跳到内容
得到许可的 未经许可 需要身份验证 发布人:德古意特出版社 2015年8月29日

分数的第二个特征值第页-拉普拉斯语

  • 洛伦佐·布拉斯科 电子邮件徽标 Enea Parini公司
来自日志变分法的进展

摘要

我们考虑了分数的第页-拉普拉斯语在开有界、可能不连通的集合中Ωn个,在齐次Dirichlet边界条件下。在讨论了特征函数的一些正则性问题后,我们证明了第二特征值λ2(Ω)定义良好,并且我们通过几个等价的变分公式对其进行了表征。特别地,我们将Cuesta、De Figueiredo和Gossez的山路特征推广到非局部和非线性环境。最后,我们考虑最小化问题

inf公司{λ2(Ω):|Ω|=c(c)}.

我们证明,与局部情况不同,即使在不连通集之间也不存在最优形状。两个不相交的体积球的并集给出了一个最小化序列c(c)/2其相互距离趋于无穷大。

MSC 2010年:35页30;47J10型;35卢比

Juha Kinnunen沟通


A一些有用的不等式I

我们将反复使用它1<第页<实函数

J第页(t吨):=|t吨|第页-2t吨

单调递增。

引理A.1

引理A.1(朝向亚溶质)

1<第页<(f):R(右)R(右)成为C类1凸函数。然后

(A.1)J第页(-b条)[A类J第页((f)())-B类J第页((f)(b条))]J第页((f)()-(f)(b条))(A类-B类)

对于每个,b条R(右)以及每个A类,B类0.

证明。

通过凸性(f)我们有

(A.2)(f)()-(f)(b条)(f)()(-b条)(f)()-(f)(b条)(f)(b条)(-b条).

通过书写的左侧(A.1款)作为

J第页(-b条)[A类J第页((f)())-B类J第页((f)(b条))]=J第页((f)()(-b条))A类-J第页((f)(b条)(-b条))B类,

我们可以通过简单的使用得到结论(A.2款)以及J第页.

下一个逐点不等式将类似的估计推广到[4,附录C]。

引理A.2

引理A.2(走向Moser迭代)

1<第页<然后让:R(右)R(右)是一个递增函数。我们定义

G公司(t吨)=0t吨(τ)1第页𝑑τ,t吨.

然后我们有

(A.3)J第页(-b条)(()-(b条))|G公司()-G公司(b条)|第页.

证明。

我们首先观察到,我们可以假设>b条不失通用性。然后

J第页(-b条)(()-(b条))=(-b条)第页-1b条(τ)𝑑τ=(-b条)第页-1b条G公司(τ)第页𝑑τ(b条G公司(τ)𝑑τ)第页,

这要归功于Jensen不等式。

备注A.3

用同样的证据可以证明,如果正在减少,那么

|-b条|第页-2(-b条)((b条)-())|H(H)()-H(H)(b条)|第页,

哪里

H(H)(t吨)=0t吨-(τ)1第页d日τ.
引理A.4

β1.然后针对每个,b条0我们有

(A.4)|-b条|第页(β-1+b条β-1)(最大值{1,(-β)})|-b条|第页-2(-b条)(β-b条β).

证明。

我们首先观察到(A.4款)对于=b条,因此让我们考虑b条。假设>b条:然后(A.4款)相当于

(1-t吨)第页(1+t吨β-1)C类(1-t吨)第页-1(1-t吨β)对于0t吨<1,

那就是

(A.5)(1-t吨)(1+t吨β-1)C类(1-t吨β).

通过观察

(1-t吨)(1+t吨β-1)=(1-t吨β)+t吨β-1-t吨,

并记住这一点0t吨<1,我们很容易得出以下结论β2,自t吨β-1-t吨0在这种情况下。如果相反1<β<2,然后通过函数的凹度ττβ-1我们有

t吨β-1-t吨=(t吨β-1-1)-(t吨-1)(β-1)(t吨-1)-(t吨-1)(2-β)(1-t吨β).

这终于说明了(A.4款)对于1<β<2也。案例β=1很明显。

引理A.5

第页1.然后

(1β)1第页β+第页-1第页1对于每个β>0.

证明。

对于第页=1没有什么可证明的,因此让我们假设第页>1。结果来自函数的凸性t吨t吨第页,这意味着

β-1第页(β1第页-1).

通过添加第页双方都得出了结论。

B一些有用的不等式II

我们仍然使用符号J第页(t吨)=|t吨|第页-2t吨.

引理B.1

1<第页<U型,V(V)R(右)这样的话U型V(V)0。我们定义了以下功能:

(t吨)=|U型-t吨V(V)|第页+J第页(U型-V(V))V(V)|t吨|第页,t吨.

