1985年，Akbulut和Kirby分析了一个由Cappell和Shaneson首次发现的同伦$4$-sphere$\Sigma$，并将其描述为三个重要猜想的潜在反例，所有这些猜想都尚未解决。1991年，Gompf的进一步分析表明，$\Sigma$是无数示例中的一个，所有这些示例都是标准的$s^{4}$，但具有不寻常的句柄结构。

最近与Gompf和Thompson合作的工作表明，这种构造产生了一个$L_{n}$族的$2$-component链接，每个链接都是广义Property R猜想的潜在反例。在每个$L_{n}$中，一个组件是简单的方形结$Q$，有人认为在把手滑动后，另一个组件理论上可以非常对称地放置。如何实现这一点是未知的，这个问题在这里得到了解决，部分是通过找到$L_{n}$的对称结构。鉴于Cappell-Shaneson-Akbulut-Kirby-Gompf示例的持续兴趣和潜在重要性（例如，已知原始的$\Sigma$非常有效地嵌入到$S^{4}$中，因此对Schoenflies猜想的拟议方法提供了独特的见解），还包括对该观点各个方面的离题。