1.简介

H.S.Kim和Y.H.Kim在[5]中引入并广泛研究了BE-代数的概念。这些BE-代数类是作为K.Iseki和S.Tanaka的BCK-代数类的推广引入的[4]。S.S.Ahn和K.S.So在[1]中研究了BE代数滤波器的一些性质。在[6，7]中，在BE代数中引入了正规滤波器的概念。在[2,3]中，S.S.Ahn和K.S.So在BE-代数中引入了理想的概念，并证明了这种理想的几个特征。他们还推广了BE-代数中的上集的概念，并讨论了与传递和自分配BE-代数的理想结构有关的广义上集的特征的一些性质。最近在2012年，S.S.Ahn、Y.H.Kim和J.M.Ko[1]引入了BE-代数的终端部分的概念，并根据格序关系和终端部分导出了交换BE-代数一些特征。

本文在BE-代数中引入素滤子的概念。然后研究了素滤子和极大滤子的一些性质。利用素滤子导出了BE-代数的所有滤子类成为全序集的等价条件。在交换BE代数中也研究了素滤子的性质。引入条件L来研究BE-代数素滤子的一些性质。刻画了交换BE-代数的素滤波器。导出了交换BE-代数成为链的一组等价条件。研究了BE-代数的所有素滤子空间的一些拓扑性质。导出了BE-代数的每个素数滤波器成为最大滤波器的等价条件。

 

2.前期工作

在本节中，我们给出了一些定义和结果，这些定义和结果大多取自论文[1]、[5]和[7]，供读者随时参考。

定义2.1（[5]）。（2，0）类型的代数（X，*，1）如果满足以下属性，则称为BE-代数：

（1） x*x=1（2）x*1=1

3） 对于所有x，y，z∈x，1*x=x（4）x*（y*z）=y*（x*z）

定理2.2（[5]）。设（X，*，1）是be-代数。然后我们有以下内容：

我们在BE-代数X上引入了一个关系≤X≤y当且仅当X*y=1表示所有X，y∈X。当X*（y*z）=（X*y）*（X*z）表示所有X、y∈X时，BE-代数X称为自分布。

定义2.3（[1]）。如果对于所有X，y，z∈X，BE-代数（X，∗，1）满足y*z≤（X*y）*（X*z）*（X*z），则称其为传递的。

定义2.4（[1]）。设（X，*，1）是be-代数。X的非空子集F称为X的滤波器，如果对于所有X，y∈X，它满足以下属性：

（a） 1∈F

（b） x∈F和x∗y∈F意味着y∈F

定义2.5（[5]）。设（X1，∗，1）和（X2，◦，1′）是两个be-代数。如果f（x*y）=f（x）°f（y）对于所有x，y∈X1，则映射f:X1→X2称为同态。

很明显，如果f:X1→X2是同态，则f（1）=1′。对于任意x，y∈x，A.Walendzaik[8]将操作∨定义为x∨y=（y*x）*x。然而，在可交换BE-代数x中，我们可以得到对于任意x、y∈x，x∨y=（y*x）*x=（x*y）*y=y∨x。对于BE-代数x的任何非空子集A，⟨A⟩是包含A的最小滤波器。

定理2.6（[1]）。如果A是自分布BE-代数X的非空子集，那么

设F是be-代数X的滤子。然后，对于某些n∈ℕ}，F∈{a}={X∈X|an*X∈F。对于a={a}，我们将用⟨a⟩表示\10216]{a}\，我们称其为X的主滤子。如果X是自分布的，则\10216；a \10217；={XФX|a*X=1}。

 

3.BE-代数的素滤波器

在本节中，研究了BE代数的素滤子和极大滤子的一些性质。给出了BE-代数的一个真滤子成为素滤子的充要条件。在本节中，除非另有说明，否则X代表BE-代数。

定义3.1。如果对于X的任意两个滤子F和G，BE-代数X的一个适当滤子P表示F⊆P或G𕥄P，则称其为素数。

定理3.2。BE-代数的一个适当滤子P是素数当且仅当⟨x⟩y \10217]⊆P对所有x，y∈x意味着x∈P或y∈P。

证明。假设P是X的素滤子。设X，y∈X使得⟨X⟩⟩⟩y⟩⟩⊆P。由于P是素滤子，它意味着X∈X⟩⟩⊆P或y∈y⟨y⟩⊆P。相反，假设条件成立。设F和G是X的两个滤波器，使得F∈G⊆P。设X∈F和y∈G是任意元素。然后是x∈P或y∈P。因此，x∈y∈G是素数。□