然后我们有

(t吨)(1)=J第页(U型-V(V))U型,t吨.

证明。

让我们开始观察,如果U型=0,那么我们有

(t吨)=0对于每个t吨.

以同样的方式,如果V(V)=0,那么我们有

(t吨)=|U型|第页对于每个t吨.

在这两种情况下,这一结论基本正确。

因此我们可以假设U型V(V)0.那么我们有

(t吨)=-第页J第页(U型-t吨V(V))V(V)+第页J第页(U型-V(V))V(V)J第页(t吨)=第页V(V)[J第页(t吨U型-t吨V(V))-J第页(U型-t吨V(V))].

我们区分了两种情况。

  1. 案例V(V)<0U型>0.那么我们有

    (t吨)0t吨(U型-V(V))U型-t吨V(V)t吨1.

    这意味着t吨=1是函数的全局最大值点.

  2. 案例V(V)>0U型<0。我们现在有

    (t吨)0t吨(U型-V(V))U型-t吨V(V)t吨1,

    从现在起U型<0再一次,我们明白了t吨=1是全局最大值点。

在这两种情况下,我们都得到了期望的结论。

引理B.2

1<第页<.然后针对每个,b条R(右)这样的话b条0,我们有

(B.1)J第页(-b条){||第页-(第页-1)|-b条|第页-2b条,如果1<第页2,||第页-(第页-1)||第页-2b条,如果第页>2.

证明。

我们从一些基本考虑开始。首先,假设不失一般性0b条0.然后我们注意到函数J第页[0,)是凸的第页>2和凹面1<第页2.因此

(B.2)J第页(x个)+J第页()(-x个)J第页()对于1<第页2,0x个,
(B.3)J第页(x个)+J第页(x个)(-x个)J第页()对于第页>2,0x个.

我们现在来证明(B.1节),从案例开始1<第页2.通过使用(B.2节)有了选择

=-b条x个=,

我们得到

J第页(-b条)J第页()-J第页(-b条)b条=||第页-2-(第页-1)|-b条|第页-2b条,

并乘以0我们得出结论。此案的证据到此为止1<第页2.

案例第页>2通过使用(B.3节)而不是(B.2节).

引理B.3

1<第页<.然后存在一个常数c(c)第页>0这样,对于每一个,b条R(右)我们有

(B.4)|-b条|第页||第页+|b条|第页+c(c)第页(||2+|b条|2)第页-22|b条|.

证明。

我们首先假设b条0在不失一般性的情况下,我们可以假设,b条0b条.那么我们有

|-b条|第页=(-b条)第页第页||第页+|b条|第页,

因此(B.4个)已被证明。

现在让我们考虑一下这个案例b条0.在不失一般性的情况下,我们可以假设0b条0.然后(B.4个)相当于

(+τ)第页第页+τ第页+c(c)第页(2+τ2)第页-22τ,,τ0.

当然,如果=0,所以让我们采取>0将前一个除以第页。然后我们将其简化为

(1+)第页1+第页+c(c)第页(1+2)第页-22,

那就是

啜饮>0(1+)第页-1-第页(1+2)第页-22<+.

为此,只要注意到

0+(1+)第页-1-第页(1+2)第页-22=第页+(1+)第页-1-第页(1+2)第页-22=第页.

证明到此结束。

最后,我们回顾以下经典不等式。请读者参考校样[22,第10节]。

引理B.4

对于1<第页2,我们有

(B.5)(|b条|2+||2)2-第页2(J第页(b条)-J第页())(b条-)(第页-1)|b条-|2,,b条.

对于2<第页<我们有

(B.6)(J第页(b条)-J第页())(b条-)22-第页|b条-|第页,,b条.

鸣谢

这项工作的一部分是在2014年5月于Porquerolles举行的“Journées d’Analyse Appliquee e Nice-Toulon-Marseille”会议期间进行的。感谢组织者和主办机构。

工具书类

[1]Brasco L.和Franzina G。,Stekloff型各向异性特征值问题和加权Wulff不等式,NoDEA非线性微分方程应用。20 (2013), 1795–1830.2007年10月7日/00030-013-0231-4在谷歌学者中搜索

[2]Brasco L.和Franzina G。,关于Hong–Krahn–Szego不等式第页-拉普拉斯算子,数学手稿。141 (2013), 537–557.10.1007/s00229-012-0582-x在谷歌学者中搜索

[3]Brasco L.和Franzina G。,Dirichlet积分和Picone型不等式的凸性,Kodai数学。J.37(2014),769–799。10.2996/kmj/1414674621在谷歌学者中搜索

