介绍
曲线上向量丛的模空间一直是代数几何的中心话题。秩稳定向量丛同构类模空间的构造第页和学位d日关于亏格的光滑投影曲线克≥2是由于芒福德；参见[15]. 这样的模空间是一个非奇异的拟投影簇，其紧化是由Seshadri在[22]，通过引入𝒮-半稳定向量丛之间的等价关系，表示为𝒰C类(第页,d日). 紧致化是维数的正规不可约射影变化第页2(克− 1) + 1. 什么时候？第页和d日如果是互质，那么半稳定性的概念与稳定性的概念是一致的，所以𝒰C类(第页,d日)参数化稳定向量丛的同构类。此外，在这种情况下，存在一个Poincarébundle𝒰C类(第页,d日)，请参阅[20]. 如果我∈图片d日(C类)是一个线束，模空间𝒮𝒰C类(第页,我)，参数化秩的半稳定向量丛第页和固定行列式我，也是非常有趣的。实际上，在有限的étale覆盖下，模空间𝒰C类(第页,d日)与…的乘积同构𝒮𝒰C类(第页,我)和图片0(C类). 因此𝒰C类(第页,d日)编码为𝒮𝒰C类(第页,我). 此外，𝒮𝒰C类(第页,我)它本身很有趣，并且是一种合理的变化，当第页和d日是互质的，看[14]. 许多作者研究了这些模空间的几何，特别是它与广义θ函数的关系；参见[三]进行调查，以及[9], [8], [7], [6], [5]和[11]作者最近的作品。
不幸的是，一旦基本曲线变得奇异，上述结果就不再适用。例如，对于奇异不可约曲线，为了获得紧凑的模量空间，一种可能的方法是考虑无扭带轮，而不是局部自由带轮，参见[18]和[23]. Seshadri将此方法推广到可约（但可约）曲线。其思想是在模空间中也包括深度为1的带，并引入极化的概念周和，共周-半稳定性。更准确地说，我们表示为𝒰C类(周,第页,χ)模空间参数化周-深度为一级的半稳定滑轮第页关于每个组件和Euler特性χ.
在本文中，我们假设C类是具有两个光滑不可约分量的节点可约曲线C类1和C类2，属克我≥1，具有单个节点第页.我们可以通过粘合获得曲线C类1和C类2在这些点上q个1和q个2在这个假设下，模空间𝒰C类(周,第页,χ)是一个连通的可约射影簇，参见
[24]和[25]; 每个不可约分量都有维数第页2(第页一(C类)−1）+1，它对应一对可能的多角度，参见第2节了解详细信息。关于这种曲线上内核束的稳定性问题，读者可以看到[10].
在上述假设下，选择任何第页≥2并固定一对整数(d日1,d日2)它们都是互质的第页模空间上Poincaré向量丛的存在性𝒰Ci公司(第页,d日我)允许我们生成射影束π: ℙ(F类) →𝒰C1类(第页,d日1)×𝒰指挥与控制(第页,d日2)，其光纤位于([E类1], [E类2])是ℙ（Hom(E类1,q个1,E类2,q个2))，请参阅引理3.1.让u个∈ ℙ(F类),u个= ((E类1], [E类2]), [σ])，其中σ是非零同态E类1,q个1→E类2,q个2。我们可以关联到u个深度为一层E类u个在曲线上C类粗略地说，它是通过粘合获得的E类1和E类2沿着光纤q个1和q个2具有σ。这是一个向量束当且仅当σ是一种同构。我们首先关心的是研究什么时候E类u个结果是周-某些极化的半稳定周：我们能够提供一些必要和充分的条件以确保周-半稳定性（参见第3节). 然后我们将注意力转向有理图
φ:ℙ(F类)−−>U型C类(周,第页,χ)
发送u个到E类u个.我们的第一个结果(定理4.1)可以在以下语句中进行总结：
定理A.设C是如上所述的可约节点曲线。让r≥ 2和d1 和d2 是与r.集χ互素的整数我=d日我+第页(1 −克我)和χ=χ1+χ2−r.对于任何一对(χ1,χ2)在适当的非空子集中ℤ2 存在极化w，因此ℙ(F类)对模空间的不可约分量是双有理的 𝒰C类(周,第页,χ)对应于bidegree(d日1,d日2).
这句话的民族地图就是地图φ.我们证明了它是开子集上的内射态射U型⊂(F类)，由点给出u个哪里σ是一种同构。图像φ(U型)是模空间的稠密子集，其点是向量丛的类，其对每个分量的限制是稳定的（参见定理4.1）。此外，当克我>第页+1，我们可以提供有关域的更多信息φ如下所示，请参见定理4.3.
定理B.假设定理A的假设成立。如果g我>第页+ 1那么对于任何一对(χ1,χ2)在适当的非空子集中ℤ2 存在非空的开放子集V1×五2 属于 𝒰C1类(第页,d日1)×𝒰指挥与控制(第页,d日2)极化w使得φ|U型∪五 是一个态射，我们在这里设置五=π−1(五1×五2).
