1.简介
Schwarz型交替方法已经成为区域分解技术中求解边值问题（BVP）的一些最重要的方法。这些方法基于将BVP域分解为重叠子域。将原边值问题简化为若干子域上的一组较小边值问题，这些子域在重叠区域的内边界上具有适当的界面条件，其解通过一些迭代格式耦合，从而得到原边值方程解的近似值。众所周知[1]、[6]，在一定条件下，子问题的解序列收敛于原问题的解。
本研究的目标之一是研究一类界面条件参数化的Schwarz交替方法（SAM），并估计加速这些方法对一类BVP收敛的参数值。在椭圆BVP的上下文中，最常用的接口条件是Dirichlet类型。对于这类数值SAM，有一些关于收敛性的研究，包括[10]，[12]，[15]，[16]，[13]，[2]，[11]，[17]。许多研究人员已经考虑了参数化混合界面条件的影响[3]，[14]，[5]，[18]。其中，Tang提出了广义Schwarz分裂[18]。他求解边值问题的主要方法是使用混合边界条件，即Robin条件，
在人工边界上。在[5]中，建立了一个多参数SAM，其中混合边界条件
第i个重叠区域由一个不同的参数ωi控制。傅里叶分析用于确定使SAM收敛因子为零的ωi参数值。
在[7]中，有人在矩阵水平上制定了多参数SAM，其中参数αi用于施加混合界面条件。参数αi和ωi之间的关系如下所示
（参见[7]），其中h是网格大小。其中一个通过分析确定了一维（1-dim）边值问题的αi’s的最佳值，该边值问题最小化了与SAM矩阵相关的块Jacobi迭代矩阵的谱半径。
对于二维（2-dim）边值问题[8]，我们对子域第i个界面的每个第j个网格点使用了不同的多参数αi，j以获得最佳收敛性，而在前面的论文[7]中，我们沿子域的第i个接口使用了固定参数αi。
在本文中，我们考虑三维问题。在这里，我们还对子域第i界面的每个（j，k）-网格点使用不同的多参数αi，j，k，以成功地获得最佳收敛性。
在第2节中，我们总结了文献[7]中提出的关于一维问题的多参数SAM的结果，这对于下一节中的符号来说是必要的。在第3节中，我们构造了三维多参数SAM问题，其中我们在子域界面上的每个网格点上施加不同的参数。我们证明了三维情形可以简化为一维情形，并获得了使与三维问题的SAM矩阵相关的块Jacobi迭代矩阵的谱半径最小的多参数的最优值。
2.一维问题的多参数Schwarz分裂
我们考虑两点边值问题：
q≥0为常数。我们将基于问题域的κ-路分解（即子域的数量为κ）来制定SAM的数值实例。图1描述了κ-路分解的示例。
图1。一维边值问题域的κ-路分解的一个例子（4）。
设Tj（x，y，z）是一个j×j三对角矩阵，使得
然后让
如果我们用网格尺寸一致的二阶中心差分格式离散问题（4），我们将得到一个线性系统
其中A=Tn（β），β=2+qh2。
如果我们考虑3路（κ=3）分解，那么Ax=f有三个重叠的对角块，如下所示。
其中，（5）中的Tj=Tj（β，β，β），m和l分别是每个子域和重叠区域中的节点数，因此，在（8）中，除了最右边顶部位置的1之外，矩阵E到处都有零元素，除了最左边底部位置的1以外，矩阵F到处都有零元素。因此，矩阵E和F具有与以下形式兼容的大小。
问题（4）的SAM[17]的数值版本等效于称为Schwarz增强矩阵方程的新线性系统的块高斯-塞德尔迭代过程，
哪里
Ã（β）意味着\195；是β的函数。注意，（7）的溶液x是从（10）的溶液中获得的，反之亦然。在[18]中，我们证明了选择一个好的Tl分裂可以显著提高SAM的收敛性。应用（11）中的一些Tl分裂到Ã中，我们得到了一个新的方程
具有
其中，Bi，C′i，i=1，2是一些矩阵，使得（Bi−C′i）是非奇异的，并且
注意，两个线性系统（10）和（12）在具有相同解的意义上是等价的。如果选择C′i和Ci，使得它们是l×l矩阵，除αi分别位于（1，1）和（l，l）位置外，其余均为零，如下所示：，
得到的矩阵A′如下所示
其中，Tm（x，y，z）’s是（5）中定义的m×m矩阵，E′i’s是到处都是零元素的m×m矩阵，除了
和Fi′s是到处都是零元素的m×m矩阵，除了
如果子结构域κ的数量大于3，矩阵A′是一个形式的块κ×κ矩阵
其中a=（α0，α1，α2，···，ακ），其中α0=ακ=0，Gi’s定义为
我们称矩阵A′为多参数增强矩阵
如果a=（α0，α1，α2，··，ακ），那么我们可以将多参数增强矩阵a′写成
这称为多参数Schwarz分裂（MPSS）。
MPSS的收敛性取决于以下分块雅可比矩阵的谱半径
注意，J是参数αi的函数，分别对应于混合界面条件（2）中的参数ωi。通过控制这些参数αi，可以优化SAM的收敛速度。在[7]中，确定了使（21）中的块雅可比矩阵J的谱半径为零的多参数αi的最佳值。以下定理给出了[7]的结果。