定理3.3。设X是be-代数，F是X的滤子。然后对于任何a，b∈X，

证明。假设任意a，b∈X的⟨F{a}⟩F{b}=F。由于a∈\10216；Fa}和b∈𙀐F}b}，我们得到了\10216]a \10217]⊆F_10217; a}𙀑和\10216'b \10217'𘼖F_2 b}➅。因此，它产生了⟨a⟩b \10217]\10216]Fü{a}\10217'\10216'F \10217,b \10217；=F。

相反地，假设⟨a⟩\10216»b \10217»F.Clearly F⊆𙀐Fü{a}\10217]\10216]\10216；Fí{b}𙀑。设x∈⟨F{a}⟩。由于F是一个滤波器，因此存在m，n∈ℕ，使得am*x∈F和bn*x∈的F。因此，存在m1，m2∈F，使得am*x=m1和bn*x=m2。因此

因此m1∗x∈⟨a⟩。类似地，我们得到m2*x∈⟨b⟩。自

我们得到m1*（m2*x）∈⟨a⟩和m1*。因此

由于m1，m2∈F，F是一个滤波器，因此我们得到x∈F

定义3.4。如果F≠X，则BE-代数X的滤波器F称为真滤波器。

定义3.5。对于任意X∈X−M，BE-代数X的一个适当滤子M称为极大滤子，如果⟨M{X}⟩=X。

定理3.6。BE-代数的每个极大滤子都是一个素滤子。

证明。设M是be代数X的最大滤子。设X∈X的X∈y∈M。设X∈M和y∈M.然后M∈X}=X和M∈y}=X。因此

因此，根据定理3.3，得出⟨x⟩y \10217]⊈M，这是一个矛盾。因此x∈M或y∈M。因此M是x的素滤波器。□

定理3.7。设X和Y是两个be代数，f:X→Y是同态，使得f（X）是Y中的一个滤子。如果f是Y的素滤子，f−1（f）≠X，则f−l（f）是X的素滤器。

证明。由于f（1）=1∈f，我们得到1∈f−1（f）。设x，x*y∈f−1（f）。然后，f（x）∈f，f（x）*f（y）=f（x*y）∈f.由于f是y中的滤波器，因此，f（y”∈f。因此，y∈f−1（f）。因此f−1（f）是X的滤波器。设X，y∈X是这样的⟨X⟩y \10217]⊆f−1.（f）。设u∈f（x）⟩⟨f（y）\10217%。然后存在m，n∈ℕ，使得f（x）n∗u=1∈f，f（y）m∗u=1∈f。由于f（x。因此，对于某些a∈X，u=f（a）。此外，f（xn*a）=f（ym*a）=1∈f，因为f是同态。因此

因此

由于⟨x⟩з⟨y⟩⟩⊆f−1（f），则通过定理3.3，我们得到a∈f−1（f）。因此u=f（a）∈f。它得出f（x）∈f（y）∈f.因为f是y的素数滤波器，所以我们得到f（x

现在我们用F（X）表示BE-代数X的所有滤子类。然后在下面的定理中，根据滤波器的素性，导出了类F（X）成为链的充要条件。

定理3.8。设X是be-代数。那么F（X）是一个全序集或链当且仅当X的每个适当滤子是素数。

证明。假设F（X）是一个完全有序的集合。设F是X的真滤波器。设a，b∈X是这样的⟨a⟩。因此，得出a∈F或b∈F的结论。因此，F是素数。

相反地，假设X的每个适当滤波器都是质数。设F和G是X的两个真滤波器。由于FíG是X中的一个真滤波器，我们得到

因此F（X）是一个全序集。□

 

