1.简介

考虑常微分方程（ODE）的初值问题

我们假设f∈ℝ在[0，T]上是充分可微的，并且满足全局Lipschitz条件，即存在一个常数L≥0，使得

在这个假设下，问题（1）有一个定义在t∈[t0，t]上的唯一解y（t）。

Collatz[7]以一般形式给出了微分方程解的配置方法。其原理非常简单：微分方程的解表示为已知函数的线性组合，此表示中的未知系数通过满足相关条件来找到，微分方程位于感兴趣的范围内的适当点集。通常，只考虑多项式形式的解，并在感兴趣的范围内取点。配置方法还提供了生成稠密多项式输出的自然方法。

ODE的配置方法等效于Runge-Kutta方法的一个子集，即步骤末尾的最终值在代数上是相同的。隐式Runge-Kutta方法的子集相当于搭配方法，似乎包括了大多数建议用于实际的方法。它们包括基于经典求积点的方法，如使用一个端点的高斯-勒让德、拉道和使用两个端点的洛巴托[6，12，13，15]。Wright[21]讨论了ODEs的各种一步方法之间的关系，并对这些方法的稳定性进行了统一处理。Butcher[5]研究了基于各种正交多项式零点的Runge-Kutta配置方法的特殊性。Barrio[1]研究了基于超球面（Gegenbauer）多项式零点或极值配置的对称Runge-Kutta方法的A-稳定性。Wang和Guo[20]以及Guo和Wang[11]提出了ODE的Legendre-Gauss-Radau配置方法（LGRCM）和Legendre-Gauss配置方法（IGCM），并证明了这两种方法都具有谱精度。LGRCM和LGRCM也可以被视为时域中的微分求积方法[2,3,4,8,9,10,17]。最近，Kiliçman、Hashim、Tavassoli Kajani和Maleki[14]提出了一种合理的第二类Chebyshev伪谱方法来求解无限区间上的Thomas-Fermi方程，这是一个非线性奇异常微分方程。Tavassoli Kajani、Maleki和Kiliçman[19]构造了一种多步legendre-gaus配置方法来求解volterra的人口增长模型，该模型是一个非线性积分-微分方程。Tohidi和Kiliçman[18]提出了一种基于Bernoulli运算矩阵的配置方法，用于解决变分法中的非线性边值问题。

手稿组织如下。在第2节中，简要回顾了LGRCM，并将其改写为Runge-Kutta方法。利用龙格-库塔方法的理论，讨论了LGRCM的精度、A-稳定性和代数稳定性。在第3节中，简要回顾了LGCM，并证明其等效于众所周知的高斯方法。第4节给出了数值示例。

 

2.LGRCM属性

设Pn（0，T）是[0，T]上至多n次多项式的集合。众所周知，求解（1）的配置方法是寻求多项式uN（t）∈PN（0，t），从而

其中tk，k=1，2，Stu，N是配置点。

2.1. 简要回顾。最近，Wang和Guo[20]提出寻求搭配解∈PN（0，T），从而

其中节点=0，1，……，N是[0，t]上LN（t）+LN+1（t）的零点。这里，Ll（t）是[0，t]上l次的移位勒让德多项式，定义为

其中，Pl（t）是[-1，1]上的标准勒让德多项式的阶数l。集合是一个完整的L2（0，T）-正交系统，因此配置解可以展开为

对于任何⌀∈P2N（0，T），根据标准Legendre-Gauss-Radau求积的性质

Christoffel数，j=1,2，η，N。

将（5）乘以Ll（t），l=0，1，……，N，并在区间（0，t）上积分，得到

因此

哪里

[x]是x的整数部分。

表示

那么（7）可以写成以下形式

可以通过以下方式进行评估

数值格式（9）-（10）由Wang和Guo[20]提出，称为Legendre-Gauss-Radau配置方法。

2.2. LGRCM作为Runge-Kutta方法。我们将把LGRCM（9）-（10）重写为Runge-Kutta方法。对于任何固定k，1≤k≤N，取f（t，u（t））=tk−1，我们得到

和

定义。注意，u（t）∈PN（0，t），∈PN（0，t），i=1，2，…，N。因此，≡0，这意味着t∈[0，t]。将（11）关于t从t=0到ti以及从t=0T到t的积分得到

