1.简介
图和超图已经应用于许多问题，包括癌症检测、机器人、人类心脏功能、网络和设计。正是扎德[25]将模糊集和模糊逻辑引入数学来处理不确定性问题。由于我们周围的大多数现象都涉及很多模糊性和模糊性，模糊逻辑和模糊数学在建模具有一定不确定性的实时系统时必须发挥关键作用。模糊集最重要的特征是，模糊集a是一类满足某种（或几种）属性的对象。Gau和Buehrer[5]于1993年提出了vague集的概念，将集合中元素的值替换为子区间[0,1]。即，用真隶属函数tv（x）和假隶属函数fv（x）来描述隶属度的边界。考夫曼[6]给出的模糊图的初始定义基于扎德[26]提出的模糊关系。后来罗森菲尔德[15]引入了几个基本图形理论概念的模糊模拟。Mordeson和Nair[7]定义了模糊图的补的概念，并研究了模糊图上的一些运算。Akram等人[2,3,4]引入了vague超图、某些类型的vague图以及vague交集图和vague线图中的正则性。罗摩克里希纳[9]引入了模糊图的概念，并研究了它们的一些性质。Pal和Rashmanlou[8]研究了不规则区间值模糊图。此外，他们还定义了反模式区间值模糊图[10]、平衡区间值模糊图[11]、高度不规则区间值模糊图形[12]的一些性质以及双极模糊图[14]的研究。Rashmanlou和Yang Bae Jun研究了完全区间值模糊图[13]。Samanta和Pal定义了模糊容差图[16]、模糊阈值图[17]、模糊平面图[18]、模糊k-竞争图和p-竞争模糊图[19]、不规则双极模糊图[20]、模糊图的模糊着色[21]。在本文中，我们定义了模糊图上的两个新运算，即正规积和张量积，并研究了由两个给定的模糊图G1和G2得到的模糊图中的顶点的度，这些图使用笛卡尔积、合成、张量积和正规积的运算。有关更多详细信息，读者可以查看[1,22,23,24]。
2.前期工作
所谓图G*=（V，E），我们指的是一个没有圈或多条边的非平凡、有限、连通和无向图。形式上，给定一个图G∗=（V，E），如果xy∈E，则两个顶点x，y∈V称为邻居或相邻节点。集x上的模糊子集μ是映射μ:x→[0,1]。X上的模糊二元关系是X×X上的一个模糊子集μ。模糊图G是一对函数G=（σ，μ），其中σ是非空集V的模糊子集，μ:V×V→[0,1]是σ上的对称模糊关系，即μ（uv）≤σ（u）∧σ（V）。模糊图G中顶点u的度定义为dG（u）=∑u≠vμ（uv）=∑uv∈Eμ（uv）。模糊图G的阶由O（G）=∑u∈Vσ（u）定义。
本文的主要目的是研究vague图，该图基于下面定义的vague集。
定义2.1（[5]）。普通有限非空集X上的vague集是一对（tA，fA），其中tA:X→[0，1]，fA:X[0，1]分别是真隶属函数和假隶属函数，使得对于所有x∈x，0≤tA（x）+fA（x，vague集A中x的隶属度由区间[tA（x），1−fA（x）]表示。设X和Y是普通有限非空集。我们将vague关系称为X×Y的vague子集，即由
其中tR:X×Y→[0,1]，fR:X X Y→[0，1]，满足条件0≤tR（X，Y）+fR（X、Y）≤1，对于所有（X，Y）∈X×Y。
定义2.2（[9]）。设G*=（V，E）是一个清晰的图。一对G=（A，B）被称为清晰图G*=（V，E）上的模糊图，其中A=（tA，fA）是V上的模糊集，B=（tB，fB）是E⊆V×V上的一个模糊集，因此
对于每条边xy∈E。
如果G是一个vague图，那么G的阶定义如下
G的大小是
定义了vague图G=（a，B）中顶点u的开度为d（u）=dt（u），df（u。
定义2.3。设G1=（A1，B1）和G2=（A2，B2）分别是=（V1，E1）和=（V2，E2）的两个模糊图。
（1） G1和G2的笛卡尔乘积G1×G2定义为一对（A1×A2，B1×B2），这样
（2） G1和G2的成分G1°G2定义为成对（A1°A2、B1°B2），以便
其中E◦=Eá{（u1，u2）（v1，v2）|u1v1∈E1，u2≠v2}。
3.vague图中顶点的度
模糊图中的运算是将大模糊图视为小模糊图的组合并从较小模糊图的属性中导出其属性的一个很好的工具。此外，它们还方便地用于许多组合应用中。在各种情况下，它们提供了合适的施工方法。例如，在配分理论中，我们处理复杂的对象。一个典型的这样的对象是一个模糊图和一个具有较大色数的模糊超图，我们不知道如何精确地计算这些图的色数。在这种情况下，这些操作在解决问题中起主要作用。因此，在本节中，首先我们定义了vague图上的两个新操作，即正规积和张量积。然后我们研究了由两个给定的vague图G1和G2通过笛卡尔积、合成、张量积和正规积运算得到的vaguer图中顶点的度。
