1.简介

欧拉多项式和数在数学和物理的许多领域都具有许多有趣的性质。许多数学家在欧拉数和多项式的q扩张领域进行了研究（见[3-10]）。

最近，Y.Hu研究了复数域中Carlitz的q-Bernoulli数和多项式的几个对称恒等式（参见[2]）。D.Kim等人[3]推导了复域中Carlitz的q-Euler数和多项式的一些对称恒等式。J.Y.Kang和C.S.Ryoo研究了q-Genocchi多项式的一些对称恒等式（参见[1]）。在[8]中，我们获得了与p阶q积分相关的Carlitz扭曲q-Euler多项式在p上的一些对称恒等式。在本文中，我们建立了复域中扭曲q-Euer zeta函数和扭曲q-Eller多项式的一些有趣的对称恒等。如果我们在本文的所有方程中取ε=1，那么[3]就是我们结果的特例。在本文中，我们使用了以下符号。通过ℕ，我们表示自然数的集合，ℤ表示有理整数的环，ℚ表示有理数的域，ℂ表示复数的集合，Z+=ℕŞ{0}：我们使用以下符号：

注意limq→1[x]=x。我们假设q∈ℂ，其中|q|<1。设ε为单位的pN根。然后，扭曲q-Euler多项式En、q、ε由生成函数定义为

当x=0时，En、q、ε=En、q、ε（0）称为扭曲q-Euler数。通过（1.1）和Cauchy乘积，我们得到

按照通常的惯例，将（Eq，ε）n替换为En、q、ε。

通过使用（1.1），我们注意到

通过（1.3），我们现在可以定义扭曲q-Euler zeta函数的Hurwitz类型。

定义1.1。设x≠0，−1，−2，。。。。我们定义

注意，ζq，ζ（s，x）是ℂ上的一个亚纯函数。ζq、ε（s、x）和Ek，q、λ（x）之间的关系由以下定理给出。

定理1.2。对于k∈ℕ，我们得到

观察ζq，ε（−k，x）函数在非负整数处插值Ek、q、ε（x）多项式。

2.扭曲q-Euler zeta函数的对称性

在本节中，通过使用[1，2，3]中的类似方法，除了明显的修改外，我们研究了扭曲q-Euler多项式和扭曲q-Euer zeta函数的一些对称恒等式。设w1，w2∈ℕ，其中w1≡1（mod 2），w2≡1。

定理2.1。对于w1，w2∈ℕwith w1≡1（mod 2），w2≡1

证明。观察到对于任何x，y∈ℂ，[xy]q=[x]qy[y]q。在定义1.1中，我们通过替换x In得到下一个结果，并分别用qw2和εw2替换q和ε。

因为对于任何非负整数n和奇正整数w1，都存在唯一的非负整数r，j，使得m=w1r+j，其中0≤j≤w1−1。因此，方程（2.1）可以写成

同样，我们可以看到

使用（2.2）中的方法，我们得到

根据（2.2）和（2.4），我们有

接下来，我们利用扭曲q-Euler多项式的定义和定理导出对称结果。

定理2.2。设i、j和n为非负整数。对于w1，w2∈ℕwith w1≡1（mod 2），w2≡1

证明。通过替换定理1.2中的x，并分别用qw2和εw2替换q和ε，我们得出

因为对于任何非负整数m和奇正整数w1，都存在唯一的非负整数r，j，使得m=w1r+j，其中0≤j≤w1−1。

因此，方程式（2.6）写成

类似地，我们有

和

从上述方程式可以得出

从（2.8）和（2.9），完成了定理2.2的证明。□

根据（1.2）和定理2.2，我们得到了以下定理。

定理2.3。设i、j和n为非负整数。对于w1，w2∈ℕ与w1 lect 1（mod 2），w2 lect 1（mod 2），我们有

证明。经过一些计算，我们得出

和

从（2.11）、（2.12）和定理2.2，我们得到

因此，我们有了上述定理。

通过定理2.3，我们获得了复域中扭曲q-Euler数的有趣的对称恒等式。

推论2.4。对于w1，w2∈ℕwith w1≡1（mod 2），w2≡1