Liouville-type theorems for elliptic equations in half-space with mixed boundary value conditions

Abdellaziz Harrabi; Belgacem Rahal

doi:10.1515/anona-2016-0168

开放式访问发布人：德古意特出版社 2016年12月20日

具有混合边值条件的半空间椭圆方程的Liouville型定理

阿卜杜拉齐兹·哈拉比和贝尔加西姆·拉哈尔

来自日志非线性分析进展

https://doi.org/10.1515/anona-2016-0168

摘要

本文研究了一类具有混合边值条件的非线性椭圆型方程在紧集外稳定或稳定的解的不存在性，这些解可能是无界的和符号变换的。使用的主要方法是积分估计和单调性公式。

关键词：刘维尔定理;稳定的解决方案;非线性边值条件;紧集外的稳定性;单调性公式

MSC 2010年：35J55型;35J65型;35B33型;35B65。

1简介及主要成果

在本文中，我们研究了以下非线性Neumann混合边值问题的稳定解的不存在性：

(1.1) { - Δ ⁢ u个 = | u个 | 第页 - 1 ⁢ u个在 ⁢ ℝ + n个 , ∂ ⁡ u个 ∂ ⁡ ν = | u个 | q个 - 1 ⁢ u个在 ⁢ Γ 1 , ∂ ⁡ u个 ∂ ⁡ ν = 0 上的 ⁢ Γ 0 ,

以及非线性Dirichlet–Neumann混合边值问题

(1.2) { - Δ ⁢ u个 = | u个 | 第页 - 1 ⁢ u个在 ⁢ ℝ + n个 , ∂ ⁡ u个 ∂ ⁡ ν = | u个 | q个 - 1 ⁢ u个上的 ⁢ Γ 1 , u个 = 0 上的 ⁢ Γ 0 ,

哪里 n个 ≥ 1 ,

ℝ + n个 = { x个 = ( x个 1 , … , x个 n个 ) ∈ ℝ n个 : x个 n个 > 0 } ,

Γ 1 = { x个 = ( x个 1 , … , x个 n个 ) ∈ ℝ n个 : x个 n个 = 0 , x个 1 < 0 } ,

Γ 0 = { x个 = ( x个 1 , … , x个 n个 ) ∈ ℝ n个 : x个 n个 = 0 , x个 1 > 0 } ,

第页 > 1 和 q个 > 1 .

本文的主要结果将收集在定理中1.5和1.9下面，他们将关注Liouville类型的结果，以获得(1.1)和(1.2).

我们定义了两个在续集中起重要作用的临界指数，即经典的Sobolev指数

第页秒 ⁢ ( n个 ) = { + ∞ 如果 n个 ≤ 2 , n个 + 2 n个 - 2 如果 n个 ≥ 三 ,

和约瑟夫·伦德格伦指数

第页 c ⁢ ( n个 ) = { + ∞ 如果 n个 ≤ 10 , ( n个 - 2 ) 2 - 4 ⁢ n个 + 8 ⁢ n个 - 1 ( n个 - 2 ) ⁢ ( n个 - 10 ) 如果 n个 ≥ 11 .

让我们回顾一下，许多作者已经对Liouville型定理和亚临界情况的性质进行了广泛的研究。Gidas和Spruck于年证明了第一个Liouville定理[4]他们证明了这一点 1 < 第页 < 第页秒 ⁢ ( n个 ) ，以下方程不具有正解：

(1.3) - Δ ⁢ u个 = | u个 | 第页 - 1 ⁢ u个在 ⁢ ℝ n个 ,

此外，还证明了指数第页秒 ⁢ ( n个 ) 在这个问题上是最优的(1.3)事实上，对于第页 ≥ 第页秒 ⁢ ( n个 ) 和 n个 ≥ 三 .所以指数第页秒 ⁢ ( n个 ) 通常称为问题的临界指数(1.3).不久之后，类似的结果在[5]上半空间中亚临界问题的正解 ℝ + n个 :

(1.4) { - Δ ⁢ u个 = | u个 | 第页 - 1 ⁢ u个在 ℝ + n个 , u个 = 0 在 ∂ ⁡ ℝ + n个 .

后来，陈和李[2]用移动平面法对上述两个方程得到了类似的不存在结果。

另一方面，我们注意到，上述结果仅表明上述方程不具有正解。一个自然的问题是要更多地了解标志变换解决方案。在[1]巴赫里和狮子证明了第页 < 第页秒 ⁢ ( n个 ) ，不存在具有有限Morse指数的符号变换解(1.3)和(1.4).为了证明这一结果，他们首先推导了基于有限莫尔斯指数的解的一些可积条件；然后他们用Pohozaev恒等式来证明这个不存在的结果。在这项工作之后，对类似问题进行了许多扩展。例如，Harrabi、Rebhi和Selmi将这些结果扩展到更一般的非线性问题[7,8]，另请参见[6].相应非线性问题的有限Morse指数解(1.3)和(1.4)已被Farina完全分类[三].一个主要结果是[三]是非平凡的有限莫尔斯指数解(1.3)存在当且仅当第页 ≥ 第页 c ⁢ ( n个 ) 和 n个 ≥ 11 ，或第页 = 第页秒 ⁢ ( n个 ) 和 n个 ≥ 三 .

另一方面，具有非线性边值条件和有限Morse指数形式的椭圆方程

(1.5) { - Δ ⁢ u个 = | u个 | 第页 - 1 ⁢ u个在 ℝ + n个 , ∂ ⁡ u个 ∂ ⁡ ν = | u个 | q个 - 1 ⁢ u个上的 ∂ ⁡ ℝ + n个 ,

于进行检查[11]. 证明了不存在非平凡有界解(1.5)提供有限莫尔斯指数

(1.6) 1 < 第页 ≤ 第页秒 ⁢ ( n个 ) , 1 < q个 ≤ n个 n个 - 2 , ( 第页 , q个 ) ≠ ( 第页秒 ⁢ ( n个 ) , n个 n个 - 2 ) , n个 ≥ 三 .