然后，与光滑情况类似，对于任何我∈图片(C类)我们定义了种类𝒮𝒰C类(周,第页,我)这大致上是𝒰C类(周,第页,χ)d日1,d日2具有固定行列式的向量丛的轨迹参数化类我哪里d日我=度(我|Ci公司). 什么时候？第页和d日我是互质的，在光滑情况下，我们得到了以下结果，见定理5.2:
定理C.在定理A的假设下,𝒮𝒰C类(周,第页,我)是一个合理的品种.
关于可约曲线上这些模空间合理性的最新结果在[12]和[2]在二级的情况下[4]对于积分不可约节点曲线。
论文组织如下。在第1节我们修正了可约节点曲线的符号。在第2节我们引入深度一带轮、极化和周-半稳定性，我们回顾了它们模空间的一般性质。在第3节我们引入射影丛ℙ(F类)，我们定义了sheafE类u个关联到u个∈ ℙ(F类)我们在什么时候学习周-半稳定。在第4节我们证明了定理A和B。最后，在第5节我们讨论了具有固定行列式的模空间，并证明了定理C。
2深度1滑轮的模数空间
让C类是亏格的光滑不可约射影曲线克≥ 1. 秩半稳定向量丛的模空间第页和学位d日在C类表示为𝒰C类(第页,d日). 它的要点是𝒮-曲线上半稳定向量丛的等价类。我们表示为[E类]向量丛的类E类.英寸[23]事实证明𝒰C类(第页,d日)是一个不可约的投射簇。此外，请参阅[23]和[26]，我们有：
(2.1)
昏暗的u个C类(第页,d日)={ 第页2(克−1)+1克≥2gcd公司(第页,d日)克=1
特别是，当第页和d日是互质的，𝒰C类(第页,d日)是一个光滑簇，其点参数化了稳定向量丛的同构类。此外，对于克=1，我们还有一个同构𝒰C类(第页,d日) ≃C类; 参见[1]和[26].
让C类是具有单个节点的节点曲线第页和两个光滑不可约分量C类1和C类2.构造向量丛模空间的紧化C类我们按照Seshadri的方法引入深度一滑轮[23].
定义2.1
相干的捆E类在C类是的深度1如果每个扭转截面在C类.
相干的捆E类在C类深度为1当且仅当节点处的茎第页与同构O（运行）⊕O（运行）1⊕O（运行）问题2，请参阅[23]. 特别是，任何向量束E类在C类是一层很深的一层。如果E类是一层很深的一层吗C类，然后是它的限制E类|Ci公司是一个无扭转的层C类我\第页（可能为零）。此外E类也是深度一。
让E类是一束有深度的C类。我们定义相对等级属于E类在组件上C类我作为限制等级E类我=E类|Ci公司属于E类到C类我
(2.2)
第页我=卢比(E类我)
和多级属于E类作为一对(第页1,第页2).我们定义相对度属于E类关于组件C类我作为限制的程度E类我
(2.3)
d日我=度(E类我)=χ(E类我)−第页我χ(O（运行）C类我),
哪里χ(E类我)是的Euler特征E类我. The多角度属于E类是这对吗(d日1,d日2).
定义2.2
A类极化w属于C类由一对有理权重给出(周1,周2)这样0<周我<1和周1+周2= 1. 对于任何捆E类深度1开C类，属于多级(第页1,第页2)和χ(E类) =χ，我们定义极化斜率作为
μ周(E类)=χ周1第页1+周2第页2.
定义2.3
让E类是一捆深的C类.E类被称为周-半稳定的如果是任何次轴F类⊆E类我们有μ周(F类) ≤μ周(E类);E类被称为周-稳定的如果μ周(F类) <μ周(E类)对于所有适当的子轴F类属于E类.
对于每个周-半稳定层E类深度为1C类存在深度为1的滑轮的有限过滤C类:
0=E类0⊂E类1⊂E类2⊂⋯⊂E类k个=E类
这样每个商E类我/E类我−1是一个周-深度为1的稳定层C类带极化斜率μ周(E类我/E类我−1) =μ周(E类). 这称为Jordan–支架过滤属于E类.捆
G公司第页周(E类)=⊕我=1k个E类我/E类我−1
被称为与E相关的毕业生层它只依赖于同构类E类.让E类和F类是周-深度为1的半稳定滑轮C类我们这么说E类和F类是𝒮周-等价的当且仅当希腊周(E类) ≃希腊周(F类). 如果E类和F类是周-然后稳定滑轮𝒮周-等价只是同构，就像在光滑情况下一样。
存在一个模量空间𝒰秒C类(周, (第页1,第页2),χ)参数化同构类周-深度为1的稳定滑轮C类多秩的(第页1,第页2)并给出了欧拉特征χ，请参阅[23]. 它具有自然的紧凑性𝒰C类(周, (第页1,第页2),χ)，其点对应于𝒮周-的等价类周-深度为1的半稳定滑轮C类多秩的(第页1,第页2)并给出了欧拉特征χ特别是，当第页1=第页2=第页，我们表示为𝒰C类(周,第页,χ)相应的模空间。在这种情况下，我们得到了以下结果（请参见[24]和[25]):
定理2.1
设C是具有单节点p和两个光滑不可约分量C的节点曲线我g属我≥ 1，我= 1, 2对于一般极化，我们有以下属性:
任意w稳定向量束E∈𝒰C类(周,第页,χ)满足以下条件:
(2.4)
周我χ(E类)≤χ(E类我)≤周我χ(E类)+第页,
其中E我是E到C的限制我;
如果C上的向量束E满足i的上述条件= 1, 2和限制E1 和E2 是半稳定向量丛，则E是w离散的。此外，如果至少一个限制是稳定的，则E是w-stable；
模空间 𝒰C类(周,第页,χ)是连通的，每个不可约分量都有维数r2(第页一(C类) − 1) + 1它对应于多角度的选择(d日1,d日2)满足条件2.4.
