Cohen–Lenstra distributions via random matrices over complete discrete valuation rings with finite residue fields

Gilyoung Cheong; Yifeng Huang

doi:10.1215/00192082-8939615

摘要

让 $(R,\mathfrak{m})$ 具有有限剩余域的完备离散赋值环 $R/ \mathfrak{m}={\mathbb{F}_{q}}$ .给定一元多项式 $P(t)\in R[t]$ 其约化模 $\mathfrak{m}$ 给出了一个不可约多项式 $\overline{P}(t)\in {\mathbb{F}_{q}}[t]$ ，我们开始调查 $\mathrm{coker}(P(A))$ ，其中 $A\in {\mathrm{Mat}_{n}}(R)$ 根据加法群上的Haar概率测度随机选择 ${\mathrm{Mat}_{n}}(R)$ 属于 $n\times n$ R（右）-矩阵。特别地，我们推广了弗里德曼和华盛顿关于这些随机矩阵的两个结果。我们在 ${\mathrm{Mat}_{n}}(R)$ 和 ${\mathrm{Mat}_{n}}({\mathbb{F}_{q}})$ 将我们关于Haar-random矩阵的问题转换为 ${\mathrm{Mat}_{n}}(R)$ 关于中随机矩阵的问题 ${\mathrm{Mat}_{n}}({\mathbb{F}_{q}})$ 关于均匀分布。我们的结果 ${\mathbb{F}_{q}}$ 是关于 $\overline{P}$ -随机矩阵的一部分 $\overline{A}\in {\mathrm{Mat}_{n}}({\mathbb{F}_{q}})$ 关于均匀分布，其中一个推广了Fulman的一个结果。我们启发性地将我们的结果与科恩和伦斯特拉的一个著名猜想联系起来，该猜想预测给定一个奇素数第页，任何有限阿贝尔第页-组（即。， ${\mathbb{Z}_{p}}$ -模块）H（H）作为第页-随机虚二次域扩展类群的一部分 $\mathbb{Q}$ 概率与 $|{\mathrm{Aut}_{\mathbb{Z}}}(H)|$ .我们回顾了Cohen和Lenstra猜想的三种不同的启发式，它们都与我们主要猜想的特殊情况有关，我们将其作为主要定理加以证明。

引用

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Gilyung Cheong先生。黄一峰。 “具有有限剩余域的完全离散赋值环上通过随机矩阵的Cohen–Lenstra分布。” 伊利诺伊州J.数学。 65 (2) 385 - 415, 2021年6月。 https://doi.org/101215/00192082-8939615

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收到日期：2020年6月1日;修订日期：2020年11月15日;发布日期：2021年6月

欧几里德项目首次提供：2021年3月25日

数字对象标识符：10.1215/00192082-8939615

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主要用户：2015年5月

次要：11个C20

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