最近，有人提出了一个问题，即是否存在问题(1.1)和(1.2)承认改变符号的解决方案。部分答案来自[10]通过额外假设解具有有限的莫尔斯指数。现在，我们将此结果声明如下。

定理1.1([10]).

如果第页和q个满足(1.6)，然后是问题(1.1)和(1.2)不具有具有有限Morse指数的非平凡有界解。

本文的目的是研究 C类 2 -问题的解决方案(1.1)和(1.2)属于下列类别之一：稳定解和在紧集外稳定的解。为了证明我们的结果，首先我们推导出了适用于方程的稳定解(1.1)和(1.2)，这对于亚临界情况已经足够了第页 < 第页秒 ⁢ ( n个 ) 其次，在超临界情况下，即。，第页 > n个 + 2 n个 - 2 受单调性公式的启发，我们将证明在紧集外稳定的非平凡解的不存在性。此外，我们的方法还允许推广以下结果[11].

为了陈述我们的结果，我们需要回顾以下定义。

定义1.2。

我们说这是一个解决方案u个第页，共页(1.1)，属于 C类 2 ⁢ ( ℝ + n个 ¯ ) ,

是稳定的，如果

问 u个 ( ψ ) := ∫ ℝ + n个 | ∇ ψ | 2 - q个 ∫ Γ 1 | u个 | q个 - 1 ψ 2 - 第页 ∫ ℝ + n个 | u个 | 第页 - 1 ψ 2 ≥ 0 对所有人来说 ψ ∈ C类 c 1 ( ℝ + n个 ¯ ) ,
莫尔斯指数等于 K（K） ≥ 1 如果K（K）是子空间的最大维数 X（X） K（K）属于 C类 c 1 ⁢ ( ℝ + n个 ¯ ) 这样的话问 u个 ⁢ ( ψ ) < 0 对于任何 ψ ∈ X（X） K（K） ∖ { 0 } ,
在紧集外是稳定的 𝒦 ⊂ ℝ + n个如果问 u个 ⁢ ( ψ ) ≥ 0 对于任何 ψ ∈ C类 c 1 ⁢ ( ℝ + n个 ¯ ∖ 𝒦 ) .

类似地，如果我们说解决方案u个第页，共页(1.2)属于 C类 2 ⁢ ( ℝ + n个 ¯ ) 是稳定的（分别，在紧集之外是稳定的 𝒦 )，如果问 u个 ⁢ ( ψ ) ≥ 0 为所有人 ψ ∈ C类 c 1 ⁢ ( ℝ + n个 ∪ Γ 1 ) （分别为， ψ ∈ C类 c 1 ⁢ ( ℝ + n个 ∪ Γ 1 ∖ 𝒦 ) ).

备注1.3。

显然，一个解是稳定的，当且仅当它的莫尔斯指数等于零。
众所周知，任何有限的莫尔斯指数解u个在紧集外是稳定的 𝒦 ⊂ Ω 确实存在 K（K） ≥ 1 和 X（X） K（K） := 跨度 ⁢ { ϕ 1 , … , ϕ K（K） } ⊂ C类 c 1 ⁢ ( Ω ) 这样的话问 u个 ⁢ ( ϕ ) < 0 对于任何 ϕ ∈ X（X） K（K） ∖ { 0 } 因此，问 u个 ⁢ ( ψ ) ≥ 0 对于每个 ψ ∈ C类 c 1 ⁢ ( Ω ∖ 𝒦 ) ，其中 𝒦 := ⋃ j个 = 1 K（K）支持 ⁡ ( ϕ j个 ) , Ω = ℝ + n个 ¯ 或 Ω = ℝ + n个 ∪ Γ 1 .

在下文中，我们陈述了解决方案的Liouville类型结果 u个 ∈ C类 2 ⁢ ( ℝ + n个 ¯ ) 第页，共页(1.1)和(1.2). 在下文中，我们将研究分为稳定解和紧集外稳定解。

1.1稳定溶液

为了说明以下结果，我们需要引入一些符号。我们设置了 H（H） ⁢ ( t吨 ) = 2 ⁢ t吨 - 1 + 2 ⁢ t吨 ⁢ ( t吨 - 1 ) ，并表示为 B类 R（右）以原点为中心且半径为的开放球R（右）.

提案1.4。

让 u个 ∈ C类 2 ⁢ ( R（右） + n个 ¯ ) 是…的稳定解决方案(1.1)或(1.2).那么，对于任何 α ∈ [ 1 , H（H） ⁢ ( 最小值 ⁡ ( 第页 , q个 ) ) ) ，存在一个常量 C类 > 0 这样的话

(1.7) ∫ B类 R（右） ∩ ℝ + n个 ( | u个 | 第页 + α + | ∇ ( | u个 | α - 1 2 u个 ) | 2 ) + ∫ Γ 1 ∩ B类 R（右） | u个 | q个 + α ≤ C类 R（右） n个 - 2 ⁢ 第页 + α 第页 - 1 为所有人 R（右） > 0 .

提议1.4对u个和 ∇ ⁡ u个正如我们将看到的，我们的不存在结果将显示(1.7)在正确的假设下消失第页什么时候 R（右） → + ∞ .更多准确地说，作为命题的必然结果1.4，我们可以说明我们的第一个Liouville型定理。

定理1.5。

让 u个 ∈ C类 2 ⁢ ( R（右） + n个 ¯ ) 是的稳定解决方案(1.1)或(1.2).

如果 1 < q个 < 第页 < n个 + 2 ⁢ H（H） ⁢ ( q个 ) n个 - 2 ，然后 u个 ≡ 0 .
如果第页 ≤ q个和 1 < 第页 < 第页 c ⁢ ( n个 ) ，然后 u个 ≡ 0 .