4.交换BE-代数的素滤波器

在这一节中，引入了一个条件L来研究交换BE-代数的素滤子的性质。导出了交换BE-代数成为全序集的一组等价条件。

提案4.1。设（X，∗，1）是交换be-代数，且X，y，z∈X。

（1） x*（y∧z）=（z*y）*（x*y）；

（2） x≤y意味着x∨y=y；

（3） z≤x和x*z≤y*z表示y≤x。

证明。(1). 设x，y，z∈x。

(2). 设x≤y。因此y=1*y=（x*y）*y=。

(3). 设z≤x和x*z≤y*z。那么z*x=1和（x*z）*（y*z）=1。因此

因此，得出y≤x□

定义4.2。如果对于所有X，y∈X，存在u∈X使得u≤X且u≤y，则称BE-代数X满足条件L。

定理4.3。设X是交换be-代数。那么X满足条件L当且仅当对于所有X，y∈X，为了简洁起见，最大下界inf{X，y}=X∧y是X∧y=[（X*u）∨（y*u）]*u，其中u≤X，y。

证明。假设X满足条件L。设u≤X，y。显然u≤X∧y

因此x∧y≤x。类似地，我们可以得到x∧y≤y。因此，x∧x是x和y的下界。假设v是x和y的另一个下界，即v≤x，y

因此x∧y是x和y的最大下界。□

在下面的命题中，导出了具有条件L的交换BE-代数的一些性质。在本节中，X表示满足条件L的交换BE-代数，除非另有说明。

提案4.4。设（X，∗，1）是交换be-代数，且X，y，z∈X。

（1） （x∧y）*z=（x*z）∧（y*z）

（2） x*（y∧z）=（x*y）∧（x*z）

（3） x*（x∧y）=x*y

（4） （x*y）∨（y*x）=1

（5） （x∧y）*z=（x*z）∨（y*z）

证明。(1). 由于x，y≤x∨y，我们得到了（x∨y）*z≤x*z和（xáy）*z≤y*z。因此，（x xy y）*z是x*z和y*z的下界。设u是x*z和y*z的下界，因此u≤x*z，u≤y*z，x≤u*z，y≤u*z.因此，x xy≤u*。因此，（x∨y）*z是x*z和y*z的最大下界。因此，（x*y）*z=（x*z）∧（y*z）。

(2). 设x，y，z∈x。根据定理4.3，我们知道y∧z=（（y*u）∧（z*u））*u，其中u≤y，z。由于u≤y，我们得到（y*u）*u=（u*y）*y=1*y=y。类似地，我们得到（z*u）*u=z。因此，我们得到

(3). 通过在（2）中将y替换为x，将z替换为y，我们得到

(4). 设x，y，z∈x。然后

(5). 通过使用对偶参数，它可以后跟（1）。□

定义4.5。交换BE-代数的滤波器P称为素数，如果x∨y∈P对所有x，y∈F都意味着x∈P或y∈P。

引理4.6。设X是一个自分布和交换的be-代数。那么对于任意a，b∈X，以下条件成立：

（1） a≤b表示“b”表示“a”

（2） ⟨a∨b⟩=\10216»a \10217»。

证明。(1). 假设a≤b。设x∈b。则b*x=1。因此，1=b*x≤a*x。因此，它得出x∈⟨a⟩。因此，“b”“a”。

(2). 由于a，b≤a∨b，我们得到了⟨a∨b⟩a \10217]和\10216]a∨b-。因此，“a∨b”“a”“b”“。相反，letx∈a∈b∈。那么a*x=b*x=1。由于X是可交换的，通过命题4.4（1），我们得到（a∨b）*X=（a*X）∧（b*X）=1∧1=1。因此x∈⟨a∨b⟩。因此，a⟩。因此，⟨a∨b⟩=\10216»a \10217»。□

在下面的定理中，交换BE-代数的所有素滤子类都是用主滤子来刻画的。

定理4.7。设X是自分布交换be-代数，P是X的适当滤子，则下列条件等价。

（1） P是质数；

（2） 对于X的任意两个滤波器F和G，FG⊆P表示F𕥄P或G⊸P；

（3） 对于任何x，y∈x，⟨x⟩y \10217]⊆P意味着x∈P或y∈P。

证明。定理3.2证明了（2）和（3）之间的等价性。

（1） ⇒（2）：假设P是X的素滤子。设F和G是X的两个滤子，使得F∈G⊆P。在不损失一般性的前提下，假设F⊈P存在一个∈X，使得a∈F和a∉P，设b∈G是任意元素。显然，⟨a⟩зb⟩=FåG⊆P。因此，⟨a∧b⟩⊆FåG⊆P。因此，a∧b∈P。由于P是素数，a∉P，我们得到b∈P。因此，G⊆P。