定义2.4
我们用表示𝒰C类(周,第页,χ)d日1,d日2的不可约分量𝒰C类(周,第页,χ)对应于多角度(d日1,d日2).
3深度1滑轮的施工
在本节中，我们将讨论节点曲线上深度为1的滑轮的构造C类具有两个不可约分量和一个节点。我们从以下引理开始：
引理3.1
让C1 和C2 属g的光滑复射影曲线我≥ 1，我= 1, 2、和q我∈C类我.修复r≥ 2和d1,d日2∈ ℤ使得r与d都互素1 和d2.则存在射影束
π:ℙ(F类)→U型C类1(第页,d日1)×U型C类2(第页,d日2)
这样光纤就会覆盖([E类1], [E类2])是ℙ（霍姆(E类1,q个1,E类2,q个2))，其中E我,气 是E的纤维我在q点我.
证明.作为第页和d日我是互质的，存在一个庞加莱丛P（P）我关于半稳定向量丛的模空间C类我级别的第页和学位d日我，即向量束P（P）我在𝒰Ci公司(第页,d日我)×C类我这样的话P（P）我|[工程安装]×Ci公司≃E类我，在标识下[E类我]×C类我≃C类我。这是由于[20]如果克我≥2和同构𝒰Ci公司(第页,d日我)≃C类我什么时候克我= 1. 对于我=1,2，考虑自然夹杂物
ι我:U型C类我(第页,d日我)×q个我→U型C类我(第页,d日我)×C类我,
和后撤ι我∗(P（P）我)庞加莱束。自𝒰Ci公司(第页,d日我)×q个我与同构𝒰Ci公司(第页,d日我),ι我∗(P（P）我)可以看作是上的向量丛𝒰Ci公司(第页,d日我)级别的第页其光纤位于[E类我]实际上是E类我,气.
请注意，产品𝒰C1类(第页,d日1)×𝒰指挥与控制(第页,d日2)是一个光滑的不可约变种。让第页1和第页2表示产品对因子的预测。我们定义于𝒰C1类(第页,d日1)×𝒰指挥与控制(第页,d日2)以下层：
(3.1)
F类:=H（H）o（o）米(第页1*(ι1*(P（P）1)),第页2*(ι2*(P（P）2))).
通过施工，F类是秩向量束第页2其光纤位于该点([E类1], [E类2])是Hom(E类1,q个1,E类2,q个2). 通过取相关的射影丛，我们得出了这个证明。
让C类1和C类2是光滑的不可约曲线。我们考虑节点曲线C类具有两个平滑组件和一个节点第页通过识别点获得q个1∈C类1和q个2∈C类2.让E类我是稳定的秩向量丛第页和学位d日我在C类我并考虑一个非零同态σ:E类1,q个1→E类2,q个2纤维之间。假设σ是k个，1≤k个≤第页我们可以将这些数据与节点曲线上的深度一层关联起来C类大致来说，通过粘合向量束E类1和E类2沿光纤（位于q个1和q个2分别）具有同态σ，如下所示：
让j个第页包括第页在里面C类然后让j个我:C类我→C类包括C类我在里面C类对于我=1，2。这捆草j个我∗E类我深度是一层C类其茎位于第页是的茎E类我在q个我因此，有一个通过限制纤维给出的自然满射图E类我在q个我即地图
ρ我:j个我*E类我→E类我,q个我.
这捆草j个1∗(E类1)⊕j个2∗(E类2)深度为1开C类我们有一张地图
ρ1⊕ρ2:j个1*E类1⊕j个2*E类2→E类1,q个1⊕E类2,q个2.
捆j个第页∗j个第页∗j个2∗(E类2)也有深度一，它是一层摩天大楼第页谁的茎是E类2,q个2所以我们又有了一张满射图
ρ:j个第页*j个第页*j个2*(E类2)→E类2,q个2.
让σ:E类1,q个1→E类2,q个2是非零同态并考虑诱导满射映射
σ⊕我d日:E类1,q个1⊕E类2,q个2→伊姆河(σ)⊕E类2,q个2.
此外，我们还有地图
δ:伊姆河(σ)⊕E类2,q个2→E类2,q个2
它发送(u个，ν）至u个− ν. 我们用表示Δ⊂我(σ)？我(σ)对角线。按结构我们有
Δ≃ℂ第页k个.
最后我们定义了滑轮的映射
σ˜:j个1*(E类1)⊕j个2*(E类2)→j个第页*j个第页*j个2*(E类2)
通过要求以下图表相互转换。
紧随其后的是构造kerσ̃是一层很深的一层C类，这与E类我在C类我\第页可以很容易地看出，ker的同构类σΓ不依赖于E类我此外，如果使用σ'=λσ具有λ∈ ℂ∗，而不是σ.