1.2在紧集外稳定的解决方案

接下来我们考虑的是(1.1)和(1.2)，在紧集外是稳定的。记得王和郑在[10]对所有有界有限Morse指数解进行了分类(1.1)和(1.2)的 ( 第页 , q个 ) 令人满意的(1.6).本文的主要目标是对以下问题的所有（正解或符号变换）解进行分类(1.1)和(1.2)在超临界情况下，在一些关于指数的假设下，它们在紧集外是稳定的第页和q个.为此，我们首先介绍以下命题。

提议1.6。

让 u个 ∈ C类 2 ⁢ ( R（右） + n个 ¯ ) 是…的解决方案(1.1)或(1.2)它在紧集外是稳定的。那么，对于任何 α ∈ [ 1 , H（H） ⁢ ( 最小值 ⁡ ( 第页 , q个 ) ) ) ，存在一个常量 C类 > 0 这样的话

∫ B类 R（右） ∩ ℝ + n个 ( | u个 | 第页 + α + | ∇ ( | u个 | α - 1 2 u个 ) | 2 ) + ∫ Γ 1 ∩ B类 R（右） | u个 | q个 + α ≤ C类 ( 1 + R（右） n个 - 2 ⁢ 第页 + α 第页 - 1 ) 为所有人 R（右） > 0 .

感谢提议1.6，我们得到以下推论。

推论1.7。

让 n个 ≥ 三，并让 u个 ∈ C类 2 ⁢ ( R（右） + n个 ¯ ) 是…的解决方案(1.1)或(1.2)在紧凑型集合之外是稳定的。如果 1 < q个 < 第页 < n个 + 2 ⁢ H（H） ⁢ ( q个 ) n个 - 2 .然后，存在 α ∈ [ 1 , H（H） ⁢ ( q个 ) ) 这样的话

∫ ℝ + n个 ( | u个 | 第页 + α + | ∇ ( | u个 | α - 1 2 u个 ) | 2 ) + ∫ Γ 1 | u个 | q个 + α < ∞ .

当试图证明紧集以外的非平凡稳定解不存在时(1.1)或(1.2)，在超临界情况下 q个 ≥ 第页，我们首先需要建立以下版本的单调性公式。

1.3方程的单调性公式(1.1)和(1.2)

单调性公式是理解超临界椭圆方程或系统的有力工具。该方法已成功用于中的Lane–Emden方程[9].让我们首先描述单调性公式，它在这项工作中起着核心作用。方程式(1.1)或(1.2)有两个重要特征。它是变分的，能量泛函由

∫ ( 1 2 | ∇ u个 | 2 - 1 第页 + 1 | u个 | 第页 + 1 ) - 1 q个 + 1 ∫ | u个 | q个 + 1 .

在缩放变换下

u个 λ ⁢ ( x个 ) = λ 2 第页 - 1 ⁢ u个 ⁢ ( λ ⁢ x个 ) ,

这表明重标能量的变化

∫ B类 1 ∩ ℝ + n个 ( 1 2 | ∇ u个 λ | 2 - 1 第页 + 1 | u个 λ | 第页 + 1 ) - 1 q个 + 1 λ 1 - 2 ⁢ q个 - 1 第页 - 1 ∫ Γ 1 ∩ B类 1 | u个 λ | q个 + 1 ,

关于缩放参数λ，是有意义的。

提议1.8。

让 u个 ∈ C类 2 ⁢ ( R（右） + n个 ¯ ) 是方程的解(1.1)或(1.2)和 λ > 0 a常量。让我们也

(1.8) E类 ( u个 , λ ) = ∫ B类 1 ∩ ℝ + n个 ( 1 2 | ∇ u个 λ | 2 - 1 第页 + 1 | u个 λ | 第页 + 1 ) - λ 1 - 2 ⁢ q个 - 1 第页 - 1 q个 + 1 ∫ Γ 1 ∩ B类 1 | u个 λ | q个 + 1 + 1 第页 - 1 ∫ ∂ ⁡ B类 1 ∩ ℝ + n个 | u个 λ | 2 .

然后

(1.9) d日 ⁢ E类 d日 ⁢ λ = λ ∫ ∂ ⁡ B类 1 ∩ ℝ + n个 ( d日 ⁢ u个 λ d日 ⁢ λ ) 2 d日 σ + 2 ⁢ q个 - 第页 - 1 ( 第页 - 1 ) ⁢ ( q个 + 1 ) λ - 2 ⁢ q个 - 1 第页 - 1 ∫ Γ 1 ∩ B类 1 | u个 λ | q个 + 1 d日 x个 ′ 为所有人第页 , q个 > 1 .

此外，E类是λ的非递减函数，如果 2 ⁢ q个 - 第页 - 1 ≥ 0 .

现在，根据上述单调性公式，我们对紧集外稳定的解进行了分类。为此，我们再次使用 L（左）第页 + 1 提案中确定的标准估计1.6，然后我们显示排污限值 u个 ∞ ⁢ ( x个 ) = 林 λ → ∞ ⁡ λ 2 第页 - 1 ⁢ u个 ⁢ ( λ ⁢ x个 ) 存在。然后，通过Farina的工作[三]，我们推导出 u个 ∞ ≡ 0 .由于这个原因，我们推断林 λ → + ∞ ⁡ E类 ⁢ ( u个 , λ ) = 0 .此外，由于u个是 C类 2 ，很容易验证 E类 ⁢ ( u个 , 0 ) = 0 因此， E类 ⁢ ( u个 , λ ) ≡ 0 ，自E类是不减少的，这意味着 d日 ⁢ E类 d日 ⁢ λ ≡ 0 。由于边界条件，我们很容易推断，如果第页秒 ⁢ ( n个 ) < 第页 < 第页 c ⁢ ( n个 ) 和 n个 ≥ 三 .

定理1.9。

让 n个 ≥ 三，并让 u个 ∈ C类 2 ⁢ ( R（右） + n个 ¯ ) 是…的解决方案(1.1)或(1.2)它在紧集外是稳定的。如果第页 ≤ q个和第页秒 ⁢ ( n个 ) < 第页 < 第页 c ⁢ ( n个 ) ，然后 u个 ≡ 0 .