（2） ⇒（1）：假设条件（2）成立。设x，y∈x是这样的x∨y∈P。然后我们得到⟨x⟩y \10217]⊆P。因此，根据条件（2），\10216]xЃP或\10216'y \10217 ; P，因此x∈P或y∈P

以下定理提供了条件L下交换BE-代数中素滤子的另一个特征。

定理4.8。设X是具有条件L的交换be-代数，F是X的滤子。然后F是素数当且仅当X*y∈F或y*X∈F对于所有X，y∈X。

证明。假设F是X中的素滤波器。由于（X*y）∨。假设y＊x∈F。那么（y＊x）＊x＝x⁄y∈F。由于F是一个滤波器，y＊x∈F，我们得到x∈F。□

素滤子的以下扩张性质是上述定理的直接结果。

推论4.9。设X是具有条件L的交换be-代数，F是X的素滤子。如果G是X的滤子，使得F⊆G，那么G也是素的。

定理4.10。设X是具有条件L的交换be-代数，则下列条件是等价的。

（1） 每一个合适的过滤器都是一个原过滤器；

（2） 滤波器{1}是质数滤波器；

（3） X是关于BE序的全序集。

证明。（1） ⇒（2）：很明显。

（2） ⇒（3）：假设{1}是素过滤器。设x，y∈x。由于{1}是素数，我们得到x＊y∈{1}或y＊x∈{1}。因此x≤y或y≤x。因此x是完全有序的。

（3） ⇒（1）：假设X是关于BE阶≤的全序集。设F是X的真滤子。设X，y∈X。因此X≤y或y≤X，因此X*y=1∈F或y*X=1∈F。因此F是素数。□

定理4.11。设F是具有条件L的交换be-代数的滤子。对于任意x，y∈x，通过定义x上的关系θ

那么θ是X上的同余。

证明。显然θ是自反的和对称的。设x，y，z∈x是这样的：（x，y）∈θF，（y，z）∈σ。然后x*y∈F，y*x∈F、y*z∈F和z*y∈的F。由于y*z等于F，我们得到x*（y*z）∈F。根据滤波器的已知性质，我们得到{[x*（y*z）]*[（x*y）*（x*z）]}=1∈F∈θ。因此θ是X上的等价关系。然后，x*y∈F，y*x∈F、u*v∈F和v*u∈F。由于x x x）*（u*y）=u*（x*y。再一次，

因此

由于u*v∈F，我们得到了（v*y）*（u*y）∈F。类似地，（u*y）*（v*y）∈F.因此，（u*y，v*y。因此（u*x，v*y）∈θ。因此θ是X上的同余。□

对于任意交换BE-代数X，设Cx是X∈X生成的同余类，即Cx={y∈X|X与y}同余。定义X/F={Cx|X∈F}。

那么很明显，X/F是关于X/F上定义的运算*的交换BE-代数，如下所示：

还可以观察到，对于任何x，y∈x，Cx≤Cy当且仅当Cx*Cy=C1是x/F上的B阶。

定理4.12。设X是一个交换be代数，条件为L，是X的适当滤子。则F是素当且仅当X/F是全序集（链）。

证明。假设F是X中的素滤子。然后X*y∈F或y*X∈F表示所有X，y∈X。如果X*y等于F，则Cx*Cy=Cx*y=C1。因此Cx≤Cy。如果y*x∈F，那么类似的参数会产生Cy≤Cx。因此x/F是一个全序集。相反，假设X/F是一个完全有序集。设x，y∈x，则明确Cx≤Cy或Cy≤Cx。因此Cx*y=Cx*Cy=C1或Cy*x=Cy*Cx=C1。因此，它产生x*y∈F或y*x∈F。因此，F是x中的素滤波器。□

 