从现在开始，我们假设引理3.1持有。让ℙ(F类)是上的射影束𝒰C1类(第页,d日1)×𝒰指挥与控制(第页,d日2). 我们可以得出结论，ker的构造σ̃取决于u个= (([E类1], [E类2])[σ]) ∈ ℙ(F类)而不是关于E类1,E类2和σ.
定义3.1
我们用表示E类u个的核心σ̃由定义u个∈ ℙ(F类).
上述结构给出了以下内容：
提议3.2
让Eu个是u定义的层=================================================================(([E类1], [E类2]), [σ]) ∈ ℙ(F类)然后是Eu个是C上具有χ的深度1层(E类u个) =χ(E类1) +χ(E类2)−r和多秩(第页,第页)它是向量丛当且仅当σ是同构。在这种情况下，Eu个|Ci公司=E类我.
证明.让Rk(σ) =k个.自E类u个是一根深一层的草E类u个在节点第页与同构
O（运行）第页一⊕O（运行）q个1b条⊕O（运行）q个1c（c）
哪里一+b条=卢比(E类u个|C类1) =第页和一+c（c）=卢比(E类u个|C类2) =第页（请参见第2节). 从图3.2中，它遵循了E类u个在里面第页是k个，所以一=k个。因此，我们
E类u个|第页≃O（运行）第页k个⊕O（运行）q个1第页−k个⊕O（运行）q个2第页−k个.
特别地，E类u个是向量束当且仅当k个=第页，即确切时间σ是一种同构。
为了获得周-半稳定层，对于某些极化周，需要以下条件：
引理3.3
让E=E类u个是u定义的层= (([E类1], [E类2])[σ]) ∈ ℙ(F类)设k是σ的秩。如果E对某些w是w可调的，则满足以下条件:
(3.3)
χ(E类)周1≤χ(E类1)≤χ(E类)周1+k个 和 χ(E类)周2+第页−k个≤χ(E类2)≤χ(E类)周2+第页.
证明.假设E类是周-极化半稳定周.让K（K）1成为地图的核心
σ°ρ1:j个1*E类1→伊姆河σ,
然后让K（K）2成为地图的核心ρ2:j个2∗E类2→E类2,q个2如图3.2所示。自K（K）我是的副标题E类，由周-的半稳定性E类我们有μ周(K（K）我)≤μ周(E类). 我们也有
μ周(K（K）1)=χ(K（K）1)周1第页=χ(E类1)−k个周1第页≤χ(E类)第页,
这意味着
χ(E类1)≤χ(E类)周1+k个.
通过更换χ(E类1) =χ(E类) −χ(E类2) +第页在上述不等式中，我们得到
χ(E类2)≥χ(E类)周2+第页−k个.
最后，我们有
μ周(K（K）2)=χ(K（K）2)周2第页=χ(E类2)−第页周2第页≤χ(E类)第页,
这意味着
χ(E类2)≤χ(E类)周2+第页.
同样，通过更换χ(E类2) =χ(E类) −χ(E类1) +第页我们获得χ(E类1)≥χ(E类)周1.
鉴于u个= (([E类1], [E类2])[σ])和E类u个由定义u个，我们想知道是否存在极化周使上述第3.3条适用。答案仅取决于以下数值假设(χ(E类1),χ(E类2))和Rkσ，如下引理所示。
引理3.4
让r≥ 2和1 ≤k个≤r是整数。存在非空子集W公司第页,k个⊂ ℤ2 这样对于任何一对(χ1,χ2)∈W公司第页,k个 我们可以找到满足条件的极化w
(3.4)
χ周1≤χ1≤χ周1+k个 一n个d日 χ周2+第页−k个≤χ2≤χ周2+第页, 周小时电子第页电子 χ=χ1+χ2−第页.
证明注意，如果χ=0，即。χ1+χ2=第页我们假设0≤χ1≤第页，然后是任何极化周满足条件3.4。我们根据χ.假设χ> 0. 然后存在极化周满足条件3.4，当且仅当以下系统具有解决方案：
χ1−k个χ≤周1≤χ1χ, χ2−第页χ≤周2≤χ2+k个−第页χ, 周1+周2=1, 0<周我<1,周我∈ℚ.
当且仅当χ1>0和χ2>第页−k个同样，如果χ<0，那么我们就有了系统
χ1χ≤周1≤χ1−k个χ, χ2−第页+k个χ≤周2≤χ2−第页χ, 周1+周2=1, 0<周我<1,周我∈ℚ,
它有解当且仅当χ1<k个和χ2<第页.
备注3.1
让
W公司第页=∩k个=1第页W公司第页,k个.
请注意，它是一个非空子集，实际上W公司第页,1此外，如果(χ1,χ2) ∈W公司第页然后通过证明引理3.4因此我们可以找到极化周全部满足条件3.4k个= 1, . . . ,第页.
假设Rkσ=第页，即。E类是一个向量丛。那么引理3.3在中是相同的定理2.1因此，根据上述定理，它们也足以给出周-的半稳定性E类因此，我们得到以下结果：
推论3.5
让E=E类u个是u定义的层============================================================(([E类1], [E类2]), [σ]) ∈ ℙ(F类).假设卢比σ=r和(χ(E类1),χ(E类2))∈W公司第页,第页然后存在极化w，使得E是w可调的。特别是，由于E我是稳定的，那么E也是w稳定的.