本文的结构如下。在节中2，我们给出命题的证明1.4和定理1.5.章节三致力于证明命题1.6和1.8.最后，在第节4，我们证明了定理1.9.

2稳定解的Liouville定理：定理证明1.5

在本节中，我们证明了关于稳定解分类的所有结果，即命题1.4和定理1.5.

命题证明1.4.

证明遵循证明的主线[三，提案4]，稍作修改。我们只为问题证明结果(1.1).对于问题(1.2)，同样可以得到证明。对于任何 R（右） > 0 ，我们考虑函数 ϕ R（右） ∈ C类 c 2 ⁢ ( ℝ n个 ) ，由定义 ϕ R（右） ⁢ ( x个 ) = 小时 ⁢ ( | x个 | R（右） ) , x个 ∈ ℝ n个，其中小时 ∈ C类 c 2 ⁢ ( ℝ ) , 0 ≤ 小时 ≤ 1 , 小时 ≡ 1 在里面 [ - 1 , 1 ] 、和小时 ≡ 0 在里面 ℝ - [ - 2 , 2 ] .功能 | u个 | α - 1 2 ⁢ u个 ⁢ ϕ R（右）属于 C类 c 1 ⁢ ( ℝ + n个 ¯ ) ，因此它可以用作二次型的测试函数问 u个因此，稳定性假设u个给予

(2.1) 第页 ∫ ℝ + n个 | u个 | 第页 + α ϕ R（右） 2 + q个 ∫ Γ 1 | u个 | q个 + α ϕ R（右） 2 ≤ ∫ ℝ + n个 | ∇ ( | u个 | α - 1 2 u个 ϕ R（右） ) | 2 .

直接计算表明，对于(2.1)，我们有

∫ ℝ + n个 | ∇ ( | u个 | α - 1 2 u个 ϕ R（右） ) | 2 = ∫ ℝ + n个 ( | u个 | α + 1 | ∇ ϕ R（右） | 2 + ϕ R（右） 2 | ∇ ( | u个 | α - 1 2 u个 ) | 2 + 1 2 ∇ ϕ R（右） 2 ∇ ( | u个 | α + 1 ) )

= ∫ ℝ + n个 | u个 | α + 1 ( | ∇ ϕ R（右） | 2 - 1 2 Δ ϕ R（右） 2 ) + 1 2 ∫ ∂ ⁡ ℝ + n个 | u个 | α + 1 ∂ ⁡ ϕ R（右） 2 ∂ ⁡ ν + ∫ ℝ + n个 ϕ R（右） 2 | ∇ ( | u个 | α - 1 2 u个 ) | 2 .

自

(2.2) ∂ ⁡ ϕ R（右） ∂ ⁡ ν = 0 在 ⁢ ∂ ⁡ ℝ + n个 ,

由此可见

(2.3) = ∫ ℝ + n个 | u个 | α + 1 ( | ∇ ϕ R（右） | 2 - 1 2 Δ ϕ R（右） 2 ) + ∫ ℝ + n个 ϕ R（右） 2 | ∇ ( | u个 | α - 1 2 u个 ) | 2 .

发件人(2.1)和(2.3)，我们获得

(2.4) 第页 ∫ ℝ + n个 | u个 | 第页 + α ϕ R（右） 2 + q个 ∫ Γ 1 | u个 | q个 + α ϕ R（右） 2 ≤ ∫ ℝ + n个 | u个 | α + 1 ( | ∇ ϕ R（右） | 2 - 1 2 Δ ϕ R（右） 2 ) + ∫ ℝ + n个 ϕ R（右） 2 | ∇ ( | u个 | α - 1 2 u个 ) | 2 .

现在，乘法方程式(1.1)由 | u个 | α - 1 ⁢ u个 ⁢ ϕ R（右） 2 ，然后按部分集成以查找

α ∫ ℝ + n个 | ∇ u个 | 2 | u个 | α - 1 ϕ R（右） 2 + ∫ ℝ + n个 ∇ u个 ∇ ( ϕ R（右） 2 ) | u个 | α - 1 u个 - ∫ Γ 1 | u个 | q个 + α ϕ R（右） 2 = ∫ ℝ + n个 | u个 | 第页 + α ϕ R（右） 2 .

因此，

∫ ℝ + n个 | u个 | 第页 + α ϕ R（右） 2 = 4 ⁢ α ( α + 1 ) 2 ∫ ℝ + n个 ϕ R（右） 2 | ∇ ( | u个 | α - 1 2 u个 ) | 2 + 1 α + 1 ∫ ℝ + n个 ∇ ( | u个 | α + 1 ) ∇ ( ϕ R（右） 2 ) - ∫ Γ 1 | u个 | q个 + α ϕ R（右） 2

= 4 ⁢ α ( α + 1 ) 2 ∫ ℝ + n个 ϕ R（右） 2 | ∇ ( | u个 | α - 1 2 u个 ) | 2 - 1 α + 1 ∫ ℝ + n个 | u个 | α + 1 Δ ( ϕ R（右） 2 ) + 1 α + 1 ∫ ∂ ⁡ ℝ + n个 | u个 | α + 1 ∂ ⁡ ϕ R（右） 2 ∂ ⁡ ν - ∫ Γ 1 | u个 | q个 + α ϕ R（右） 2 .

使用(2.2)，我们获得

∫ ℝ + n个 | u个 | 第页 + α ϕ R（右） 2 = 4 ⁢ α ( α + 1 ) 2 ∫ ℝ + n个 ϕ R（右） 2 | ∇ ( | u个 | α - 1 2 u个 ) | 2 - 1 α + 1 ∫ ℝ + n个 | u个 | α + 1 Δ ( ϕ R（右） 2 ) - ∫ Γ 1 | u个 | q个 + α ϕ R（右） 2 .