设置

将（13）和f（t，u（t））=tk−1代入（9）和（10），得出

和

同样，我们可以获得

由（15）可知

由于节点是不同的，因此是非奇异的。将（9）乘以，我们得到

表示

使用（15）和（17），我们可以将LGRCM（9）-（10）重写为

这是一种步长为T的N阶段Runge-Kutta方法。

备注2.1。我们对LGRCM（9）-（10）做了一些评论

（a） 据我们所知，与LGRCM（9）-（10）相对应的Runge-Kutta方法（21）不属于Runge-Kutta文献中Radau IA或Radau IIA方法的类别。

（b） 由（19）、（17）和可知，LGRCM（9）-（10）的系数与T无关。

（c） 与Runge-Kutta方法（21）相比，LGRCM（9）-（10）的优点是其系数在（8）中明确给出。

2.3. 汇聚。从（19）可知，满足B（N），并且，i，j＝1，2，。。。，N、 满足C（N），其中

这意味着对应于LGRCM（9）-（10）的Runge-Kutta方法（21）是一种配置方法，因此它的阶数至少为N。为了获得其精确阶数，我们需要以下结果。

引理2.1（[13]）。设为真实且清晰的，并由条件B（N）决定。当且仅当M（t）=与所有次数小于或等于N−k−1的多项式正交时，条件B（2N−k）成立。

定理2.2。对应于LGRCM（9）-（10）的Runge-Kutta方法（21）为N阶。

证明。注意，不同的配置方法的阶数至少为N，因为配置点是的零。根据Ll（t）的集合是一个完整的L2（0，t）-正交系的性质，不能用k≥N的多项式LN，LN−1，，LN‐k展开。从引理2.1可以看出，条件B（k）只适用于k≤N，这意味着对应于LGRCM（9）-（10）的Runge-Kutta方法（21）具有N阶。□

2.4. 稳定性。我们讨论了对应于LGRCM（9）-（10）的Runge-Kutta方法（21）的A-稳定性和代数稳定性。

应用于u′=λu的N阶段Runge-Kutta方法（21）得到R（λT）u0，其中IN是N-by-N单位矩阵。R（z）称为Runge-Kutta方法的稳定函数（21）。稳定函数也满足

对于所有ℜ（z）≤0，如果|R（z）|≤1，则Runge-Kutta方法（21）称为A-stable。我们将稳定性函数表示为两个多项式的比值

并将E-多项式定义为E（y）=D（iy）D（−iy）−N（iy。

引理2.3（[6]）。具有稳定函数R（z）=N（z）=D（z）的Runge-Kutta方法是A-稳定的当且仅当

（a） R（z）的所有极点（即D的所有零点）都在正半平面上，并且

（b） 对于所有实y，E（y）≥0。

定理2.4。对应于LGRCM（9）-（10）的Runge-Kutta方法（21）对于N=1和N=2是A-稳定的。

证明。对于N=1，N（z）=和D（z）=。D（z）的零点为。E（y）=任何实y。从引理2.3可以看出，1阶段Runge-Kutta方法（21）是A-稳定的。□

对于N=2。D（z）的零点是z1=2+和z2=2-，它们位于正半平面中。同时，E（y）=任何实y。从引理2.3可以看出，两阶段Runge-Kutta方法（21）是A-稳定的。

对于N≥3，很难通过直接计算det和det来获得R（z）的表达式并检查R（z）在正半平面上是否没有极点。为了克服这些困难，我们将R（z）的显式表达式用于Nörsett[16]给出的配置方法，并遵循Wright[21]中Routh-Hurwitz算法的公式。

引理2.5（[16,21]）。基于点的配点法的稳定性函数由下式给出

其中M（t）=，CN为常数。

根据施工情况，

引理2.6（[21]）。多项式的零点位于负半平面当且仅当所有系数具有相同的符号时，其中

为了应用RH算法[21]并重新组织系数，我们应用了映射。因此，我们将使用的稳定性函数的另一种形式是

将引理2.3中的条件（a）转化为R⋆（z）在正半平面上没有极点。

定理2.7。对应于LGRCM（9）-（10）的Runge-Kutta方法（21）对于N=3,4,5不具有A-稳定性。

证明。对于N=3，我们通过引理2.5获得

根据RH算法，利用R⋆（z）的多项式分母系数的表达式，我们得到了。所有这些项都有正号。因此，R⋆（z）在正半平面上没有极点。经过一些计算，我们得到E（y）=−420y4+60y6，对于某些实y为负。从引理2.3可以看出，对应于LGRCM（9）-（10）的三阶段Runge-Kutta方法（21）不是A-稳定的。