不幸的是，当E类u个不是向量束引理3.3不足以确保周-半稳定性，参见[25]例如。然而，我们能够生成𝒰C1类(第页,d日1)×𝒰C1类(第页,d日1)这样，对于每一个u个在这个开放子集上，层E类u个是周-半稳定。
我们回顾了以下定义，请参见[16].
定义3.2
让G公司是光滑曲线上的向量束。对于每个整数k个我们设置了
μk个(G公司)=度(G公司)+k个卢比(G公司).
向量束G公司被称为(米,k个)-半稳定的（分别为稳定的)如果是任何次轴F类我们有
μ 米 ( F类 ) ≤ μ 米 − k个 ( G公司 ) （分别为 < .
提议3.6
让E=E类u个是u定义的层= (([E类1], [E类2]), [σ]) ∈ ℙ(F类).假设卢比σ=k个≤第页−1.如果(χ(E类1),χ(E类2)) ∈W公司第页,k个，E1 是（0，k个)-半稳定和E2 是(0,第页)-半稳定，则存在极化w，使得E是w离散的。此外，如果E1 是(0,k个)-稳定或E2 是(0,第页)-稳定，那么E也是w稳定的.
证明.自(χ(E类1),χ(E类2))∈W公司第页,k个，由引理3.4存在极化周使必要的条件3.3保持不变。我们声称，如果E类1是（0，k个)-半稳定和E类2是（0，第页)-那么是半稳定的E类是周-半稳定。
让F类⊂E类成为一个下层；这也是一束很深的一束。假设F类具有多列(秒1,秒2)在节点处第页的茎F类
O（运行）第页S公司⊕O（运行）q个1一⊕O（运行）q个2b条
具有秒≥ 0,秒1=秒+一≤第页和秒2=秒+b条≤第页自Rk起σ=k个,通过建造E类在
第页 是O（运行）第页k个.
这意味着0≤秒≤k个.
根据构造，存在两个向量束F类1⊆E类1和F类2⊆E类2这样的话F类是限制的核心σ̃到下层j个1∗(F类1)⊕j个2∗(F类2):
σ˜∣j个1*(F类1)⊕j个2*(F类2):j个1*(F类1)⊕j个2*(F类2)→j个第页*j个第页*j个2*(E类2).
如图3.2所示，我们推断F类按如下顺序进行调整：
0→G公司1⊕G公司2→F类→ℂ第页S公司→0,
哪里G公司1是的核心(σ∘ρ1)|F类1和G公司2是的核心ρ2|F类2.因此G公司我⊆K（K）我注意，如果秒=0，那么实际上F类≃G公司1⊕G公司2.
对于任何秒，我们计算周-的斜率F类:
μ周(F类)=χ(F类)周1秒1+周2秒2=χ(G公司1)+χ(G公司2)+秒周1秒1+周2秒2=度(G公司1)+秒1(1−克1)+度(G公司2)+秒2(1−克2)+秒周1秒1+周2秒2.
自E类1是（0，k个)-半稳定，我们有
度(G公司1)秒1≤d日1−k个第页.
自E类2是（0，第页)-半稳定，E类2（−q个2)是（0，第页)-也是半稳定的，所以我们有
度(G公司2)秒2≤d日2−2第页第页.
通过替换，我们获得：
(3.5)
μ周(F类)≤1周1秒1+周2秒2[ 秒1周1((d日1−k个)+第页(1−克1)周1第页)+秒2周2((d日2−第页)+第页(1−克2)周2第页)+秒−秒2 ]==秒1周1周1秒1+周2秒2μ周(K（K）1)+秒2周2周1秒1+周2秒2μ周(K（K）2)+秒−秒2周1秒1+周2秒2.
由引理3.3我们有μ周(K（K）我)≤μ周(E类)，因此我们得到：
μ周(F类)≤μ周(E类)+秒−秒2周1秒1+周2秒2.
自秒负极秒2≤0，我们有μ周(F类) ≤μ周(E类).
最后，如果E类1是（0，k个)-稳定或E类2是（0，第页)-稳定，则上述不等式是严格的。
注意，根据定义，如果E类我是（0，第页)-稳定，那么它也是（0，k个)-对所有人来说都很稳定k个≤第页.
引理3.7
让 𝒰Ci公司(第页,d日我)是秩r和度d的半稳定向量丛的模空间我在光滑曲线C上我g属我.如果d我和r是互质和g我>第页+ 1，那么向量束的轨迹 𝒰Ci公司(第页,d日我)哪些是(0,第页)-stable是的非空开子集 𝒰Ci公司(第页,d日我).
证明.我们考虑轨迹
Y（Y）={ [E类]∈U型C类我(第页,d日我)∣E类 不是(0,第页)− 稳定的 }
和子集Y（Y）一,秒属于Y（Y）由所有稳定向量丛给出E类可以写为0→F类→E类→问→ 0，其中F类是的子束E类带度(F类) =一和Rk(F类) =秒≤第页−1和
μ(E类)−1=μ−第页(E类)≤μ(F类)≤μ0(E类)=μ(E类).