将后一个恒等式乘以因子 ( α + 1 ) 2 4 ⁢ α ，我们推导

∫ ℝ + n个 ϕ R（右） 2 | ∇ ( | u个 | α - 1 2 u个 ) | 2 = ( α + 1 ) 2 4 ⁢ α ∫ ℝ + n个 | u个 | 第页 + α ϕ R（右） 2 + ( α + 1 ) 2 4 ⁢ α ∫ Γ 1 | u个 | q个 + α ϕ R（右） 2 + ( α + 1 ) 4 ⁢ α ∫ ℝ + n个 | u个 | α + 1 Δ ( ϕ R（右） 2 ) .

把这个放回(2.4)给予

( 第页 - ( α + 1 ) 2 4 ⁢ α ) ∫ ℝ + n个 | u个 | 第页 + α ϕ R（右） 2 + ( q个 - ( α + 1 ) 2 4 ⁢ α ) ∫ Γ 1 | u个 | q个 + α ϕ R（右） 2 ≤ ∫ ℝ + n个 | u个 | α + 1 ( | ∇ ϕ R（右） | 2 + 1 - α 4 ⁢ α Δ ϕ R（右） 2 ) .

对于任何 α ∈ [ 1 , H（H） ⁢ ( 最小值 ⁡ ( 第页 , q个 ) ) ) ,我们得到了第页 - ( α + 1 ) 2 4 ⁢ α > 0 和 q个 - ( α + 1 ) 2 4 ⁢ α > 0 ，因此

∫ ℝ + n个 | u个 | 第页 + α ϕ R（右） 2 + ∫ Γ 1 | u个 | q个 + α ϕ R（右） 2 ≤ C类 ( 第页 , q个 , α ) ∫ ℝ + n个 | u个 | α + 1 ( | ∇ ϕ R（右） | 2 + | Δ ϕ R（右） 2 | ) .

现在，我们更换 ϕ R（右）通过 ϕ R（右）米在后一个不等式中，对于任何米 > 1 ，我们得到

∫ B类 2 ⁢ R（右） ∩ ℝ + n个 | u个 | 第页 + α ϕ R（右） 2 ⁢ 米 + ∫ Γ 1 ∩ B类 2 ⁢ R（右） | u个 | q个 + α ϕ R（右） 2 ⁢ 米 ≤ C类 ∫ B类 2 ⁢ R（右） ∩ ℝ + n个 | u个 | α + 1 ϕ R（右） 2 ⁢ 米 - 2 ( | ∇ ϕ R（右） | 2 + | Δ ϕ R（右） | )

(2.5) ≤ C类 ( 第页 , q个 , α , 米 ) R（右） - 2 ∫ B类 2 ⁢ R（右） ∩ ℝ + n个 | u个 | α + 1 ϕ R（右） 2 ⁢ 米 - 2

和

(2.6) ∫ B类 2 ⁢ R（右） ∩ ℝ + n个 | ∇ ( | u个 | α - 1 2 u个 ) | 2 ϕ R（右） 2 ⁢ 米 ≤ C类 ( 第页 , q个 , α , 米 ) R（右） - 2 ∫ B类 2 ⁢ R（右） ∩ ℝ + n个 | u个 | α + 1 ϕ R（右） 2 ⁢ 米 - 2 .

杨氏不等式的一个应用

(2.7) C类 ( 第页 , q个 , α , 米 ) R（右） - 2 ∫ B类 2 ⁢ R（右） ∩ ℝ + n个 | u个 | α + 1 ϕ R（右） 2 ⁢ 米 - 2 ≤ C类 R（右） n个 - 2 ⁢ 第页 + α 第页 - 1 + α + 1 第页 + α ∫ B类 2 ⁢ R（右） ∩ ℝ + n个 | u个 | 第页 + α ϕ R（右） ( 2 ⁢ 米 - 2 ) ⁢ 第页 + α α + 1 .

如果我们采取米 = 第页 + α 第页 - 1 然后 2 ⁢ 米 = ( 2 ⁢ 米 - 2 ) ⁢ 第页 + α α + 1 和来自(2.5)–(2.7)，我们获得

∫ B类 2 ⁢ R（右） ∩ ℝ + n个 | u个 | 第页 + α ϕ R（右） 2 ⁢ 米 + ∫ B类 2 ⁢ R（右） ∩ ℝ + n个 | ∇ ( | u个 | α - 1 2 u个 ) | 2 ϕ R（右） 2 ⁢ 米 + ∫ Γ 1 ∩ B类 2 ⁢ R（右） | u个 | q个 + α ϕ R（右） 2 ⁢ 米 ≤ C类 R（右） n个 - 2 ⁢ 第页 + α 第页 - 1 .

这意味着

∫ B类 R（右） ∩ ℝ + n个 | u个 | 第页 + α + ∫ B类 R（右） ∩ ℝ + n个 | ∇ ( | u个 | α - 1 2 u个 ) | 2 + ∫ Γ 1 ∩ B类 R（右） | u个 | q个 + α ≤ C类 R（右） n个 - 2 ⁢ 第页 + α 第页 - 1 .

这就完成了命题的证明1.4.∎

定理的证明1.5.

（1）按命题1.4，存在 C类 > 0 这样的话

(2.8) ∫ B类 R（右） ∩ ℝ + n个 | u个 | 第页 + α ≤ C类 R（右） n个 - 2 ⁢ 第页 + α 第页 - 1 .

在定理的假设下1.5，我们可以随时选择 α ∈ [ 1 , H（H） ⁢ ( q个 ) ) 这样的话 n个 - 2 ⁢ 第页 + α 第页 - 1 < 0 . 因此，通过让 R（右） → + ∞ 英寸(2.8)，我们推断

∫ ℝ + n个 | u个 | 第页 + α = 0 ,

这就产生了 u个 ≡ 0 在里面 ℝ + n个 .