对于N=4，我们通过引理2.5获得了稳定性函数

和

遵循RH算法并使用R⋆（z）的多项式分母系数的表达式，我们可以验证R \8902；（z）在正半平面上没有极点。然而，经过一些计算，我们得到E（y）=−2688y6+96y8，对于某些实y为负数。从引理2.3可以看出，对应于LGRCM（9）-（10）的四阶段Runge-Kutta方法（21）不是A-稳定的。

对于N=5，我们通过引理2.5获得了稳定性函数

和

根据RH算法，利用R⋆（z）的多项式分母系数的表达式，我们可以验证R \8902；（z）在正半平面上没有极点。然而，经过一些计算，我们得到E（y）=140y10−10080y8+73920y6，对于某些实y为负数。从引理2.3可以看出，对应于LGRCM（9）-（10）的五阶段Runge-Kutta方法（21）不是A-稳定的。□

猜想。根据上述结果，我们可以推测对应于LGRCM（9）-（10）的Runge-Kutta方法（21）对于N≥3是不A稳定的。

引入Runge-Kutta方法的代数稳定性概念，并引用配置方法代数稳定性的一个充分必要条件。Runge-Kutta方法是代数稳定的，如果i=1，2，。。。，N、 如果矩阵M由

是正半定的。

引理2.8（[6]）。N级代数稳定配置Runge-Kutta方法的阶数必须至少为2N−1。

定理2.9。对应于LGRCM（9）-（10）的Runge-Kutta方法（21）对于N=1是代数稳定的，对于N>1是不代数稳定的。

证明。N=1的代数稳定性来自定义2.4，N>1的代数稳定性则来自引理2.8和定理2.2。□

 

3.LGCM与高斯方法的等价性

在本节中，我们验证了LGCM和高斯方法的等价性。

3.1. 简要回顾。与LGRCM不同的是，Guo和Wang[11]提出了对配点解的扩展，并且将由表示的配点作为[0，t]上移位的勒让德正交多项式LN（t）的零点。

表示

哪里

Guo和Wang[11]提出的数值方案LGCM为

3.2. 等效性。我们现在将LGCM（22）-（23）重写为Runge-Kutta方法。表示。与第2节中的先前分析类似，我们得出

表示

LGCM（22）-（23）可以重写为N级Runge-Kutta方法，步长为T

为了断言LGCM（22）-（23）等价于高斯方法，我们需要以下结果来证明其对应的Runge-Kutta方法（26）是2N阶的。

引理3.1（[6]）。N阶Runge-Kutta方法（26）具有2N阶当且仅当其系数满足

（a） 节点是LN（t）的零点，

（b） 满足b（N），

（c） ，i，j=1，2，。。。，N、 满足C（N）。

定理3.2。LGCM（22）-（23）相当于高斯方法。

证明。根据LGCM（22）-（23）的构造，节点是LN（t）的零，因此（a）成立。从（24）开始，C（N）的可逆性得到满足，因此（C）成立。最后，由（25）可知B（N）满足，因此（B）也成立。由引理3.1可知，LGCM（22）-（23）等价于高斯方法。□

我们可以从等价结果中得到以下推论。

推论3.3。LGCM（22）-（23）是A-稳定的和代数y稳定的。

 

4.数值实验

我们进行了一些数值实验来说明LGRCM的准确性和稳定性，并将LGCM与高斯方法进行了比较。

示例4.1。考虑以下初值问题[20]

精确解是u（t）=+sin 10πt。

在图1中，我们绘制了不同N和步长T的LGRCM的Δ值，其中Δ=表示终点T=1处数值解的正确位数。我们观察到理论收敛阶和数值收敛阶之间的密切一致。

图1。N=1,2,3的LGRCM的全局误差。

示例4.2。通过以下初值问题测试LGRCM的A-稳定性

图2绘制了不同N步长的LGRCM生成的数值解。当N=2时，LGRCM生成的数值解趋于零。然而，当N=3,4时，LGRCM产生的数值解并不趋于零，这表明它们不是A-稳定的。

图2。采用LGRCM对N=2,3,4进行数值求解。

例4.3。考虑以下初值问题[11]

精确解u（t）=+5 sin 2t随着t→∞振荡并增长到无穷大。

LGCM和高斯方法在不同N，T下的一步误差如图4所示。我们观察到，尽管存在舍入误差的影响，但这两种方法的性能都非常好，并且相似，这证实了我们的理论结果。

图3。不同N的LGCM和高斯方法的全局误差。