变形论证（见[21])表明如果Y（Y）一,秒≠0，则对于一般情况E类在里面Y（Y）一,秒二者都F类和问是稳定的。此外，由于E类很稳定，我们有霍姆(问,F类) = 0. 因此我们可以写
昏暗的Y（Y）一,秒≤昏暗的U型C类我(秒,一)+昏暗的U型C类我(第页−秒,d日我−一)+昏暗的H（H）1(C类我,H（H）o（o）米(问,F类))负极1= =(克我−1)(第页2−第页秒+秒2)+1+(d日我秒−一第页).
因此
昏暗的U型C类我(第页,d日我)−昏暗的Y（Y）一,秒≥(克我−1)(第页秒−秒2)−(d日我秒−一第页).
自E类∈Y（Y），我们有μ0(F类) ≥μ负极第页(E类)，即。
一秒≥d日我−第页第页,
这意味着d日我秒−应收账≤秒最后，如果克我> 1 +第页那么，对所有人来说秒≤第页−1我们有
昏暗的U型C类我(第页,d日我)−昏暗的Y（Y）一,秒≥秒[ (克我−1)(第页−秒)−第页 ]>0,
证明到此结束。
4主要成果
在本节中，我们将证明我们的主要结果。我们假设引理3.1感到满意。让ℙ(F类)是上的射影束𝒰C1类(第页,d日1)×𝒰指挥与控制(第页,d日2). 对于1≤k个≤第页−1让B类k个是ℙ的子集(F类)这样的话
B类k个∩π−1([ E类1 ],[ E类2 ])={ [σ]∈ℙ(霍姆(E类1,q个1,E类2,q个2))∣卢比(σ)≤k个 }.
它是ℙ的一个真闭子变种(F类).
定义4.1
我们用表示U型补码给出的开子集B类第页−1英寸(F类).
备注4.1
注意，暗淡U型=尺寸(F类) =第页2(克1+克2− 1) + 1. 表示方式πU型对…的限制π到U型.通过施工，
πU型:U型→U型C类1(第页,d日1)×U型C类2(第页,d日2)
是纤维束，其纤维与PGL同构(第页). 更确切地说，
πU型−1([ E类1 ],[ E类2 ])=ℙ(GL公司(E类1,q个1,E类2,q个2)).
对于χ=d日1+d日2+第页(1 −克1−克2)，让𝒰C类(周,第页,χ)d日1,d日2是深度为1的滑轮的模空间的不可约分量C类级别的第页和特性χ对应于多角度(d日1,d日2); 看见第2节.让五C类(周,第页,χ)d日1,d日2⊂𝒰C类(周,第页,χ)d日1,d日2是向量束的子集参数化类。
定理4.1
设C是具有单节点p和两个光滑不可约分量C的节点曲线我g属我≥ 1.修复r≥ 2.对于任何d我∈ ℤ我们设置χ我=d日我+第页(1 −克我)和χ=d日1+d日2+第页(1 −克1−克2).假设r与d都是互质1 和d2 还有那个(χ1,χ2)∈W公司第页,第页.然后存在极化w，使得地图
φ:ℙ(F类)−−>U型C类(周,第页,χ)d日1,d日2
将u发送到[E类u个]是双语的。特别是限制φ|U型 是一个内射态射和图像φ(U型)包含在中 五C类(周,第页,χ)d日1,d日2.
证明.让u个= (([E类1], [E类2]), [σ]) ∈ ℙ(F类)考虑一下这个捆E类=E类u个由定义u个，如中所示第3节.自(χ1,χ2)∈W公司第页,第页，由于引理3.4和推论3.5存在极化周这样的话E类u个是周-对于每个u个∈U型。这给出了模空间中的一个点𝒰C类(周,第页,χ)d日1,d日2它表明φ至少在上定义良好U型.
我们证明了这一点φ|U型是内射的。让
u个=(([ E类1 ],[ E类2 ]),[σ]) 和u个′=(([ E类1′ ],[ E类2′ ]),[ σ′ ])
在里面U型具有φ(u个) = [E类]和φ(u个') = [E类']. 假设φ(u个) =φ(u个'). 自E类和E类'都是周-稳定且相同𝒮周-等价类，它们必须是同构的（请参见第2节). 让τ:E类→E类'是一种同构。这导致了同构τ我:E类我→E类我。所以我们可以假设
E类我′=E类我;
因此σ,σ':E类1,q个1→E类2,q个2和τ我:E类我→E类我是同构的。作为E类第页（分别为
E类第页′ )
通过粘合获得E类1,q个1具有E类2,q个2沿着同构σ（分别沿σ')，的τ我必须满足以下交换图中总结的兼容性条件：
自E类我很稳定，我们有Hom(E类我,E类我)ℂ∙id工程安装.因此(τ我)气是乘以一些λ我∈ ℂ∗特别是，σ'是的非零倍数σ因此[σ] = [σ'].
现在我们证明φ|U型是一个态射。这足以证明φ在u个0，对于任何u个0∈U型对此，我们声称存在一个非空的开放子集W公司⊆U型具有u个0∈W公司和向量束E类在W公司×C类这样的话
[ ε|u个×C类 ]=φ(u个) 为所有人u个∈W公司.