（2）按命题1.4，每 α ∈ [ 1 , H（H） ⁢ ( 第页 ) ) ，存在常量 C类 > 0 这样，对于每一个 R（右） > 0 ,

∫ B类 R（右） ∩ ℝ + n个 | u个 | 第页 + α ≤ C类 R（右） n个 - 2 ⁢ 第页 + α 第页 - 1 .

正如法里纳的工作一样，我们很容易推断 R（右） → + ∞ 不存在非平凡的稳定解(1.1)和(1.2)，在特殊情况下 1 < 第页 < 第页 c ⁢ ( n个 ) 和 q个 ≥ 第页 .∎

3命题证明1.6和1.8

在本节中，我们关注命题的证明1.6和1.8.

命题证明1.6.

我们只为问题证明结果(1.1). 对于问题(1.2)，同样可以得到证明。我们首先定义一些平滑的紧支持函数，这些函数将在后续部分中多次使用。更确切地说，我们选择 ϕ 一 , R（右） ∈ C类 c 2 ⁢ ( ℝ n个 ) 令人满意的 0 ≤ ϕ 一 , R（右） ≤ 1 到处都是 ℝ n个和

ϕ 一 , R（右） ⁢ ( x个 ) = { 0 的 ⁢ | x个 | < 一 ⁢ 或 ⁢ | x个 | > 2 ⁢ R（右） , 1 的 ⁢ 2 ⁢ 一 < | x个 | < R（右）

命题证明1.8.

对于 λ > 0 ，定义函数 u个 λ 通过

u个 λ ⁢ ( x个 ) = λ 2 第页 - 1 ⁢ u个 ⁢ ( λ ⁢ x个 ) 的 ⁢ x个 ∈ ℝ + n个 .

自u个是的解决方案(1.1)，因此 u个 λ 满足

(3.1) { - Δ ⁢ u个 λ = | u个 λ | 第页 - 1 ⁢ u个 λ 在 ℝ + n个 , ∂ ⁡ u个 λ ∂ ⁡ ν = λ 1 - 2 ⁢ q个 - 1 第页 - 1 ⁢ | u个 λ | q个 - 1 ⁢ u个 λ 上的 Γ 1 , ∂ ⁡ u个 λ ∂ ⁡ ν = 0 上的 Γ 0 .

采取

(3.2) E类 ~ ⁢ ( u个 , λ ) = ∫ B类 1 ∩ ℝ + n个 ( 1 2 ⁢ | ∇ ⁡ u个 λ | 2 - 1 第页 + 1 ⁢ | u个 λ | 第页 + 1 ) ,

因此

(3.3) d日 d日 ⁢ λ ⁢ E类 ~ ⁢ ( u个 , λ ) = ∫ B类 1 ∩ ℝ + n个 ( ∇ ⁡ u个 λ ⁢ ∇ ⁡ d日 ⁢ u个 λ d日 ⁢ λ - | u个 λ | 第页 - 1 ⁢ u个 λ ⁢ d日 ⁢ u个 λ d日 ⁢ λ ) .

通过部件集成，我们得到

d日 d日 ⁢ λ E类 ~ ( u个 , λ ) = ∫ ∂ ⁡ B类 1 ∩ ℝ + n个 ∂ ⁡ u个 λ ∂ ⁡ 第页 d日 ⁢ u个 λ d日 ⁢ λ + λ 1 - 2 ⁢ q个 - 1 第页 - 1 ∫ Γ 1 ∩ B类 1 | u个 λ | q个 - 1 u个 λ d日 ⁢ u个 λ d日 ⁢ λ

(3.4) = ∫ ∂ ⁡ B类 1 ∩ ℝ + n个 ∂ ⁡ u个 λ ∂ ⁡ 第页 ⁢ d日 ⁢ u个 λ d日 ⁢ λ + λ 1 - 2 ⁢ q个 - 1 第页 - 1 q个 + 1 ⁢ ∫ Γ 1 ∩ B类 1 d日 d日 ⁢ λ ⁢ ( | u个 λ | q个 + 1 ) .

在下文中，我们表示 u个 λ 在中第页 = | x个 | 变量的λ变量导数。在定义中 u个 λ ，在λ中直接微分得出

(3.5) λ ⁢ d日 ⁢ u个 λ d日 ⁢ λ = 2 第页 - 1 ⁢ u个 λ + 第页 ⁢ ∂ ⁡ u个 λ ∂ ⁡ 第页

和

(3.6) λ 1 - 2 ⁢ q个 - 1 第页 - 1 q个 + 1 ∫ Γ 1 ∩ B类 1 d日 ⁢ | u个 λ | q个 + 1 d日 ⁢ λ = d日 d日 ⁢ λ ( λ 1 - 2 ⁢ q个 - 1 第页 - 1 q个 + 1 ∫ Γ 1 ∩ B类 1 | u个 λ | q个 + 1 ) - ( 第页 + 1 - 2 ⁢ q个 ) ⁢ λ - 2 ⁢ q个 - 1 第页 - 1 ( 第页 - 1 ) ⁢ ( q个 + 1 ) ∫ Γ 1 ∩ B类 1 | u个 λ | q个 + 1 .

发件人(3.4), (3.5)和(3.6)，我们获得

d日 d日 ⁢ λ E类 ~ ( u个 , λ ) = λ ∫ ∂ ⁡ B类 1 ∩ ℝ + n个 ( d日 ⁢ u个 λ d日 ⁢ λ ) 2 - 1 第页 - 1 ∫ ∂ ⁡ B类 1 ∩ ℝ + n个 d日 ⁢ ( u个 λ ) 2 d日 ⁢ λ + d日 d日 ⁢ λ ( λ 1 - 2 ⁢ q个 - 1 第页 - 1 q个 + 1 ∫ Γ 1 ∩ B类 1 | u个 λ | q个 + 1 )

(3.7) + 2 ⁢ q个 - 第页 - 1 ( 第页 - 1 ) ⁢ ( q个 + 1 ) λ - 2 ⁢ q个 - 1 第页 - 1 ∫ Γ 1 ∩ B类 1 | u个 λ | q个 + 1 .

