证明。
首先，我们证明了
E类
（f）
′′
(
Ω
)
.在（i）和（ii）两种情况下，我们都遵循定理的证明2.4.
在情况（i）中，我们可以重复所有的定理演算2.4具有
Ω
ε
替换为Ω（因此，当ε趋于零时，无需考虑不同项的极限）。
在案例（ii）中，我们需要确定
林
ε
→
0
K（K）
三
(
ε
)
.为此，我们对上的法向量和切向量使用以下扩展
∂
Ω
ε
,
ν
ε
=
-
∇
U型
|
∇
U型
|
,
τ
ε
=
ν
ε
⊥
=
-
∇
⊥
U型
|
∇
U型
|
.然后我们有
K（K）
三
(
ε
)
=
¦Β
∂
Ω
ε
ℋ
ε
|
∇
U型
|
2
|
V（V）
|
2
=
-
¦Β
∂
Ω
ε
|
∇
U型
|
2
(
ν
ε
⋅
∂
秒
ε
τ
)
|
V（V）
|
2
=
-
¦Β
∂
Ω
ε
|
∇
U型
|
2
(
ν
ε
⋅
∇
[
∇
⊥
U型
|
∇
U型
|
]
⋅
∇
⊥
U型
|
∇
U型
|
)
|
V（V）
|
2
=
-
¦Β
∂
Ω
ε
|
∇
U型
|
2
(
ν
ε
我
[
∂
j个
∂
我
⊥
U型
|
∇
U型
|
-
∂
我
⊥
U型
∂
j个
k个
U型
∂
k个
U型
|
∇
U型
|
三
]
∂
j个
⊥
U型
|
∇
U型
|
)
|
V（V）
|
2
=
-
¦Β
∂
Ω
ε
ν
ε
我
(
[
∂
j个
∂
我
⊥
U型
]
∂
j个
⊥
U型
|
V（V）
|
2
)
+
¦Β
∂
Ω
ε
(
ν
我
∂
我
⊥
U型
)
[
∂
j个
k个
U型
∂
k个
U型
∂
j个
⊥
U型
|
∇
U型
|
2
]
|
V（V）
|
2
=
-
¦Β
Ω
ε
∂
我
(
[
∂
j个
∂
我
⊥
U型
]
∂
j个
⊥
U型
|
V（V）
|
2
)
（A.2）
=
-
¦Β
Ω
ε
[
∂
j个
∂
我
⊥
U型
]
∂
我
(
∂
j个
⊥
U型
|
V（V）
|
2
)
→
ε
→
0
-
¦Β
Ω
[
∂
j个
∂
我
Ş
U型
]
∂
我
(
∂
j个
⊥
U型
|
V（V）
|
2
)
=
:
¦Β
∂
Ω
ℋ
|
∇
U型
|
2
|
V（V）
|
2
.
结果的证明
λ
1
′′
(
Ω
)
类似于
E类
（f）
′′
(
Ω
)
我们不在这里介绍它。∎
证明。
这是经典的，参见示例[7]，用于
小时
∈
H（H）
1
/
2
(
∂
Ω
)
，其半范数由下式给出
（A.3）
|
小时
|
H（H）
1
/
2
(
∂
B类
)
2
=
¦Β
∂
B类
𝑑
秒
年
¦Β
∂
B类
|
小时
(
x个
)
-
小时
(
年
)
|
2
|
x个
-
年
|
2
𝑑
秒
x个
.