步骤1：有两个滑轮问和R（右）在U型×C类这样，对于每个u个= (([E类1], [E类2], [σ]) ∈U型我们有
问|u个×C类≃j个1*(E类1)⊕j个2*(E类2), R（右）∣u个×C类≃j个第页*(j个第页*(j个2*(E类2))),
哪里j个第页:第页↪C类和j个我:C类我↪C类是天然包裹体。
考虑一下图表
其中出现的态射被定义为
(4.2)
J型 我 = 我 d日 U型 c（c） 我 第页 , d日 我 × j个 我 , P（P） 我 = 第页 我 × 我 d日 C类 , Π U型 = π U型 × 我 d日 C类 , J型 第页 = 我 d日 U型 × j个 第页 .
如前所述，我们用P（P）我上的庞加莱束𝒰Ci公司(第页,d日我)×C类我然后我们设置
问 我 = Π U型 ∗ P（P） 我 ∗ J型 我 ∗ P（P） 我 , 问 = 问 1 ⊕ 问 2 和 R（右） = J型 第页 ∗ J型 第页 ∗ 问 2 .
请注意，Supp(R（右）) =U型×第页此外，如果我们确定U型×第页具有U型我们有
(4.3)
J型第页*(问我)≃πU型*(第页我*(ι我*P（P）我)),
哪里ι我:𝒰Ci公司(第页,d日我)×q个我↪𝒰Ci公司(第页,d日我)×C类我.
步骤2：有一个开放子集W公司⊂U型包含u个0和滑轮的满射图
问1⊕问2|W公司×C类→ΣW公司R（右）|W公司×C类
其核是所需的向量束E类在W公司×C类.
让π: ℙ(F类)→𝒰C1类(第页,d日1)×𝒰指挥与控制(第页,d日2)是中定义的投影束引理3.1.关于ℙ的思考(F类)重言式线束O（运行）ℙ(F类)（−1），定义为π∗(F类)其光纤位于u个∈ ℙ(F类)是
跨度(σ)⊂霍姆(E类1,q个1,E类2,q个2),
哪里u个= (([E类1], [E类2]), [σ]).我们可以选择W公司成为的开放子集U型包含点u个0并接纳一个部门秒∈O（运行）ℙ(F类)(−1)(W公司)带有秒(u个)≠0对于任何u个∈W公司.
特别地，秒生成滑轮图
(4.4)
秒:πU型*第页1*(我1*(P（P）1)) )|W公司→πU型*第页2*(我2*(P（P）2)) )|W公司
这样的话秒u个:E类1,q个1→E类2,q个2是同构[秒u个] = [σ]在ℙ（霍姆(E类1,q个1,E类2,q个2)). 我们还可以定义滑轮的形态
(4.5)
秒−身份证件2:πU型*第页1*(我1*(P（P）1)) )|W公司⊕πU型*第页2*((我2*(P（P）2)))|W公司→πU型*第页2*(我2*(P（P）2)) )|W公司
其中id2是的身份
πU型*第页2*(我2*(P（P）2)) )|W公司.
这允许我们定义映射ΣW公司我们正在寻找。事实上，自从Supp(R（右）|W公司×C类) =W公司×第页，这就足够给地图了W公司×第页，可以用W公司使用同构4.3，我们有一个图，它定义了ΣW公司:
通过取核E类根据这张地图，我们得出了证明这一主张的第二步。特别地，φ|U型是一个态射。
通过施工，φ(U型)包含在中五C类(周,第页,χ)d日1,d日2它与周-其限制是半稳定的半稳定向量丛。此外，五C类(周,第页,χ)d日1,d日2是的稠密开放子集𝒰C类(周,第页,χ)d日1,d日2，请参阅[23]. 由备注4.1我们有
昏暗的(φ(U型))=昏暗的(U型)=第页2(克1+克2−1)+1,
它是的尺寸𝒰C类(周,第页,χ)d日1,d日2，请参阅定理2.1。这意味着φ是一张主导地图。因此，通过一般的平滑度论证，我们可以得出以下结论φ|U型是一个双有理态射。
推论4.2
设C是具有单个节点p和两个光滑不可约分量C的节点曲线我g属我≥ 1.假设模空间 𝒰C类(周,第页,χ)具有与bidegree对应的不可约分量(d日1,d日2)带有d1 和d2 与r互素，则此分量对光滑簇上的射影丛是双有理的 𝒰C1类(第页,d日1)×𝒰指挥与控制(第页,d日2).
请注意φ提供组件的去三角化𝒰C类(周,第页,χ)d日1,d日2.如果曲线的亏格C类我足够大，我们可以更精确地了解有理映射的域φ.如果克我>第页+1，然后按引理3.7向量丛的轨迹𝒰Ci公司(第页,d日我)它们是（0，第页)-stable是的非空开放子集𝒰Ci公司(第页,d日我); 让我们用表示五我.
定义4.2
我们用表示五开放子集π−1(五1×五2)英寸(F类).
通过施工，五是一个射影束五1×五2.
定理4.3
假设定理的假设4.1持有。此外，让g我>第页+ 1和(χ1,χ2) ∈W公司第页然后存在极化w，使得映射φ将u发送到[E类u个]是一个双民族地图，因此φ|U型 ∪五 是一个态射.
证明.自(χ1,χ2)∈W公司第页，签署人备注3.1存在极化周条件3.4适用于任何k个= 1, . . . ,第页特别是，作为W公司第页⊂W公司第页,第页,定理4.1持有：φ是在开放子集上定义的双有理映射U型.
