电子）第页u个d日x个>ε第页.
因此，根据著名的Besicovitch覆盖定理，我们得到𝓢的Hausdorff维数最多为n个− 2秒具有第页∈[1,5），参见示例[15，引理1.3.5，引理2.1.1]或[13，提案9.21]。因此，我们得出结论，𝓢的Hausdorff维数最多为n个− 10秒它完成了证明。□
