Some conjectural supercongruences related to Bernoulli and Euler numbers

Yong Zhang

doi:10.1216/rmj.2022.52.1105

摘要

我们证明了一些涉及Apéry多项式的超同余

$A_n (x) = \mathop {\mathop \sum \nolimits^ }\limits_n^{k = 0} \left( {{n \over k}} \right)^{2} \left( {{{n + k} \over k}} \right)^{2} x^k (n \in {\mathbb{N}} = \{ 0,1, \ldots ,\} ),$

广义Domb数

$D_n (A,B,C) = \mathop {\mathop \sum \nolimits^ }\limits_n^{k = 0} \left( {{n \over k}} \right)^{A} \left( {{{2k} \over k}} \right)^{B} \left( {{{2n - 2k} \over {n - k}}} \right)^{C} (n \in {\mathbb{N}})\quad {\rm{and}}\quad Q_n = \mathop {\mathop \sum \nolimits^ }\limits_n^{k = 0} \left( {{n \over k}} \right)\left( {{{n - k} \over k}} \right)\left( {{{n + k} \over k}} \right)(n \in {\mathbb{N}}),$

这是孙中山推测的。例如，我们证明了对于任何素数 $p \gt 3$ 和正整数 $第页$ 我们有

${{A_{p^r } ( - 1) - A_{p^{r - 1} } ( - 1)} \over {p^{3r} }} \equiv {{29} \over 6}B_{p - 3} \;(\bmod \;p)\quad {\rm{and}}\quad {{Q_{p^r } - Q_{p^{r - 1} } } \over {p^{3r} }} \equiv - {1 \over 9}B_{p - 3} \;(\bmod \;p),$

哪里 $B_0 ,B_1 ,B_2 , \ldots$ 是伯努利数。以下超同余保持模 $第页$ :

${{D_{p^r } (A,1,1) - D_{p^{r - 1} } (A,1,1)} \over {p^{(A + 1)r} }} \equiv \{ \matrix{ {8({{ - 1} \over {p^r }})E_{p - 3} ,\quad } & {{\rm{if}}A = 1,} \cr {} & {} \cr {{{16} \over 3}B_{p - 3} ,\quad } & {{\rm{if}}A = 2,} \cr }$

哪里 $({ \cdot \over p})$ 表示Legendre符号和 $E_0 ,E_1 ,E_2 , \ldots$ 是欧拉数。

引用

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张勇。 “一些与伯努利数和欧拉数相关的推测超同余。” 落基山数学杂志。 52 (3) 1105-1126之间， 2022年6月。 https://doi.org/10.1216/rmj.2022.52.1105

信息

收到日期：2021年6月17日;修订日期：2021年9月2日;接受日期：2021年9月12日;发布日期：2022年6月

欧几里德项目首次提供：2022年6月16日

数学科学网：MR4441117型

zbMATH公司：1497.11013

数字对象标识符：10.1216/rmj.2022.52.1105

学科：

主要用户：11A07号，11个B68，第11页第25页

次要：05年10月，11个B65，11B75号

关键词：阿佩里数和阿佩里多项式，伯努利数和伯努利多项式，欧拉数和欧拉多项式，广义Domb数，超同余

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