开发(3.2)和(3.7)，我们得到(1.8)和(1.9).

对于问题(1.2)，只需稍作修改即可获得类似的证明。自u个是的解决方案(1.2)，我们有 u个 λ 满足

{ - Δ ⁢ u个 λ = | u个 λ | 第页 - 1 ⁢ u个 λ 在 ℝ + n个 , ∂ ⁡ u个 λ ∂ ⁡ ν = λ 1 - 2 ⁢ q个 - 1 第页 - 1 ⁢ | u个 λ | q个 - 1 ⁢ u个 λ 上的 Γ 1 , u个 λ = 0 上的 Γ 0 .

发件人(3.3)，我们得到

d日 d日 ⁢ λ ⁢ E类 ~ ⁢ ( u个 , λ ) = ∫ ∂ ⁡ B类 1 ∩ ℝ + n个 ∂ ⁡ u个 λ ∂ ⁡ 第页 ⁢ d日 ⁢ u个 λ d日 ⁢ λ + ∫ Γ 1 ∩ B类 1 ∪ Γ 0 ∩ B类 1 ∂ ⁡ u个 λ ∂ ⁡ ν ⁢ d日 ⁢ u个 λ d日 ⁢ λ

= ∫ ∂ ⁡ B类 1 ∩ ℝ + n个 ∂ ⁡ u个 λ ∂ ⁡ 第页 ⁢ d日 ⁢ u个 λ d日 ⁢ λ + λ 1 - 2 ⁢ q个 - 1 第页 - 1 q个 + 1 ⁢ ∫ Γ 1 ∩ B类 1 d日 d日 ⁢ λ ⁢ ( | u个 λ | q个 + 1 ) .

最后一行来自这样一个事实 u个 λ ≡ 0 在里面 Γ 0 ∩ B类 1 对于任何 λ > 0 ，因此 d日 ⁢ u个 λ d日 ⁢ λ = 0 在里面 Γ 0 ∩ B类 1 .证明的其余部分没有改变，因此我们省略了细节。

现在，因为 2 ⁢ q个 - 第页 - 1 ≥ 0 ，我们有E类是λ的非递减函数。这就完成了命题的证明1.8.∎

4紧集外稳定解的Liouville定理：定理证明1.9

让u个顺利解决(1.1)在紧集外是稳定的， q个 ≥ 第页和第页秒 ⁢ ( n个 ) < 第页 < 第页 c ⁢ ( n个 ) 、和 n个 ≥ 三 .来自命题1.6（适用于u个在半径为的球上 λ ⁢ R（右） )，我们知道对于给定的 R（右） > 0 ,

∫ B类 R（右） ∩ ℝ + n个 ( | ∇ ⁡ u个 λ | 2 + | u个 λ | 第页 + 1 ) ⁢ 𝑑 x个 ≤ C类 + C类 ⁢ R（右） n个 - 2 ⁢ 第页 + 1 第页 - 1

和

λ 1 - 2 ⁢ q个 - 1 第页 - 1 ∫ Γ 1 ∩ B类 R（右） | u个 λ | q个 + 1 ≤ C类 + C类 R（右） n个 - 2 ⁢ 第页 + 1 第页 - 1 .

所以， ( u个 λ ) λ ≥ 1 一致有界于 H（H） 1 ∩ L（左）第页 + 1 ⁢ ( B类 R（右） ∩ ℝ + n个 ) 对于任何 R（右） > 0 、和 ( λ 第页 + 1 - 2 ⁢ q个 ( 第页 - 1 ) ⁢ ( q个 + 1 ) ⁢ u个 λ ) λ ≥ 1 一致有界于 L（左） q个 + 1 ⁢ ( Γ 1 ∩ B类 R（右） ) 对于任何 R（右） > 0 .特别是，序列 ( u个 λ j个 ) 弱收敛到某个函数 u个 ∞ 在里面 H（H） 1 ∩ L（左）第页 + 1 ⁢ ( B类 R（右） ∩ ℝ + n个 ) ，每 R（右） > 0 ，作为 λ j个 → + ∞ .另请注意 u个 λ 满足等式(3.1).考虑到分布意义上的极限，可以得出如下结论

{ - Δ ⁢ u个 ∞ = | u个 ∞ | 第页 - 1 ⁢ u个 ∞ 在 𝒟 ′ ⁢ ( ℝ + n个 ) , ∂ ⁡ u个 ∞ ∂ ⁡ ν = 0 上的 ∂ ⁡ ℝ + n个 .

正在应用[三，定理9]，我们得到 u个 ∞ ≡ 0 .

让 ζ ∈ C类 c 1 ⁢ ( Ω ~ ) ，其中 Ω ~ = ℝ + n个 ¯ ∖ B类 R（右） 0 对于 R（右） 0 足够大。表示 ∂ ⁡ Ω ~ := Ω ~ ∩ Γ 1 .乘法方程(1.1)由第页 ⁢ u个 ⁢ ζ 2 然后按部件进行集成以找到

第页 ∫ Ω ~ ∇ u个 ⋅ ∇ ( u个 ζ 2 ) - 第页 ∫ ∂ ⁡ Ω ~ | u个 | q个 + 1 ζ 2 = 第页 ∫ Ω ~ | u个 | 第页 + 1 ζ 2 .

因此，

第页 ∫ Ω ~ ( | ∇ ( u个 ζ ) | 2 - u个 2 | ∇ ζ | 2 ) - 第页 ∫ ∂ ⁡ Ω ~ | u个 | q个 + 1 ζ 2 = 第页 ∫ Ω ~ | u个 | 第页 + 1 ζ 2 .

自u个在紧凑的外部是稳定的，因此

( 第页 - 1 ) ∫ Ω ~ | ∇ ( u个 ζ ) | 2 + ( q个 - 第页 ) ∫ ∂ ⁡ Ω ~ | u个 | q个 + 1 ζ 2 ≤ 第页 ∫ Ω ~ u个 2 | ∇ ζ | 2 .