假设u个∈五和u个∉𝒰。那么u个= (([E类1], [E类2]), [σ])，使用([E类1], [E类2])∈五1×五2和Rkσ≤第页− 1.
自[E类我]∈五我，引理3.6意味着E类u个是周-因此是半稳定的φ在整个开放子集上定义五也是。为了证明这一点φ|五是一个态射，我们可以像证明定理4.1，只需更换U型具有五和𝒰Ci公司(第页,d日我)带有五我.
5定常模空间
让C类是属的平滑曲线克≥1且我∈图片d日(C类).我们回忆起秩半稳定向量丛的模空间第页和行列式我在C类表示为𝒮𝒰C类(第页,我)它是一个不可约的投射簇。它是行列式映射的纤维
det（探测）:U型C类(第页,d日)→照片d日(C类).
在本节中，我们研究模空间的类似子簇𝒰C类(周,第页,χ)d日1,d日2具有两个不可约分量的节点可约曲线C类我.固定一对(我1,我2)带有我我∈图片di（数字）(C类我). 请注意，存在唯一的线束我关于节点曲线C类其对组件的限制C类我是我我回忆一下五C类(周,第页,χ)d日1,d日2⊂𝒰C类(周,第页,χ)d日1,d日2是开放子集参数化周-用向量丛表示的半稳定类。
定义5.1
让我是电线束C类这是由这一对引起的(我1,我2).我们定义𝒮𝒰C类(周,第页,我)随着
{ [E类]∈五C类(周,第页,χ)d日1,d日2∣det（探测）E类=我 }
在里面𝒰C类(周,第页,χ)d日1,d日2.
如果我们假设第页和d日我那么是互质的𝒮𝒰Ci公司(第页,我我)是维的光滑不可约射影变种(第页2−1）(克我− 1). 如中所示引理3.1，我们可以定义一个向量束F类我在𝒮𝒰C1类(第页,我1)×𝒮𝒰指挥与控制(第页,我2)只是通过限制F类然后我们可以考虑相关的射影束ℙ(F类我)和
U型我=U型∩ℙ(F类我),
一个PGL(第页)-捆绑在上𝒮𝒰C1类(第页,我1)×𝒮𝒰指挥与控制(第页,我2). 我们用表示φ我态射的限制φ定义于定理4.1到𝒰我.由于定理4.1，我们有以下内容：
推论5.1
在定理假设下4.1，地图
φ我:ℙ(F类我)−−>S公司U型C类(周,第页,我)
是双有理映射，其限制φ我|𝒰我是内射态射.
证明。φ我|𝒰我是一个态射，它的图像是集合Imφ我= {E类∈五C类(周,第页,χ)d日1,d日2| [E类|Ci公司] ∈𝒮𝒰Ci公司(第页,我我)}. 特别是，我φ我⊆𝒮𝒰C类(周,第页,我). 考虑一下地图
ψ:νC类(周,第页,χ)d日1,d日2→照片d日1(C类1)×照片d日2(C类2),
发送E类至（det(E类|C类1)，检测(E类|C类2))，符合以下交换图：
紧接着ψ是一个满射态射φ我⊂ψ−1(我1,我2).
我们声称ψ具有尺寸不可约的纤维(第页2− 1)(克1+克2− 1).
首先我们证明ψ是同构的。如果(我1,我2)和(我'1,我'2)在图片中第1天(C类1)×图片第2天(C类2)，那么就存在ξ我∈图片0(C类我)这样的话
我我⊗ξ我第页≃我我′.
让ξ成为唯一的线路束C类这样的话ξ|Ci公司≃ξ我.自然地图
ψ−1(我1,我2)→ψ−1(我1′,我2′)
发送E类到E类⊗ξ保存周-半稳定性并给出了纤维的同构。特别是，利用纤维尺寸定理（参见[13]，p.95）这意味着任何纤维都有纯尺寸(第页2− 1)(克1+克2− 1).
最后我们证明了任何纤维都是不可约的。让Y（Y）=五C类(周,第页,χ)d日1,d日2\φ(U型); 它是五C类(周,第页,χ)d日1,d日2假设ψ超过(我1,我2)是可约的，并且让F类1是包含φ(𝒰我). 然后存在一个不可约分量F类2⊂Y（Y）因此ψ到Y（Y）是纤维具有维数的满射态射(第页2−1)(克1+克2−1). 这意味着暗淡Y（Y）=尺寸五C类(周,第页,χ)d日1,d日2，这是不可能的。
这使我们可以得出以下结论𝒮𝒰C类(周,第页,我)也是不可约的并且φ我是一个双有理态射。
定理5.2
在定理假设下4.1,𝒮𝒰C类(周,第页,我)是一个合理的品种.
证明.通过假设d日我和第页互素，因此模空间𝒮𝒰Ci公司(第页,我我)对于任何线束都是合理的我我∈图片di（数字）(C类我)，请参阅[14], [17]和[19]. 自𝒰我是一个ℙ第页2−1-捆绑在产品上𝒮𝒰C1类(第页,我1)×𝒮𝒰指挥与控制(第页,我2)，这也是一个合理的品种。断言来自推论5.1.