对于
θ
,
η
∈
(
-
π
,
π
)
,
x个
=
(
科斯
θ
,
罪
θ
)
,
年
=
(
科斯
η
,
罪
η
)
我们设置（略带滥用符号）
小时
(
θ
)
=
小时
(
x个
)
,
小时
(
η
)
=
小时
(
年
)
.然后(答3)等于
|
小时
|
H（H）
1
/
2
(
∂
B类
)
2
=
¦Β
-
π
π
𝑑
η
¦Β
-
π
π
|
小时
(
θ
)
-
小时
(
η
)
)
|
2
4
罪
2
(
θ
-
η
2
)
𝑑
θ
=
我
1
+
我
2
+
我
三
,
哪里
我
我
=
∬
A类
我
|
小时
(
θ
)
-
小时
(
η
)
|
2
4
罪
2
(
θ
-
η
2
)
𝑑
θ
𝑑
η
,
我
=
1
,
2
,
三
,
和
A类
1
=
{
(
θ
,
η
)
∈
(
-
π
,
π
)
2
:
-
π
<
θ
-
η
<
π
}
,
A类
2
=
{
(
θ
,
η
)
∈
(
-
π
,
π
)
2
:
π
<
θ
-
η
<
2
π
}
=
{
(
θ
,
η
)
∈
(
0
,
π
)
×
(
-
π
,
0
)
:
π
<
θ
-
η
<
2
π
}
,
A类
三
=
{
(
θ
,
η
)
∈
(
-
π
,
π
)
2
:
-
2
π
<
θ
-
η
<
-
π
}
=
{
(
θ
,
η
)
∈
(
-
π
,
0
)
×
(
0
,
π
)
:
-
2
π
<
θ
-
η
<
-
π
}
.
让
θ
^
=
θ
-
2
π
,
η
^
=
η
,
A类
^
2
=
A类
2
-
(
2
π
,
0
)
.然后
我
2
=
∬
A类
2
|
小时
(
θ
)
-
小时
(
η
)
)
|
2
4
罪
2
(
θ
-
η
2
)
𝑑
θ
𝑑
η
=
∬
A类
2
|
小时
(
θ
^
+
2
π
)
-
小时
(
η
^
)
|
2
4
罪
2
(
θ
^
-
η
^
2
+
π
)
𝑑
θ
𝑑
η
=
∬
A类
^
2
|
小时
(
θ
^
)
-
小时
(
η
^
)
|
2
4
罪
2
(
θ
^
-
η
^
2
)
𝑑
θ
^
𝑑
η
^
.
可以检查一下
A类
^
2
=
{
(
θ
^
,
η
^
)
∈
(
-
2
π
,
-
π
)
×
(
-
π
,
0
)
:
-
π
<
θ
^
-
η
^
<
0
}
.
类似地，让
θ
^
=
θ
+
2
π
,
η
^
=
η
,
A类
^
三
=
A类
三
+
(
2
π
,
0
)
.然后
我
2
=
∬
A类
三
|
小时
(
θ
)
-
小时
(
η
)
)
|
2
4
罪
2
(
θ
-
η
2
)
𝑑
θ
𝑑
η
=
∬
A类
三
|
小时
(
θ
^
-
2
π
)
-
小时
(
η
^
)
|
2
4
罪
2
(
θ
^
-
η
^
2
-
π
)
𝑑
θ
𝑑
η
=
∬
A类
^
三
|
小时
(
θ
^
)
-
小时
(
η
^
)
|
2
4
罪
2
(
θ
^
-
η
^
2
)
𝑑
θ
^
𝑑
η
^
.
类似于
A类
^
2
，可以检查一下
A类
^
三
=
{
(
θ
^
,
η
^
)
∈
(
π
,
2
π
)
×
(
0
,
π
)
:
0
<
θ
^
-
η
^
<
π
}
.
因此，我们得到
|
小时
|
H（H）
1
/
2
(
∂
B类
)
2
=
我
1
+
我
2
+
我
三
=
∬
A类
^
1
∪
A类
2
∪
A类
^
三
|
小时
(
θ
^
)
-
小时
(
η
^
)
|
2
4
罪
2
(
θ
^
-
η
^
2
)
𝑑
θ
^
𝑑
η
^
=
¦Β
-
π
π
𝑑
η
¦Β
{
|
θ
-
η
|
<
π
}
|
小时
(
θ
)
-
小时
(
η
)
|
2
4
罪
2
(
θ
-
η
2
)
𝑑
θ
,
因为
A类
1
∪
A类
^
2
∪
A类
^
三
是平行四边形
{
(
θ
,
η
)
:
η
∈
(
-
π
,
π
)
,
|
θ
-
η
|
<
π
}
.请注意，我们有
1
π
|
θ
-
η
|
≤
罪
|
θ
-
η
2
|
≤
|
θ
-
η
|
2
为所有人
(
θ
,
η
)
∈
A类
1
∪
A类
^
2
∪
A类
^
三
,
再加上最后一个等式证明了这一说法。∎