自 q个 ≥ 第页，我们有

( 第页 - 1 ) ∫ Ω ~ | ∇ ( u个 ζ ) | 2 ≤ 第页 ∫ Ω ~ u个 2 | ∇ ζ | 2 .

立即选择 ζ ⁢ ( x个 ) = ζ 0 ⁢ ( | x个 | λ ) ，其中 ζ 0 ≡ 0 在里面 B类 ε / 2 ∩ ℝ + n个 , ζ 0 ≡ 1 在里面 B类 1 ∖ B类 ε ∩ ℝ + n个和 ζ 0 ≡ 0 外部 B类 2 ∩ ℝ + n个 .那么，对于 λ > R（右） 0 ε ,

∫ B类 λ ∖ B类 ε ⁢ λ ∩ ℝ + n个 | ∇ u个 | 2 ≤ C类 λ - 2 ∫ B类 2 ⁢ λ ∩ ℝ + n个 u个 2 .

缩减收益率

∫ B类 1 ∖ B类 ε ∩ ℝ + n个 | ∇ u个 λ | 2 ≤ C类 ∫ B类 2 ∩ ℝ + n个 | u个 λ | 2 ,

等等

E类 2 ⁢ ( u个 λ ; 1 ) = ∫ B类 1 ∩ ℝ + n个 ( 1 2 ⁢ | ∇ ⁡ u个 λ | 2 - 1 第页 + 1 ⁢ | u个 λ | 第页 + 1 )

= ∫ B类 ε ∩ ℝ + n个 ( 1 2 ⁢ | ∇ ⁡ u个 λ | 2 - 1 第页 + 1 ⁢ | u个 λ | 第页 + 1 ) + ∫ B类 1 ∖ B类 ε ∩ ℝ + n个 ( 1 2 ⁢ | ∇ ⁡ u个 λ | 2 - 1 第页 + 1 ⁢ | u个 λ | 第页 + 1 )

≤ C类 ⁢ ε n个 - 2 ⁢ 第页 + 1 第页 - 1 ⁢ E类 2 ⁢ ( u个 λ ; ε ) + ∫ B类 1 ∖ B类 ε ∩ ℝ + n个 ( 1 2 ⁢ | ∇ ⁡ u个 λ | 2 - 1 第页 + 1 ⁢ | u个 λ | 第页 + 1 )

≤ C类 ( ε n个 - 2 ⁢ 第页 + 1 第页 - 1 + ∫ B类 2 ∩ ℝ + n个 | u个 λ | 2 ) .

回顾第页 > n个 + 2 n个 - 2 即。， n个 - 2 ⁢ 第页 + 1 第页 - 1 > 0 , ( u个 λ ) 收敛强烈地到 u个 ∞ = 0 在里面 L（左）第页 + 1 ⁢ ( B类 R（右） ∩ ℝ + n个 ) ，因此也在 L（左） 2 ⁢ ( B类 R（右） ∩ ℝ + n个 ) .我们得出结论 λ → + ∞ 然后 ε → 0 ，那个

林 λ → + ∞ ⁡ E类 2 ⁢ ( u个 ; λ ) = 0 .

我们声称同样适用于E类。要看到这一点，只需观察一下，因为E类不会减少，

E类 ⁢ ( u个 λ , 1 ) = E类 ⁢ ( u个 , λ ) ≤ 1 λ ⁢ ∫ λ 2 ⁢ λ E类 ⁢ ( u个 , t吨 ) ⁢ 𝑑 t吨

= 1 λ ∫ λ 2 ⁢ λ E类 2 ( u个 , t吨 ) d日 t吨 + 1 第页 - 1 λ - 1 ∫ λ 2 ⁢ λ ∫ ∂ ⁡ B类 1 ∩ ℝ + n个 | u个 t吨 | 2 - 1 q个 + 1 λ - 1 ∫ λ 2 ⁢ λ t吨 1 - 2 ⁢ q个 - 1 第页 - 1 ∫ Γ 1 ∩ B类 1 | u个 t吨 | q个 + 1 d日 σ

≤ 啜饮 t吨 ≥ λ E类 2 ( u个 , t吨 ) + C类 ∫ B类 2 ∩ ℝ + n个 | u个 λ | 2 .

由于这个原因，我们推断

林 λ → + ∞ ⁡ E类 ⁢ ( u个 , λ ) = 林 λ → + ∞ ⁡ E类 ⁢ ( u个 λ , 1 ) = 0 .

此外，由于u个是 C类 2 ，很容易验证 E类 ⁢ ( u个 , 0 ) = 0 .所以， E类 ⁢ ( u个 , λ ) ≡ 0 ，自E类不会减少，并且 d日 ⁢ E类 d日 ⁢ λ = 0 ，这意味着u个是同质的。由于边界条件，我们很容易推断出 u个 ≡ 0 .

对于问题(1.2)，只需稍作修改，即可获得类似的证明。根据当前的稳定性定义(1.2)，我们要求支架紧凑 ℝ + n个 ∩ Γ 1 并防止使用非径向函数 Γ 1 上也非零 Γ 1 .但事实上，测试功能是 u个 ⁢ ξ ，在上消失 Γ 0 .我们可以使用此测试函数，因为我们有问 ⁢ ( u个 ⁢ ξ ) ≥ 0 ，以密度表示，即对 v（v） ∈ H（H） 1 ⁢ ( ℝ + n个 ) 具有 v（v） = 0 在 Γ 0 .证明的其余部分没有改变，因此我们省略了细节。∎

工具书类

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[2]W.X.Chen和C.Li，一些非线性椭圆方程解的分类，杜克大学数学。J.63（1991），第3期，615–622。10.1215/S0012-7094-91-06325-8号在谷歌学者中搜索

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收到：2016-07-25

修订过的：2016-10-17

认可的：2016-10-18

在线发布：2016-12-20

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