5.BE-代数的素滤子空间

在本节中，研究了BE代数的所有素滤子空间的一些拓扑性质。给出了BE-代数的素滤子成为极大滤子的充要条件。

定理5.1。设X ba是BE-代数，a∈X。如果F是X中的一个滤子，使得F为∉，则存在一个素滤子P，使得P和F为⊆P。

证明。设F是X的一个滤波器，使得a∉F。考虑ℑ={G∈F（X）|a \8713%；G和F⊆G}。显然F∈ℑ。然后根据Zorn引理，\8465'有一个最大元素，例如M。显然a∉M。我们现在证明M是素数。设x，y∈x是这样的⟨x⟩∨y \10217]⊆M。然后通过定理3.3，我们得到

从一个∉M开始，我们可以得到一个䤙M-{x}⟩或一个瀩M-⟨y}𙀑。通过M的极大性，我们得到了⟨Má{x}⟩=M或\10216；Má}y}𙀑=M。因此x∈M或y∈M。因此M是素数。

推论5.2。设X是可交换的be-代数，且1≠a∈X。

设X是交换be代数，SpecF（X）表示X的所有素滤子的集合。对于任何a⊆X，设K（a）={P∈SpecF（X）|a⊈P}，对于任何X∈L，K（X）=K（{X}）。然后我们有以下观察结果：

引理5.3。设X是具有条件L的交换be-代数。对于任意X，y∈L，如下成立：

（1） K（x）

（2） K（x）νK（y）=K（x∧y）

（3） K（x）=∅мx=1

证明。(1). 设P∈SpecF（X）是这样的：P∈K（X）≠K（y）。然后x∉P和y \8713»P。由于P是素数，我们得到x∨y \8713%；P。因此P∈K（x∨y）。因此，K（x）/K（y）⊆K（x∨y）。相反，假设P∈SpecF（X）。假设P∈K（x∨y）。因此x∨y∉P.如果x∈P，则x∨y∈P是因为x≤x∨y.因此它得出x \8713]P.因此P∈K（x）。类似地，我们得到P∈K（y）。因此P∈K（x）≠K（y）。因此K（x∨y）⊆K（x）≠K（y）。

(2). 设P∈SpecF（X）是这样的：P∈K（X）≠K（y）。则P∈K（x）或P∈K（y）。因此x∧y∈P，那么x和y都必须在P中。因此K（x）≠K（y）⊆K（x∧y）。相反，设P∈SpecF（X）使得P∈K（X∧y）。那么x∧y∉P。由于x∧y是x和y的g.l.b，因此得出x \8713]P和y \8713%P。因此P∈K（x）νK（y）。因此K（x∧y）⊆K（x）νK（y）。

(3). 由于{1}⊆P对于所有P∈SpecF（X），这是显而易见的。

提案5.4。对于任何交换BE-代数X，=SpecF（X）。

证明。设P∈SpecF（X）。由于P是一个适当的滤波器，因此存在一个∈X使得a∉P。因此P∈K（a）⊆。因此SpecF（X）⊆。明显的⊆SpecF（X）。因此=规范F（X）。□

从上述命题可以看出，{K（x）|x∈x}构成SpecF（x）的覆盖。因此{K（x）|x∈x}是SpecF（x）上拓扑的一个开放基，这被称为外壳核技术。在下面，我们将讨论此拓扑的属性。

引理5.5。设X是交换be-代数。然后保持以下状态。

（1） 对于任意x∈x，K（⟨x⟩）=K（x）；

（2） 对于X的任意两个滤波器F，G，K（F）≠K（G）=K（F≠G）。

证明。（1） 设P∈SpecF（X）为P∈K（⟨X⟩）。那么⟨x⟩P。因此x∉P，因此P∈K（x）。因此K（x）（x）。反之，设P∈K（x）。那么x∉P。因此x⟩P，因此P∈K（⟨x \10217；）。因此K（x）⊆K（⟨x⟩）。因此，K（x）=K（x）。

(2). 设P∈SpecF（X）是任意素数滤波器。设P∈K（F）≠K（G）。然后F∈P和G∈P。然后存在x∈F和y∈G，使得x∈P与y∈P，因为P是素数，所以我们得到x∨y∉P。因为F和G是滤波器，所以我们得出x∨y∈FG。因此，K（F）/K（G）⊆K（FüG）。相反的夹杂物很明显。因此，K（F）/K（G）=K（F/G）。□