定理2.1。设β=2+qh2，p∈{1,2，··，κ−1}
如果值αi，i=0，1，··，κ由下式给出
则（21）中的块雅可比矩阵J的谱半径为零。
3.三维问题的多参数Schwarz分裂
考虑三维边值问题
其中，Γ是Ω≡（0,1）×（0,1）×（01,1）的边界，q≥0是一个常数。我们基于域Ω的κ-路分裂来制定SAM，即我们沿着x1轴将域分解为κ重叠子域Ωi，并对立方体域Ω进行条带型分解（例如，见图2）。接下来，我们将界面条件应用于子域Ωi和Ωi+1之间的两个内部边界。设▽为x1方向上重叠的长度，η为同一方向上每个子域的长度。图2描述了单位立方体Ω的三向分裂。
图2。单位立方体Ω的三向分裂。
在开始分析时，我们使用了一个7点有限差分离散格式，在所有x1、x2和x3轴上具有统一网格尺寸，并对（22）中的BVP进行离散，以获得如下形式的线性系统
采用节点的自然排序，从原点开始，先沿x3方向排序，然后依次沿x2和x1方向排序，从而将得到的矩阵A划分为对应于子域的块矩阵。使用张量积表示法（参见[4]和[9]，其中引入了与BVP有关的张量积），（23）中的矩阵B可以写成
式中，Tj（x）在（6）中定义，β=2+qh2。
定义n=κm−l（κ−1），问题（22）的SAM的数值版本等效于新线性系统的块高斯-赛德尔迭代过程，称为施瓦兹增强矩阵方程，
具有
其中Iκm是κm×κm单位矩阵，Ã（β）是（11）中定义的κ×κ块矩阵，即κ=3的情况。注意，（β）中的每个对角块都是m×m矩阵。
设Xn是n×n正交矩阵，其列是矩阵Tn（2）的特征向量。由于矩阵Tn（2）的特征值已知，我们可以写
设X=Iκm在Xn中，其逆函数由以下公式给出
如果P是映射的置换矩阵
对于i=1,2···，κm，j=1,2，··，n，k=1,2
注意，线性系统（25）的解是通过求解线性系统得到的
其中，在（25）中。
同样，使用Y=In⊗IκmXn，我们有
如果Q是映射的置换矩阵
对于i=1,2···，κm，j=1,2，··，n，k=1,2
其中ζj，k=β+γj+γk，当j=1，2，···，n和k=1，2，···，n和
它表示条目s（j，k）的对角矩阵的对角矩阵。
注意，线性系统（29）的解是通过求解线性系统得到的
哪里
带有in（29），因此
在（25）中。最后，通过以下公式计算in（25）
（32）中包含。
从（30）和（32）中，我们知道三维问题（25）简化为n2个一维问题
其中是的对应子向量。
in（30）的多参数Schwarz增强矩阵定义为
其中A′（x，A）在（17）中定义。如果我们让
其中M（x，a）和N（x，a）在（19）中定义，那么我们可以将（33）中的多参数增强矩阵B′写成
这称为多参数Schwarz分裂（MPSS）。MPSS的收敛性取决于以下分块雅可比矩阵的谱半径
哪里
对于j=1,2，··，n和k=1,2。
在[7]中，人们未能确定一个参数向量a，使得（36）中的块雅可比矩阵J的谱半径为零，因为不可能找到这样一个参数矢量a，该参数向量a使（36）的对角块Lj、k（a）的所有谱半径同时为零。
因此，对于每个对角线块，我们不采用固定参数a，而是采用多参数向量aj，k，如下所示
哪里
对于j=1,2，··，n和k=1,2··，n.注意，多参数αi，j，k中的这些三重指数（i，j
作为第i界面边界上的混合界面条件。
现在，利用这些三诱导多参数αi，j，k，我们得到了（35）中三维多参数Schwarz分裂B′=M−N的以下定理。
定理3.1。对于j=1,2，··，n和k=1,2
如果每个j=1，2，··，n的值αi，j，k和每个k=1，2,·，n和每个i=0，1，··
则（37）中的块雅可比矩阵J的谱半径为零。
4.数值实验
在本节中，我们提供了一个数值实验来证明前一节的结果。我们将比较多参数SAM（MPSAM）和经典SAM的结果。考虑以下模型问题
其中Γ是Ω的边界，有解
在所有实验中，向量及其所有分量0.0被用作解向量的初始猜测。相对残差rκ计算为κ迭代后相应方程组残差的∏2-范数之比，即：。，
表1显示了每个子域数（κ=2，4，8）和局部网格数（m=8）以及最小重叠和半重叠（l=1，4）在κ迭代后计算的SAM相对残差。表2显示了相同条件下MPSAM的性能。它显示了最优收敛性。事实上，对于κ子域的情况，在κ迭代后，MPSAM的相对残差小于5.02×10−15。
表1。经典SAM应用于BVP（39）。
表2。MPSAM适用于BVP（39）。
收敛速度对计算出的参数αi，j，k的最佳值非常敏感，并且对称选择它们（即定理（3.1）中的取p=[κ/2]）减少了计算参数αi、j，k最佳值时的误差传播。