[4]Brasco L.、Lindgren E.和Parini E。,分数奇格问题,接口自由绑定。16 (2014), 419–458.10.4171/IFB/325在谷歌学者中搜索

[5]Caffarelli L.和Silvestre L。,一个与分数拉普拉斯算子有关的推广问题,Comm.偏微分方程32(2007),1245–1260。10.1080/03605300600987306在谷歌学者中搜索

[6]库斯塔·M·。,关于的极小极大定理C类1基于Ekeland变分原理的流形,文章摘要。申请。分析。13 (2003), 757–768.10.1155/S1085337503303100在谷歌学者中搜索

[7]Cuesta M.、De Figueiredo D.G.和Gossez J.-P。,Fučik光谱的开始第页-拉普拉斯学派,J.微分方程159(1999),212–238。2006年10月10日/jdeq.1999.3645在谷歌学者中搜索

[8]Di Castro A.、Kuusi T.和Palatucci G。,分数的局部行为第页-最小化,预印本(2014),http://cvgmt.sns.it/paper/2379/;出现在Ann.Inst.H.PoincaréAnal杂志上。非利奈尔。2016年10月10日/j.anihpc.2015.04.003在谷歌学者中搜索

[9]Di Castro A.、Kuusi T.和Palatucci G。,非局部Harnack不等式,J.功能。分析。267 (2014), 1807–1836.2016年10月10日/j.jfa.2014.05.023在谷歌学者中搜索

[10]Di Nezza E.、Palatucci G.和Valdinoci E。,分数Sobolev空间的漫游指南,牛市。科学。数学。136 (2012), 521–573.2016年10月10日/j.bulsci.2011.12.004在谷歌学者中搜索

[11]博士和罗宾逊S.B。,的共振问题第页-拉普拉斯学派,J.功能。分析。169 (1999), 189–200.2006年10月10日/jfan.1999.3501在谷歌学者中搜索

[12]迪达·B。,分数阶Hardy不等式,伊利诺伊州J.数学。48 (2004), 575–588.10.1215/ijm/1258138400在谷歌学者中搜索

[13]Franzina G.和Palatucci G。,分数的第页-特征值,里夫。帕尔马马特大学(N.S.)5(2014),315-328。在谷歌学者中搜索

[14]Franzina G.和Valdinoci E。,分数阶相变界面的几何分析,抛物线和椭圆偏微分方程的几何性质,Springer INdAM系列。2,施普林格,纽约(2013),117-130。10.1007/978-88-470-2841-8_8在谷歌学者中搜索

[15]Goyal S.和Sreenadh K。,关于非局部椭圆算子的Fučik谱,NoDEA非线性微分方程应用。21 (2014), 567–588.2007年10月7日/0030-013-0258-6在谷歌学者中搜索

[16]洪一。,关于膜特征值问题的一个不等式,Kōdai数学。塞明。代表6(1954年),113-114。10.2996/kmj/1138843535在谷歌学者中搜索

[17]Iannizzotto A.和Squassina M。,分数维型定律第页-特征值问题,渐近线。分析。88 (2014), 233–245.10.3233年/月-141223日在谷歌学者中搜索

[18]Kassmann M。,可测核积分微分算子的先验估计,计算变量偏微分方程34(2009),1–21。2007年10月10日/200526-008-0173-6在谷歌学者中搜索

[19]克拉恩·E。,Kugel的最小尺寸,多尔帕特大学学报。A9(1926),1-44。在谷歌学者中搜索

[20]Kuusi T.、Mingione G.和Sire Y。,带有测量数据的非局部方程,公共数学。物理学。337 (2015), 1317–1368.10.1007/s00220-015-2356-2在谷歌学者中搜索

[21]Lindgren E.和Lindqvist P。,分数特征值,计算变量偏微分方程49(2014),795–826。2007年10月10日/200526-013-0600-1在谷歌学者中搜索

[22]林德奎斯特P。,关于第页-拉普拉斯方程,报告102,Jyvaskyla大学数学与统计系,Jywaskyla,2006年。在谷歌学者中搜索

[23]Maz'ya V.和Shaposhnikova T。,关于分数Sobolev空间的极限嵌入的Bougain、Brezis和Mironescu定理,J.功能。分析。195 (2002), 230–238.2006年10月10日/jfan.2002.3955在谷歌学者中搜索

[24]Pólya G。,关于对称膜的特征频率,数学。Z.63(1955),331-337。2007年10月10日/BF01187944在谷歌学者中搜索

收到:2015-2-20
修订过的:2015-7-5
认可的:2015-7-21
在线发布:2015-8-29
印刷出版:2016-10-1

©2016 De Gruyter版权所有

2024年9月20日从下载https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/acv-2015-0007/html
滚动到顶部按钮