引理5.6。设F是交换be-代数X的滤子，X∈X。然后X∈F当且仅当K（X）⊆K（F）。

证明。设F是交换be-代数X和X∈X的滤波器设P∈SpecF（x）为P∈K（x）。然后我们得到x∉P。因此F⊈P，因此P∈K（F）。

相反，假设K（x）⊆K（F）。假设x∉F。然后根据定理5.1，存在P∈SpecF（x）使得x∉P和F⊆P。因此，我们得到P∈K（x）和P⊈K（F）。因此K（x）⊊K（F），这是一个矛盾。因此，得出结论：x∈F.□

定理5.7。设X是交换be-代数。那么对于任意x∈L，K（x）在SpecF（x）中是紧的。

证明。设x∈x。设A⊆x是这样的K（x）\8838]。设F是由A生成的滤波器。假设x∉F。则存在x的素滤波器P，使得F⊆P和x∉F。因此P∈K（x）⊆。因此，y∉P对于某些y∈A，这是一个矛盾（因为y∈A-F⊆P）。因此x∈F。然后存在a1，a2，…，an∈A，这样

设P∈K（x）。那么x∉P。假设ai∈P代表所有i=1，2，…，n。由于*（…（a1*x）…）=1∈P，P是一个滤波器，我们得到x∈P，这是一个矛盾。因此，ai∉P对于某些i=1，2，…，n。因此，P∈K（ai）对于某些ai。因此P∈。因此，K（x）⊆是K（x）的有限子覆盖。因此，K（x）在SpecF（x）中是紧的。因此，对于每个x∈x，K（x）是SpecF（x）的紧致开子集。

定理5.8。设X是交换be-代数，条件L和C是SpecF（X）的紧开子集。则对于某些x∈x，C=K（x）。

证明。设C是SpecF（X）的紧致开子集。因为C是开的，所以我们得到一些A⊆X的C=。因为C是紧的，所以存在a1，a2，…，an∈A，这样

因此，对于某些x∈L□，C=K（x）

推论5.9。对于任何具有条件L的交换BE-代数X，集合{K（X）|X∈X}是素空间SpecF（X）的开基。

定理5.10。设X是具有条件L的交换be-代数，则SpecF（X）是T0-空间。

证明。设P和Q是X的两个不同的素滤子。在不损失一般性的前提下，假设P⊈Q.Choosex∈L，使得X∈P和X∉Q。因此P \8713]K（X）和Q∈K（X）。因此SpecF（X）是T0-空间。□

以下推论是上述结果的直接结果。

推论5.11。映射x↦K0（x）是从x到SpecF（x）所有紧开子集格上的反同态。

对于任何A⊆X，表示H（A）={P∈SpecF（X）|A⊸P}。然后明确H（A）=SpecF（X）−K（A）。因此，H（A）在SpecF（L）中是一个闭集。对于某些A⊆X，SpecF（L）中的每个闭集都是H（A）形式

定理5.12。任意Y⊆SpecF（X）的闭包由给出。

证明。设Y⊆SpecF（X）。设Q∈Y。那么⊆Q。因此Q∈H（）。因此，H（）是包含Y的闭集。设C是SpecF（X）中的任意闭集。那么对于某些A∈X，C=H（A）。由于Y∈C=H，我们得到所有P∈Y的A∈P。因此A⊆。因此H（）⊆H（A）=C。因此H（（）是包含Y的最小闭集。因此Y=。

定理5.13。对于任何具有条件L的交换BE-代数X，SpecF（X）是T1-空间当且仅当每个素滤波器都是最大的。

证明。假设SpecF（X）是T1空间。设P是X的素滤子。假设存在X的适当滤子Q，使得P⊆Q。由于SpecF（X）是一个T1空间，因此存在两个基本开集K（X）和K（y），使得P∈K（X。由于P∉K（y），我们得到y∈P⊂Q，这与Q∈K（y）是矛盾的。因此P是最大滤波器。

相反，假设每个素数滤波器都是最大滤波器。设P1和P2是SpecF（X）的两个不同元素。因此，根据假设，P1和P2都是X中的最大滤波器。然后存在a，b∈X，使得a∈P1−P2和b∈P2−P1。因此，P1∈K（b）−K（a）和P2∈K（a）−K（b）。因此，SpecF（X）是一个T1空间。□