定义3.1。将Gi=（Vi，Ei），i=1，2上两个vague图Gi=（Ai，Bi）的正规积定义为G=（V，E）上的vague图形（A1●A2，B1●B2），其中V=V1×V2和E={（（u，u2）（u，V2））|u∈V1，u2v2∈E2}∈∈E1，u2v2∈E2}这样。
定义3.2。Gi=（Vi，Ei）上两个vague图Gi=（Ai，Bi），i=1，2的张量积定义为G=（V，E）上的vague图形（A1⊗A2，B1B2），其中V=V1×V2和E={（u1，u2），（V1，V2）|u1v1∈E1，u2v2∈E2}，这样
现在，我们导出笛卡尔积中顶点的度数。通过任意顶点（u1，u2）∈V1×V2的笛卡尔积的定义，
定理3.3。设G1=（A1，B1）和G2=（A2，B2）是两个模糊图。如果tA1≥tB2，fA1≤fB2且tA2≥tB1，fA2≤fB1，则
证明。根据笛卡尔积中顶点的定义，我们得到
我们还有
因此，dG1×G2（u1，u2）=dG1（u2）+dG2（u 2）。□
例3.4。考虑模糊图G1、G2和G1×G2，如下所示。
由于tA1≥tB2，fA1≤fB2，tA2≥tB1，fA2≤fB1。根据定理3.3，我们有
因此，dG1×G2（u1，u2）=（0.5，1.2）。
因此，dG1×G2（u1，v2）=（0.5，1.2）。
类似地，我们可以找到G1×G2中所有顶点的度数。这可以在图1中进行验证。
图1。G1和G2的笛卡尔积
现在我们计算合成中顶点的度数。根据任意顶点（u1，u2）∈V1×V2的合成定义，我们得到
定理3.5。设G1=（A1，B1）和G2=（A2，B2）是两个模糊图。如果tA1≥tB2，fA1≤fB2，tA2≥tB1且fA2≤fB1，则所有（u1，u2。
证明。
同样，我们可以证明
因此，dG1◦G2（u1，u2）=dG2（u 2）+| V2 | dG1（u 1）。□
示例3.6。考虑模糊图G1、G2和G1°G2，如下所示。
这里，tA1≥tB2，fA1≤fB2，tA2≥tB1，fA2≤fB1。根据定理3.5，我们有
因此，dG1·G2（u1，u2）=（0.6，2.1）。
因此，dG1°G2（u1，v2）=（0.6，2.1）。
同样，我们可以找到G1°G2中所有顶点的度数。这可以在图2中进行验证。
图2。G1和G2的组成
张量积中顶点的度数如下。
通过定义任意（u1，u2）∈V1×V2的张量积，我们得到
定理3.7。设G1=（A1，B1）和G2=（A2，B2）是两个模糊图。如果tB2≥tB1且fB2≤fB1，则dG1⊗G2（u1，u2）=dG1（u2）。此外，如果tB1≥tB2且fB1≤fB2，则dG1⊗G2（u1，u2）=dG2（u 2）。
证明。设tB2≥tB1，fB2≤fB1，则我们有
因此，dG1⊗G2（u1，u2）=dG1（u1）。同样，如果tB1≥tB2且fB1≤fB2，则dG1⊗G2（u1，u2）=dG2（u 2）。□
示例3.8。在这个例子中，我们通过定理3.7获得G1⊗G2的顶点度数。
考虑图3中的模糊图G1和G2。这里tB2≥tB1，fB2≤fB1。根据定理3.7，我们有
因此，dG1⊗G2（u1，u2）=（0.2，0.5）和dG1？G2（v1，v2）=。类似地，我们可以找到G1⊗G2中所有顶点的度数。这可以在图3中进行验证。
图3。G1和G2的张量积
最后，我们导出了正规积中顶点的度数。通过定义任意（u1，u2）∈V1×V2的正规积，我们得到
定理3.9。设G1=（A1，B1）和G2=（A2，B2）是两个模糊图。如果tA1≥tB2、fA1≤fB2、tA2≥tB1、fA2≤fB1、tB1≤tB2和fB1≥fB2，则dG1●G2（u1，u2）=|V2|dG1（u2）+dG2（u 2）。
证明。
以同样的方式，我们可以证明
因此，dG1●G2（u1，u2）=|V2|dG1（u2）+dG2（u2）。□
例3.10。在这个例子中，我们通过定理3.9获得G1●G2的顶点度数。
考虑图4中的模糊图G1和G2。这里tA1≥tB2，fA1≤fB2，tA2≥tB1，fA2≤fB1，tB1≤tB2和fB1≥fB2。因此，根据定理3.9，我们有
因此，dG1●G2（u1，u2）=（0.6，2）。
因此，dG1●G2（u1，v2）=（0.6，2）。
图4。G1和G2的正积
同样，我们可以找到G1●G2中所有顶点的阶数。这可以在图4中验证。
4.结论
图论在系统分析、运筹学、计算机应用和经济学中有几个有趣的应用。由于大多数情况下图形问题的各个方面都是不确定的，所以最好用模糊系统的方法来处理这些方面。众所周知，模糊图论在现代科学与工程、神经网络、专家系统、医疗诊断、城镇规划与控制理论中有着广泛的应用。本文根据G1和G2在某些条件下的顶点度，求出了G1×G2、G1°G2、G2和G1●G2中的顶点度并通过实例加以说明。当图非常大时，这将有助于我们研究两个vague图的笛卡尔积、合成、张量积和正规积的各种性质。